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Física básica para ingenieros
Tomo I
Antonio Sanchís Sabater
Este libro presenta el estudio de la física, desde un 
punto de vista teórico y adaptado a las necesidades de 
formación que se dan en cualquier ingeniería, detallando 
los objetivos de cada tema y resumiendo al fi nal de cada 
uno las nociones más importantes que se han tratado. Se 
tratan los temas fundamentales de la física, considerando 
tanto la iniciación a sus conceptos teóricos como vectores, 
tensores, tensor de inercia, etc., para pasar seguidamente 
al estudio de la mecánica de punto, la mecánica del sólido 
y la mecánica de los fl uidos. Se recoge también material 
con el que iniciarse en el estudio de la teoría de campos, 
defi niendo operadores tal como el operador d’alembertiano 
y llegando al estudio de las ondas. Así mismo, se trata el 
estudio de la termodinámica, enunciando sus principios y, 
fi nalmente, se aborda el estudio del electromagnetismo 
y algunas lecciones de óptica. Todos los temas están 
ilustrados mediante tablas y fi guras que refuerzan el 
aprendizaje.
Física básica para 
ingenieros. Tomo I
Antonio Sanchís Sabater
EDITORIAL
EDITORIAL
UNIVERSITAT POLITÈCNICA DE VALÈNCIA
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ISBN 978-84-9048-044-1
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Primera edición, 2013 ▪ 16ª reimpresión, 2017 
© Antonio Sanchis Sabater 
© de la presente edición: Editorial Universitat Politècnica de València 
 distribución: Telf.: 963 877 012 / www.lalibreria.upvu.es / Ref.: 0035_09_01_16 
Imprime: Byprint Percom, S.L. 
ISBN: 978-84-9048-044-1 (Obra Completa) 
ISBN: 978-84-9048-102-8 (Volumen I) 
Impreso bajo demanda 
Queda prohibida la reproducción, la distribución, la comercialización, la transformación y, en 
general, cualquier otra forma de explotación, por cualquier procedimiento, de la totalidad o 
de cualquier parte de esta obra sin autorización expresa y por escrito de los autores. 
Impreso en España 
Prefacio 
La física es una materia básica de la ingeniería. A la hora de empezar los estudios 
de un grado de ingeniería el alumno cuenta con los conocimientos de física que ha 
adquirido en el bachillerato, tales como unidades, errores, cinemática del punto con 
el estudio de la caída de graves o los tiros horizontal y parabólico. La dinámica de 
la partícula, el estudio del trabajo y conservación del movimiento inicio de la 
termodinámica y el estudio de la electricidad con estudios de circuitos sencillos 
donde se aplica la ley de Ohm y el efecto Joule obteniendo la potencia eléctrica 
todos estos adquiridos en primero de Bachillerato, completando sus conocimientos 
preuniversitarios en el segundo de bachillerato con el campo gravitatorio (leyes de 
Kepler y ley de Newton) y el eléctrico. También cuenta con los conocimientos de 
movimiento armónico simple y el movimiento ondulatorio o la óptica geométrica. 
Además ha analizado el campo magnético con las ley de Ampere, fuerza de 
Lorentz o la ley de Laplace leyes de Faraday y Henry y la ley de Lenz, 
completando con elementos de física relativista, mecánica cuántica, y física 
nuclear. 
Por ello cabe preguntarse si en un libro es necesario partir de los conceptos más 
básicos de la Física hasta alcanzar los contenidos que se pretende o hay que partir 
de lo que ya el estudiante sabe y centrarse en lo que le resulta novedoso. Es difícil 
saber que enfoque desarrollar en un texto dirigido a estudiantes, principalmente de 
los grados de ingeniería de la rama industrial. Por ello he buscado por una parte no 
incidir demasiado en lo que ya conocen para no hacer que el texto sea muy extenso 
(así y todo hay más de 1000 páginas), pero tampoco se puede omitir algunos 
conceptos previos que sirvan para centrar la materia, así algunas lecciones como la 
primera (la magnitud física y su medida) repite contenidos que el estudiante ha 
reproducido durante varios cursos, pero sirve como introducción a la materia objeto 
del libro, o la lección de óptica geométrica que ya ha estudiado en segundo de 
bachiller. Está lección de óptica geométrica he creído conveniente incluirla porque 
en caso contrario parece que quedaría coja la parte de estudio de la óptica, pero esta 
desarrollada de forma que un alumno que no ha estudiado el libro pueda abordarlo, 
por ello se repiten conceptos ya vistos en otras lecciones anteriores, como los vistos 
en el bachillerato. Un alumno podría prescindir de la lección si domina el segundo 
de bachillerato y además podría estudiar sólo esa lección sin el estudio previo de 
las anteriores. 
Además, como se ha indicado, creo que muchos de los conceptos que se han 
introducido en el libro, que el alumno conoce del bachillerato, tales como las 
lecciones del movimiento ondulatorio o ondas mecánicas, si se hubiese prescindido 
de su reiteración se rompería el esquema coherente de la lección, así que he 
preferido extenderme en ese caso. También en la dinámica, la electrostática o el 
electromagnetismo he reproducido ideas que el estudiante ya posee, pero que no se 
pueden obviar en un texto que pretende estudiar dichas partes de la física. 
Sin embargo se han repetido pocos conocimientos que el alumno conoce de 
cinemática, y se ha partido de que dichos conceptos ya están adheridos al 
estudiante, entendiendo que la repetición de dichos conceptos no son inevitables 
para buscar una coherencia en el texto. 
Para completar el temario de lo que constituye la materia básica de Física falta en 
el libro la mecánica analítica, que si bien el estudiante la aborda, hoy por hoy ,no 
he considerarlo conveniente incluirla, no descarto que en próximas ediciones la 
incluya. 
Las lecciones de la 2 a la 13 incluyen los contenidos de la asignatura de 9 créditos 
Física I de los grados de ingeniería que se imparten en la ETSII de la Universidad 
Politécnica de Valencia, las lecciones de la 15 a 21, con parte de los contenidos de 
las lecciones siguientes, además de la mecánica analítica, que no aborda este libro, 
completan el temario de Física II (asignatura de 6 créditos), siendo ambas 
asignaturas la que constituyen la materia básica de física que se imparte en primer 
curso. El resto de contenidos de este libro, según titulaciones de la Escuela, se 
estudia en la asignatura Física III, al menos la parte de dicha asignatura que 
corresponde a física aplicada, pero dada la diversidad de grados, a partir de la 
lección 22, unas lecciones son de Física II otras de Física III y otras no se estudian 
en dicha titulación 
Es mi deseo que el libro sea de gran utilidad para el estudiante, y con esa intención 
lo he hecho. 
En Valencia, septiembre de 2013 
Índice 
 
 
TOMO I 
 
Lección 1 La magnitud física y su medida .................................................. 7 
 
Lección 2 Sistemas de vectores..................................................................... 45 
 
Lección 3 Tensores cartesianos ................................................................... 83 
 
Lección 4 Centro de gravedad ...................................................................... 113 
 
Lección 5 Momentos de inercia ................................................................... 127 
 
Lección 6 Cinemática de los sistemas indeformables.................................. 153 
 
Lección 7 Movimiento plano ........................................................................ 177 
 
Lección 8 Cinemática del movimiento relativo ............................................ 205 
 
Lección 9 Dinámica de los sistemas ............................................................. 215 
 
Lección 10 Dinámica del sólido rígido .......................................................... 261 
 
Lección 11 Dinámica de sólidos planos rígidos con movimiento 
plano en su plano ........................................................................ 281 
 
Lección 12 Dinámica de percusiones.............................................................293 
 
Lección 13 Estática ......................................................................................... 327 
 
Lección 14 Grafoestática ................................................................................ 351 
 
Lección 15 Primera ley de la Termodinámica ............................................... 361 
 
Lección 16 Segunda ley de la Termodinámica .............................................. 399 
 
Lección 17 Teoría elemental de campos ........................................................ 447 
 
Lección 18 Estática de los fluidos .................................................................. 473 
 
Lección 19 Dinámica de los fluidos ............................................................... 503 
 
 
 
FÍSICA BÁSICA PARA INGENIEROS 
 
TOMO II 
 
Lección 20 Movimiento ondulatorio .............................................................. 547 
 
Lección 21 Ondas mecánicas ......................................................................... 597 
 
Lección 22 El campo electrostático en el vacío ............................................. 663 
 
Lección 23 Conductores y capacidad eléctrica .............................................. 693 
 
Lección 24 Condensadores. Dieléctricos ....................................................... 719 
 
Lección 25 Corriente continua ....................................................................... 755 
 
Lección 26 Redes de conductores .................................................................. 781 
 
Lección 27 El campo magnético en el vacío .................................................. 805 
 
Lección 28 El campo magnético en la materia .............................................. 839 
 
Lección 29 Inducción electromagnética ........................................................ 865 
 
Lección 30 Corrientes alternas ...................................................................... 893 
 
Lección 31 Óptica geométrica ........................................................................ 929 
 
Lección 32 Naturaleza de la luz ..................................................................... 993 
 
Lección 33 Fotometría.................................................................................... 1017 
 
Lección 34 Teoría del color ............................................................................ 1043 
 
