Diferencias Divididas Métodos Numéricos - Apuntes de Ingeniería Civil

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DIFERENCIAS DIVIDIDAS
Por definición de la derivada en el punto 𝑥0 de una 
función analítica 𝑓 𝑥 se tiene𝑓′ 𝑥 = lim𝑥→𝑥0 𝑓 𝑥 − 𝑓 𝑥0𝑥 − 𝑥0
Pero cuando la función está en forma tabular
La derivada solo puede obtenerse aproximadamente; 
por ejemplo, si se desea la derivada en el punto 𝑥, (𝑥0 < 𝑥 < 𝑥1), puede estimarse como
Puntos 0 1 2 … n𝑥 𝑥0 𝑥1 𝑥2 … 𝑥𝑛𝑓(𝑥) 𝑓(𝑥0) 𝑓(𝑥1) 𝑓(𝑥2) … 𝑓(𝑥𝑛)
Por definición de la derivada en el punto 𝑥0 de una 
función analítica 𝑓 𝑥 se tiene𝑓′ 𝑥 ≈ 𝑓 𝑥1 −𝑓 𝑥0𝑥1− 𝑥0 ; 𝑥0 < 𝑥 < 𝑥1
También se denota como𝑓[𝑥0, 𝑥1] = 𝑓[𝑥1] −𝑓[𝑥0]𝑥1− 𝑥0 ; 𝑑𝑜𝑛𝑑𝑒 𝑓𝑥0, 𝑥1 𝑒𝑠 𝑙𝑎 𝑑𝑖𝑓𝑒𝑟𝑒𝑛𝑐𝑖𝑎𝑑𝑖𝑣𝑖𝑑𝑖𝑑𝑎 𝑑𝑒 𝑝𝑟𝑖𝑚𝑒𝑟 𝑜𝑟𝑑𝑒𝑛.
Generalizando para una diferencia dividida de orden 𝑖.
𝑓[𝑥0, 𝑥1,𝑥2,…, 𝑥𝑖] = 𝑓[𝑥0, 𝑥1,𝑥2,…, 𝑥𝑖] −𝑓[𝑥0, 𝑥1,𝑥2,…, 𝑥𝑖−1]𝑥𝑖 − 𝑥0
Obs.:
• Para formarla se requieren de 𝑖 + 1 puntos.
• El numerador es la resta de dos diferencias de
orden 𝑖 − 1 y el denominador la resta de los
argumentos no comunes en el numerador.
La tabla que se muestra a continuación resume el
procedimiento de las diferencias divididas.
Puntos 0 1 2 3 4 5𝑥 -2 -1 0 2 3 6𝑓(𝑥) -18 -5 -2 -2 7 142
𝑬𝒋𝒆𝒎𝒑𝒍𝒐: La información de la tabla siguiente se obtuvo del
polinomio: 𝑦 = 𝑥3 − 2𝑥2 − 2
Con los datos mostrados construir una tabla de deferencias
divididas𝑆𝑜𝑙𝑢𝑐𝑖ó𝑛 ____________________________________________________________
𝑓[𝑥0 , 𝑥1] = −5 − (−18)−1 − (−2) = 13 ; 𝑓[𝑥1 , 𝑥2] = −2− (−5)0 − (−1) = 3 ;𝑓[𝑥2 , 𝑥3] = −2 − (−2)2 − 0 = 0
𝑓[𝑥3 , 𝑥4] = 7− (−2)3 − 2 = 9 ;𝑓[𝑥4 , 𝑥5] = 142 − 76 − 3 = 45
La segunda diferencia dividida𝑓[𝑥0, 𝑥1, 𝑥2] = 3 − 130 − (−2) = −5 ;𝑓𝑥1, 𝑥2, 𝑥3 = 0 − 32 − −1 = −1 ;𝑓[𝑥2, 𝑥3, 𝑥4] = 9 − 03 − 0 = 3 ; 𝑓[𝑥3, 𝑥4, 𝑥5] = 45 − 96 − 2 = 9
Del mismo modo para las siguientes diferencias divididas se
obtienen:
Del cuadro anterior se puede observar que las
diferencias divididas de cuarto orden son todos
cero, lo que concuerda con lo que la tercera y
cuarta derivada de un polinomio de tercer grado
son una constante y cero respectivamente.
También se cumple que el grado del polinomio, de
la información proveniente, es igual al orden de
las diferencias divididas que tengan valores
constantes.
APROXIMACION POLINOMIAL DE NEWTON
Suponiendo que se tiene una función dada en
forma tabular como se muestra:
Puntos 0 1 2 … n𝑥 𝑥0 𝑥1 𝑥2 … 𝑥𝑛𝑓[𝑥] 𝑓[𝑥0] 𝑓[𝑥1] 𝑓[𝑥2] … 𝑓[𝑥𝑛]
Y se desea aproximarla con un polinomio de
primer grado que pase por ejemplo por los puntos(0) y (1); dicho polinomio tendrá la forma:𝑃(𝑥) = 𝑎0 + 𝑎1 𝑥 − 𝑥0 …………… . 𝛼
donde 𝑥0 es la abscisa del punto (0) y 𝑎0, 𝑎1 son
las constantes por determinar.
