Cálculo de Área e Volume em Coordenadas Cartesianas

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ESCUELA	SUPERIOR	POLITÉCNICA	DEL	LITORAL	
FACULTAD	DE	CIENCIAS	NATURALES	Y	MATEMÁTICAS	
CÁLCULO	DE	UNA	VARIABLE	
DEBER	12		–		APLICACIONES	DE	LA	INTEGRAL	DEFINIDA	
	
4.9	ÁREA	DE	UNA	REGIÓN	PLANA:	COORDENADAS	CARTESIANAS	Y	COORDENADAS	POLARES.	
	
1) En	 los	 siguientes	 problemas,	 dibuje	 la	 región	𝑅	 acotada	 por	 las	 gráficas	 de	 las	
ecuaciones	que	se	dan,	muestre	una	rebanada	representativa,	aproxime	su	área,	
formule	una	integral	y	calcule	el	área	de	la	región	𝑅.	
	
a) 
2 4 0;
5 0; 0
x y
x y y
− + =
+ − = =
	
b) 
2 4 0;
5 0; 0
x y
x y y
− + =
+ − = =
	
c) 𝑦 = 𝑥 − 3
'
𝑦 = 2 𝑥 + 1 		 	 	 	 	 Respuesta:	36	 𝑢
' 	
d) ( )( )3 1 ,y x x y x= − − = 	
e) ( )21 7 , 0, 0 24y x y entre x y x= − = = = 	
f) 
𝑦 = 𝑥.
𝑦 − 𝑥 = 6
𝑥 + 2𝑦 = 0
	 	 	 	 	 	 Respuesta:	22	 𝑢' 	
g) 3 , 0, 2 2y x y entre x y x= = = − = 	
h) 𝑦 = 1
1	+	𝑥2
; 	𝑦 = 𝑥'	
i) ; ; 1x xy e y e x−= = = 	
j) 𝑦 = 𝑎𝑟𝑐	𝑠𝑒𝑛 𝑥 ; 	𝑦 = 𝑎𝑟𝑐	𝑐𝑜𝑠 𝑥 ; 𝐸𝑗𝑒	𝑋	
	
2) Dada	la	función		𝑓:	 0, 2 ↦ ℝ		tal	que:	
	
𝑓 𝑥 = 	
1
	 𝑥	
	 , 0 < 𝑥 < 1
𝑥 	, 1 ≤ 𝑥 < 2
	
	
Se	define		𝑅		como	la	región	limitada	por		𝑓		y	la	recta		2𝑦 − 1 = 0	.	Bosqueje		𝑅		en	
el	plano	cartesiano	y,	mediante	la	integral	definida,	calcule	su	área.	
Respuesta:	2	 𝑢' 	
	
3) Calcule	las	áreas	𝐴,	𝐵,	𝐶	y	𝐷	mostradas	en	la	siguiente	figura.	Luego,	verifique	estos	
valores	calculando	𝐴 + 𝐵 + 𝐶 + 𝐷	en	una	sola	integración.	
	
	
	
	
	
	
	
	
	
	
4) Calcule	el	área	de	la	región	interna	común	entre	𝑟 = 𝑐𝑜𝑠 2𝜃 	y	𝑟 = 𝑠𝑒𝑛 2𝜃 .	
	
5) Bosqueje	la	región		𝑅		en	el	plano	polar	y	calcule	su	área:	
	
𝑅:	 	𝑟
' ≤ 6	𝑐𝑜𝑠 2𝜃
𝑟 ≥ 3
		
Respuesta:	 3 3 − 𝜋	 	 𝑢' 	
	
6) Bosqueje	 la	 región	 que	 está	 dentro	 del	 cardioide	 𝑟 = 3 + 3𝑐𝑜𝑠 𝜃 	 y	 fuera	 del	
cardioide	𝑟 = 3 + 3𝑠𝑒𝑛 𝜃 	en	el	primer	cuadrante	y	calcule	su	área.	
Respuesta:	 9 2 − 'J
K
		 𝑢' 	
	