APÉNDICES ..................................................................................................... 1063 
LECCIÓN 1
LA MAGNITUD FÍSICA Y SU 
MEDIDA
9
Objetivos
1. Saber expresar una misma cantidad en distintas unidades.
2. Conocer el Sistema Internacional de Unidades.
3. Conocer los sistemas físicos de unidades.
4. Conocer los sistemas técnicos de unidades.
5. Determinar la ecuación dimensional de cualquier magnitud.
6. Saber aplicar la ley de homogeneidad.
Contenido
1.1. La Ciencia física. 
1.2. Magnitudes. 
1.2.1. Observables. 
1.2.2. Magnitudes físicas. 
1.3. Unidades y medidas. 
1.4. Leyes fundamentales. Constantes universales. 
1.5. Sistemas de ecuaciones de definición. Sistema acorde de unidades. 
1.6. Sistemas físicos de unidades. 
1.7. Sistema internacional de unidades. Unidades Fundamentales 
1.8. Unidades derivadas en el Sistema Internacional. 
1.9. Otras unidades internacionales 
1.10. Sistemas técnicos de unidades. 
1.11. Otras unidades mecánicas. 
1.12. Errores de medición. 
1.12.1. Clasificación de los errores. 
1.12.2. Cálculo del error en las medidas indirectas. 
1.12.3. Teoría de errores. Curva de Gauss. 
1.13. Ecuaciones dimensionales. 
1.14. Cambio de unidades. 
1.15. Ley de homogeneidad. 
11
1.1. LA CIENCIA FÍSICA 
La ciencia física se divide desde hace tiempo en las fracciones de mecánica, 
acústica, termodinámica, electricidad, magnetismo y óptica, a las que se añaden las 
secciones, hoy a la delantera de la investigación, de la naturaleza y estructura de la 
materia, física atómica y nuclear. Cuanto más se perfeccionan los conocimientos tanto 
más arbitrarios son los límites entre estas disciplinas. La acústica y la termodinámica 
se interpretan con ejemplos mecánicos; la óptica y el electromagnetismo se 
amalgaman en un único campo; la radiación térmica y la luz se consideran una misma 
cosa. Así con el modelo de onda se explican fenómenos tan distintos, en apariencia, 
como los acústicos, térmicos u ópticos. Grandes principios, como el de la energía cuya 
validez se restringía antiguamente a un campo acotado, rebosaron sus propios límites 
al avanzar la ciencia, abarcando a la totalidad de la física y logrando una posición 
predominante en todas las ciencias naturales. Todo esto, lleva a que el investigador se 
obstine en la exploración de teorías que aúnen la exposición de estas partes de forma 
que con el mínimo número de principios factibles y reglas, se describan el máximo 
número de fenómenos. 
Excluyendo la biofísica, que en un rápido desarrollo se ha transformado en una 
ciencia independiente. La física de los fenómenos de la naturaleza inanimada son tan 
distintos que englobarlos y exponerlos parece, a primera vista, una tarea exasperada. 
Así y todo, resulta que es posible explicarlos por medio de un conjunto de conceptos 
que, seleccionados adecuadamente, no son tan considerables como para que no se 
puedan recopilar en un sencillo sistema conceptual, tal como longitud, tiempo, masa, 
velocidad, aceleración, carga eléctrica, etc. Su denominación se ha obtenido corrien-
temente del lenguaje ordinario. Pueden significar lo mismo que en éste último, pero no 
tiene por que ser así; su peculiaridad consiste en la necesidad de fijar de un modo 
unívoco su significado. La condición previa para establecer la ciencia física es la 
definición exacta e inconfundible de cada uno de los conceptos. 
El paso siguiente a la mera descripción de la naturaleza es el descubrimiento de 
unas leyes; para formularlas exactamente, los conceptos físicos tienen que poder 
considerarse cuantitativamente, es decir, medirse, o sea expresarse mediante unidades 
y números. Por esta razón, para la formulación de las leyes naturales sólo resulta 
adecuada una determinada elección de conceptos. 
La formulación matemática de un fenómeno físico se le denomina ley física, dicha 
formulación se puede hacer mediante la observación o mediante la imitación del 
fenómeno en condiciones engendradas y controladas (experimento físico). Cuando, al 
contrario, el experimentador provoca un fenómeno que sigue un trayecto apetecido y 
conocido, las leyes físicas están al beneficio de los fines del hombre. Por eso la física 
es la base de la técnica. El físico aspira prever las propiedades y leyes de la naturaleza 
FÍSICA BÁSICA PARA INGENIEROS 
12 
y en general no se cuestiona la utilidad de la investigación. Pero la historia muestra 
que todo descubrimiento importante, por muy alejado que esté cuando aparece de toda 
aplicación práctica, fomenta más tarde el desarrollo de la técnica. 
El fin investigador de la física consiste en asentar la teoría de los fenómenos 
naturales que estudia. El trayecto hasta ella pasa en primer lugar por la elaboración de 
una hipótesis. Las conclusiones que se derivan han de confirmarse siempre con la 
experiencia. Si la hipótesis da buenos resultados, ésta se denomina teoría. El concepto 
de teoría no tiene en la física el defecto de inseguridad que se da en el lenguaje 
habitual. 
Pero la razón de la ley descubierta no es organizar lo observado y sintetizar los 
fenómenos complicados a lo más sencillo. Debe concebir, sobre todo, la posibilidad de 
pronosticar cuantitativamente el hecho físico. 
1.2. MAGNITUDES 
1.2.1. OBSERVABLES 
Por medio de la observación de los fenómenos naturales el raciocinio humano 
construye las entidades utilizadas en Física; se alcanzan por un camino de abstracción 
que estriba en coger una cualidad común y excluir todas las demás. De esa manera, el 
concepto de tiempo brota de la contemplación de la duración de las cosas sujetas a 
cambio,cualesquiera que sean su color, tamaño y naturaleza. Lo mismo sucede con la 
longitud, el área y el volumen, etc. 
Algunos entes físicos son observables mediante los sentidos (belleza, color, olor, 
sabor, velocidad, temperatura, longitud, fuerza, presión, etc.). Otros se conciben como 
causas de hechos observables. (Tal ocurre con la masa, carga eléctrica, energía, etc.). 
Se denomina observables tanto a unos como a otros. 
La explicación del efecto observable propio de cada ente físico conforma una 
definición cualitativa, que no debe excluirse. Estas definiciones cualitativas son 
válidas para conocer de qué se trata y para reconocerlo siempre que se trate con él. 
1.2.2. MAGNITUDES FÍSICAS 
La física emplea observables que se pueden cuantificar, es decir, han de poder 
medirse. Se denomina magnitud física a todo observable que se puede medir. De esta 
definición se puede estimar que el objeto de la física es alterable, en función de que los 
LA MAGNITUD FÍSICA Y SU MEDIDA
13
fenómenos físicos observados sean medibles o no; de forma que el progreso en las 
tecnologías de instrumentación de medida, sin duda aumentan el domino de la física 
tomando conceptos y leyes, derivadas de estas nuevas medidas. 
Por ejemplo, conforme la tecnología ha facultado medir los fenómenos vinculados 
al átomo, su estructura, su núcleo y sus electrones la física se ha ido ampliando hasta 
incluir en ella una nueva sección, la física atómica y nuclear, que trata de esto. 
La longitud, tiempo, velocidad, aceleración, fuerza, masa, color, etc. son ejemplos 
de magnitudes físicas. La belleza, el sabor, el olor, el amor, la satisfacción, etc. son 
observables que no constituyen magnitudes físicas ya que no se pueden medir. 
Las magnitudes pueden clasificarse en escalares, vectoriales y tensoriales, a su vez, 
las primeras, se pueden clasificar en extensivas e intensivas. Son magnitudes escalares 
aquellas que quedan determinadas por un número real, acompañado de un estado 
elegido de esta magnitud, de entre las magnitudes escalares extensibles se encuentran 
la masa, energía, tiempo, carga eléctrica, volumen, la cantidad de sustancia, resistencia 
eléctrica, etc. y de entre las unidades escalares intensivas, se encuentran la tempera-
tura, densidad, volumen específico, carga específica, etc. 
Las magnitudes vectoriales necesitan además el conocimiento de una dirección y 
un sentido, entre las cuales, se encuentran, la velocidad, aceleración, fuerza, cantidad 
de movimiento, campo eléctrico, etc. 
Las magnitudes tensoriales son las que el valor observado de dicha magnitud 
depende de la dirección en que es observada. Entre dichas magnitudes se encuentran el 
tensor de inercia, el tensor de esfuerzos, el tensor de deformaciones, el tensor 
conductividad térmica, el índice de refracción, el tensor dieléctrico en medios 
anisótropos,... 
1.3. UNIDADES Y MEDIDAS 
Se denomina cantidad de una magnitud al estado de esa magnitud en un objeto 
determinado. Por ejemplo la carga eléctrica es una magnitud; la carga del electrón es 
una cantidad de la magnitud carga eléctrica. 
Un conjunto de observables (A0), (A1), (A2), ..., comparables entre sí dos a dos, son 
cantidades de una misma magnitud física. 
Dos cantidades (A) y (B) de una misma magnitud se dice que son comparables 
cuando existe una definición operacional y universal de la razón: 
FÍSICA BÁSICA PARA INGENIEROS 
 
 
 14 
siendo n un número que expresa que la cantidad (A) es n veces mayor que la cantidad 
(B), es decir, (A)=n.(B). 
 
En la definición de comparación, el adjetivo operacional señala que se han de 
especificar los instrumentos usados en la comparación, así como las operaciones a 
efectuar. El requisito de universalidad requiere que la razón obtenida no dependa de 
la naturaleza de los cuerpos utilizados en la construcción del instrumental. 
 
Definida la razón entre cantidades, quedan definidas la igualdad y la suma, pues de: 
 
Se deduce 
Recíprocamente, la definición de la razón entre cantidades, puede sustituirse por la 
definición de la igualdad y de la suma, si se cumple el postulado de divisibilidad 
indefinida. 
 
El criterio de igualdad está implicado en la definición cualitativa de cada 
magnitud, pues es obvio admitir que dos cantidades son iguales cuando sus efectos son 
idénticos. 
 
Para la suma de cantidades vale en Física el criterio de equivalencia, según el cual, 
la suma ha de producir por sí sola el mismo efecto que los sumandos reunidos. Se 
postula que el resultado es independiente de la manera como se reúnen. 
 
