UD5 - Maria Cristina Rodriguez Escalante

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Universidad del Pací!co
Manual de imagenLogotipo institucional
Clase 20: Biyectividad
Matemáticas I 2019-2
Recordemos que una función es un tipo de relación que asigna a cada elemento del dominio
un único elemento del conjunto de llegada. Si denotamos por f dicha función a veces escribimos
y = f(x) para denotar que el elemento x del dominio se relaciona con el elemento y del conjunto
de llegada. En este caso decimos que y es la imagen de x. Decimos también que x es la variable
independiente e y la variable dependiente. Usando esta notación la condición para que una
relación sea una función se traduce en
∀x1, x2 ∈ dom f, [x1 = x2 −→ f(x1) = f(x2)].
Los elementos que constituyen una función f son el dominio, conjunto de llegada y la regla de
correspondencia. Recordemos también que una función se puede denotar por f : A → B. En
este caso A es el dominio de la función y B es su conjunto de llegada.
Ejemplos 1.
1. Si C es cualquier conjunto, la función identidad en C se define como Id : C → C con
regla de correspondencia Id(x) = x. A veces denotamos la identidad en C por IdC .
2. Si P es un predicado y x es una variable que representa un elemento de un conjunto C
entonces P (x) puede ser Verdadero o Falso. Por lo tanto P : C → {V, F} se conoce como
una función proposicional.
3. Si y = mx + b es la ecuación de una recta con m ∈ R entonces obtenemos la función
lineal f : R→ R con regla de correspondencia f(x) = mx+ b.
4. Si p(x) es un polinomio en la variable x entonces decimos que esta es una función
polinomial p : R→ R que asigna a cada punto x ∈ R el valor p(x) ∈ R.
5. Si p(x), q(x) son polinomios y C es el conjunto de ráıces de q (puntos donde el polinomio
se hace cero) entonces la función p/q : (R − C) → R definida por (p/q)(x) = p(x)
q(x)
es
llamada una función racional.
6. Una transformación de coordenadas es una función T : R2 → R2.
7. Recordemos que una sucesión es una función a : N → R y una matriz una función
A : M ×N → R donde M = {1, ...,m} y N = {1, ..., n}.
8. El determinante es una función det : C → R donde C es el conjunto de todas las matrices
cuadradas.
Ejercicio 2. Defina las funciones de costo, ingreso, utilidad, oferta y demanda como en los
ejemplos anteriores (Por ejemplo, C : R+0 → R+0 donde C(q) =costo de producir q unidades).
c©2019 Todos los derechos reservados. Prohibida su reproducción parcial o total.
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Definición 3 (Igualdad). Decimos que dos funciones f : A → B y g : C → D son iguales
cuando tiene el mismo dominio, conjunto de llegada, y regla de correspondencia, es decir
A = C ∧ B = D ∧ ∀x ∈ A, f(x) = g(x).
Ejemplo 4. Las funciones f :]−∞, 0[→ R y g :]0,∞[→ R definidas por f(x) = x2, g(x) = x2
son diferentes porque sus dominios son diferentes. Las funciones f : R→ R y g : R→ [0,+∞[
definidas por f(x) = x2, g(x) = x2 son diferentes porque sus conjuntos de llegada son diferentes.
Definición 5 (Inyectividad). Decimos que una función f : A→ B es inyectiva cuando cumple
la siguiente condición:
∀x1, x2 ∈ A, [f(x1) = f(x2) −→ x1 = x2]
Observación 6. Una función no es inyectiva cuando la proposición anterior es falsa, es decir
cuando
∃x1, x2 ∈ A, [f(x1) = f(x2) ∧ x1 6= x2]
Ejemplos 7.
1. La función f : R→ R definida por f(x) = 2x− 4 es inyectiva:
f(x1) = f(x2) −→ 2x1 − 4 = 2x2 − 4 −→ 2x1 = 2x2 −→ x1 = x2.
2. La función g : R → R definida por g(x) = x2 + 1 no es inyectiva. En efecto, f(1) = 2 =
f(−1) pero 1 6= −1.
Definición 8 (Sobreyectividad). Decimos que una función f : A→ B es sobreyectiva cuando
ran f = B. Esto es equivalente a mostrar que B ⊂ ran f ó
∀y ∈ B, ∃x ∈ A, [f(x) = y]
Observación 9. Una función no es sobreyectiva cuando ran f 6= B, es decir, cuando podemos
encontrar un elemento b ∈ B que no pertenece a ran f .
Ejemplos 10.
1. La función determinante es sobreyectiva. Basta con notar que la matriz A =
[
1 0
0 r
]
tiene
detA = r y por lo tanto cualquier número real es el determinante de alguna matriz.
2. Si f : R → R se define por f(x) = 2x − 4 entonces para mostrar que f es sobreyectiva
tomamos un elemento y ∈ R y mostramos que y ∈ ran f . Para ello es suficiente tomar
x = 1
2
y+2 ∈ R y verificamos que f(x) = f(1
2
y+2) = 2
2
y+2 ·2−4 = y, es decir, cualquier
número real es la imagen un elemento del dominio.
3. Para saber si la función f : [−1, 1] → [−1, 2] definada por f(x) = x2 − x es sobreyectiva
calculamos el rango. Para ello primero notemos que x2 − x = (x− 1/2)2 − 1/4, entonces:
−1 ≤ x ≤ 1→ −3
2
≤ x− 1
2
≤ 1
2
→ −3
2
≤ x− 1
2
< 0 ∨ 0 ≤ x− 1
2
≤ 1
2
→ 0 <
(
x− 1
2
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<
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∨ 0 ≤
(
x− 1
2
)2
≤ 1
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→ 0 ≤
(
x− 1
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≤ 9
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→ −1
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≤ x2 − x ≤ 2
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de donde conclúımos que ran f = [−1/4, 2] y por lo tanto la función no es sobreyectiva.
Formalmente lo que se está demostrando es que ran f ⊂ [−1/4, 2] pero de hecho esta
inclusión es una igualdad porque la variable x en la desigualdad del dominio es transfor-
mada en la regla de correspondecia f(x) transformando la desigualdad inicial en la final
con mucho cuidado. No toda manipulación de desigualdades permite calcular el rango.
De hecho haciendo:
−1 ≤ x ≤ 1→ −1 ≤ −x ≤ 1 ∧ 0 ≤ x2 ≤ 1→ −1 ≤ x2 − x ≤ 2
no se obtiene el rango de la función.
4. El método anterior para calcular el rango de una función tiene sus limitaciones. Por
ejemplo dicho método no se puede aplicar a la función f : [−1, 1] → R, definida por
f(x) = x3 − x. Para calcular el rango de esta función de manera eficiente se requiere del
cálculo de derivadas.