Para encontrar el valor de 𝑎0 se hace 𝑥 = 𝑥0 de
donde 𝑎0 = 𝑃 𝑥0 = 𝑓[𝑥0] y para encontrar el valor
de 𝑎1 se hace 𝑥 = 𝑥1 de donde𝑎1 = 𝑓[𝑥1] − 𝑓[𝑥0]𝑥1 − 𝑥0 = 𝑓[𝑥0, 𝑥1]
Es decir es la primera diferencia dividida de𝑓[𝑥0, 𝑥1]. Luego de sustituir los valores constantes
de 𝑎0 y 𝑎1 en (𝛼) se obtiene:𝑃(𝑥) = 𝑓[𝑥0] + 𝑓[𝑥0, 𝑥1] 𝑥 − 𝑥0
un polinomio de primer grado en términos de
diferencias divididas.
Del mismo modo se demuestra que para un
polinomio de segundo grado es:
𝑃2(𝑥) = 𝑓[𝑥0] + 𝑓[𝑥0, 𝑥1] 𝑥 − 𝑥0 + 𝑓[𝑥0, 𝑥1, 𝑥2] 𝑥 − 𝑥0 𝑥 − 𝑥1
Por inducción matemática se puede establecer en
forma general para un polinomio de grado 𝑛𝑃𝑛(𝑥) = 𝑎0 + 𝑎1 𝑥 − 𝑥0 + 𝑎2 𝑥 − 𝑥0 𝑥 − 𝑥1 +⋯+
Y que pasa por los puntos (0), (1), (2), …, (𝑛); los
coeficientes 𝑎0, 𝑎1, 𝑎2,…, 𝑎𝑛 son:
𝑎𝑛 𝑥 − 𝑥0 𝑥 − 𝑥1 … 𝑥 − 𝑥𝑛
𝑎0 = 𝑓[𝑥0]𝑎1 = 𝑓[𝑥0, 𝑥1]𝑎2 = 𝑓[𝑥0, 𝑥1, 𝑥2]
:𝑎𝑛 = 𝑓[𝑥0, 𝑥1, 𝑥2, … , 𝑥𝑛]
Para hallar los coeficientes del polinomio de
Newton, se construye la tabla de diferencias
divididas.
𝑬𝒋𝒆𝒎𝒑𝒍𝒐: Realice una aproximación polinomial de
Newton para la información tabular de presiones de
vapor de la acetona (tabla siguiente) e interpole la
temperatura para una presión de 2 atmósferas.
𝑆𝑜𝑙𝑢𝑐𝑖ó𝑛 ____________________________________________________________
PUNTOS 0 1 2 3
T (℃) 56.5 113.0 181.0 214.5
P (Atm.) 1 5 20 40
Puntos P T
Diferencias Divididas
Primera Segunda Tercera
0 1 56.5
14.125
1 5 113.0 - 0.50482
4.533 0.01085
2 20 181.0 - 0.08167
1.675
3 40 214.5
a) Para 𝑛 = 1𝑃1(𝑥) = 𝑓[𝑥0] + 𝑓[𝑥0, 𝑥1] 𝑥 − 𝑥0𝑃1(𝑥) = 56.5+ 14.125 𝑥 − 1 ⟹ 𝑃1 2 = 70.6℃
b) Para 𝑛 = 2𝑃2(𝑥) = 𝑓[𝑥0] + 𝑓[𝑥0, 𝑥1] 𝑥 − 𝑥0 + 𝑓[𝑥0, 𝑥1, 𝑥2] 𝑥 − 𝑥0 𝑥 − 𝑥1𝑃2(𝑥) = 56.5+ 14.125 𝑥 − 1 − 0.50482 𝑥 − 1 𝑥 − 5𝑃2(2) = 72,1℃
a) Para 𝑛 = 3𝑃3(𝑥) = 𝑓[𝑥0] + 𝑓[𝑥0, 𝑥1] 𝑥 − 𝑥0 + 𝑓[𝑥0, 𝑥1, 𝑥2] 𝑥 − 𝑥0 𝑥 − 𝑥1+ 𝑓[𝑥0, 𝑥1, 𝑥2, 𝑥3] 𝑥 − 𝑥0 𝑥 − 𝑥1 𝑥 − 𝑥2𝑃3(𝑥) = 56.5 + 14.125 𝑥 − 1 − 0.50482 𝑥− 1 𝑥− 5 +0.01085 𝑥 − 1 𝑥 − 5 𝑥 − 20𝑃3(2) = 72.7 ℃