Interpolación Polinomios de Lagrange - Apuntes de Ingeniería Civil

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INTERPOLACIÓN
La interpolación es de gran importancia en el
campo de la ingeniería, ya que al consultar fuentes
de información presentados en forma tabular, es
frecuente no encontrar el valor buscado como un
punto en la tabla.
Por ejemplo de la tabla que se muestra, se
presentan la temperatura de ebullición de la
acetona (𝐶3𝐻6𝑂) a diferentes presiones.
PUNTOS 0 1 2 3
T (℃) 56.5 113.0 181.0 214.5
P (Atm.) 1 5 20 40
Si se quiere aproximar de forma rápida el valor de
la temperatura de ebullición para una presión de2 𝑎𝑡𝑚ó𝑠𝑓𝑒𝑟𝑎𝑠; el cálculo sería:5 − 1113− 56,5 = 2 − 1𝑥 − 56,5
De donde: 𝑥 = 70,625 ℃
Existen otros métodos de aproximación polinomial con
mayor aproximación; entre ellos la Aproximación
Polinomial de Lagrange y de Newton.
POLINOMIOS DE LAGRANCE
Se parte de una función desconocida 𝑓(𝑥) dada en
forma tabular y se asume un polinomio de primer
grado (ecuación de una línea recta) de la forma𝑃(𝑥) = 𝑎0 𝑥 − 𝑥1 + 𝑎1 𝑥 − 𝑥0 …………… . 𝛼
Donde 𝑥1 y 𝑥0 son los argumentos de los puntos
conocidos [𝑥0, 𝑓 𝑥0 ], [𝑥1, 𝑓 𝑥1 ] y 𝑎0 y 𝑎1 son dos
coeficientes por determinar.
Para determinar el valor de 𝑎0 se hace 𝑥 = 𝑥0 en la
ecuación (𝛼), que al despejar resulta𝑎0 = 𝑃 𝑥0𝑥0 − 𝑥1 = 𝑓 𝑥0𝑥0 − 𝑥1 …………… . . 𝛽
Para hallar el valor de 𝑎1 se sustituye el valor de 𝑥 con el de 𝑥1, resultando𝑎1 = 𝑃 𝑥1𝑥1 − 𝑥0 = 𝑓 𝑥1𝑥1 − 𝑥0 …………… . . 𝜃
Al sustituir (𝛽) y (𝜃) en (𝛼) queda𝑃 𝑥 = 𝑓 𝑥0𝑥0 − 𝑥1 𝑥 − 𝑥1 + 𝑓 𝑥1𝑥1 − 𝑥0 (𝑥 − 𝑥0)
o de la forma𝑃1 𝑥 = 𝐿0 (𝑥)𝑓 𝑥0 + 𝐿1 (𝑥)𝑓 𝑥1 , donde𝐿0 (𝑥) = 𝑥 − 𝑥1𝑥0 − 𝑥1 𝑦 𝐿1 (𝑥) = 𝑥 − 𝑥0𝑥1 − 𝑥0
De igual manera para un polinomio de segundo 
grado ( ecuación de una parábola)
𝑃2 𝑥 = 𝐿0 (𝑥)𝑓 𝑥0 + 𝐿1 (𝑥)𝑓 𝑥1 + 𝐿2 (𝑥)𝑓 𝑥2 , donde
𝐿0 (𝑥) = (𝑥 −𝑥1)(𝑥 − 𝑥2)(𝑥0 −𝑥1)(𝑥0− 𝑥2) ;𝐿1 (𝑥) = (𝑥 − 𝑥0)(𝑥 − 𝑥2)(𝑥1 − 𝑥0)(𝑥1 − 𝑥2) , 𝐿2 (𝑥) = (𝑥 −𝑥0)(𝑥 − 𝑥1)(𝑥2 −𝑥0)(𝑥2 − 𝑥1)
Por inducción matemática se puede obtener
polinomios de tercer, cuarto o 𝑛 − é𝑠𝑖𝑚𝑜 grado de la
forma𝑃𝑛 𝑥 = 𝐿0 (𝑥)𝑓 𝑥0 + 𝐿1 (𝑥)𝑓 𝑥1 + …+ 𝐿𝑛 (𝑥)𝑓 𝑥𝑛
Donde: 𝐿0 (𝑥) = 𝑥 − 𝑥1 𝑥 − 𝑥2 …(𝑥 − 𝑥𝑛)𝑥0 − 𝑥1 𝑥0 − 𝑥2 …(𝑥0 − 𝑥𝑛)
𝐿1 (𝑥) = 𝑥 − 𝑥0 𝑥 − 𝑥2 …(𝑥 − 𝑥𝑛)𝑥1 − 𝑥0 𝑥1 − 𝑥2 …(𝑥1 − 𝑥𝑛)
Así sucesivamente𝐿𝑛 (𝑥) = 𝑥 − 𝑥0 𝑥 − 𝑥1 …(𝑥 − 𝑥𝑛−1)𝑥𝑛 − 𝑥0 𝑥𝑛 − 𝑥1 … 𝑥𝑛 − 𝑥𝑛−1
𝑬𝒋𝒆𝒎𝒑𝒍𝒐: Encuentre tanto la aproximación polinomial de
Lagrange, de la tabla adjunta, como el valor de la
temperatura para una presión de 2 atmósferas utilizando
esta aproximación para 2, 3 y 4 puntos respectivamente.
