Entretenimiento 10 - S08

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ENTRETENIMIENTO 10 - 08/11/2022 
 
 
1. ÁREAS DE REGIONES PLANAS: 
 
1.1. Caso I: Sea ( )y f x= una función continua en  ;a b y además  ( ) 0 ; ;f x x a b   . El 
área de la región plana R limitada por ( )f x , el eje X y las rectas verticales ;x a x b= = 
está dado por: 
 
 
 ( ) ( )
b
a
A R f x dx=  
 
 
 
 
 
 
 
 
Observación 1: Sea ( )y f x= una función continua en  ;a b y además 
 ( ) 0 ; ;f x x a b   . El área de la región plana R limitada por ( )f x , el eje X y las rectas 
verticales ;x a x b= = está dado por: 
 
 
 
 ( ) ( )
b
a
A R f x dx= −  
 
 
 
 
 
 
 
 
1.2. Caso II: Sean ;f g funciones continuas en  ;a b tal que  ( ) ( ) ; ;f x g x x a b   . El 
área de la región plana R limitada por ( ) y ( )f x g x , las rectas verticales ;x a x b= = está 
dado por: 
 
 
 
 
  ( ) ( ) ( )
b
a
A R f x g x dx= − 
 
 
 
 
 
 
Observación 2: El área de la región plana R limitada por las curvas ( ) ; ( ) ;x f y x g y= = 
 ;y c d  tal que ( ) ( )f y g y y las rectas horizontales ;y c y d= = está dado por: 
 
Y 
( )y f x=
 
X 
 
 
 
 
  ( ) ( ) ( )
d
c
A R f y g y dy= − 
 
 
 
 
 
 
 
 
Ejemplo 01: Calcule el área de la figura limitada por la curva 
3x y= , la recta horizontal 1,y = y la 
vertical 8x = . 
Solución: 
Primeramente, graficamos la región plana 
 
Aplicamos la integral para calcular el área: 
 
8
3 4
8 3
1
1
3
( 1)
4
x
A x dx x
 
= − = − 
 
 
 
 
3 43 8 3 1 17
8 1 4
4 4 4 4
A
     
= − − − = − − =           
 
 
 
Por tanto: 
217
4
A u= 
 
 
Ejemplo 02: La región plana ,R limitada por la curva 24 6 3x y y= − + + , y la recta 2 3 7x y+ = 
a) Modele la expresión matemática que permite calcular el área de la región plana 
calcule el área de la región plana. 
Solución: 
 
1°) Determinamos la región plana R 
 
 
2°) Determinamos los puntos de intersección: 
2
2
14 6 6 3
12 11 0
( 1) ( 11) 0 1;11
y y y
y y
y y y
− = − + +
− + =
− − =  =
 
Entonces los puntos de intersección son: ( 13;11)A − y (2;1)B 
 
2
11
1
6 3 7 3
( )
4 2
y y y
A R dy
 − + + −
= − 
 
 Por tanto: 
2
11
1
11
( ) 3
4 4
y
A R y dy
 
= − −− 
 
 
 
3°) Calculamos el área de la región plana R 
 
11
2 3 2
11
1
1
11 3 11 1331 363 121 1 3 11
( ) 3
4 4 12 2 4 12 2 4 12 2 4
y y y y
A R y dy
   
= − −− = − + − = − + − − − + −   
  
 
Y 
X 
3x y=
 
1y = 
Y 
X 
484 16 500
( )
12 12 12
A R = + = Por tanto: 
2500( )
12
A R u= 
 
Ejemplo 02: Determine el área de la región plana limitada por las curvas = =
2
2 xy x ; y ;
2
 y la 
recta =y 2x. 
Solución: 
 
 
 
 
 
 
 
 
Intersección: 
 
2 2
( 2) 0
0 ; 2
x x
x x
x
=
− =
=
 
 
 
2
2
2
( 4) 0
0 ; 4
x
x
x x
x
=
− =
=
 
 
1 2( )A R A A= + 
 
 
*) Para A1: 
 
