inbound5310442331535362454 - Nilton Rodriguez Suarez

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“Decenio de la igualdad de oportunidades para mujeres y hombres” 
“Año de la Paz, la Unión y el Desarrollo” 
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MAE – 5° - 2023 Docentes: . Juan M., Aurelio J., Aldo C.,Eladio G, Mikelsendg R., William R. 
TEMA: TEOREMA DEL BINOMIO DE NEWTON 
Grado: 
5°NM 
Área: 
MATEMÁTICAS: ANÁLISIS Y ENFOQUES 
Semana 7 
Del 1 al 6 de Mayo 
FACTORIAL DE UN NÚMERO, n.- El factorial de un 
número entero positivo n, es el producto de factores 
consecutivos presentados en orden descendente desde 
“n” hasta 1; su notación es: 
!n ; se lee “ fatorial de n” 
En general: 
! .( 1).( 2).( 3)...3.2.1n n n n n    
Ejemplo 1: 
7! 7.(7 1).(7 2).(7 3).(7 4)(7 5).(7 6)
7! 7.6.5.4.3.2.1
      

 
PROPIEDADES 
1.- El factorial de un número se descompone como el 
producto del factorial de un número menor, multiplicado 
por todos los consecutivos hasta el número de 
consideración. 
Ejemplo 2: 
6! 6.5.4.3.2.1
6! 6.5.4.3!
6! 6.5.4!
6! 6.5!




 
Ejemplo 3: 
Hallar 
5! 18! 
E=
6! 17! 
 
 
2.- Si el factorial del número A es igual al factorial del 
número B, entonces A y B son iguales, es decir: 
A! = B!  A = B (A  0  B 0) 
Ejemplo 4: Calcular los valores de “n” 
 (n!)2 - (8n)! + 12 = 0 
Observación: El factorial de cero es igual a la unidad, 
es decir: 
0! = 1; Demostración: 
Dado que; n! = (n –1)! . n 
Para: n = 1  1! = 0! x 1 
 0! = 1 
COMBINATORIA.- Las Combinaciones de “n” 
elementos, tomados en grupo de “k” en “k” son los 
diferentes grupos que se forman, en el cual participando 
“k” elementos en cada grupo estos se diferencian al 
menos por un elemento, matemáticamente: 
n
k
n!
C
k (n - k)!
 ; k  n 
Ejemplo 5: Una tienda de batidos ofrece cocteles de 
dos tipos de frutas. Se puede pedir la combinación que 
se desee entre 6 frutas disponibles: fresa, arandanos, 
mango, papaya, durazno y naranja. ¿cuántas 
combinaciones diferentes ofrecen en esta tienda de 
batidos? 
BINOMIO DE NEWTON 
Fórmula que nos permite encontrar el desarrollo de un 
binomio elevado a cualquier exponente. Si el exponente 
es entero y positivo. 
1. (a + b)1 = a + b 
2. (a + b) ² = a² + 2ab +b² 
3. (a + b)3 = a3 +3a²b+3ab²+b3 
4. (a + b)4 = a4 + 4a3b +6a²b²+4ab3+b4 
 (a + b)n = 0
nc an + 1
nc an – 1 b + 2
nc 2na  ... 
n
nc n b 
De estos desarrollos observamos: 
1. El número de términos que tiene el desarrollo es igual 
al exponente del binomio más uno. 
(a + b)n  El número de términos es: n+1 
2. Los coeficientes de los términos equidistantes de los 
extremos en el desarrollo son iguales. 
3. En el desarrollo, cada coeficiente es igual al coeficiente 
anterior multiplicado por el exponente de “a” y dividido 
entre el exponente de “b” más uno. 
4. La suma de los coeficientes del desarrollo es igual al 
número 2 elevado al exponente del binomio. 
 2n si n=es el exponente 
Ejemplo 6: 
Utilice el teorema del binomio para desarrollar (2x-5y)3 . 
Escriba la respuesta en su forma más sencilla. 
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MAE – 5° - 2023 Docentes: . Juan M., Aurelio J., Aldo C.,Eladio G, Mikelsendg R., William R. 
TRIANGULO DE PASCAL 
Es un triángulo en el cual, un coeficiente cualquiera es igual 
a la suma de los dos que van sobre el en la línea anterior. 
Es práctico cuando los exponentes del binomio son 
pequeños. 
Ejemplos 7: Para hallar los coeficientes de (a + b)6; su 
triángulo de Pascal sería: 
(a + b)0 = 1 
(a + b)1 = 1 1 
(a + b)2 = 1 2 1 
(a + b)3 = 1 3 3 1 
(a + b)4= 1 4 6 4 1 
(a + b)5 = 1 5 10 10 5 1 
(a + b)6 = 1 6 15 20 15 6 1 
FORMULA PARA DETERMINAR UN TÉRMINO 
CUALQUIERA DEL DESARROLLO DEL BINOMIO 
DE NEWTON 
Las siguiente formula nos da el termino de la 
posición k+1 en la expansión de Newton de un binomio. 
Para el binomio ( )na b tenemos que su termino k+1 es: 
Kknn
kk baCT )()(1