𝑆𝑜𝑙𝑢𝑐𝑖ó𝑛 ____________________________________________________________
PUNTOS 0 1 2 3
T (℃) 56.5 113.0 181.0 214.5
P (Atm.) 1 5 20 40
a) Aproximación polinomial de Lagrange mediante dos
puntos (𝑛 = 1).𝑃1 𝑥 = 𝑥 − 𝑥1𝑥0 − 𝑥1 𝑓 𝑥0 + 𝑥 − 𝑥0𝑥1 − 𝑥0 𝑓 𝑥1
𝑃1 𝑥 = 𝑥 − 51 − 5 56.5+ 𝑥 − 15 − 1 113
𝑃1 2 = 2 − 51 − 5 56.5 + 2 − 15 − 1 113 = 70.625⟹ 𝑇2 𝑎𝑡𝑚 = 70.63℃
b) Para 3 puntos
𝑃2 𝑥 = (𝑥 − 𝑥1)(𝑥 − 𝑥2)(𝑥0 − 𝑥1)(𝑥0 − 𝑥2)𝑓 𝑥0 + (𝑥 − 𝑥0)(𝑥− 𝑥2)(𝑥1 − 𝑥0)(𝑥1− 𝑥2) 𝑓 𝑥1 + (𝑥 − 𝑥0)(𝑥− 𝑥1)(𝑥2 − 𝑥0)(𝑥2− 𝑥1) 𝑓 𝑥2
𝑃2 𝑥 = (𝑥 −5)(𝑥− 20)1−5 (1− 20)56,5 + (𝑥 −1)(𝑥− 20)(5−1)(5− 20)113+ (𝑥 − 1)(𝑥 − 5)(20− 1)(20− 5)181
Simplificando:𝑃2 𝑥 = −0.504793𝑥2 + 17.1533𝑥 + 39.8514𝑃2 2 = 72,138 ⟹ 𝑇2 𝑎𝑡𝑚 = 72,1℃
c. Para 4 puntos (𝑛 = 3)𝑃3 𝑥 = (𝑥 − 𝑥1)(𝑥 − 𝑥2)(𝑥 − 𝑥3)(𝑥0 − 𝑥1)(𝑥0 − 𝑥2)(𝑥0 − 𝑥3) 𝑓 𝑥0 + (𝑥 − 𝑥0)(𝑥 − 𝑥2)(𝑥 − 𝑥2)(𝑥1 − 𝑥0)(𝑥1 − 𝑥2)(𝑥1 − 𝑥2) 𝑓 𝑥1 +(𝑥 − 𝑥0)(𝑥 − 𝑥1)(𝑥 − 𝑥3)(𝑥2 − 𝑥0)(𝑥2 − 𝑥1)(𝑥2 − 𝑥3) 𝑓 𝑥2 + (𝑥 − 𝑥0)(𝑥 − 𝑥1)(𝑥 − 𝑥2)(𝑥3 − 𝑥0)(𝑥3 − 𝑥1))(𝑥3 − 𝑥2) 𝑓 𝑥3
𝑃3 𝑥 = (𝑥 − 5)(𝑥 − 20)(𝑥 − 40)(1 − 5)(1 − 20)(𝑥0 − 40)56,5 + (𝑥 − 1)(𝑥 − 20)(𝑥 − 40)(5 − 1)(5 − 20)(5 − 40) 113 +(𝑥 − 1)(𝑥 − 3)(𝑥 − 40)(20 − 1)(20 − 3)(20 − 40) 181 + (𝑥 − 1)(𝑥 − 5)(𝑥 − 20)(40 − 1)(40 − 5))(40 − 20)214.5
Simplificando:𝑃3 𝑥 = 0.01077𝑥3− 0.78323𝑥2+ 18,4923𝑥 + 38.774𝑃3 2 = 72,71 ⟹ 𝑇2 𝑎𝑡𝑚 = 72,7℃
Previo al estudio de la aproximación polinomial de Newton 
es necesario el conocimiento de las Diferencias Divididas