5. La función g : R → R definida por g(x) = x2 + 1 no es sobreyectiva. En efecto, si
y = 0 para que f fuese sobreyectiva debeŕıamos poder encontrar un x ∈ R tal que
y = 0 = f(x) = x2 + 1. Sin embargo esto implica que x2 = −1 lo cual es absurdo y por
lo tanto no puede existir dicho x.
Definición 11. Una función se dice biyectiva cuando es inyectiva y sobreyectiva.
Ejemplo 12. Como probamos anteriormente entonces, la función f : R → R definida por
f(x) = 2x− 4 es biyectiva.
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Ejercicios Adicionales
1. Si A = {alumnos de la U.P.}, B = {profesores de la U.P.}, C = {alumnos de Mate 1},
D = {profesores de Mate 1}, determine cual de las siguientes relaciones es una función.
a) f : A → B definida por f(a) = b cuando el alumno a esta inscrito en una sección
del profesor b.
b) f : B → A definida por f(b) = a cuando el profesor b tiene inscrito en una de sus
secciones al alumno a.
c) f : C → D definida por f(c) = b cuando el alumno c esta inscrito en una sección del
profesor D.
d) f : D → C definida por f(b) = c cuando el profesor b tiene inscrito en una de sus
secciones al alumno c.
2. En el ejercicio anterior, ¿bajo qué condiciones las relaciones que no son funciones lo seŕıan?
(Por ejemplo, a) no es una función en general al menos que todos los alumnos tengan a lo
más un profesor por semestre). ¿Las funciones del ejercicio anterior son inyectivas? ¿Bajó
qué condiciones lo serian? ¿y sobreyectivas?
3. ¿La ecuación de una recta vertical define una función?
4. Defina la traza como una función y demuestre que es sobreyectiva.
5. Si pensamos en una matriz como una función, ¿qué significa que dicha función sea inyec-
tiva?
6. En las siguiente lista de funciones, calcule el rango e identifique las que son inyectivas,
sobreyectivas y biyectivas.
a) f : R− {0} → R− {0} definida por f(x) = −1
x
.
b) f : R→]− 2, 1] definida por f(x) = 1
x2 + 1
.
c) f : [−3, 1]→ R definida por f(x) = −2x+ 1.
d) f : [−1, 0] ∪ [2, 4]→ R definida por f(x) = x2.
e) f :]−∞,−2[→ R definida por f(x) = 1
x3 + 4
.
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Universidad del Pací!co
Manual de imagenLogotipo institucional
Clase 21: Composición e Inversa
Matemáticas I 2019-2
Definición 13 (Composición). Si f : A → B y g : B → C son dos funciones entonces la
función compuesta o composición de f y g, se define como la función g ◦ f : A → C con
regla de correspondencia
g ◦ f(x) = g(f(x)).
Ejemplo 14. Si f : R → R es la función dada por f(x) = 3x2 + 2 y g : R → R es la función
dada por g(x) = −2x+ 1 entonces
g ◦ f(x) = g(f(x) = g(3x2 + 2) = −2(3x2 + 2) + 1 = −6x2 − 3
y
f ◦ g(x) = f(g(x) = f(−2x+ 1) = 3(−2x+ 1)2 + 2 = 12x2 − 12x+ 5.
Ejercicio 15. Muestre que si f : A→ B es una función entonces f ◦ IdA = IdB ◦f = f .
Definición 16 (Inversa). Una función f : A → B es invertible cuando existe una función
g : B → A que cumple
g ◦ f = IdA y f ◦ g = IdB
es decir, f(g(x)) = x para todo x ∈ B y g(f(x)) = x para todo x ∈ A. En este caso decimos
que g es una inversa de f .
Ejemplo 17. Si f : R→ R se define por f(x) = 2x−4 y g : R→ R por g(x) = 1
2
x+2 podemos
verificar que
g(f(x)) = g(2x− 4) = 1
2
(2x− 4) + 2 = x
y
f(g(x)) = g
(
1
2
x+ 2
)
= 2
(
1
2
x+ 2
)
− 4 = x
es decir, g es una inversa de f .
Ejercicio 18.
1. Muestre que f : R→ R definida por f(x) = xn donde n ∈ N es impar es invertible.
2. Muestre que las transformaciones de coordenadas T(h,k) y R(h,k) son invertibles.
Teorema 19. Si f es invertible su inversa es única. Esto quiere decir que si g1 y g2 son dos
inversas de f entonces g1 = g2. En este caso usamos la notación g = f
−1 y podemos decir que
y = f(x) ←→ x = f−1(y).
c©2019 Todos los derechos reservados. Prohibida su reproducción parcial o total.
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Demostración. Como f ◦ g1 = IdB podemos componer con la función g2 para obtener
g2 ◦ f ◦ g1 = g2 ◦ IdB −→ IdA ◦g1 = g2 −→ g1 = g2.
Este teorema nos dice que si sabemos que f es invertible entonces para hallar su inversa
hacemos y = f(x) y al despejar x estamos encontrando la inversa x = f−1(x).
Ejemplo 20. Si sabemos que f : R → R definida por f(x) = 2x − 4 es invertible deseamos
calcular su inversa. Para ello seguimos la observación anterior. Hacemos y = 2x−4 y al despejar
encontramos x = 1
2
y+ 2 y por lo tanto g : R→ R definida por g(x) = 1
2
x+ 2 es la inversa de f .
El siguiente teorema se presenta sin demostración.
Teorema 21. La función f : A→ B es invertible si y sólo si f es biyectiva.
Ejemplos 22.
1. Como ya mostramos anteriormente f : R→ R definida por f(x) = 2x− 4 es biyectiva y
por lo tanto invertible.
2. La función f : [0,+∞[→ [0,+∞[ definida por f(x) = x2 es biyectiva y por lo tanto
invertible. Su inversa es f−1(y) =
√
y.
3. La función f : [0,+∞[→ R definida por f(x) = x2 no es invertible porque no es biyectiva.
Es posible probar que es inyectiva pero no sobreyectiva.
4. La función f : R→ [0,+∞[ definida por f(x) = x2 no es invertible porque no es inyectiva,
pero podemos probar que es sobreyectiva.
5. Una matriz cuadrada A de orden n induce una función A : Rn → Rn definida por
A(x) = An×n · xn×1. Es posible demostrar que esta función es invertible si y sólo si la
matriz A es invertible y la función inversa es la función inducida por la matriz A−1.
Observación 23. Una función inyectiva puede volverse una biyección (y por lo tanto invertible)
si el conjunto de llegada se restringe al rango de la función. De esta manera la función se puede
invertir.