2
2 2 2
2 2 3
1 00 0
1 1 1 4
( ) 8
2 2 2(3) 6 3
x
A x dx x dx x = − = = = =   
 
*) Para A2: 
4
2 3
4
2
2
2
2
32 4 28 8
(2 ) 16 (4 ) 12
2 6 3 3 3 3
x x
A x dx x
 
= − = − = − − − = − = 
 
 
 
Por tanto: 
2( ) 4A R u= 
 
 
Ejemplo 03: Hallar el área de la región plana limitada por las siguientes curvas: 
3 0,x y y+ − = e 
2 0x y y− + = 
Solución: 
 
(x<=y-y²)∧(y>=0)∧(x>=y³-y) 
 
(x>=y-y²)∧(y<=0)∧(x<=y³-y) 
 
 
 
 
2y x=
 
2
2
x
y =
 
2y x=
 
2A
 
1A
 
 
 
 
 
Intersección: 
 
3 2
3 2
2
2 0
( 2) 0
( 2) ( 1) 0 2;0;1
y y y y
y y y
y y y
y y y y
− = −
+ − =
+ − =
+ − =  = −
 
 
 
 
1 2( )A R A A= + 
 
 
*) Para A1: 
1
3 4
1 2
2 3 2 3 2
1
0 1
0
( ) (2 )
3 4
y y
A y y y y dy y y y dy y
 
 = − − − = − − = − −  
 
  
1
1 1 5
1
3 4 12
A = − − = 
 
*) Para A2: 
0
4 3
0 0
3 2 3 2 2
2
2 2
2
8 8
( ) ( 2 ) (4 4)
4 3 3 3
y y
A y y y y dy y y y dy y
− −
−
 
 = − − − = + − = + − = − − − =  
 
  
5 8 37
( )
12 3 12
A R = + = 
 
Por tanto: 
237( )
12
A R u= 
 
Ejercicio 15: Calcule el área de la región plana limitada por la curva 
1
1x x
y
e e−
=
+ +
, el eje X , las 
rectas 2x = − y 2x = . 
Solución: 
 
(y<=(exp(x)/(exp(2x)+exp(x)+1))∧(-2<=x<=2)∧(y>=0) 
 
 
 
2 2
22 0
( ) 2
1 1
x
x x x x
dx e dx
A R
e e e e−−
= =
+ + + + 
 
 
Hacer: 
x xu e du e dx=  = 
2
2
2 2
21 1
2
1
1
1
2 2 2 12( ) 2 2 2 ( ) 2 ( )
1 31 3 3 3 3( )
2 4 2
e
e
e e
u
du du u
A R arctg arctg
u u
u
 
+  + 
= = = =   + +   + +
  
  
Y 
X 
A
1 
A
2 
2x y y= − 3x y y= − 
2 2 2
21
4 2 1 3 4 2 1
( ) 2 ( ) ( ) ( )
1 33 3 3 3 3
e du e e
A R arctg arctg arctg
u u
   + +
= = − = −   
+ +    
 
 
 
Por tanto: 
2
24 2 1( ) ( )
33 3
e
A R arctg u
 +
= − 
 
 
 
 
 
MISCELÁNEA 1 
 
01) Calcule el área de la región plana limitada por ( ) ( 1) ( 2)f x x x x= − − y el eje OX 
Rpta: 
21/ 2 u 
 
02) Calcule el área de la región plana limitada por las curvas 
24 ; 4 4y x y x= − = − 
Rpta: 
232 / 3 u 
 
03) Calcule el área de la región plana limitada por las curvas 
2 4 ; 2 4y x x y= − = 
Rpta: 
29 u 
 
04) Calcule el área de la región plana limitada por ( ) ( 2) ( 4)f x x x x= − − y el eje OX 
 
05) Calcule el área de la región plana limitada por la curva 
22y x x= − y la recta y x= − 
Rpta: 
29 / 2 u 
 