Las magnitudes extensivas, se suman por acumulación, o sea yuxtaponiendo los 
objetos que les sirven de soporte, mientras que a las magnitudes intensivas no les es 
aplicable la suma por acumulación, así por ejemplo, para la densidad, al reunir dos 
líquidos con densidades conocidas, la densidad que resulta no es la suma de las 
densidades de ambos líquidos por separado. Pero la densidad sigue siendo una 
 n=
(B)
(A) 1.1 
 321 n=)A(
)A(;n=
)A(
)A(;n=
)A(
)A(
0
3
0
2
0
1 1.2 
 1=n si)A(=)A( 01 1 1.3 
 321 nnn si)A(=)A(+)A( 321 =+ 1.4 
LA MAGNITUD FÍSICA Y SU MEDIDA
15
magnitud física, pues basta que una sustancia de masa constante se le varíe su 
volumen para que su densidad aumente a medida que disminuye su volumen, y por 
tanto se puede sin ninguna ambigüedad definir la razón entre dos densidades cua-
lesquiera, así para un volumen dado de una sustancia la densidad se incrementará a 
medida que aumente la masa que ocupa la totalidad del volumen (entendiéndose una 
distribución de masa homogénea en el volumen considerado, en caso de no cumplirse, 
se tendría que estudiar en elementos diferenciales). 
Para las magnitudes vectoriales, su suma se realiza mediante la regla del polígono. 
La discriminación entre magnitudes y cantidades es indispensable cuando hay que concretar las ideas. 
Pero es habitual en Física coger lo general por lo particular, y por eso se suele hablar de magnitudes y 
pocas veces de cantidades, aún en el caso en que el vocablo oportuno sea este último. 
Para una magnitud determinada se puede elegir una cantidad de esta magnitud 
como patrón, a esta cantidad se le denomina unidad, la comparación de cantidades de 
la misma magnitud con la unidad se denomina medida, sea la magnitud {A}, cuya 
unidad se representa por UA, y sean (A1), (A2), cantidades de dicha magnitud, se 
forman las siguientes razones. 
donde A1 y A2 son las medidas de las cantidades (A1) y (A2) respectivamente con la 
unidad UA, así a cada cantidad (A) le corresponde una medida A, para la unidad UA 
es decir, cantidad = medida.unidad 
De forma que a cada cantidad (A), se asocia un número A, que representa el 
número de veces que (C) es mayor que la unidad. Dicho número como se ha indicado 
es la medida de la cantidad (A) referida a la unidad. 
Cabe destacar la diferencia conceptual entre cantidad y medida, puesto que la 
cantidad de una magnitud física no depende de la unidad utilizada para medirla, la 
medida en cambio, si depende de la unidad, de forma que para una misma cantidad, 
cuanto menor sea la unidad que se utiliza para medirla, mayor será el valor de la 
medida obtenida. 
Sean dos Unidades UA y U'A de la magnitud {A} al cambiar la unidad UA por la U'A 
se tendrá para la cantidad (A): 
A=
U
)A(;A=
U
)A(
2
A
2
1
A
1 1.5 
UA.=(A) A 1.6 
FÍSICA BÁSICA PARA INGENIEROS 
16 
De donde las medidas de una misma cantidad son inversamente proporcionales a 
las unidades con que se han obtenido. 
Las medidas pueden ser: Directas al comparar cada cantidad con la unidad y 
aplicar el criterio de igualdad y suma. Indirectas, aquellas que se miden las cantidades 
de otras magnitudes y mediante una ley física se determina la medida de la cantidad 
correspondiente; Y las realizadas mediante instrumentos calibrados (balanzas, cronó-
metros, voltímetros, etc.) 
1.4. LEYES FUNDAMENTALES. CONSTANTES UNIVERSALES 
Como se ha indicado las leyes físicas relacionan las magnitudes queintervienen en 
un fenómeno considerado, estas tienen un carácter cuantitativo, pudiéndose elegir 
relaciones de proporcionalidad entre potencias determinadas de las cantidades que 
intervienen, así: 
que representa una relación de proporcionalidad entre cantidades, por tanto si el 
fenómeno en cuestión se hace x veces mayor la cantidad (B) y se mantiene constantes 
el resto de cantidades, la cantidad (A) queda multiplicada por xb. Dichas relaciones de 
proporcionalidad entre cantidades tiene un carácter absoluto, puesto que no se 
introducen elementos convencionales como lo son las unidades. 
Al pasar de la relación de proporcionalidad entre cantidades a la ecuación entre 
medidas, hay que introducir un factor proporcional, K, (este puede valer 1, en cuyo 
caso se dice que las magnitudes físicas que intervienen son coherentes), que dependerá 
en un principio de las unidades elegidas de cada magnitud, con lo que resulta 
A
A
A
A
AA
A
A
A U
U=
A
A 
U
UA.=A .UA=).U
U
UA.(=A.U=(A)
''
''
′
�′�′
′
1.7
...)(C)(B(A) cb ••∝ 1.8 
...CBK.=A cb •• 1.9 
LA MAGNITUD FÍSICA Y SU MEDIDA
17
Para hallar K habrá que conocer la relación de proporcionalidad y según las 
unidades que se adopten, dicho valor se obtendrá al medir en diversos casos 
particulares las cantidades que figuran en la ecuación; pueden ocurrir dos casos: 
a) Al variar la naturaleza del cuerpo con que se opere, y para el mismo conjunto
de unidades, el factor de proporcionalidad varía, por lo que se dice, que K es
una constante característica del cuerpo.
b) Pero puede ocurrir que dicho factor de proporcionalidad sea independiente de la 
naturaleza del cuerpo. Entonces se denomina constante universal, y a la
relación entre cantidades ley universal.
Las constantes universales poseen un carácter desconcertante. Surgen en las leyes 
sin definirse a priori. Al no ser propiedades de los cuerpos o medios y no variar, no 
son magnitudes, puesto que sólo existe un único espécimen de cada una y por tanto no 
hay comparación, pero no son números fijos, porque su valor numérico depende de las 
unidades que se elijan para medir las cantidades que comparten con ellas las 
respectivas ecuaciones. 
Las constantes universales trazan al ser descubiertas una nueva era científica, por 
tanto ejecutan en Física un función importante. 
1.5. SISTEMAS DE ECUACIONES DE DEFINICIÓN. SISTEMA 
ACORDE DE UNIDADES 
Las magnitudes se pueden relacionar con otras de forma cuantitativa, con diferentes 
fórmulas, así la aceleración se puede relacionar, entre otras con: 
y por tanto se pueden elegir diferentes fórmulas que en su conjunto constituyan un 
sistema de ecuaciones, una vez elegidas las fórmulas, y fijado el coeficiente de cada 
una, se tiene un sistema particular de ecuaciones de definición, y debe ocurrir que al 
sustituir los símbolos de las magnitudes por los números que las miden con las 
unidades, queden satisfechas las ecuaciones. Entonces se habrá constituido un sistema 
de unidades acorde con el sistema particular de ecuaciones de definición. 
...
;
m
F=a;
dt
rd=a;
dt
vd=a 2
2 ��
��
�
� 1.10 
FÍSICA BÁSICA PARA INGENIEROS 
18 
Esto es posible, puesto que de todas las magnitudes se eligen un conjunto de ellas 
como magnitudes fundamentales de forma que no estén relacionadas entre sí por una 
ley universal; y a continuación se eligen arbitrariamente las unidades de las 
magnitudes fundamentales, y definiendo las unidades de las demás magnitudes de tal 
modo que se cumplan todas las ecuaciones del sistema particular de ecuaciones de 
definición. 
Si en un sistema acorde de unidades se toma como magnitudes fundamentales entre 
otras la longitud y el tiempo, la velocidad no puede ser magnitud fundamental, puesto 
que existe una ley física que se relaciona con las dos anteriores, sea dicha ley física la 
ecuación de definición de la velocidad, tomando el metro como unidad de longitud y 
el segundo como unidad de tiempo, la unidad de velocidad en dicho sistema acorde de 
unidades debe ser necesariamente el m.s-1, puesto que la velocidad media que debe 
tener un móvil para recorrer la distancia unidad en el tiempo unidad será: 
y denominado por vm, lm, tm a las medidas de las cantidades, las cantidades valdrán: 
Y así se obtendría un sistema coherente, ya que las ecuaciones quedarán satisfechas 
con los números. 
Cada sistema coherente de unidades se corresponde con un sistema particular de 
ecuaciones de definición, y por lo tanto para caracterizarlo no basta con dar las 
unidades fundamentales, siendo necesario además, el sistema de ecuaciones de 
definición, con los valores de los coeficientes y con su expresión verbal. 
s
m=
)(t
)(l
=)(V
t
l=V
u
u
u
Δ
Δ
1.11 
m
m
m
u
u
m
m
u
u
mum
umumum
t
l=v
)(t
)(l
.
t
l=
(t)
(l)=(v)=
)(t
)(l
.v=).(vv
).(tt=(t) ;).(ll=(l) ;).(vv=(v)
1.12 
LA MAGNITUD FÍSICA Y SU MEDIDA 
 
 
 19
Las magnitudes cuyas unidades se definen a partir de las fundamentales mediante 
el sistema de ecuaciones de definición, se denominan derivadas. 
 
 
1.6. SISTEMAS FÍSICOS DE UNIDADES 
 
Aunque parezca sorprendente, sólo son necesarias tres magnitudes fundamentales 
para el estudio de la mecánica, en los sistemas físicos se elige como magnitudes 
fundamentales mecánicas longitud, masa y tiempo. Al estudiar la termodinámica se 
necesitan dos magnitudes fundamentales más, estas son cantidad de materia y 
temperatura, para el estudio de la electricidad es necesario introducir otra magnitud 
fundamental, en la mayoría de los sistemas físicos se elige como magnitud 
fundamental a la intensidad de corriente eléctrica, aunque en otros sistemas físicos, 
los electrostáticos, toman como magnitud fundamental la carga eléctrica, con la 
fotometría resulta necesario introducir una séptima magnitud fundamental, se elige a la 
intensidad luminosa. 
 
De entre los sistemas acordes de unidades cabe destacar el Sistema Internacional 
de Unidades, que se estudiará más adelante con mayor detalle, el sistema cgs, que a su 
vez se divide en sistema electrostático y sistema electromagnético, el sistema mts y 
el sistema fps. 
 
El sistema cegesimal o cgs (centímetro, gramo, segundo) toma como unidades me-
cánicas fundamentales el centímetro, 1 cm=10-2 m; el gramo, 1 g=10-3 kg; y el 
segundo. Las unidades derivadas que tienen un nombre especial son: la dina, 1 din=10-
5 N, que es la unidad de Fuerza; el ergio, 1 erg=10-7 J, unidad de Energía; y la baria, 
1 baria=0'1 Pa, unidad de presión. 
 
El sistema mts (metro, tonelada, segundo) fue el sistema legal en Francia durante 
algunas décadas aunque no tuvo nunca la aprobación de los físicos. Sus unidades 
mecánicas fundamentales son el metro; la tonelada métrica, 1 t=103 kg; y el segundo. 
Las unidades derivadas que tienen un nombre especial son: el steno, 1 sn=103 N, que 
es la unidad de Fuerza; el kilojulio, 1 kJ=103 J, unidad de Energía; el kilovatio, 
1 kW=103 W unidad de potencia; y la pieza, 1 pz=103 Pa, unidad de presión. 
 
El sistema fps (foot, pound, second) (pie, libra, segundo) sistema físico utilizado 
principalmente en el mundo anglosajón. Sus unidades mecánicas fundamentales son el 
pie, 1 ft=0'3048 m; la libra, 1 Lb=0'45359 kg; y el segundo. El poundal como unidad 
de fuerza es la unidad derivada con nombre especial 1 poundal = 0'138254 N. 
FÍSICA BÁSICA PARA INGENIEROS 
 
 
 20 
1.7. SISTEMA INTERNACIONAL DE UNIDADES. UNIDADES 
FUNDAMENTALES 
 
El sistema internacional (S.I.) está formado por las unidades del sistema mksA 
racionalizado (metro, kilogramo, segundo, amperio), y lleva definiciones adicionales 
para la unidad de temperatura, la unidad de intensidad luminosa y la unidad de 
cantidad de sustancia. 
 
Este sistema de unidades fue adoptado oficialmente por España en 1967 (B.O.E. de 
10-11-1967). La última modificación se ha publicado en el BOE del 21 de enero de 
2010. Las unidades fundamentales mecánicas son el metro (m) para la longitud, el 
kilogramo (kg) para la masa y el segundo (s) para el tiempo. 
 
La masaunidad, es decir, el kilogramo se definió en 1901 (3ª conferencia general de 
Pesas y Medidas), como la masa de un bloque cilíndrico de platino iridiado, cuya altura y 
diámetro son iguales y que está depositado en el pabellón de Breteuil de la Oficina 
Internacional de Pesas y Medidas de Sèvres. 
 
La unidad de longitud, el metro definido, por última vez, en 1983 (17ª conferencia) 
como la longitud del trayecto recorrido en el vacío por la luz durante un intervalo de 
299792458
1
 de segundo. 
 