Ejemplo 24. La función f : [0,+∞[→ R definida por f(x) = x2 no es invertible porque no
es biyectiva. Como la función es inyectiva seguimos la observación anterior y restringimos el
conjunto de llegada al rango de f para definir g : [0,+∞[→ [0,+∞[ por medio de g(x) = x2 la
cual es biyectiva y por lo tanto invertible con inversa definida por g−1(x) =
√
x.
Definición 25. Dada una regla de correspondencia f(x) donde x es una variable real, el
máximo dominio de definición es el conjunto de todos los posibles números reales donde
tiene sentido evaluar f(x). Cuando A es dicho conjunto, esto define una función f : A→ R.
Ejemplo 26.
1. Si f(x) =
√
3x+ 1 el máximo dominio de definición es el conjunto de puntos que satisfacen
3x+ 1 ≥ 0, es decir, A = [−1/3,+∞[.
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2. Si f(x) = 3x+1
x−2 el máximo dominio de definición son todos los número reales menos el
número dos, es decir, A = R− {2}.
3. Si f(x) =
√
2−x
x2−1 el máximo dominio de definición será el conjunto donde 2 − x ≥ 0 y
x2 − 1 6= 0, es decir A =]−∞,−1[∪]− 1, 1[∪]1, 2].
4. Si
f(x) =
√
1
(x− 2)2
− 1
el máximo dominio de definición será el conjunto donde x 6= 2 y
1
(x− 2)2
− 1 ≥ 0 ←→ 1
(x− 2)2
≥ 1 ←→ (x− 2)2 ≤ 1
←→ x2 − 4x+ 4 ≤ 1 ←→ x2 − 4x+ 3 ≤ 0
←→ (x− 1)(x− 3) ≤ 0 ←→ 1 ≤ x ≤ 3
lo cual nos dice que el máximo dominio es [1, 3]− {2} = [1, 2[∪]2, 3].
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Ejercicios Adicionales
1. Calcule el dominio, rango, y regla de correspondencia de g ◦ f donde
a) f : R → R esta definida por f(x) = 3x + 1 y g : R → R esta definida por g(x) =√
(1− x)2 + 1.
b) f : R → B esta definida por f(x) = x2 + 1, B = ran f , y g : B → R esta definida
por g(x) = 1− 2x.
c) f : R→]0, 1], f(x) = 1/(x2 + 1), g :]0, 1]→ R, g(x) = 2x− 3.
d) f : [0,+∞[→ [0,+∞[, f(x) =
√
x, g : [0,+∞[→ R, g(x) = 4.
2. Dada f una función con regla de correspondencia
f(x) =
ax+ 7
2x− b
,
hallar los valores de a y b para que:
a) Domf−1 = R− {3}.
b) f−1 = f.
3. Muestre que las siguientes funciones son invertibles y calcule la inversa indicando el do-
minio y rango.
a) f : R− {0} → R− {0} definida por f(x) = −1
x
.
b) f : [0,+∞[→]0, 1] definida por f(x) = 1
x2 + 1
.
c) f : R→ R, f(x) = (2x+ 3)3.
d) f : R− {−1} → R− {3}, f(x) = 3x/(x+ 1).
4. Sean f : A→ B y g : B → C funciones invertibles, demostrar que
a) (f−1)−1 = f.
b) (g ◦ f)−1 = f−1 ◦ g−1.
5. Si f(x) = 2x− 3b, determinar el valor de b de manera que f(b+ 1) = 3f−1(b2).
6. Sean f : A→ B y g : B → C funciones.
a) Muestre que si f y g son inyectivas, entonces g ◦ f es inyectiva.
b) Muestre que si f y g son sobreyectivas, entonces g ◦ f es sobreyectiva.
c) Muestre que si f y g son biyectivas, entonces g ◦ f es biyectiva.
7. Para cada uno de los siguientes pares, A y B, de subconjuntos de R, determine una función
biyectiva expĺıcita f : A→ B.
a) A = [0, 1], B = [1, 3].
b) A =]0, 1[, B =]2,+∞[,
c) A =]0, 1[, B =]a,+∞[, donde a es una constante real.
8. Encuentre el máximo dominio de definición de las siguiente ecuaciones.
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a) f(x) =
√
x− 3 +
√
x+ 3
b) f(x) =
4x+ 1
x2 − 1
c) f(x) =
1√
1− x
d) f(x) =
√
1
(x− 1)2
− 1
9. Una función f : A→ A es una involución cuando f ◦ f = IdA. Muestre que si f es una
involución entonces f es invertible (y por lo tanto es biyectiva).
10. Muestre que la identidad es una involución.
11. Encuentre el máximo dominio de definición de las siguientes reglas de correspondencias y
demuestre que la función asociada es una involución.
a) f(x) = −x
b) f(x) =
1
x
c) f(x) =
x+ 1
x− 1
12. Una función f : A → A es idempotente cuando f ◦ f = f . Muestre que las siguientes
funciones son idempotentes:
a) Cualquier función constante.
b) IdA.
c) f : R→ R definida por f(x) = |x|.
d) f : R→ R definida por f(x) = bxc.
13. La cantidad de art́ıculos que se pueden producir, a partir de x unidades de cierto insumo,
está dado por q(x) = x2 + 4x . Si la cantidad del insumo que se adquiere se determina en
función del precio de mercado de éste, según:
x(p) =

−2p+ 80 , si 10 ≤ p < 30
20 , si 30 ≤ p ≤ 50
0 , si p > 50
Determine la cantidad de art́ıculos producidos en función del precio del insumo.
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Universidad del Pací!co
Manual de imagenLogotipo institucional
Clase 22: Funciones Reales
Matemáticas I 2019-2
Cuando el dominio y el rango son subconjuntos de R decimos que la función es real.
1. Operaciones
Definición 27. Si f : A → R y g : A → R son dos funciones reales con el mismo dominio y
C = {x ∈ R : g(x) = 0} entonces podemos definir
(f + g) : A→ R por (f + g)(x) = f(x) + g(x),
(f · g) : A→ R por (f · g)(x) = f(x) · g(x),
(f/g) : (A− C)→ R por (f/g)(x) = f(x)/g(x).
Ejemplos 28.
1. Una función constante es una función real f : A → R definida por f(x) = C donde
C ∈ R es una constante. Cuando C = 0 decimos que f es la función cero y la denotamos
por 0. Es sencillo mostrar que g + 0 = 0 + g = g para toda función real g.