7) Calcule	el	área	de	la	región	determinada	por:	
𝑟 = 3																		 𝑒𝑥𝑡𝑒𝑟𝑖𝑜𝑟 																										
𝑟 = 3 + 3𝑐𝑜𝑠 𝜃 			 𝑖𝑛𝑡𝑒𝑟𝑖𝑜𝑟 																					
Respuesta:	 5 3 − 𝜋 	 𝑢' 	
	
4.10	 –	 4.11	 CÁLCULO	 DE	 VOLÚMENES	 EN	 COORDENADAS	 CARTESIANAS:	MÉTODO	 DE	 LOS	 DISCOS	
(ARANDELAS)	Y	MÉTODO	DE	LAS	CAPAS	CILÍNDRICAS.	
	
8) Calcule	el	volumen	del	sólido	de	revolución	generado	al	rotar	en	torno	al	eje	𝑥 = 1	
la	región	limitada	por	las	curvas:	𝑦 = 𝑥. + 1, 𝑦 = 0, 𝑥 = 1.	
	
9) Sea	𝑅	la	región	limitada	por	las	curvas	𝑦 = 𝑥', 𝑦 = O
P
		y	las	rectas	𝑦 = 0, 𝑥 = 2.	
a) Calcule	el	volumen	del	sólido	que	se	genera	al	rotar	𝑅	alrededor	del	eje	𝑥 = 2.	
b) Calcule	el	volumen	del	sólido	que	se	genera	al	rotar	𝑅	alrededor	del	eje	𝑦 = 1.	
	
10) Calcule	el	volumen	del	sólido	generado	por	la	rotación	de	la	región	𝑅	alrededor	del	
eje	indicado,	siendo	𝑅	la	región	limitada	por	las	curvas	cuyas	ecuaciones	se	dan	a	
continuación:	
a) 𝑦 = 2𝑥 − 𝑥',					𝑦 = 0,					𝑥 = 0,					𝑥 = 1; 					𝑎𝑙𝑟𝑒𝑑𝑒𝑑𝑜𝑟	𝑑𝑒𝑙	𝑒𝑗𝑒	𝑦	
b) 𝑥 = 1,					𝑦 = S
'
,					𝑦 = 𝑎𝑟𝑐𝑡𝑎𝑛 𝑥 ,					𝑥 = 4; 					𝑎𝑙𝑟𝑒𝑑𝑒𝑑𝑜𝑟	𝑑𝑒𝑙	𝑒𝑗𝑒	𝑦	
c) 𝑦 = 0,					𝑦 = 3,					𝑥 = 1,					𝑥 = 3,					𝑦 = O
PUO
; 					𝑎𝑙𝑟𝑒𝑑𝑒𝑑𝑜𝑟	𝑑𝑒𝑙	𝑒𝑗𝑒	𝑥 = 1	
11) Calcule	el	volumen	del	sólido	generado	al	hacer	girar	alrededor	de	la	recta	𝑥 = −4,	
la	región	acotada	por	las	curvas:	𝑥 = 𝑦 − 𝑦', 𝑥 = 𝑦' − 3.	
	
12) Calcule	el	 volumen	del	 sólido	generado	al	 rotar	 la	 región	𝑅	 alrededor	del	 eje	𝑌,	
donde	𝑅	es	la	región	limitada	por	las	curvas:	𝑥' + 𝑦' − 4𝑦 + 3 = 0, 𝑥 = 2, 𝑦 = 0,
𝑦 = 4, 𝑥 + 𝑦 − 5 = 0, 𝑥 = 0.	
	
13) Calcule	el	volumen	del	sólido	de	revolución	generado	al	rotar	en	torno	al	eje	𝑥 = 9	
la	región	limitada	por	las	curvas:	𝑦' = 9 − 𝑥, 𝑦 = 3 − 𝑥.	
	