El segundo, unidad de tiempo, definido en 1967 (13ª conferencia) se define como la 
duración de 9 192 631 770 períodos de radiación correspondiente a la transición 
entre los niveles hiperfinos del estado fundamental del isótopo 133 de cesio. 
 
El Amperio (A), quedó definido en 1948 (9ª conferencia) como la intensidad de una 
corriente constante que, mantenida en dos conductores paralelos, rectilíneos, de 
longitud infinita, de sección circular despreciable y situados a una distancia de un 
metro el uno del otro en el vacío, produce entre estos conductores una fuerza igual a 
2.10-7 N por metro de longitud. 
 
La unidad de temperatura es el Kelvin (K) definido en 1967 (13ª conferencia) como la 
unidad de temperatura termodinámica que corresponde a 
16273
1
'
 de la temperatura 
termodinámica del punto triple del agua. 
 
La unidad de intensidad luminosa denominada candela (cd) (13ª conferencia) es la 
intensidad luminosa, en una dirección dada, de una fuente que emite una radiación 
LA MAGNITUD FÍSICA Y SU MEDIDA
21
monocromática de frecuencia igual a 540x1012 hercios y cuya intensidad energética 
radiada en dicha dirección es 1/683 vatios por estereoradián 
El mol es la unidad de cantidad de sustancia, que fue definida en 1971 (17ª c. g. P. y
M.) como la cantidad de sustancia de un sistema que contiene tantas entidades 
elementales como átomos hay en 0'012 kilogramos de carbono 12. 
Junto a la palabra mol, se ha de especificar las entidades elementales, que pueden 
ser, átomos, moléculas, iones, electrones, etc. 
El Sistema Internacional, al igual que el resto de sistemas admiten múltiplos y 
submúltiplos de las unidades, para ello se añaden al nombre de la unidad el prefijo 
adoptado, por acuerdo internacional, los cuales se encuentran en la tabla I. 
Tabla I 
Factor Prefijo Símbolo
1024 Yolta Y
1021 Zetta Z
1018 Exa E
1015 Peta P
1012 Tera T
106 Mega M
109 Giga G
103 Kilo K
102 Hecto H
10 Deca Da
10-1 Deci D
10-2 Centi C
10-3 Mili M
10-6 Micro � 
10-9 Nano N
10-12 Pico P
10-15 Femto F
10-18 Atto A
10-21 Zepto Z
10-24 Yocto Y
FÍSICA BÁSICA PARA INGENIEROS 
22 
No se admiten los prefijos compuestos formados por la yuxtaposición de varios 
prefijos, así los múltiplos o submúltiplos de la unidad fundamental de masa del S.I. 
serán múltiplos del gramo, es decir, 1000 veces dicha unidad será el megagramo (Mg) 
y no el kilokilogramo (kkg), algunos múltiplos o submúltiplos de las unidades del 
Sistema Internacional tienen un nombre propio, de los cuales los más habituales son 
los que se encuentran reflejados en la tabla II. 
Tabla II 
unidad Nombre con prefijo Equivalente S.I. 
Micra (�) 
 
Micrómetro (�m) 10-6 m 
milimicra (m�) Nanómetro (nm) 10-9 m 
Ångströn (Å) - 10-10 m 
Fermi Femtometro (fm) 10-15 m 
Tonelada Megagramo (Mg) 103 kg 
Bar Megabaria (Mbaria) 105 Pa 
1.8. UNIDADES DERIVADAS EN EL SISTEMA INTERNACIONAL 
En el sistema Internacional existe una serie de unidades derivadas que tienen 
nombre propio estas son: Radián (rad) unidad de ángulo plano; Estereoradián (sr) 
unidad de ángulo sólido; Hercio (Hz), 1 Hz=1 s-1 unidad de frecuencia; Newton (N), 1 
N=1 kg.m.s-2 unidad de fuerza; Pascal (Pa), 1 Pa=1 N.m -2, unidad de presión; Julio 
(J), 1 J=1 N.m, unidad de energía, de trabajo y de cantidad de calor ; vatio (W), 1 
W=1 J.s-1, unidad de potencia; Culombio (C), 1 C=1 sA, unidad de carga eléctrica y de 
cantidad de electricidad; Voltio (V), 1 V=1 W.A-1, unidad de diferencia de potencial y 
de fuerza electromotriz; Faradio (F), 1 F=1 C.V -1, Unidad de capacidad eléctrica; 
Ohmio (Ω), 1 Ω=1 V.A-1, unidad de resistencia eléctrica; Siemens (S), 1 S=1 Ω-1=1 
A.V-1, unidad conductancia eléctrica; Weber (Wb), 1 Wb=1 Vs, unidad de flujo 
magnético o flujo de inducción magnética; Tesla (T), 1 T=1 Wb.m-2, unidad de 
densidad de flujo magnético o inducción magnética; Henrio (H), 1 H=1 Wb.A-1, 
unidad de industancia; Grado Celsius (�C), 1 �C=1 K, unidad de temperatura celsius; 
Lumen (lm), 1 lm=1 cd sr; Lux (lx), 1 lx=lm.m-2, unidad de iluminancia; Becquerel 
(Bq), 1 Bq=1 s-1, unidad de actividad de un radionucleido; Gray (Gy), 1 Gy=1 J.kg-1, 
unidad de dosis absorbida, de energía másica (comunicada) y de kerma; Sievert (Sy), 1 
LA MAGNITUD FÍSICA Y SU MEDIDA 
 
 
 23
Sy=1 J.kg-1, unidad de dosis equivalente, de dosis equivalente ambiental, de dosis 
equivalente direccional y de dosis equivalente individual; Katal (kat) 1 kat=1 mol.s-1, 
unidad de actividad catalítica. 
 
Las dos primeras unidades derivadas de las indicadas con nombre propio en el 
párrafo anterior son especiales, al igual que existen otras magnitudes como el índice de 
refracción y la permeabilidad relativa, que no recibe nombre especial, además existe 
otras dos con nombre especial que se aplica a muchas magnitudes estas unidades son 
el Belio (B) y el Neper (Np), el Belio lo definimos como el logaritmo decimal del 
cociente de dos cantidades de una misma magnitud y el Neper al neperiano, (ambas 
son no pertenecientes al SI pero de aplicación en sectores específicos), Estudiemos 
algo más las unidades radián y esteroradián. (Ambas antes de las 20ª conferencia eran 
consideradas suplementarias y a partir de 1995 se consideran derivadas, dicha 
consideración se ha publicado en España por primera vez en 2010 BOE de 12 de 
enero). 
 
El radian se define como el ángulo plano que, 
teniendo su vértice en el centro de un círculo, intercepta 
sobre la circunferencia de este círculo, un arco de 
longitud igual a la del radio. 
 
Es decir un ángulo expresado en radianes responde al 
siguiente proceso, se traza una circunferencia de radio R 
cuyo centro O coincida con el vértice del ángulo. El 
ángulo � en radianes es la razón: 
 
siendo l la longitud del arco abarcado por el ángulo �. 
 
Análogamente el ángulo sólido es la región del espacio constituida por todas las 
semirrectas con origen común O y que tienen un punto en común también con un 
casquete esférico de una esfera de radio R y centro el origen O. Su valor, expresado en 
estereorradianes, está dado por: 
 
 
 
Figura 1.1 
 
R
l=θ 1.13 
 
R
S=
2
Ω 1.14 
FÍSICA BÁSICA PARA INGENIEROS 
24 
siendo S el área del casquete esférico 
interceptado por el ángulo sólido. 
Conforme con 1.14 el estereorradian se 
define como el ángulo sólido que, teniendo 
su vértice en el centro de una esfera, 
delimita sobre la superficie esférica 
correspondiente un área igual a la de un 
cuadrado que tiene como lado el radio de 
la esfera. 
El ángulo plano correspondiente a todo 
el plano será aquel que su arco es toda la 
circunferencia, y por 1.13 
que son los radianes equivalentes a 3600 sexagesimales. En conclusión: 
Similarmente, el ángulo sólido correspondiente a todo el espacio será: 
Obviamente la definición de ángulo sólido se ha hecho utilizando el área 
interceptada por la superficie de una esfera situada con su centro en el vértice del 
ángulo, pero frecuentemente habrán situaciones en que la superficie será irregular, de 
forma que tomando un elemento de área dS no será perpendicular a la recta que lo una 
con el vértice, formando su vector normal un cierto ángulo plano � con dicha recta, 
entonces, es imprescindible proyectar el elemento de superficie sobre un plano 
perpendicular a la recta, obteniendo como consecuencia de dicha proyección el 
elemento de área dS' (dS'=dS.cos�), y el ángulo sólido elemental d� será: 
Figura 1.2 
rad2.=
R
.R2.=t π
π
θ 1.15 
"8,44'17º57, =180=1rad rad;0174530=
360
2.=10 π
π 1.16 
 sr4.=
RR.4.=
2
2
T π
π
Ω 1.17 
LA MAGNITUD FÍSICA Y SU MEDIDA 
 
 
 25
y por tanto el ángulo sólido subtendido en O por la superficie total se obtiene como 
resultado de la integración de 1.18 extendida a toda la superficie: 
En la próxima lección se podrá definir el ángulo sólido en función del vector 
superficie, y se podrá también definir el vector ángulo plano, como un vector axial. 
 
 
1.9. OTRAS UNIDADES INTERNACIONALES 
 
 Hay unidades de uso internacional no pertenecientes al SI cuyo uso con el Sistema 
Internacional está aceptado, dado que son ampliamente utilizadas en la vida cotidiana 
y cada una de ellas tiene una definición exacta en unidades SI. Incluye las unidades 
tradicionales de tiempo y de ángulo. Contiene también la hectárea, el litro y la 
tonelada, que son todas de uso corriente a nivel mundial, y que difieren de las 
unidades SI coherentes correspondientes en un factor igual a una potencia entera de 
diez. Los prefijos SI se emplean con varias de estas unidades, pero no con las unidades 
de tiempo. En la tabla III se encuentran estas unidades. 
 