2. La función de utilidad es la diferencia de la función de ingreso y la función de costo.
3. Si f : [−1, 1]→ R y g : [−1, 1]→ R se definen por
f(x) =
{
1− x, −1 ≤ x < 0
x2 + 1, 0 ≤ x ≤ 1
g(x) =
{
x+ 1, −1 ≤ x < 0.5
x− x2, 0.5 ≤ x ≤ 1
entonces f + g : [−1, 1]→ R se define por
(f + g)(x) =

2, −1 ≤ x < 0
x2 + x+ 2, 0 ≤ x < 0.5
x+ 1, 0.5 ≤ x ≤ 1
Observación 29. Si f : A→ R y g : B → R son funciones entonces podemos calcular la suma y
el producto intersectando los dominios, es decir, podemos definir f + g : A ∩ B → R haciendo
(f + g)(x) = f(x) + g(x).
Ejercicio 30. Calcule el dominio y regla de correspondencia de la función f/g donde f :
[−3, 3]→ R esta definida por
f(x) =
{
2x+ 1 −3 ≤ x ≤ 1
x2 1 < x ≤ 3
y g :]− 2, 4]→ R esta definida por
g(x) =
{
x+ 1 −2 < x ≤ 2
x2 − 9 2 < x ≤ 4
c©2019 Todos los derechos reservados. Prohibida su reproducción parcial o total.
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2. Monotonicidad
Definición 31. Una función real f : A→ R es
creciente cuando
∀x1, x2 ∈ A, [x1 < x2 → f(x1) ≤ f(x2)],
estrictamente creciente cuando
∀x1, x2 ∈ A, [x1 < x2 → f(x1) < f(x2)],
decreciente cuando
∀x1, x2 ∈ A, [x1 < x2 → f(x1) ≥ f(x2)],
estrictamente decreciente cuando
∀x1, x2 ∈ A, [x1 < x2 → f(x1) > f(x2)].
En cualquiera de estos cuatro casos decimos que la función es monótona.
Observación 32. De la definición es claro que toda función estrictamente creciente en particular
es creciente pero el rećıproco no es cierto.
Ejemplos 33.
1. Es posible mostrar que una función real f : A → R definida por f(x) = mx + b siempre
es monótona y la monotonicidad depende de la pendiente m.
2. La suma de funciones crecientes es una función creciente. Lo mismo ocurre con funciones
decrecientes.
3. La función de la oferta es creciente y la función de la demanda es decreciente.
4. La función de ingreso y la función de costo son crecientes y en la mayoŕıa de ejemplos
vistos son estrictamente crecientes.
Proposición 34.
La composición de funciones estrictamente crecientes también es estrictamente crecientes.
La inversa de una función invertible y estrictamente creciente es también estrictamente
creciente.
Demostración.
Si x1 < x2, como f es estrictamente creciente obtenemos f(x1) < f(x2). Pero si g es
también estrictamente creciente esto implica que g ◦ f(x1) = g(f(x1)) < g(f(x2)) =
g ◦ f(x2).
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Deseamos mostrar que y1 < y2 implica f
−1(y1) < f
−1(y2). Por contradicción, debemos
mostrar que f−1(y1) ≥ f−1(y2) no es posible. Si f−1(y1) = f−1(y2) entonces
f(f−1(y1)) = f(f
−1(y2)) −→ y1 = y2
lo cual es imposible porque asumimos que y1 < y2. Si f
−1(y1) > f
−1(y2) entonces, como
f es estrictamente creciente
f(f−1(y1)) > f(f
−1(y2)) −→ y1 > y2
lo cual es imposible porque asumimos que y1 < y2.
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Ejercicios Adicionales
1. Calcule la suma, producto y cociente de las funciones dadas tomando la intersección de
los dominios.
a) f1 :]− 2,+∞[→ R definida por f(x) = −2
√
x+ 2
b) f2 : R→ R definida por f(x) = 1−
√
x2 + 1
c) f3 :]− 3, 4]→ R definida por f(x) = −2(x− 1)2 + 4
d) f4 :]− 2, 0[∪]0, 2[→ R definida por f(x) =
1
x2
e) f5 : R→ R definida por f(x) =
1
x2 + 1
f ) f6 : [0, 1]→ R definida por f(x) = 1 +
√
4− (x+ 1)2
g) f7 : R→ R definida por f(x) = x3
h) f8 : R→ R definida por f(x) = x4
i) f9 : R→ R definida por f(x) = 1− 2|x− 3|
2. Determine los intervalos en donde las funciones de la pregunta 1 son monótonas y espe-
cifique el tipo de monotonicidad.
3. Si f : A → R y g : A → R son funciones reales, muestre que la función máximo
máx{f, g} : A→ R y la función mı́nimo mı́n{f, g} : A→ R se pueden definir como
máx{f, g}(x) = f(x) + g(x) + |f(x)− g(x)|
2
y
mı́n{f, g}(x) = f(x) + g(x)− |f(x)− g(x)|
2
4. Demuestre que una función estrictamente decreciente es inyectiva.
5. Muestre que si una función es creciente y decreciente al mismo tiempo entonces debe ser
constante.
6. Considere las funciones definidas por
f(x) =

|x+ 5| si x ∈ [−20, 10]
(x− 12)2 si x ∈]10, 15[
−3x+ 60 si x ∈ [15,+∞[
y g(x) =

x+ 3 si x ∈ [−10, 5]
−|x− 6| si x ∈]5, 15[
3− (x− 18)2 si x ∈ [15,+∞[,
Determine las reglas de correspondencia f + g y f · g, restringiendo las funciones a un
dominio donde tengan sentido estas operaciones.
7. Determine el valor de verdad de las siguientes proposiciones, justificando adecuadamente.
a) La suma de dos funciones inyectivas es también una función inyectiva.
b) Si f : R → R es inyectiva, entonces g : R → R definida por g(x) = 3[f(x + 5)]3 + 2
también los es.
8. Sea f : R→ R definida por f(x) = ax+ b.
a) Demuestre que f es creciente si y solo si a ≥ 0.
b) Demuestre que f es decreciente si y solo si a ≤ 0.
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Universidad del Pací!co
Manual de imagenLogotipo institucional
Clase 23: Gráfica de Funciones
Matemáticas I 2019-2
3. Representación Gráfica
Definición 35. Dada una función real f : A→ B la gráfica de f se define como el conjunto
graf(f) = {(x, y) ∈ R2 : x ∈ A ∧ y = f(x)}
La gráfica de una función real se puede representar en el plano cartesiano. Para ello podemos
tabular algunos puntos de la gráfica para luego dar un esbozo.
Ejemplos 36.