14) Sea	 la	 región	𝑅 = 𝑥, 𝑦 /	𝑥 + 1 ≤ 𝑦 ≤ 4 − 2𝑥' ,	 calcule	 el	 volumen	 del	 sólido	
generado	al	girar	R	alrededor	del	eje:	a)	𝑥 = 1	;		b)	𝑦 = −1.	
	
15) Sea	 la	 región	𝑅 = 𝑥, 𝑦 /	𝑙𝑛	(𝑥) 	≤ 𝑦 ≤ 1	 ∧ 	1 ≤ 𝑥 ≤ 𝑒 ,	 calcule	el	volumen	del	
sólido	generado	al	girar	R	alrededor	del	eje	𝑌.	
	
16) Calcular	el	volumen	del	sólido	generado	al	hacer	girar	alrededor	de	la	recta	𝑥 = −1,	
la	región	acotada	por	las	curvas:	𝑦 = 0, 𝑦 = 𝑥', 𝑦 = −𝑥' + 4𝑥.	
	
17) Calcule	el	volumen	del	sólido	generado	por	la	rotación	de	la	región	R	limitada	por	
𝑦 = 𝑥, 𝑦 = 2, 𝑥 = 0	alrededor	de	la	recta	𝑥 = 2.	
	
4.12	LONGITUD	DE	UN	ARCO	DE	CURVA	EN	COORDENADAS	CARTESIANAS,	PARAMÉTRICAS	Y	POLARES.	
	
18) Calcule	la	longitud	de	arco	de	la	curva	𝑦 = 1 − ln 𝑐𝑜𝑠 𝑥 ,			 𝑥 ≤ S
K
	
	
19) Calcule	la	longitud	de	la	curva	 𝑢. − 1PO 𝑑𝑢, 1 ≤ 𝑥 ≤ 2	
	
20) Calcule	la	longitud	de	la	curva	𝑦 = 64𝑠𝑒𝑛' 𝑢 𝑐𝑜𝑠K 𝑥 − 1P]
^
𝑑𝑢,			 S
_
≤ 𝑥 ≤ S
.
.	
	
21) Calcule	la	longitud	de	la	curva:	 𝑥 𝑡 = 𝑎	𝑐𝑜𝑠 𝑡 + 𝑎𝑡	𝑠𝑒𝑛 𝑡𝑦 𝑡 = 𝑎	𝑠𝑒𝑛 𝑡 − 𝑎𝑡	𝑐𝑜𝑠 𝑡 	en	el	intervalo	 0, 𝜋 .	
	
22) Calcule	 la	 longitud	 de	 la	 curva	 definida	 por	 las	 ecuaciones	 paramétricas:	
𝑥 𝑡 = 2𝑐𝑜𝑠 𝑡 − 𝑐𝑜𝑠 2𝑡
𝑦 𝑡 = 2𝑠𝑒𝑛 𝑡 − 𝑠𝑒𝑛 2𝑡 , 𝑡 ∈ 0,2𝜋 	
	
23) Calcule	 la	 longitud	 de	 la	 curva	 definida	 por	 las	 ecuaciones	 paramétricas:	
𝑥 𝑡 = 𝑒a	𝑠𝑒𝑛 𝑡
𝑦 𝑡 = 𝑒a	𝑐𝑜𝑠 𝑡 , 0 ≤ 𝑡 ≤ 𝜋.	
	
24) Calcule	el	perímetro	de	la	región	interior	a	las	curvas	 𝑟 = 3	𝑠𝑒𝑛 𝜃
𝑟 = 1 + 𝑐𝑜𝑠 𝜃
	
	
25) Calcule	 el	 valor	 de	 	𝑎 ∈ ℝ	 	 para	 el	 cual	 el	 área	 de	 la	 superficie	 limitada	 por	 el	
cardioide	 𝑟 = 𝑎 1 − 𝑐𝑜𝑠 𝜃 	 sea	 igual	 a	 9𝜋	 𝑢' .Luego,	 calcule	 la	 longitud	 del	
cardioide.