  ,0  k  n; k+ 
Ejemplo 8: 
Hallar el término octavo del desarrollo de  
10
2 33x y 
 
 SEGUIMOS PRACTICANDO LO APRENDIDO 
 
1. Hallar el T25 en el desarrollo de (x2 –y3)26 
 
2. considere el desarrollo de 
2 9(3 2)x  
 
(a) Escriba cuantos términos hay en este desarrollo. 
(b) Halle el término que ocupa 
4x 
 
3. El quinto término del desarrollo del binomio 
( )na b viene dado por 
6 4
10
(2 )
4
p q
 
 
 
 
(a) Escriba e l valor de n 
(b) Escriba a y b , en función de p y/o q 
(c) Escriba una expresión correspondiente al sexto 
término del desarrollo 
 
4. Determinar el valor de “k” en el binomio (x+1)36, si 
los términos de lugares (k – 4) y k2 son iguales en sus 
coeficientes. 
 
5. En el desarrollo de (x + k)7 , donde k∈R, el coeficiente 
del término en x5 es 63 .Halle los posibles valores de 
k. 
6. Dado el binomio 
2 501( )x
x
 encuentre el 
Coeficiente del término que contiene a 
34x . 
 
7. Un término en el desarrollo de  2 72
n
x y 
tiene como parte literal a 
6 49x y . Hallar el 
coeficiente del segundo término 
 
8. Hallar kn si se sabe que el cuarto término del 
desarrollo de 
n)2x(  es kx80 
9. Un término en el desarrollo de  nyx 72 5 tiene 
como parte literal a 
356yx . Hallar el coeficiente del 
segundo término 
 
10. El tercer término del desarrollo de 
6(2 )x p es 
460x . Halle los posible valores de p 
11. Considere el desarrollo de 
9
23
k
x
x
 
 
 
, donde k > 0. 
El coeficiente del término en x6 es 6048. Halle el valor 
de k . 
12. Considere el desarrollo de 
12
2
42
x
x
k
 
 
 
, donde 
k  0. El coeficiente del término en x40 es cinco 
veces el coeficiente del término en x38 6048. 
Halle el valor de k. 
 
Referencias Bibliográficas: 
Buchanan, L. et al. (2012); Matematicas Nivel Medio; Oxford 
University Press. México. 
.Larson, R. & Edwards,B (2010). Calculo de una variable. 
Editorial Mcgraw-Hill. Colombia 
Organización del Bachillerato Internacional (2010-2022). 
Programa del Diploma. Convocatoria mayo-noviembre. 
Prueba 1-2. Nivel medio. Matemática. Cardiff (Versión 
electrónica - impresa).