1. f : R→ R
f(x) = 2x+ 1
x f(x)
-1 -1
0 1
1 3
x
y
2. f : [0, 2]→ R
f(x) = −2x+ 1
x f(x)
0 1
1 -1
2 -3
x
y
3. f : R→ R
f(x) = x2 − 1
x f(x)
-2 3
-1 0
0 -1
1 0
2 3
x
y
4. f : [−1, 1]→ R
f(x) =
√
1− x2
x f(x)
-1 0
0 1
1 0
x
y
5. f : [−1,+∞[→ R
f(x) =
√
x+ 1
x f(x)
-1 0
0 1
1
√
2
x
y
6. f : R− {0} → R
f(x) =
1
x
x f(x)
-2 -0.5
-0.5 -2
0.5 2
2 0.5
x
y
Ejemplo 37. Las funciones también se pueden definir por partes. A continuación mostramos
la regla de correspondencia de f : [−1, 2[→ R y su gráfica.
c©2019 Todos los derechos reservados. Prohibida su reproducción parcial o total.
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f(x) =

1− x, −1 ≤ x < 0
1− x2, 0 ≤ x ≤ 1
2x− 3, 1 < x < 2 x
y
Teorema 38.
Una función esta bien definida si y sólo si toda recta vertical que intersecta la gráfica lo
hace en un único punto.
Una función es inyectiva si y sólo si toda recta horizontal que intersecta la gráfica lo hace
en un único punto.
La prueba es sencilla y queda como ejercicio. En los ejemplos anteriores podemos verificar
la veracidad de este teorema.
4. Transformaciones de Coordenadas
Para facilitar la elaboración de gráficas de funciones es necesario entender como las trans-
formaciones de coordenadas afectan la gráfica de una función.
Teorema 39. Sea f : A→ B una función real.
La gráfica de y′ = f(x′+h) es el resultado de trasladar graf(f) horizontalmente h unidades
hacia la izquierda.
x
y
x′
y′
h
La gráficade y′ = f(x′)− k es el resultado de trasladar graf(f) verticalmente k unidades
hacia abajo.
x
y
x′
y′
k
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La gráfica de y′ = f(hx′) es el resultado de re-escalar graf(f) horizontalmente por un
factor de 1/h.
x
y
−1
x′
y′
−1
−1/h
La gráfica de y′ = f(x)/k es el resultado de re-escalar graf(f) verticalmente por un factor
de 1/k.
x
y
−1
x′
y′
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−1/k
La gráfica de y′ = f(−x) es el resultado de reflejar graf(f) horizontalmente.
x
y
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x′
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La gráfica de y′ = −f(x) es el resultado de reflejar graf(f) verticalmente.
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Demostración. La primera parte se sigue de considerar la transformación de coordenadas
x = x′ + h, y = y′
de donde x′ = x− h e y′ = y. Esta es una traslación horizontal que empuja las coordenadas h
unidades a la derecha, por lo que la gráfica se traslada h unidades hacia la izquierda.
De la misma forma se prueban los otros casos.
Ejemplo 40. La gráfica de la función f : R → R definida por f(x) = 2x2 − 2 se muestra a
continuación.
x
y
−2
Grafique la función g : R→ R con regla de correspondencia
g(x) = −1
2
(2(x− 2)2 − 2) = −1
2
f(x− 2).
Solución. Del teorema lo que tenemos que hacer es trasladar la gráfica 2 unidades hacia la
derecha, luego re-escalarla un factor de 1/2 verticalmente y finalmente reflejarla verticalmente.
El resultado es la gráfica mostrada.
x
y
2
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Ejercicios Adicionales
1. Esboce la gráfica de las siguientes funciones.
a) f1 :]− 2,+∞[→ R, f(x) = −2
√
x+ 2
b) f2 : R→ R, f(x) = 1−
√
x2 + 1
c) f3 :]−3, 4]→ R, f(x) = −2(x−1)2 +4
d) f4 :]− 2, 0[∪]0, 2[→ R, f(x) =
1
x2
e) f5 : R→ R, f(x) =
1
x2 + 1
f ) f6 : [0, 1] → R, f(x) = 1 +√
4− (x+ 1)2
g) f7 : R→ R, f(x) = x3
h) f8 : R→ R, f(x) = x4
i) f9 : R→ R, f(x) = 1− 2|x− 3|
2. Considere las funciones definidas por
f(x) =

|x+ 5| si x ∈ [−20, 10]
(x− 12)2 si x ∈]10, 15[
−3x+ 60 si x ∈ [15,+∞[
y g(x) =

x+ 3 si x ∈ [−10, 5]
−|x− 6| si x ∈]5, 15[
3− (x− 18)2 si x ∈ [15,+∞[,
Grafique ambas funciones y además f + g y f · g.
3. Suponga que f : R→ R tiene el siguiente gráfico
x
x
1
−3
1 3
graf(f)
.
A partir de esto, esboce el gráfico de g : R→ R definida por g(x) = 3− 2f(x− 5).
4. Suponga que la demanda f : [0,+∞[→ R de cierto producto es una función con una
gráfica como la que se muestra enseguida.
q
p
20
10
graf(f)
.
Si se sabe que la oferta g : R → R es una función con regla de correspondencia g(q) =
20 − f(q), mediante un gráfico justifique que existe equilibrio de mercado, identifique el
punto de equilibrio en su gráfico y además, suponiendo que el excedente del productor es
de 110 dólares, determine el excedente total.
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Universidad del Pací!co
Manual de imagenLogotipo institucional
Clase 24: Simetŕıas
Matemáticas I 2019-2
Definición 41. Decimos que un subconjunto de R2 tiene una simetŕıa si al aplicarle una
transformación de coordenadas el resultado es el mismo conjunto. Por lo tanto, A ⊂ R2 tiene
una simetŕıa si existe una transformación de coordenadas S tal que S(A) = A. En este caso
diremos que A es simétrico respecto de S. Si S = Rl también diremos que A es simétrico
respecto de l.
Ejemplo 42. Muestre que la recta l = l(m,P ) es simétrica respecto de la traslación T(t,mt)
donde t es cualquier número real.
Solución. En efecto, l tiene ecuación y = mx+ b y T(t,mt) significaque vamos a hacer x
′ = x− t
e y′ = y−mt. Pero entonces x = x′+ t e y = y′+mt y por lo tanto al reemplazar en la ecuación
de la recta obtenemos y′ + mt = m(x′ + t) + b = mx′ + mt + b. Simplificando obtenemos
y′ = mx′ + b lo cual quiere decir que l y l′ = T(t,mt)(l) son el mismo conjunto.
Definición 43. Sea A ⊂ R2.
Si A es simétrico respecto a la reflexión horizontal decimos que tiene simetŕıa horizontal.
Si A es simétrico respecto a la reflexión vertical decimos que A tiene simetŕıa vertical.
Si A es simétrico respecto a la reflexión diagonal decimos que A tiene simetŕıa diagonal.
Si A es simétrico respecto a la reflexión a través del origen decimos que A tiene simetŕıa
a través del origen.
