Aplicación de la integral definida en área y volumen - Apuntes de Ingeniería Civil

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La región R es: 𝑅 = 𝑥, 𝑦 /0 ≤ 𝑦 ≤ 𝑓 𝑥 , 𝑎 ≤ 𝑥 ≤ 𝑏
Para hallar el área de una región R es necesario conocer las funciones que la acotan y los límites de
integración. Las integrales a calcular pueden ser con respecto a “X” o con respecto a “Y”, veremos 4 casos.
𝒅𝑨 = 𝒚. 𝒅𝒙
⇒ 𝑨 = න𝒂𝒃𝒚. 𝒅𝒙 , 𝒚 = 𝒇(𝒙)L𝒂 𝒇𝒖𝒏𝒄𝒊ó𝒏 𝒇: 𝒂, 𝒃 ⟶ 𝑹 𝒆𝒔 𝒄𝒐𝒏𝒕𝒊𝒏𝒖𝒂 𝒆𝒏 𝒂, 𝒃 𝒚𝒇 𝒙 ≥ 0, ∀ 𝑥 ∈ 𝑎, 𝑏
La región R es: 𝑅 = 𝑥, 𝑦 /𝑔(𝑥) ≤ 𝑓 𝑥 , 𝑎 ≤ 𝑥 ≤ 𝑏
𝒅𝑨 = 𝒇 𝒙 − 𝒈(𝒙) . 𝒅𝒙
⇒ 𝑨 = න𝒂𝒃 𝒇 𝒙 − 𝒈(𝒙) . 𝒅𝒙
La región R es: 𝑅 = 𝑥, 𝑦 /0 ≤ 𝑥 ≤ 𝑓 𝑦 , 𝑐 ≤ 𝑦 ≤ 𝑑
𝒅𝑨 = 𝒙. 𝒅𝒚
⇒ 𝑨 = න𝒄𝒅𝒙. 𝒅𝒚 , 𝒙 = 𝒇(𝒚)
La región R es: 𝑅 = 𝑥, 𝑦 /𝑔(𝑦) ≤ 𝑓 𝑦 , 𝑐 ≤ 𝑦 ≤ 𝑑
𝒅𝑨 = 𝒇 𝒚 − 𝒈(𝒚) . 𝒅𝒚
⇒ 𝑨 = න𝒄𝒅 𝒇 𝒚 − 𝒈(𝒚) . 𝒅𝒚
Un SOLIDO DE REVOLUCIÓN está generado por la rotación de una REGIÓN PLANA alrededor de una recta
fija contenida en el plano. La recta fija se llama EJE DE REVOLUCIÓN. Existe tres métodos.
Sea la región 𝑅 = 𝑥, 𝑦 /0 ≤ 𝑦 ≤ 𝑓 𝑥 , 𝑎 ≤ 𝑥 ≤ 𝑏 en el que
f: 𝑎, 𝑏 ⟶ 𝑅 es una función continua sobre 𝑎, 𝑏 . Cuando la región R
gira alrededor del eje X se obtiene el sólido S.
𝒅𝑽 = 𝝅 𝒚𝟐𝒅𝒙
⇒ 𝑽 = 𝝅න𝒂𝒃𝒚𝟐𝒅𝒙
Sea la región 𝑅 = 𝑥, 𝑦 /0 ≤ 𝑓(𝑥) ≤ 𝑔 𝑥 , 𝑎 ≤ 𝑥 ≤ 𝑏 en el
que f y g función continua sobre 𝑎, 𝑏 . Cuando la región R gira
alrededor del eje X se obtiene el sólido S.
𝒅𝑽 = 𝝅𝒈𝟐(𝒙)𝒅𝒙 − 𝝅𝒇𝟐(𝒙) 𝒅𝒙𝒅𝑽 = 𝝅 𝒈𝟐(𝒙) − 𝒇𝟐(𝒙) 𝒅𝒙
⇒ 𝑽 = 𝝅න𝒂𝒃 𝒈𝟐(𝒙) − 𝒇𝟐(𝒙) 𝒅𝒙
El método de la corteza cilíndrica se deduce, fácilmente, a partir de la
fórmula del ÁREA LATERAL de un cilindro recto.
Sea la región 𝑅 = 𝑥, 𝑦 /0 ≤ 𝑦 ≤ 𝑓(𝑥), 𝑎 ≤ 𝑥 ≤ 𝑏 que
gira alrededor del eje Y generando un sólido S.
Al girar el DIFERENCIAL DEL RECTANGULO de base “dx” y altura “𝑓(𝑥)", se
genera una CORTEZA CILINDRICA 𝐶𝑥 de base cuyo radio es “X” y de altura
“𝑓(𝑥)“.
⇒ 𝑽 = 𝟐𝝅න𝒂𝒃𝒙 𝒇 𝒙 𝒅𝒙