 
Tabla III 
 
Magnitud Nombre de la unidad Símbolo Valor en unidades SI 
Tiempo 
Minuto min 1 min = 60 s 
Hora h 1 h = 60 min=3600 s 
Día d 1 d=24 h =86400 s 
Ángulo plano 
Grado º 
 
1º=�/180 rad 
Minuto ’ 1’=(1/60)º=(�/10800) rad 
Segundo ” 1”=(1/60)’=(�/648000) rad 
Área Hectárea ha 1 ha=1hm2=104 m2 
Volumen Litro L, l 1 L=1 dm3=103cm3=10-3m3 
Masa Tonelada t 1 t=103 kg 
 
 
R
dS.=
R
Sd=d
22
θcos′Ω 1.18 
 ��٠S 2R
dS.= θcos 1.19 
FÍSICA BÁSICA PARA INGENIEROS 
26 
 Existen unas unidades múltiplos o submúltiplos de las internacionales con nombre 
propio, algunas de las cuales se encuentran en la tabla IV 
Tabla IV 
Unidad Nombre con prefijo Relación 
Micra (�) micrómetro (�m) 10-6 m 
milimicra (m�) nanómetro (nm) 10-9m 
�ngströn (�) 10-10 m 
Fermi femtométro (fm) 10-15m 
bar megabaria (Mbaria) 105 Pa 
 Además habrá que incluir las unidades obtenidas experimentalmente y por último 
las unidades de uso en sectores especializados, como las indicadas en la tabla V 
Tabla V 
Magnitud Unidad Nombre Simbolo equivalencia 
Distancia Milla naútica M 1M=1852 m 
Área de las fincas área A 1 a = 102 m2 
Potencia sistema ópticos dioptría 1 dioptría = 1 m-1 
Masa de las piedras preciosas quilate métrico 1 quilate métrico=2.10-4 kg 
Masa longitudinal de las fibras textiles tex Tex 1 tex =10-6 kg.m-1 
Velocidad nudo Kn 1 kn =(1852/3600) m/s 
Presión sanguínea y otros fluidos mm de mercurio mm Hg 1 mm Hg = 133322 Pa 
Sección eficaz barn B 1 b = 10-28 m2 
1.10. SISTEMAS TÉCNICOS DE UNIDADES 
Los sistemas técnicos de unidades, aunque tienden a desaparecer, todavía se utiliza 
en las tecnologías, las magnitudes mecánicas fundamentales de estos sistemas son 
LA MAGNITUD FÍSICA Y SU MEDIDA
27
longitud, fuerza, y tiempo, apareciendo la masa como magnitud derivada, siendo su 
ecuación de definición: 
De entre los sistemas acordes de unidades cabe destacar el Sistema técnico 
decimal de Unidades y el sistema inglés. 
El sistema técnico decimal toma como unidades mecánicas fundamentales el metro 
como unidad de longitud; el kilogramo como unidad de fuerza; y el segundo como 
unidad de tiempo. El kilogramo se define como el peso del kilogramo patrón en un 
punto en que la aceleración de la gravedad sea la normal, por acuerdo adoptado en la 
13ª conferencia general de pesas y medidas celebrada en 1968, se toma como valor 
normal el de la gravedad en Postdam (latitud 52029' Norte), es decir, g=9'81260 m.s-2, 
se eligió Postdam por estar situado en ella uno de los más destacados laboratorios de 
medidas gravitatorias. 
La relación entre el kilogramo y el Newton se deduce fácilmente, puesto que: 
El peso en Postdam de una masa de 1 Kg será: 
a) Sistema técnico decimal: P= 1 kg
b) Sistema internacional: P=m.g=1x9'81=9'81 N 
De donde: 
En el sistema técnico, la unidad de masa no tiene nombre especial, denominándola 
unidad técnica de masa (UTM) y de la ecuación de definición se tiene: 
a
f=m 1.20 
81N9=kg 1 ′ 1.21 
kg 819=
m.s 1
kg.m.s 819=
m.s 1
N 819=UTM 1
m.s 1
kg 1=UTM 1
′′′
−
−
−
−
2
2
2
2
1.22 
FÍSICA BÁSICA PARA INGENIEROS 
28 
Es decir, la UTM es 9'81 veces más grande que la masa de 1 kg. 
En algunos textos la unidad kilogramo cuando se trata de la magnitud fuerza se le 
denomina kilopondio, o kilopeso. La unidad de trabajo se le denomina kilográmetro 
(kgm) (también se conoce dicha unidad como kilopondímetro). 
El sistema inglés es el utilizado principalmente en el mundo anglosajón. Sus 
unidades mecánicas fundamentales son: el pie, 1 ft=0'3048 m para la longitud; la libra, 
1 Lb=0'45359 kg para la fuerza; y el segundo como unidad de tiempo. El slug como 
unidad de masa es la unidad derivada con nombre especial, 1 slug = 1'488 UTM = 
14'59 kg = 32'174 lb. 
1.11. OTRAS UNIDADES MECÁNICAS 
Existen otras unidades utilizadas con frecuencia pero que no pertenecen a ninguno 
de los sistemas mencionados anteriormente, en el apéndice 2 se encuentran las 
equivalencias más frecuentes, de ellas se destacan las siguientes: 
- Unidades de longitud 
La pulgada: 1 pulg = 0'0254 m 
La milla: 1 mi = 1609 m 
La Yarda: 1 yd = 3 ft = 0'9144 m 
- Unidades de área 
El acre: 1 acre = 43560 ft2 = 4046'86 m3 
- Unidades de volumen 
El cuartillo: 1 qt = 946.10-6 m3 
El galón británico: 1 galón br= 4'49661.10-3 m3 
El galón (E.E.U.U.): 1 galón = 3'785.10-3 m3 
- Unidades de velocidad 
El kilómetro/hora: 1 km.h-1 = 0'2778 m.s-1 
La milla/hora: 1 mi.h-1 = 1'467 ft.s-1 = 1'609 km.h-1 = 0'447 m.s-1 
LA MAGNITUD FÍSICA Y SU MEDIDA 
 
 
 29
 
- Unidades de fuerza 
 
La tonelada (EEUU): 1 ton = 907'2 kg= 8896'91 N 
La tonelada grande: 1 tgrande = 1016 kg = 9964'52 N 
La onza: 1 oz= 0'0625 lb = 0'02835 kg = 0'278 N 
 
- Unidades de energía 
 
La caloría: 1 cal = 4'186 J 
La unidad térmica británica: 1 BTU =778 ft.lb =1055 J 
El kilovatio hora: 1 kw.h = 3'6.106 J 
El electrón voltio: 1 eV = 1'602.10-19 J 
- Unidades de Potencia 
 
El caballo de Vapor: 1 CV = 75 kgm.s-1 = 735'75 W 
El caballo fuerza: 1 HP = 550 ft.Lb.s-1 = 1'01387 CV = 76'04 kgm.s-1 = 
 = 745'95 W 
 
- Unidades de Presión 
 
La libra.pulgada-2: 1 lb.pulg-2=6895 Pa 
La atmósfera: 1 at = 101321'6 Pa 
La atmósfera técnica: 1 kg.cm-2 = 98100 Pa 
El metro columna de agua: 1 mH2O = 9810 Pa 
El torricelli: 1 torr = 133'3179 Pa 
 
 
 
1.12. ERRORES DE MEDICIÓN 
 
En todas las ciencias aplicadas se trabaja con datos numéricos adquiridos con 
medidas y observaciones que nunca son totalmente precisas; como causa de que tanto 
los instrumentos de medida no son perfectos, como que los sentidos no son absoluta-
mente perspicaces. Por otra parte, en muchas ocasiones participan en las fórmulas 
números irracionales, como 2 , �, e, etc., que no pueden tomarse con todas las cifras, 
FÍSICA BÁSICA PARA INGENIEROS 
30 
sino que se deben simplificar, quedando limitada su introducción a cierto número de 
cifras decimales. Todo esto condiciona los resultados, que, por tanto, no serán precisos 
y estarán afectados de cierta incertidumbre que se hace necesario determinar en cada 
caso, pues ésta señala la calidad de la medida efectuada, y debe seguir al resultado en 
todos los casos. Por ejemplo, no es lo mismo facilitar el resultado de una pesada en la 
siguiente manera 4'24±0'01 g que en esta otra: 4'240±0'001 g, pues la primera expresa 
que la pesada posee una cifra decimal garantizada, mientras que la segunda tiene dos. 
En ambos casos ±0'01 g y ±0'001 g definen respectivamente, la incertidumbre de las 
medidas. La aproximación con que se ha de realizar una medida, es decir, la 
incertidumbre del resultado, es función del fin que se desee y del origen mismo de la 
medida, pero, en último término, lo interesante es preverla de antemano, como error 
máximo que puede vincular al resultado. 
Saber el error que se incurre en una medida tiene también una gran importancia 
para decidir el mínimo número de cifras decimales que hayque conservar de un 
número irracional para evitar cálculos desagradables e inservibles. 
1.12.1. CLASIFICACIÓN DE LOS ERRORES 
Los errores se pueden clasificar según su causa: en sistemáticos y accidentales; 
según su expresión en absolutos y relativos. 
1.12.1.1. Sistemáticos y accidentales 
Los errores sistemáticos están causados por un vicio del aparato de medida o por 
una propensión equivocada del observador, y por tanto se muestran siempre en un 
sentido; sólo se pueden evidenciar cambiando de instrumento de medida o de 
observador. 
Los errores accidentales son los provocados por pequeñas causas no cuantificables 
e imposibles de controlar, que modifican, tanto en un sentido como en otro, los valores 
encontrados. Como pueden ser, por ejemplo, minúsculas alteraciones de la 
temperatura, presión o sencillamente la imperfección de los sentidos y métodos de 
medida. Este tipo de errores, que no son evitables, se pueden nivelar asumiendo como 
medida, por ejemplo, la media aritmética de una serie de medidas. 
Los errores accidentales no pueden observarse para las medidas aisladas, ya que su 
reparto está subordinado a las leyes del azar, y sólo cabe designar un límite superior 
que está fijado por la sensibilidad de las medidas efectuadas. 
LA MAGNITUD FÍSICA Y SU MEDIDA
31
La media aritmética de una serie de medidas de una misma cantidad de una 
magnitud está afectada por un error menor que cualquiera de los resultados 
individuales. 
1.12.1.2. Errores absoluto y relativo 
Un error de un centímetro incurrido en la medida de una longitud de algunos 
centímetros es inaceptable, mientras que el mismo error al medir la distancia entre dos 
puntos de una carretera que distan varios kilómetros carece de importancia. De ahí la 
necesidad de considerar el error absoluto y relativo de una medida. 
Se denomina error absoluto propio de una medida, o de un número real 
aproximado, a la diferencia, con su signo, entre el valor aproximado, y el que se 
estime como correcto puesto que el valor exacto es desconocido: 
En la práctica, como se ha mencionado anteriormente, se toma como correcto el 
valor medio de un gran número de observaciones o simplemente se asigna al error ab-
soluto un cierto valor o cota superior (o se opta por la menor cantidad capaz de ser 
medida con el utensilio empleado). Por ejemplo, cuando se mide una longitud con una 
regla graduada en milímetros se admite que ��i��0'001 m, o cuando se toma el
número �=3'1415927, se sabe que �����0'0000001.
Como se ha apuntado, el error absoluto no es útil para apreciar el grado de 
aproximación o exactitud de una medida; por ello es obligatorio acudir al error relati-
vo, que se define como el valor absoluto del cociente de dividir el error absoluto por el 
valor de la magnitud, o número exacto que se mide: 
La segunda igualdad de 1.24 se entiende que es para valores positivos de la medida 
o número exacto.
Como el valor exacto es, en general, desconocido se calcula el límite superior del 
error relativo dividiendo la cota del error absoluto por el número que resulta sustitu-
yendo por ceros todas las cifras que siguen a la primera significativa del número 
x-x=x= iii Δε 1.23 
x
=
x
= iiri
εεε 1.24 
FÍSICA BÁSICA PARA INGENIEROS 
 
 
 32 
aproximado. Así, por ejemplo, el error relativo cometido al tomar el número con 
cuatro cifras decimales será: 
 
 
Frecuentemente, los errores relativos se exponen en porcentaje. El resultado 
anterior sería de un 0'005 %. 
 