06) Calcule el área de la región plana limitada por la curva 
2 2y x= y la recta 4y x= − 
Rpta: 
218 u 
 
07) Calcule el área de la región plana limitada por las curvas 
2 3;y x y x= = y la recta 2x y+ = 
Rpta: 
29 u 
 
08) Calcule el área de la región plana limitada por la curva 
3 4y x x= + − y las rectas 
; 8y x y x= = − 
 
09) Calcule el área de la región plana limitada por la curva 
3 3y x x= − y la recta y x= 
Rpta: 
28 u 
 
10) Calcule el área de la región plana limitada por la curva 
2y x x= − y la recta y x= − 
Rpta: 
24 / 3 u 
 
11) Calcule el área de la región plana limitada por las curvas  2 3; ; 1;2y x y x x= =  − 
Rpta: 
225 /12 u 
 
12) Calcule el área de la región plana limitada por las curvas 
2 23 ;y x x y x x= − = − 
Rpta: 
28 / 3 u 
 
13) Calcule el área de la región plana limitada por las curvas 
2 ; 3 2y x y x= = − 
Rpta: 
232 / 3 u 
 
14) Calcule el área de la región plana limitada por las curvas 
3 20 ; 0x y y x y y+ − = − + = 
Rpta: 
237 /12 u 
15) Calcula el área de la región plana limitada por la curva 
1
1x x
y
e e−
=
+ +
, el eje X , las rectas 
2x = − y 2x = . 
 
16) Calcule el área de la región plana limitada por la curva 
3 23 3y x x x= − − + el eje X , las rectas 
2x = − y 2x = 
 
17) Calcule el área de la región plana limitada por las curvas 
2
2 ;
2
x
y x y= = y la recta 2y x= 
Rpta: 
24 u 
 
18) Calcule el área de la región plana limitada por las siguientes curvas 
2 2 ; 4y x y x= = − y la 
recta 4 4y x= − Rpta: 218 u 
 
19) Calcule el área de la región plana limitada por la curva 
3 3y x x= − y la recta y x= 
Rpta: 
28u 
 
20) Un ingeniero civil, desea construir una alameda junto a una torre inmobiliaria en construcción, 
que está limitada por las funciones 
2 2( ) 200 ; ( )f x x g x x= − = . Para hacer el diseño necesita 
saber el área del terreno designado, Además grafique ambas funciones representando el área de 
la alameda. 
 
21) Determine el área de la región limitada por las gráficas de: 
a) 
2( 2)
1 ; 5 2 2
9
x
y y x
−
= − = + y 4x = 
b) 
2
2 1 ; 1
2 3
x x
y x y= − + = + y 5x y+ = 
 
22) Determine el área de la región limitada por las gráficas de: 
a)  ( ) 1 ; 1;2f x x x x= − −  − Rpta: 2
5
2
u 
 
b)  2( ) ln ( ) ; 1;f x x x x e=  Rpta: 
2
21
4
e
u
−
 
 
c)  ( ) ( ) ; 0;2xf x e sen x x −=  Rpta: 
2
2( 1)
2
e
u
− +
 
 
23) Determine el área de la región plana limitada por la función 
2 4 ( 4)y x x= + 
Rpta: 
24096
105
u 
 
 
 
24) Calcule el área de la región sombreada en: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
25)Calcule el área de la región plana, limitada por el interior de la circunferencia 
2 2( 1) 5x y+ − = y 
la parábola 
22( 1)x y= − Rpta: 
23 15
2 5
arcsen u
 
+  
 
 
 
26) Un ingeniero civil, desea construir una alameda junto a una torre inmobiliaria en construcción, 
que está limitada por las regiones planas: 
2 1,y x + 2 9y x − y 3y x − . Para hacer el diseño 
necesita saber el área del terreno designado, Además grafique ambas regiones planas 
representando el área en 
2km de la alameda. Rpta: 
21
3
km 
 