Ejemplos 44.
Una circunferencia centrada en el origen (y de cualquier radio) tiene todas estas simetŕıas.
Esto se comprueba haciendo la transformación de coordenadas a la ecuación x2 + y2 = r2
y comprobando que se obtiene la misma ecuación.
Toda recta horizontal tiene simetŕıa horizontal. Toda recta vertical tiene simetŕıa vertical.
Toda recta de pendiente 1 tiene simetŕıa diagonal. Toda recta que pasa por el origen tiene
simetŕıa a través del origen. Como ejemplo probamos este último enunciado. Si y = mx
es la ecuación de la recta recordemos que la trasformación de coordenadas es x′ = −x e
y′ = −y. Por la tanto reemplazando en la ecuación obtenemos −y′ = m(−x′) de donde
y′ = mx′ nos dice que la recta es simétrica a través del origen.
Toda hipérbola con a = b tiene todas las simetŕıas en la definición anterior. Si a 6= b
entonces la hipérbola y la elipse tienen todas las simetŕıas anteriores excepto la diagonal.
Si l ⊥ r entonces l es simétrica respecto de r.
Una parábola con eje vertical y vértice en el eje de ordenadas tiene simetŕıa horizontal.
Una parábola con eje horizontal y vértice en el eje de abscisas tiene simetŕıa vertical.
c©2019 Todos los derechos reservados. Prohibida su reproducción parcial o total.
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Ejemplo 45. Las simetŕıas nos pueden ayudar a es-
bozar rectas o cónicas. La parábola de ecuación y =
−x2 + 2 puede ser graficada evaluando cuatro puntos y
usando simetŕıa horizontal como presentamos a conti-
nuación.
x −x2 + 2
0 2
1 1√
2 0√
3 -1
Definición 46. Un conjunto A ⊂ R se dice simétrico cuando
∀x ∈ R, [x ∈ A ←→ −x ∈ A]
Definición 47. Una función real f : A→ R con dominio simétrico se dice
par si ∀x ∈ A, [f(−x) = f(x)],
impar si ∀x ∈ A, [f(−x) = −f(x)].
Teorema 48. Una función real f : A→ R es par si y sólo si graf(f) tiene simetŕıa horizontal.
Dicha función es impar si y sólo si graf(f) tiene simetŕıa a través del origen.
Demostración. En el primer caso consideremos la reflexión horizontal x′ = −x e y′ = y. Si
(x, y) ∈ graf(f) entonces el nuevo punto (x′, y′) = (−x, y) también pertenece a la gráfica de f
ya que A es simétrico y f(−x) = f(x) = y. Esto nos dice que graf(f) tiene simetŕıa horizontal.
Rećıprocamente, si graf(f) tiene simetŕıa horizontal entonces (x, y) ∈ graf(f) implica (−x, y) ∈
graf(f). Pero y = f(x) en el primer caso e y = f(−x) en el segundo. Por lo tanto x ∈ dom f
implica −x ∈ dom f y además f(x) = y = f(−x).
La segunda parte de la proposición es similar y queda como ejercicio.
Ejemplos 49.
La función valor absoluto es par ya que |−x| = |x| y como podemos comprobar su gráfica
tiene simetŕıa horizontal.
La función real f : R → R definida por f(x) = x3 es impar ya que (−x)3 = −x3 y su
gráfica tiene simetŕıa a través del origen como se puede comprobar.
La única función que es par e impar es la función cero, la cual tiene ambas simetŕıas.
Proposición 50. Si la función real f : A→ R es invertible, entonces su gráfica es el resultado
de aplicar una reflexión diagonal a la gráfica de f .
Demostración. Si y = f(x) entonces x = f−1(y) como hemos visto anteriormente. La reflexión
diagonal intercambia x e y y al hacer esto en la última igualdad obtenemos y = f−1(x), es
decir, la gráfica de la inversa.
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Ejemplo 51. En la figura vemos la gráfica de la función
f : [0,
√
2]→ [0, 2] definida por f(x) = −x2 + 2. En este in-
tervalo de definición la función es invertible. Calculando ob-
tenemos f−1 : [0, 2]→ [0,
√
2] definida por f−1(x) =
√
2− x.
En la figura podemos ver también la recta de ecuación y = x
y la gráfica de f−1 como la reflexión diagonal de la gráfica
de f .
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Ejercicios Adicionales
1. Indique si los siguientes conjuntos tienen simetŕıa horizontal o respecto del origen y jus-
tifique.a) {(0, 0), (0,−1), (0, 1), (2, 0), (−2, 0)}
b) La gráfica de la función f(x) = 1
x2
c) La gráfica de la función f(x) = −4x3 + 2x
d) La gráfica de la función f(x) = |x|
e) La gráfica de la función f(x) = x2; 0 < x ≤ 9
2. Si f , g, h son funciones que tienen el mismo dominio simétrico A ⊂ R, demuestre las
siguientes afirmaciones.
a) Si f y g son funciones pares su suma y su multiplicación son funciones pares.
b) Si f y g son funciones impares su multiplicación es una función par.
c) Si f es par y g es impar, su producto es una función impar.
d) Si f , g son funciones impares y h es par, entonces f(x) · g(x) + h(x) es par.
e) Si f , h son funciones impares y g es par, entonces f(x) · g(x) + h(x) es impar.
3. Sea f : A→ B una función impar invertible. Demuestre que B es un conjunto simétrico
y que la función inversa es también impar.
4. ¿Existen funciones pares invertibles? y si existen, ¿séıa posible que dicha inversa sea par?
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Universidad del Pací!co
Manual de imagenLogotipo institucional
Clase 25: Función Exponencial y Logaritmo
Matemáticas I 2019-2
5. Exponencial
Recordemos que en el problema de interés compuesto obtuvimos la sucesión
cn =
(
1 +
1
n
)n
la cual vimos que se aproxima a un número llamado número neperiano denotado por e. Este
número es irracional y los primeros diez d́ıgitos de su expansión decimal son 2.718281828.
Definición 52. La función exponencial se define como la función exp : R→ R con regla de
correspondencia exp(x) = ex.
x
y
(0, 1)
(1, e)
Proposición 53. De las propiedades de exponenciación y el
hecho que e > 1 obtenemos las siguientes propiedades.
ran exp =]0,+∞[
exp(x+ y) = exp(x) · exp(y)
La función exponencial es estrictamente creciente.
Observación 54. La figura muestra la gráfica de la función
exponencial. Una de sus caracteŕısticas es que la pendiente
de la curva en cada punto es igual al valor en dicho punto.
Además, como ex se hace cada vez más pequeño cuando x se hace más negativo en la figura
vemos como la gráfica se acerca al eje x hacia la izquierda. En este caso el eje x es una aśıntota
horizontal de la función exponencial.