 
1.12.2. CÁLCULO DEL ERROR EN LAS MEDIDAS INDIRECTAS 
 
Muchas veces se plantea el problema de averiguar el error cometido en la 
determinación de una cantidad de una magnitud cuando, no siendo posible medirla 
directamente, se ha recurrido a la medida de otras ligadas a aquélla por una expresión 
conocida. Para resolverlo hay que conocer los límites de error de las magnitudes que 
se miden y aplicar el cálculo infinitesimal, hallando la diferencial de función, 
considerando los errores como diferenciales, o incrementos físicamente pequeños. Sea 
la función z=f(x, y, ...), entonces: 
y asimilando las diferenciales a errores de medida: 
 
se obtiene la expresión fundamental del cálculo de errores en las medidas indirectas; 
en ella �x, �y, ..., representan los errores absolutos cometidos en la medida de x, y, ..., y 
�z el error absoluto de que vendría afectada la determinación de z. 
 
En algunos casos se puede utilizar la derivada logarítmica de la función, 
especialmente cuando se trata de funciones monomias. 
 
Sea f una función monomia, de forma que z=k.x	.y
...., donde k es un coeficiente 
real, y los exponente 	, 
 ... son números racionales, entonces: 
 000050=
00002
00010
71832
00010=r ′′
′
≈
′
′
ε 1.25 
 ...+.dy
y
f+.dx
x
f=dz
∂
∂
∂
∂ 1.26 
 +...|.
y
f|+|.
x
f=| yxz εεε ∂
∂
∂
∂ 1.27 
LA MAGNITUD FÍSICA Y SU MEDIDA
33
y diferenciando, y asimilando las diferenciales a errores de medida: 
Donde se obtiene que para dicho tipo de funciones resulta muy fácil obtener el 
error relativo de la magnitud a determinar, para que el coeficiente k no aumente los 
errores inevitables, se elige dicho coeficiente con un número de cifras decimales tal 
que su error relativo sea mucho menor que el error relativo producido por las 
magnitudes, normalmente se impone que el error relativo de los números aproximados 
sea menor que la décima parte del error relativo total que se obtiene por las 
magnitudes, es decir: 
Por ejemplo para determinar el valor que hay que tomar de � si �r�<0'005, ��<0'005.3=0'015 (3 
primera cifra significativa), y por tanto basta con tomar ��=0'01, lo que implica �=3'14±0'01, puesto 
que el error relativo que se comete es �r� = 1/300 = 0'0033 < 0'005. 
1.12.3. TEORÍA DE ERRORES: CURVA DE GAUSS 
Cuando se realizan un gran número de medidas de una misma cantidad de una 
magnitud, los errores individuales de cada medida se distribuyen entre una gran 
diversidad de valores; todos los errores son posibles, aunque siempre son menos 
probables, es decir, menos frecuentes, los de mayor valor absoluto. 
...+y .+x .+k =z lnlnlnln βα 1.28 
...+.||+.||+=
yxkz
...+
y
dy.+
x
dx.+
k
dk=
z
dz
rrrr
yxkz
yxkz εβεαεε
ε
βεαεε
βα
..... +++= 1.29 
...)+.||+.|1.(|0< rrr yxk εβεαε ′ 1.30 
FÍSICA BÁSICA PARA INGENIEROS 
 
 
 34 
Si se representa el número de veces en que el error se encuentra en cada uno de los 
distintos intervalos, o más correctamente, la probabilidad o frecuencia relativa 
n/N=f(�) de cada error, en función del error absoluto (�), se obtiene una curva en 
forma de campana, mucho más 
perfecta y continua a medida que 
aumente el número de medidas 
realizadas. Esta curva, conocida 
como curva de Gauss (Gau�), está 
representada en la figura 1.3; la 
curva b pertenece a un buen con-
junto de medidas, es decir, con 
pequeña dispersión, mientras que 
la a representa una serie con 
mayores errores, o sea, la dis-
persión es mayor. 
 
La curva de Gauss, o de 
distribución normal de los erro-
res, tiene una ecuación que no se 
deducirá en esta asignatura, la 
cual se expresa por: 
 
Lógicamente f(�).d� es la frecuencia o probabilidad de que una medida individual 
tenga un error comprendido entre �-d�/2 y �+d�/2; como la probabilidad de que el 
error tome algún valor, es decir, esté comprendido entre -� y +�, es la unidad, debe 
cumplirse que: 
 
 
El parámetro h define la mayor o menor altura del valor central de la curva que será 
el máximo y, por tanto, da una idea de la precisión de las medidas; cuanto mayor sea h 
mayor será la altura de la ordenada máxima, lo que significa que en el conjunto de 
medidas sólo son muy probables los errores pequeños. 
 
 
Figura 1.3 
 1=).df(�
+∞
∞−
εε 1.32 
 e.
2.
h=)f(=
N
n
2
)(h. 2ε
π
ε 1.31 
LA MAGNITUD FÍSICA Y SU MEDIDA
35
El valor de �p para el cual 
50=).df(p
p
′� εεεε se denomina 
error probable, es el error para el 
que son igualmente probables los 
errores superiores y los inferiores a 
él. Es decir en la figura 1.4, las á-
reas oscuray semioscura son 
iguales. Dicho error probable está 
relacionado con el parámetro h de 
la curva por: h.�p=0'674438 
Habitualmente se expresa la 
calidad de una serie de medidas 
recurriendo al error medio ε y al 
error standard �, el primero es la 
media de los valores absolutos de 
los errores: 
Se define la varianza de un conjunto de errores, �2, como la media de los cuadrados 
de los errores 
Es decir 
h
1=σ , y por tanto 1.31 se puede expresar: 
Figura 1.4 
.h2.
2=.de.
2.
h.=
N
||n.= 2
)(h.-+
-
2
π
ε
π
εεε
ε
�
� ∞
∞ 1.33 
h
1=
N
n.= 2
2
2 εσ
� 1.34 
e.
.2.
1=)f(=
N
n
2
)(
-
2
2
σ
ε
σπ
ε 1.35 
FÍSICA BÁSICA PARA INGENIEROS 
 
 
 36 
llamando fn a la distribución normal de varianza unidad, y denominado z=�/� se tiene: 
 
Así, para expresar la calidad de las medidas, se emplea el error standard; de 
cualquier forma, hallado uno de los parámetros característicos de la curva de Gauss (h, 
�p, ε , �2 o �) se pueden obtener los demás. Por ejemplo dado que el cálculo del error 
medio es muy sencillo, se suele deducir de éste el standard: 
 
El error standard, goza de un sentido práctico que lo hace muy interesante para 
determinar la calidad de la serie de medidas; la probabilidad de que una medida, tenga 
un error individual comprendido entre ±� es del 68 %; la de que esté incluido entre 
±2.�, es del 98 % y, sólo hay una probabilidad del 0'3 % de que el error se salga del 
límite marcado por ±3.� 
 
 
1.13. ECUACIONES DIMENSIONALES 
 
El Barón Jean Batiste Fourier (1768-1830) aplicó a las magnitudes físicas la idea 
geométrica de dimensión, y por ello se le debe admitir como el precursor del Análisis 
dimensional. 
 
En su obra "Théorie Analytique de la Chaleur" fija de un modo claro y rotundo el 
concepto de dimensión. 
 
Los conceptos desarrollados por Fourier fueron aprovechados con gran éxito a 
finales del siglo XIX por Osborne Reynolds (1842-1912), Lodge, Fitzgerald, 
Rücker, Jean y muy especialmente por Lord Rayleigh (J. W. Strutt) (1842-1919). 
Primero fueron aplicadas para probar la homogeneidad de las ecuaciones con el fin de 
descubrir errores de cálculo, y posteriormente, se empleó el Análisis dimensional, por 
idea de Rayleigh, a la determinación de problemas cuyo tratamiento directo presentaba 
dificultades matemáticas insuperables. Lord Rayleigh utilizó por primera vez las 
magnitudes con exponentes adimensionales en la mecánica de fluidos y es por lo que 
se le considera junto a Fourier, cofundador del análisis dimensional. 
 
 
σπσ
ε (z)f=e.
2.
1.1=)f(=
N
n n
2
z-
2
 1.36 
 εεπσ 25.1=.
2
= ′ 1.37 
LA MAGNITUD FÍSICA Y SU MEDIDA
37
Las ecuaciones de dimensiones, facultan para decir, como varía cada una de las 
unidades derivadas de un sistema acorde, cuando varían las unidades fundamentales. 
Sea, la ecuación de definición de la magnitud A, siendo K un número puro: 
Admitiendo un sistema cualquiera de unidades, en que las unidades de A, B, C, y D 
son respectivamente (A1), (B1), (C1) y (D1), unas cantidades de esas magnitudes serán 
(A)=a1.(A1), (B)=b1.(B1), (C)=c1.(C1), (D)=d 1.(D1); si el sistema es acorde ha de 
verificarse: 
Con otras unidades (A 2), (B 2), (C 2) y (D 2), las mismas cantidades de esas 
magnitu-des serán (A)=a2.(A2), (B)=b 2.(B 2), (C)=c 2.(C 2), (D)=d 2.(D 2) y si estas 
unidades también son de un sistema acorde, que tiene, en un principio, el mismo 
sistema particular de ecuaciones de definición que el anterior, se ha de verificar: 
resultando: 
o sea:
lo que se expone por la ecuación: 
δγβ DCK.B=A .. 1.38 
δγβ
111 .. dcK.b=a1 1.39 
δγβ
2222 .. dcK.b=a 1.40 
δγβ
�
�
�
�
	
�
�
�
�
	
�
�
�
�
	
2
1
2
1
2
1
2
1 .
d
d
c
c.
b
b=
a
a 1.41 
( )
( )
( )
( )
( )
( )
( ) δγβ
�
�
�
�
	