Ejemplo 01: Un equipo de biólogos, necesitan hacer un estudio sobre una nueva plaga en el fundo 
“La Fortaleza”, ubicado en la ciudad de Chiclayo, para esto necesitan saber el área del terreno a 
investigar. Observan que el terreno está limitado por las regiones planas: 
2 1;y x + 
2 9 ; 3 .y x y x −  − y Para esto: 
a) Grafique en el mismo plano cartesiano la región que representa el área del terreno y modele la 
expresión matemática que permite determinar el área del terreno. 
b) Calcule el área total del terreno, si cada espacio en el plano cartesiano representa un kilómetro. 
Solución (a): 
Con geogebra: (y<=x²+1)∧(y>=x²-9)∧(y<=3-x) 
 
*) Intersecamos: 
2 23 9 12 0
( 4) ( 3) 0 4 ; 3
x x x x
x x x
− = −  + − =
+ − =  = −
 
 
2 23 1 2 0
( 2) ( 1) 0 2 ; 1
x x x x
x x x
− = +  + − =
+ − =  = −
 
 
 
1 2 3( )A R A A A= + + 
 
 
2 1 3
2 2 2 2
4 2 1
( ) 3 ( 9) 1 ( 9) 3 ( 9)A R x x dx x x dx x x dx
−
− −
     = − − − + + − − + − − −        
2 1 3
2 2
4 2 1
( ) (12 ) 10 (12 )A R x x dx dx x x dx
−
− −
= − − + + − −   
 
Solución (b): 
 
2 3
2 3 2 3
1
2
4 1
( ) 12 10 12
2 3 2 3
x x x x
A R x x x
−
−
−
   
= − − + + − −   
   
 
8 64 9 1 1
( ) 24 2 ( 48 8 ) 10(1 2) 36 9 (12 )
3 3 2 2 3
8 64 9 1 1 158
26 56 30 27 12 52,67
3 3 2 2 3 3
A R = − − + − − − + + + + − − − − −
= − + + − + + − − + + =
 
Por tanto: El área total del terreno es de 52,67 
2km aproximadamente 
 
 
 
VOLUMENES DE SÒLIDOS DE REVOLUCIÒN 
 
1. Método del Disco Circular: La región plana limitada por una función ( ) 0f x  continua 
 ;x a b  , el eje X y las rectas ;x a x b= = , se hace girar alrededor del eje X determina un 
sólido de revolución S , cuyo volumen es:  
2
( ) ( )
b
a
V S f x dx=  
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Observación 1: La región plana limitada por la curva ( )x g y= , el eje Y y las rectas ;y c y d= = 
( )c d , entonces el volumen del sólido generado al rotar la región plana en el eje Y , está dado 
por: 
 
 
  
2
( ) g ( )
d
c
V S y dy=  
 
 
 
 
 
 
Ejemplo 01: Calcule el volumen del sólido de revolución que se obtiene al girar alrededor del eje X, 
el área de la región plana limitada por la función 
2( ) ,f x x x= − y el eje X 
Solución: 
 
*) Determinamos los interceptos en el eje X: 
 
2 0
( 1) 0
0 ; 1
x x
x x
x
− =
− =
=
 
 
*) Determinamos el volumen: 
 
1
3 4 521 1
2 2 3 4
0 0
0
( ) ( ) ( 2 )
3 2 5
x x x
V S x x dx x x x dx  
 
= − = − + = − + 
 
  
X 
Y 
( )y f x=
 
a b 
2( )f x x x= −
 
0 X 1 
Y 
 
1 1 1 10 15 6
(0)
3 2 5 30 30

 
− +   
= − + − = =  
   
 
 
Por tanto: El volumen es 
3
30
u

 
 
2. Método del Anillo Circular (Arandelas): La región plana limitada por dos funciones continuas 
 ( ) g( ) 0 ; ;f x x x a b    entonces el volumen del sólido generado al girar alrededor del eje X 
determina un sólido de revolución que tiene por volumen: 
 
 
2 2( ) ( ) g ( )
b
a
V S f x x dx  = −  
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
2.1. Procedimiento para determinar el volumen por este método: Tener presente 
1. Dibuje la región plana a rotar. 
2. Determine los puntos de intersección de las curvas (si es necesario). 
3. Determine la función f y g que corresponden para aplicar la fórmula. 
5. Modele la integral definida e integre para calcular el volumen deseado. 
 