Recordemos que si el interés se calcula n veces durante un año, el monto total M al final de
t años se puede calcular mediante la fórmula
M = P
(
1 +
r
n
)nt
donde r es el interés (o tasa) anual y P es el monto inicial o monto principal. Cuando n
tiende a infinito se puede demostrar que este número tiende a
M(t) = Pert
y en este caso decimos que el interés compuesto es continuo o que el interés se calcula conti-
nuamente.
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Ejemplo 55. Se invierten S./50,000 en la bolsa de valores y certificados bancarios. El 20 % se
invierte en la bolsa, la cual tiene un retorno anual del 16 % y el resto en certificados bancarios,
los cuales tiene un retorno del 5 % anual. Si el interés se calcula continuamente, ¿cuál es el
monto total en cualquier tiempo t medido en años desde el inicio de la inversión?
Solución. El 20 % de 50,000 es 10,000 y por lo tanto esta cantidad esta destinada a la inversión
en la bolsa de valores. El resto es 40,000 y esta cantidad se invierte en certificados bancarios.
Esto quiere decir que el monto total será
M(t) = 10, 000e0.16t + 40, 000e0.05t.
6. Logaritmo
Como la función exponencial es estrictamente creciente esto implica que es inyectiva y cam-
biando el conjunto de llegada por su rango obtenemos una nueva función exponencial biyectiva
y por lo tanto invertible.
Definición 56. La inversa de la función exponencial es la función logaritmo natural denotada
por ln :]0,+∞[→ R.
x
y
(1, 0)
(e, 1)
Proposición 57. De las propiedades de la función exponen-
cial deducimos las siguientes propiedades.
ran ln = R
ln(x · y) = lnx+ ln y
La función logaritmo natural es estrictamente creciente.
a ln(x) = ln(xa), para todo a ∈ R
ln(expx) = x
exp(lnx) = x
Observación 58. En la figura podemos observar la gráfica de la función logaritmo natural. Esta
gráfica se obtiene por medio de una reflexión diagonal de la gráfica de la función exponencial.
En este caso el eje y se convierte en una aśıntota vertical.
Ejemplo 59. Para promover las ventas en una tienda donde la ropa ya esta fuera de temporada
el gerente decide hacer un descuento diario del 5 % hasta que se agote el stock. Si el descuento se
calcula continuamente todos los d́ıas, ¿cuánto tiempo pasará para que el precio de una prenda
fuera de temporada se reduzca a la mitad? Grafique la evolución del precio de la prenda en los
primeros 30 d́ıas indicando cual es el descuento total el d́ıa 30.
Solución. El precio inicial es P y el dato sobre el descuento nos dice que r = −0.05. El monto
total del precio después de t d́ıas será entonces
M(t) = Pe−0.05t.
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Para que el precio baje a la mitad se necesita satisfacer la ecuación
P
2
= Pe−0.05t −→ e0.05t = 2 −→ t = ln 2
0.05
≈ 13.86
lo cual nos dice que cerca del final del décimo-tercer d́ıa la el precio se rebajó a la mitad.
Después de 30 d́ıas el precio es Pe(−0.05)(30) = (0.2231)P lo cual nos dice que el descuento
seŕıa del 77.67 %.
y
x
P
30
P/2
13.86
Mucho fenómenos se pueden modelar mejor usando logaritmos que usando funciones lineales
o polinomiales.
Ejercicio 60. Demuestre que la función M : [0,+∞[→ R con regla de correspondencia M(t) =
Pert donde P > 0 y r ∈ R tiene comportamiento exponencial, es decir, la composición
ln ◦M es lineal.
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Ejercicios Adicionales
1. Exprese los siguientes items como el logaŕıtmo de una sola expresión:
a) 3 + 2 lnx
b) 1
2
lnx− 3
2
ln 1
x
− ln(1 + x)
c) ln x
y
+ ln y
x
2. La función de distribución exponencial se define por f : [0,+∞[→ R con regla de
correspondencia f(x) = 1− e−λx, donde λ > 0.
a) Pruebe que f es estrictamente creciente.
b) Calcule el rango de f .
c) Muestre que f es inyectiva.
d) Calcule la función inversa.
3. La población mundial en el 2000 era de 4000 millones de personas y crećıa a una tasa
continua del 2 % anual. Estime la población mundial después de t años. Cuánto tiempo
tardará en duplicarse la población si el crecimiento continúa a la misma tasa.
4. Se deposita cierto capital a una tasa de interés del 6.5 % anual. ¿Cuánto tiempo pasará
para que se triplique el capital?
5. Suponga que la función f : A→ R satisface las siguientes condiciones:
La función exp ◦f es lineal.
f(2) = 0 y exp ◦f(1/2) = 2
A es el máximo domino de definición.
Calcule la regla de correspondencia de f y determine el conjunto A.
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Universidad del Pací!co
Manual de imagenLogotipo institucional
Clase 26: Funciones Trigonométricas
Matemáticas I 2019-2
Las funciones trigonométricas se usan para estudiar fenómenos que exhiben un comporta-
miento periódico.
A continuación veremos como de la definición de la función seno usando la circunferencia
unitaria, es posible construir el resto de funciones trigonométricas junto con sus inversas y
varias de sus propiedades.
Definición 61. En la figura podemos ver la circun-
ferencia unitaria. Un punto (x, y) en la circunferencia
determina un triángulo recto. Si α representa la longi-
tud del arco en la circunferencia desde el punto (1, 0)
hasta (x, y) medido en sentido anti-horario, definimos
el seno de α como senα = y. Esto define la función
seno como una función real sen : R→ R.
De la misma manera podemos definir el coseno co-
mo una función real cos : R → R. Usando esta defini-
ción gráfica podemos demostrar varias propiedades. Por
ejemplo, ya que el seno y el coseno están en la circunfe-
rencia unitaria esto quiere decir que sen2 x+cos2 x = 1.
x senx cosx
0 0 1
π
6
1
2
√
3
2
π
4
1√
2
1√
2
π
3
√
3
2
1
2
π
2
1 0
Proposición 62.
1. sen(x+ π/2) = cos x
2. cos(x− π/2) = sen x
3. sen(x+ 2π) = sen x
4. cos(x+ 2π) = cos x
5. ran sen = [−1, 1]
6. ran cos = [−1, 1]
7. sen(−x) = − senx
8. cos(−x) = cos x
Estas propiedades se traducen en propiedades de la gráfica de estas
funciones, las cuales mostramos a continuación.
x
y
1
-1
π
2
π 2π3π
2
−π
2
−π−2π −3π
2
y = cosxy = senx
c©2019 Todos los derechos reservados. Prohibida su reproducción parcial o total.