�
�
�
�
	
�
�
�
�
	
1
2
1
2
1
2
1
2 .
D
D
C
C.
B
B=
A
A 1.42 
].[D].[C][B=[A] δγβ 1.43 
FÍSICA BÁSICA PARA INGENIEROS 
38 
que conforma la ecuación dimensional inmediata de la magnitud A en función de las 
B, C y D, esto es, una ecuación simbólica que declara como se modifica su unidad en 
un sistema acorde, al variar las unidades de las B, C y D que participan en su ecuación 
de definición. 
Puede ser que estas B, C y D no sean las fundamentales, pero si se han hallado por 
otro procedimiento (sus ecuaciones de definición reiteradamente), las dimensiones de 
B, C y D: 
Las ecuaciones dimensionales se podrían considerar, de la observación de 1.43 y 
1.44, ecuaciones entre expresiones algebraicas. Sin embargo, se debe considerar que 
las ecuaciones de dimensiones no son ecuaciones físicas, es decir, no relaciona 
cantidades de magnitudes; por ejemplo, de la ecuación de definición para la presión: 
p=F/S, resulta la ecuación de dimensión: 
pero esta no puede considerarse como una ecuación física y deducir que cuando un gas 
está sometido a una presión p la longitud recorrida por una molécula gaseosa de masa 
M durante un tiempo T es L=M/(p.T2). Por esto, para que estos símbolos no se confun-
dan con las magnitudes se les enmarca con un paréntesis cuadrado. 
 Existen en la física unidades adimensionales, algunas de ellas ya han aparecido a lo 
largo de la lección, tales como las magnitudes ángulo plano y ángulo sólido, además 
de estas otras magnitudes adimensionales se encuentran tabuladas en la tabla VI. De 
ellas cabe indicar que algunas magnitudes adimensionales su unidad es la 
correspondiente a una cantidad concreta de una sustancia, así por ejemplo la densidad 
relativa de un fluido la unidad es la densidad del agua a 1 atmosfera de presión y 4ºC, 
o magnitudes eléctricas relativas cuya unidad es la correspondiente al vacío, existen
otras unidades que no corresponden a ninguna magnitud, tales como el Belio o el 
Neper, aunque principalmente se utiliza para la primera la unidad submúltiplo 
decibelio (dB). 
[ ] [ ] [ ] [ ] [ ] [ ] [ ] [ ]
[ ] [ ] [ ] [ ]
[ ] [ ] [ ] [ ] ccbccbccb
ddd
cccbbb
TMLA
TMLD
 TMLCTMLB
τδτγτβμδμγμβλδλγλβ
τμλ
τμλτμλ
......... ..
..
;..;..
++++++=
=
==
1.44 
[ ] [ ] [ ][ ] 21 .. −−= TMLp 1.45 
LA MAGNITUD FÍSICA Y SU MEDIDA 
 
 
 39
 
Tabla VI 
 
Magnitud Unidad Definición 
Densidad relativa* 
Para sólidos y líquidos la 
densidad del agua a 4º C 1 atm. 
Para gases la del aire a 0ºC y 1 
atm 
 
Peso específico* 
Para sólidos y líquidos el peso del 
agua a 4º C 1 atm. Para gases el 
del aire a 0ºC y 1 atm 
 
Permitividad relativa* La permitividad del vacío 
 
Permeabilidad relativa* La permeabilidad del vacío 
índice de refracción (no tiene) 
 
Susceptibilidad electrica (no tiene) 
Susceptibilidad 
magnética (no tiene) 
 
Logaritmo decimal de 
un cociente** Belio (B) 
 
Logaritmo neperiano de 
un cociente** Neper (Np) 
 
* No se expresa mediante unidad a pesar de tener una. 
** Es aplicable a diversas magnitudes, no pertenece a ninguna magnitud en concreto. 
 
 
1.14. CAMBIO DE UNIDADES 
 
Se desea determinar una cantidad de masa y una distancia, para ello dos operadores 
distintos miden dichas cantidades expresando su resultado en los sistemas fps y cgs, 
respectivamente, el primer operador, da como longitud d=l1 ft, y m=m1 lb, el segundo 
operador indica que d=l2 cm, y m=m2 g. Al considerar las palabras "pies", 
OH2
'
ρ
ρρ =
''
2
ρ
γ
γγ ==
OH
0ε
εε =r
0
'
μ
μμ =
v
cn =
1−= re εκ
1'−= μκ
��
�
��
�
�
=
OI
IB log1
��
�
��
�
�
=
OI
IB log1
FÍSICA BÁSICA PARA INGENIEROS 
40 
"centímetros", "libras" y " gramos" como símbolos algebraicos, tal como x e y en una 
ecuación, por ejemplo, x=567'3.y 
Utilizando esta analogía se sustituye ft por 30'48 cm y lb por 453'6 g, obteniéndose 
así, 
Así el cambio de unidades es un simple problema algebraico, suponiendo a los 
símbolos de las unidades, como cantidades algebraicas, que han de sustituirse en 
función de otras con las que observan una relación conocida o fácilmente deducible. 
Este procedimiento de cambio de unidades puede denominarse método simbólico, 
puesto que se considera a los nombres de las unidades como símbolos,y se operan con 
ellos como si fuesen entes algebraicos. Siempre se pueden comprobar los resultados 
obtenidos por este método, considerando medidas de la misma magnitud, en cada uno 
de los sistemas de unidades. 
También se pueden realizar los cambios por multiplicación o división tantas veces 
como unidades que intervengan, por la relación entre unidades, este procedimiento es 
más pesado, pero se suelen cometer menos errores. Por ejemplo, para expresar 1 kW.h 
en Ergios, basta con: 
m536.4=m ;l048.3=l
)gm(453,6.=536g4.m=.lbm=m
)cml048.3(=048cm3.l=.ftl=d
1212
111
111
′′
′
′′
1.46 
erg=
W.s
erg..
h
s..
kW
W.kW.h.=kW.h
W.s
erg.= ;
h
s.= ;
kW
W.=
erg=J s;=h W;=kW
1273
73
73
10.361036001011
10136001101
10136001101
1.47 
LA MAGNITUD FÍSICA Y SU MEDIDA
41
Las ecuaciones de dimensiones son aplicables al cambio de unidades, si se combina 
el método simbólico con la notación dimensional se tiene un método muy provechoso 
para cambiar de unidades con cualquier magnitud física. Por ejemplo, se quiere 
expresar la unidad de fuerza del sistema fps, es decir, el poundal en función de la 
unidad del sistema cgs, o sea, la dina. 
Como ambos sistemas de unidades mecánicas tienen las mismas ecuaciones de 
definición (ambos son sistemas físicos), las dimensiones de la fuerza son [M].[L].[T]-2, 
y por tanto, 1 poundal = 1 lb.ft.s-2, sustituyendo el pie y la libra, se tendrá: 
Así el método general no presenta vacilaciones. Para cambiar la medida de 
cualquier magnitud física, de uno a otro sistema de unidades, bastará con ver cuales 
son las dimensiones de dicha magnitud física y las relaciones entre las unidades 
fundamentales entre los dos sistemas de unidades. Entonces, las relaciones entre las 
unidades funda-mentales de ambos sistemas se tratan como relaciones algebraicas, con 
ello, la transformación se lleva a cabo por simple sustitución. 
1.15. LEY DE HOMOGENEIDAD 
Sea una expresión física abreviada en la expresión: 
donde A y B son expresiones monomias F=m.a donde A representaría a la Fuerza, y B 
al producto de la masa por la aceleración. 
Si la expresión física es una expresión mecánica, las dimensiones del primer 
miembro, ordinariamente, serán: 
y las del segundo miembro 
dinscmgcm.sg..poundal 13826..1382648'306'45311 22 === −− 1.48 
B=A 1.49 
].[T].[M][L=[A] γβα 1.50 
].[T].[M][L=[B] τμλ 1.51 
FÍSICA BÁSICA PARA INGENIEROS 
42 
Realizando una medición de una cantidad y tomando un cierto sistema de unidades, 
acorde con el sistema de ecuaciones de definición elegido previamente, sean a1 y b1 los 
medidas resultantes de efectuar operaciones en A y en B; con dichas medidas, se 
verificará: 
Sea otro sistema de unidades idénticamente acorde, pero que se distingue del 
primero en que su unidad de longitud sea 
 veces menor, su unidad de masa sea � 
veces menor y su unidad de tiempo sea � veces menor, es decir: 
Siendo a2 y b2 las medidas resultantes de efectuar operaciones en A y en B, en este 
segundo sistema de unidades, se tiene: 
Denominando U ,U AA 21 a las unidades del primer miembro y U,U BB 21 a las de la 
magnitud que representa el segundo miembro, tanto en el primero como en el segundo 
sistema de unidades empleadas, resulta: 
Si para simplificar se supone 
=� y �=�, y de 1.52 y 1.54, imprescindiblemente se 
ha de cumplir que 	=�, concluyéndose que, para que las ecuaciones físicas sean 
independientes del sistema acorde de unidades empleado, es indispensable que sus dos 
miembros sean homogéneos respecto a todas las magnitudes fundamentales. Esta ley 
de homogeneidad autoriza declarar que, hay error en toda ecuación que no sea 
b=a 11 1.52 
ζεδ
U=U ;
U=U ;
U=U TT
M
M
L
L
1
2
1
2
1
2
1.53 
b=a 22 1.54 
12
1
2 .b..b..
2
1
2
1
2
1
2
1 τμλ
τμλ
ζεδ=��
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
==
T
T
M
M
L
L
A
A
U
U
U
U
U
U
U
U
b
b 1.56 
12
1
2 .a..a..
2
1
2
1
2
1
2
1 γβα
γβα
ζεδ=��
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
==
T
T
M
M
L
L
A
A
U
U
U
U
U
U
U
U
a
a 1.55 
LA MAGNITUD FÍSICA Y SU MEDIDA
43
homogénea. 
También se puede razonar de la ley de homogeneidad que, en Física, todo 
exponente es adimensional. Por ejemplo sea: 
Expresión que indica que, la intensidad de corriente que circula por un circuito 
inductivo, de constante de tiempo �, en función del tiempo trascurrido desde que se 
cierra el circuito, aplicando la ley de homogeneidad se tiene: 
luego la constante de tiempo del circuito se medirá en s en el S.I. 
La ley de homogeneidad también permite discurrir fórmulas sencillas y monomias, 
salvo constantes de proporcionalidad. 
Finalmente, hay que indicar que las constantes universales o características, que 
participan en determinadas leyes físicas, pueden gozar de dimensiones, a pesar de que 
las primeras no son magnitudes. Por ejemplo, la ecuación de dimensiones de la cons-
tante de gravitación universal G es: 
e.R
=i
t-
τ
ε 1.57 
[ ] [ ] [ ] [ ] [ ] [ ] [ ] [ ]TITMLT =�=− ττ 00001 .... 1.58 
].[T].[L][M=
][M
].[L][M].[L].[T=
][M
][F].[L=[G]
M.m
rF.=G 
r
rM.m.-G.=F
2-31-
2
22-
2
2
2
3
�
��
1.59 
FÍSICA BÁSICA PARA INGENIEROS 
44 
Resumen 
Se denomina magnitud física a todo observable que se puede medir. Se denomina 
cantidad de una magnitud al estado de esa magnitud en un objeto determinado. 
Dos cantidades de una misma magnitud se dice que son comparables cuando existe 
una definición operacional y universal. 
Para una magnitud determinada se puede elegir una cantidad como patrón, a esta 
cantidad se le denomina unidad, la comparación de cantidades de la misma magnitud 
con la unidad se le denomina medida. 
De todas las posibles relaciones entre unidades, la elección de un sistema de 
ecuaciones constituye un sistema particular de ecuaciones de definición y dicho 
sistema tendrá asociado un sistema de unidades acorde. 
Los sistemas físicos de unidades eligen como unidades fundamentales mecánicas la 
longitud, masa y tiempo, mientras que los sistemas técnicos toman la longitud, fuerza 
y tiempo. 
Las unidades fundamentales del Sistema Internacional de Unidades son para la 
longitud: el metro, para la masa: el kilogramo, para el tiempo: el segundo, para la 
temperatura: el Kelvin, para la intensidad de corriente eléctrica: el Amperio, para la 
cantidad de materia: el mol, para la intensidad luminosa: la candela. 
En todas las ciencias aplicadas se trabaja con datos numéricos adquiridos con 
medidas y observaciones que nunca son totalmente precisas. 
Las ecuaciones de dimensiones, facultan para decir, como varía cada una de las 
unidades derivadas de un sistema acorde, cuando varían las unidades fundamentales. 
Dichas ecuaciones son simbólicas. 
La ley de homogeneidad indica que hay error en toda ecuación cuyos miembros 
tienen distintas dimensiones. 
LECCIÓN 2
SISTEMAS DE VECTORES
47
Objetivos
1. Recordar los conceptos de vector y momento de un vector.
2. Repasar las operaciones con vectores y funciones vectoriales.
3. Saber determinar la resultante de un sistema de vectores.
4. Analizar la importancia de determinar la resultante de un sistema de vectores. 
5. Conocer el momento resultante de un sistema de vectores en un punto. 
6. Determinar el campo de momentos de un sistema de vectores.
7. Adquirir la idea de momento áxico.
8. Estudiar el concepto de torsor en un punto, su importancia y aplicación. 
9. Relacionar el Eje Central de un sistema de vectores, con la línea de acción de un
vector deslizante.
10. Saber obtener un sistema de vectores equivalente más sencillo.
Contenido
2.1. Álgebra vectorial. 
2.2. Funciones vectoriales. 
2.3. Momento de un vector. 
2.4. Resultante general y momento resultante. 
2.5. Invariantes del sistema. 
2.6. Momento áxico de un sistema. Carácter equiproyectivo del campo de momen-
tos. 
2.7. Eje central de un sistema de vectores. 
2.8. Pares. 
2.9. Equivalencia de dos sistemas de vectores. Clasificación de los sistemas de 
vectores. 
2.10. Algunos sistemas de vectores.Teorema de Varignon. 
2.10.1. Sistemas de vectores coplanarios. 
2.10.2. Sistemas de vectores deslizantes concurrentes. 
2.10.3. Sistemas de vectores deslizantes paralelos. 
2.10.4. Sistemas de vectores localizados paralelos. 
 
