S12 s2-SEPARATA-Aplicaciones de integrales definidas_Volúmenes (1)

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1 Matemática para Ingenieros 1 
 
 
 
 
 
MATEMATICA PARA INGENIEROS 1
 
APLICACIONES DE LA INTEGRAL: VOLUMEN. MÉTODO DEL 
DISCO 
 
 
Semana 12 Sesión 23 
 
EJERCICIOS EXPLICATIVOS 
 
1. Calcule el volumen del cuerpo 
engendrado al girar alrededor del eje X 
la región definida por curva 𝑓(𝑥) = 𝑥 2 , 
la recta 𝑦 = 0 y la recta 𝑥 = 3 
 
2. Determine el volumen generado por la 
sección plana definida por la curva 𝑓(𝑥) =
4 − 𝑥 2 y la recta 𝑦 = 0 , al rotar sobre el 
eje X 
 
3. Calcule el volumen engendrado al rotar la 
región definida por 𝑓(𝑥) = 𝑥 2 y 𝑔(𝑥) =
𝑥 4 sobre el eje X 
 
4. Calcule el volumen generado al rotar la 
región definida por la intersección de las 
curvas 𝑓(𝑥) = 𝑥 2 y 𝑔(𝑥) = 2𝑥 + 3 al 
rotar sobre el eje X 
 
5. Calcule el volumen generado al rotar la 
región limitada por la curva 𝑓(𝑥) =
 𝑥 2 + 1 y las rectas y =0 , 𝑥 = −1 , 𝑥 = 1 
sobre la recta 𝑦 = −2 
 
6. Calcule el volumen generado al rotar la 
región limitada por la parábola 𝑓(𝑥) =
 𝑥 2 y la recta y= x , sobre la recta y = 3 
 
7. Calcule el volumen generado al girar la 
región limitada por las curvas 𝑓(𝑥) =
𝑥 3 + 𝑥2 + 2𝑥 + 1 , 𝑥 = 1 y los ejes 
coordenados alrededor dela recta vertical 
𝑥 = 2 
 
8. Determinar el volumen del sólido 
generado al hacer girar las regiones 
acotadas por la recta y la curva alrededor 
del eje x. 
xy cos ; 
2
0

 x ; 0y ; 0x 
 
9. Determine el volumen del solido 
generado al hacer girar la región acotada 
por xy  así como por las rectas 2y 
y 0x alrededor de: 
a. El eje x 
b. El eje y 
c. La recta 2y 
d. La recta 4x 
 
10. Determinar el volumen de los sólidos 
generados al hacer girar las regiones 
acotadas por las rectas y curvas alrededor 
que se indica. 
a. xy sec , 0y , 
4

x , 
4

x ; 
alrededor del eje x. 
b. ysenx 22 , 
2
0

 y , 0x , ; 
alrededor del eje y. 
 
11. Determinar el volumen del solido 
generado al hacer girar la región acotada 
por la parábola 2xy  y la recta 1y 
alrededor de: 
a. Recta 1y 
b. Recta 1y 
 
12. Diseño de una aplomada Se le ha pedido 
que diseñe una plomada que pese 
alrededor de 190 g. Para cumplir su 
cometido, decide que su forma debe ser 
parecida a la del sólido de revolución que 
 2 Matemática para Ingenieros 1 
se muestra a continuación. Determine el 
volumen de la plomada. Si para su 
fabricación elige latón que tiene una 
densidad de 8.5 g/cm3, ¿cuánto pesará la 
plomada (redondee al gramo más 
cercano)? 
 
 
EJERCICIOS PROPUESTOS 
 
1. Calcule el volumen del cuerpo 
engendrado al girar alrededor del eje X 
la región definida por curva 𝑓(𝑥) = 𝑥 3 
, la recta 𝑦 = 0 y la recta 𝑥 = 1 
 
2. Determine el volumen generado por la 
sección plana definida por la curva 
𝑓(𝑥) = 𝑥 2 − 5𝑥 + 6 y la recta 𝑦 = 0 , al 
rotar sobre el eje X 
 
3. Calcule el volumen engendrado al rotar 
la región definida por 𝑓(𝑥) = 𝑥 3 y 
𝑔(𝑥) = 𝑥 , sobre el eje X 
 
4. Calcule el volumen generado al rotar la 
región definida por la intersección de 
las curvas 𝑓(𝑥) = 𝑥 2 + 1 y 𝑔(𝑥) =
 3𝑥 + 5 al rotar sobre el eje X 
 
 
5. Calcule el volumen generado al girar la 
región limitada por las curvas 𝑓(𝑥) =
𝑥 3 + 𝑥 2 + 2𝑥 + 1 , 𝑥 = 1 y los ejes 
coordenados alrededor dela recta 
vertical 𝑥 = 2 
 
6. Determinar el volumen de los sólidos 
generados al hacer girar las regiones 
acotadas por las rectas y curvas 
alrededor del eje x. 
a. 12  xy , 3 xy 
b. xy sec , xy tan , 0x , 1x 
 
7. Se le pide diseñar una sartén con forma 
de tazón esférico con asas. Su 
experiencia domestica le indica que 
puede obtener una sartén con capacidad 
para 3 L si la construye con 9 cm de 
profundidad y un radio de 16 cm. Para 
asegurarse de ello, imagine la sartén 
como un sólido de revolución semejante 
al que se muestra a continuación y 
calcule su volumen con una integral. 
¿qué volumen tiene la sartén realmente? 
Redondee la respuesta al centímetro 
cúbico más cercano (1 L = 1 000 cm3). 
 
 
 
8. Determine el volumen del sólido 
generado al hacer girar la región 
sombreada alrededor del eje x (ver 
figura). 
 
 
 
 
 
 
 3 Matemática para Ingenieros 1 
9. Determinar el volumen de los sólidos 
generados al hacer girar las regiones 
acotadas por las rectas y curvas 
alrededor del eje y. 
a. 2xy  , 0y , 3x . 
b. yx tan , 
4

y , 0x , 
 
EJERCICIOS ADICIONALES 
 
1. Calcule el volumen generado al rotar la 
región limitada por la parábola 𝑓(𝑥) = 𝑥 2 
y la recta y= x , sobre la recta y = 3 
 
2. Calcule el volumen generado al rotar la 
región limitada por la curva 𝑓(𝑥) = 10 −
𝑥 2 y la recta y =1 , sobre la recta y = -2 
 
3. Determine el volumen del solido generado 
al hacer girar la región acotada por la 
parábola a 2xy  y la recta 2y 
alrededor de: 
a. La recta 1y 
b. La recta 1y 
c. La recta 2y 
 
4. Determine el volumen del sólido generado 
al hacer girar las regiones acotadas por las 
rectas y las curvas dadas alrededor del eje 
x. 
a. 12  xy , 3 xy . 
b. 24 xy  , xy  2