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Las primeras dos propiedades de la proposición anterior nos dicen que las gráficas del seno y
el coseno son iguales pero una es el resultado de trasladar la otra π/2 horizontalmente. La tercera
y cuarta propiedad nos dice que las funciones seno y coseno son periódicas de periodo 2π. Las
propiedades 5 y 6 nos dicen que las gráficas están dentro de la franja horizontal determinada
por las rectas y = −1 e y = 1. Las propiedades últimas dos propiedades nos dicen que el coseno
es par y el seno es impar.
Observación 63. Gráficamente podemos ver que senx = 0 y sólo si x = nπ donde n ∈ N,
denotaremos este conjunto de números reales por S. Además, cosx = 0 y sólo si x = π(n+ 1
2
)
donde n ∈ N, denotaremos este conjunto por C.
Definición 64.
La función tangente se define como el cocientede funciones sen / cos, es decir, como la
función tan : R− C → R definida por tanx = senx
cosx
.
La función cotangente se define como el cociente de funciones cos / sen, es decir, como
la función cot : R− S → R definida por cotx = cosx
senx
.
La función secante se define como el cociente de funciones 1/ cos, es decir, como la función
sec : R− C → R definida por secx = 1
cosx
.
La función cosecante se define como el cociente de funciones 1/ sen, es decir, como la
función csc : R− S → R definida por cscx = 1
senx
.
x
y
1
-1
2
-2
3
-3
π
2
π 3π
2
−π
2
−π−3π
2
y = tanx
En la figura se muestra la gráfica de la
tangente. Notemos que la tangente tiene pe-
riodo π a diferencia del seno y el coseno. Esto
también se puede ver en la figura de la circun-
ferencia unitaria.
Si bien la función seno no es biyectiva,
es posible restringir nuestra atención al do-
mino [−π/2, π/2] donde si lo es. El rango
es [−1, 1] lo cual nos dice que la función
sen : [−π/2, π/2]→ [−1, 1] es biyectiva y por
lo tanto invertible. Si reflejamos la gráfica a
través de la diagonal obtenemos la gráfica de
la inversa. Haciendo lo mismo con el coseno y
la tangente obtenemos el siguiente resultado.
Teorema 65.
La función sen : [−π/2, π/2] → [−1, 1] es biyectiva y por lo tanto invertible. Su inversa
se denomina arco seno y se denota por arc sen : [−1, 1]→ [−π/2, π/2].
La función cos : [0, π] → [−1, 1] es biyectiva y por lo tanto invertible. Su inversa se
denomina arco coseno y se denota por arc cos : [−1, 1]→ [0, π].
La función tan :] − π/2, π/2[→ R es biyectiva y por lo tanto invertible. Su inversa se
denomina arco tangente y se denota por arctan : R→]− π/2, π/2[.
2
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x
y
-1 1
π
2
−π
2
y = arc senx
x
y
-1 1
π
2
π
y = arc cos x
x
y
-3 -2 -1 321
π
2
−π
2
y = arctanx
Ejemplo 66. Grafique la función real f : R→ R definida por
f(x) =
{
2 arctan(x+ 1) x < −1
cos(2x+ 2) x ≥ −1
Solución. Para x < −1 el arco tangente esta trasladado horizontalmente y re-escalado vertical-
mente. Para x ≥ −1 el seno esta trasladado y re-escalado horizontalmente.
x
y
-4 -3 -2 -1 2π − 13π
2
− 1π − 1π2 − 1
1
−π
Ejemplo 67. Dada la regla de correspondencia f(x) = (
√
senx)2, calcule el máximo dominio
de definición A. Grafique la función f : A→ R.
Solución. De la regla de correspondencia tenemos la restricción senx ≥ 0. Esto sólo ocurre en
intervalos de la forma [0, π], [2π, 3π], [4π, 5π], etc. Por lo tanto
A = · · · ∪ [−2π,−π] ∪ [0, π] ∪ [2π, 3π] ∪ · · · =
⋃
n∈Z
[2πn, π(2n+ 1)]
x
y
1
π
2
π 2π3π
2
5π
2
3π−π
2
−π−2π −3π
2
y = senx
3
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Ejercicios Adicionales
1. Grafique la función.
a) f : R→ R definida por f(x) = π cos
(x
π
)
b) f : R→ R definida por f(x) = − sen(3|x|)
c) f :]− 1, 1[→ R definida por f(x) = π
2
− arc sen(x)
2. Indique si la función es par o impar y justifique.
a) f ◦ g, si f(x) = x2 y g(x) = e2x4 sen(x).
b) f · g, considerando las mismas funciones de la parte a).
c) f · g, si f(x) = xex2 y g(x) = −x8 sen(x).
3. Demuestre las siguientes propiedades.
a) tan2(x) + 1 = sec2(x)
b) cot2(x) + 1 = csc2(x)
c) arc cos(x) + arc sen(x) =
π
2
d) arctan(x) + arccot(x) =
π
2
e) sen(arc cos(x)) =
√
1− x2
f ) sen(arctan(x)) =
x√
1 + x2
g) cos(arctan(x)) =
1√
1 + x2
4. Dada la siguiente gráfica
x
y
π
2
π
2
π
0.5
-1.5
calcule la regla de correspondencia usando funciones trigonométricas.
5. Calcule x =
arcsin
1
2
+ arc cos
1
2
arctan 1
6. Si M(α) =
[
cosα − senα
senα cosα
]
y demuestre que M(α) es invertible. Además, si M(β) =
[M(α)]−1, calcule β. (respuesta: β = −α)
4
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Universidad del Pací!co
Manual de imagenLogotipo institucional
Clase 27: Regiones en el plano
Matemáticas I 2019-2
Las regiones en el plano aparecen naturalmente como el conjunto solución de un sistema de
inecuaciones. Este sistema de inecuaciones se expresará en términos de cónicas y las funciones
estudiadas a lo largo del curso.
Recordemos que una ecuación de la forma Ax2 + By2 + Cxy + Dx + Ey + F = 0 donde
A,B,C,D,E, F son constantes puede describir una recta o una cónica. Dicho conjunto de
puntos puede ser entendido como el conjunto solución de esta ecuación. Al cambiar la igualdad
por una desigualdad como <,>,≤,≥ la ecuación se convierte en una inecuación y el conjunto
solución se convierte en una región del plano limitada por la recta o cónica. A continuación
tenemos algunos ejemplos.
y
x
y = 1
2
x+ 1
y
x
y ≥ 1
2
x+ 1
y
x
y ≤ 1
2
x+ 1
y
x
y > 1
2
x+ 1
y
x
y < 1
2
x+ 1
Ejercicio 68. Grafique