 
 
 49
2.1. ÁLGEBRA VECTORIAL 
 
Dado que una gran parte de las magnitudes físicas son de carácter vectorial, se hace 
imprescindible recordar las leyes que gobiernan las operaciones entre vectores, pues el 
empleo de las magnitudes físicas vectoriales se hace a través de los vectores que las 
representan, con lo que se alcanza una mayor exactitud en la interpretación de los 
fenómenos y una gran facilidad de trabajo. 
 
Los vectores respecto a su aplicación se pueden clasificar en libres, deslizantes y 
fijos, y en cuanto a su forma de actuar en polares (como la velocidad, fuerza, etc.) o 
axiales a las magnitudes vectoriales a las que hay que asignar un sentido por 
convenio, entre las que se encuentran la velocidad angular, la aceleración angular, el 
momento de un vector, etc. 
 
Todo vector pertenece a un espacio vectorial. Se denomina base del espacio 
vectorial a todo sistema generador mínimo, al número de vectores que constituyen una 
base del espacio vectorial se le denomina dimensión del espacio vectorial, luego una 
base constituye un sistema de vectores linealmente independiente dentro del espacio 
vectorial considerado; dado un espacio de tres dimensiones, elegida una base, 
cualquier vector se puede expresar de forma única mediante: 
llamándose a los escalares λ1, λ2, λ3, componentes del vector en el espacio 
considerado. Cuando los vectores de la base representan la misma cantidad unidad y 
son ortogonales entre sí, la base se denomina base ortonormal. Todo espacio 
vectorial tridimensional queda definido por ternas de vectores no coplanarios que 
forman un triedro, la terna que se utilizará será una terna característica a derechas y 
ortonormal que denominaremos por k ,j ,i

, Definiéndose los ejes x, y, z a las rectas 
concurrentes en un punto O y paralelas a cada uno de los vectores de la base 
ortonormal, a todo vector unitario se le denominará versor. 
 
Dado un vector cualquiera se denomina componentes del mismo a sus 
proyecciones sobre las direcciones de los ejes coordenados de referencia (x, y, z). 
 
A cada vector le corresponde una terna de componentes única y recíprocamente 
cada terna de componentes designa un solo vector. De esto se tiene que un vector se 
expresa mediante sus tres componentes (ax, ay, az). Concretamente los vectores de la 
base se expresarán 
 1 2 3V = .a + .b + .cλ λ λ
   2.1 
FÍSICA BÁSICA PARA INGENIEROS 
50 
El módulo del vector es el valor de la diagonal de un paralelepípedo recto 
rectangular cuyas aristas son las componentes del vector, es decir 
Los cosenos directores de la dirección de un vector, son los cosenos de los ángulos 
que la dirección del vector forma con los ejes del sistema de referencia y se 
denominan respectivamente 	x, 	y, 	z; o también 	, 
, �; sus valores son: 
En un versor, las componentes coinciden con los cosenos directores, de donde se 
puede determinar los cosenos directores de una dirección hallando el vector unitario 
de la misma. teniendo en cuenta 2.3 se obtiene una importante relación entre los 
cosenos directores 
La suma de vectores, tiene las siguientes propiedades: conmutativa, asociativa, 
elemento neutro (vector nulo), y vector opuesto. 
La suma analítica de vectores se realiza a partir de las componentes, sean los 
vectores: 
k1.+j0.+i0.=k ;k0.+j1.+i0.=k ;k0.+j0.+i1.=i
(0,0,1)=k (0,1,0);=j (1,0,0);=i
������������
���
2.2 
a+a+a=a|=a| 2z2y2x
� 2.3 
a
a= ;
a
a= ;
a
a= zz
y
y
x
x ααα 2.4 
ααα 2z2y2x ++=1 2.5 
k.a+j.a+i.a=a 
................... 
k.a+j.a+i.a=a
k.a+j.a+i.a=a
nnnn
2222
1111
zyx
zyx
zyx
����
����
����
2.6 
SISTEMAS DE VECTORES
51
sumando miembro a miembro y teniendo en cuenta la ley asociativa de las suma de 
vectores y de acuerdo con la ley distributiva respecto a la adición de escalares del 
producto de un vector por un escalar, resulta 
El producto de un escalar por un vector tiene las propiedades: distributiva respecto 
a los vectores, distributiva respecto a los vectores, asociativa respecto a los escalares, 
existe el escalar neutro �=1, existe el escalar indepotente �=0 y vector opuesto. 
La expresión analítica del producto de un vector por un escalar será en 
consecuencia: 
es decir, el vector producto de uno dado por un escalar tiene por componentes el 
producto de la respectiva componente del vector dado por el escalar. 
El producto escalar de dos vectores tiene las propiedades: conmutativa, asociativa 
respecto a la multiplicación por un escalar, distributiva respecto a la suma vectorial, 
existen divisores de cero (el producto escalar de dos vectores distintos de cero puede 
ser nulo), el producto escalar no es asociativo, el producto escalar de un vector por si 
mismo es la norma del vector y también la propiedad triangular. 
La expresión analítica del producto escalar será, teniendo en cuenta su propiedad 
distributiva respecto a la suma vectorial: 
El producto vectorial de dos vectores es otro vector perpendicular al plano 
generado por los dos primeros vectores, sentido tal que el triedro formado por el 
primer factor, el segundo y el producto sea directo y cuyo módulo es el producto de 
k).a...++a+a(+j).a...++a+a( +
+ i).a...++a+a(=a...++a+a
nz2z1zny2y1y
nx2x1xn21
��
����
2.7 
k.a.+j.a.+i.a.=)k.a+j.a+i.a.(=a. zyxzyx
������� λλλλλ 2.8 
b.a+b.a+b.a=k.k.b.a+j.k.b.a+i.k.b.a+
+k.j.b.a+j.j.b.a+i.j.b.a+k.i.b.a+j.i.b.a+
+i.i.b.a=)k.b+j.b+i.b).(k.a+j.a+i.a(=b.a
zzyyxxzzyzxz
zyyyxyzxyx
xxzyxzyx
������
����������
����������
2.9 
FÍSICA BÁSICA PARA INGENIEROS 
52 
los módulos de los vectores factores por el seno del ángulo que forman los vectores. 
Las propiedades del producto vectorial son: el producto vectorial de un vector por si 
mismo es nulo, el elemento indepotente es el vector nulo, dos vectores cuyo producto 
sea nulo son dependientes entre sí, propiedad distributiva, no es conmutativo y no es 
asociativo. 
La expresión analítica del producto vectorial teniendo en cuenta que goza de la 
propiedad distributiva: 
El producto mixto de tres vectores es el 
producto escalar del tercero por el producto 
vectorial de los dos primeros, este producto 
tiene una interpretación geométrica sencilla. 
Los tres vectores determina un paralelepípedo 
cuyo volumen es el valor del producto mixto. 
El volumen del paralelepípedo es el área 
de la base S por su altura h, siendo: 
Las propiedades del producto mixto son: El signo del producto mixto depende del 
ángulo 	, la condición necesaria y suficiente para que se anule es que los tres vectores 
sean coplanarios, el producto mixto es circularmente conmutativo, es distributivo 
respecto a los escalares y distributivo respecto a la suma. 
bbb
aaa
kji
 = ba
zyx
zyx
���
�� ∧ 2.10 
Figura 2.1 
)ba.(c=S.h=
|ba|
ba.c=.|c=|h
|ba=|S
���
��
����
��
∧
∧
∧
∧
ζ
αcos 2.11 
SISTEMAS DE VECTORES
53
La expresión analítica del producto mixto es: 
El doble producto vectorial consiste en multiplicar vectorialmente un vector al 
vector resultante de multiplicar vectorialmente otros dos vectores. 
Situados los segundos vectores en el 
plano � el vector resultante de su producto 
vectorial es perpendicular al plano. El 
doble producto vectorial por ser per-
pendicular al vector resultante del anterior 
producto vectorial, estará contenido en el 
plano y por tanto se puede expresar como 
combinación lineal de los dos vectores que 
generan el plano, es decir: 
para determinar los parámetros � y �, se descompone el vector a en dos vectores que 
son sus proyecciones ortogonales sobre el plano � y sobre su vector normal. 
Considerando la terna ortogonal formada por los vectores cb,a),cb(a 2
������ ∧∧∧ y 
sobre ella los versores k ,j ,i
���
, se puede expresar los vectores c ,b ,a �
��
 en la forma: 
aaa
ccc
bbb