Ejemplo 03: Determine el volumen del sólido generado por la rotación de la región plana limitada 
por las gráficas de 
28 / ; ; 1; 3,y x y x x x= = = = alrededor del eje X. 
Solución: 
 
*) Graficamos la región plana: 
 
*) Puntos de Intersección: 
 
2 38 8 0x x
x
=  − = 
 
2( 2)( 4) 0 2x x x x− + + =  = 
 
*) Modelamos la integral e integramos: 
 
2 3
2 2 2 2 2 2
1 2
8 8
( ) ( ) ( ) ( ) ( )V S x dx x dx
x x
 
   
= − + −   
   
  
 
2 3
5 5
1 2
64 64 32 1 243 64 32
( ) 32 64 32
5 5 5 5 5 3 5
x x
V S
x x
   
          
= − + + + = − + − + + + − +          
         
 
 
31 211 64 180 64 540 320 860 172
( ) 32 32
5 5 3 5 3 15 15 3
V S
 
   
+       
= − + + − = + = = =       
       
 
8
y
x
= 
2y x= 
Por tanto. 
3172( )
3
V S u

= 
 
 
Observación 1: La región plana limitada por las curvas f y g continuas en el intervalo  ;c d 
tales que  ( ) ( ) 0 ; ;f y g y y c d    , entonces el volumen del sólido generado, al girar alrededor 
del eje Y determina un sólido de revolución S , que tiene por volumen: 
 
 
2 2( ) ( ) g ( )
d
c
V S f y y dy  = −  
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Ejemplo 02: Determine el volumen que se genera al hacer girar la región plana limitada por las 
parábolas 
24 ;y x= − y 2( 2)y x= − 
a) Alrededor del eje X Rpta:
332
3
u

 b) Alrededor del eje Y Rpta: 
316
3
u

 
Solución (a): 
 
*) Intersecamos las funciones: 
 
2 2( 2) 4x x− = − 
2 2
2
4 4 4
2 4 0
( 2) 0
0 ; 2
x x x
x x
x x
x
− + = −
− =
− =
=
 
 
2( ) 4f x x= − 
 
2( ) ( 2)g x x= − 
 
 
2 2
2 2 2 2 4
0 0
( ) ( ) g ( ) (4 ) ( 2)V S f x x dx x x dx    = − = − − −     
 
*) Calculamos el volumen: 
 
2 2
2 4 4 3 2 3 2
0 0
2
3
4 2 3
0
( ) 16 8 ( 8 24 32 16) 8 32 32
32 256 256 32
2 16 32 64 96
3 3 3 3
V S x x x x x x dx x x x dx
x
x x u
 

  
   = − + − − + − + = − +   
     
= − + = − + = − =     
    
 
 
 
Por tanto: El volumen del sólido de revolución es 
332
3
u

 
Solución (b): 
*) Determinamos el dominio: 
2 2( 2) 4x x− = − 
2 2
2
4 4 4
2 4 0
( 2) 0
0 ; 2
x x x
x x
x x
x
− + = −
− =
− =
=
 
 
0 ; 4y = 
 
24 4 ( ) 4y x x y f y y= −  = −  = − 
 
2( 2) 2 ( ) 2y x x y g y y= −  = −  = − 
 
4 4
2 2 2
0 0
( ) ( ) g ( ) (4 ) (2 )V S f y y dy y y dy    = − = − − −     
 
*) Calculamos el volumen: 
4
3
4 4
2
0 0
0
8
( ) 4 (4 4 ) 4 2
3
y
V S y y y dy y y dy y  
 
   = − − − + = − = − 
   
  
  
 
364 1616 (0)
3 3
u


 
= − − = 
 
 
 
Por tanto: El volumen del solido de revolución es 
316
3
u
