1. PRIMERA PARTE DE ÁLGEBRA

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AUTORES 
Msc. Roberto Javier Ruiz Mendieta - Msc. Hank Espinoza Serrano 
 
 
𝐔𝐔𝐔𝐔𝐔𝐔𝐔𝐔𝐔𝐔𝐔𝐔𝐔𝐔𝐔𝐔𝐔𝐔𝐔𝐔𝐔𝐔 𝐔𝐔𝐔𝐔𝐍𝐍𝐔𝐔𝐍𝐍𝐔𝐔𝐔𝐔𝐍𝐍 𝐔𝐔𝐔𝐔 𝐔𝐔𝐔𝐔𝐈𝐈𝐔𝐔𝐔𝐔𝐔𝐔𝐔𝐔𝐔𝐔Í𝐔𝐔 
𝐔𝐔𝐔𝐔𝐃𝐃𝐔𝐔𝐔𝐔𝐃𝐃𝐔𝐔𝐃𝐃𝐔𝐔𝐔𝐔𝐃𝐃𝐍𝐍 𝐔𝐔𝐔𝐔 𝐃𝐃𝐔𝐔𝐃𝐃𝐔𝐔𝐃𝐃Á𝐃𝐃𝐔𝐔𝐍𝐍𝐔𝐔𝐔𝐔 
𝐍𝐍𝐔𝐔𝐔𝐔𝐔𝐔𝐍𝐍 𝐃𝐃𝐔𝐔𝐍𝐍𝐃𝐃𝐔𝐔𝐔𝐔É𝐔𝐔𝐃𝐃𝐔𝐔𝐍𝐍𝐍𝐍 
𝐃𝐃𝐔𝐔𝐃𝐃𝐔𝐔𝐃𝐃Á𝐃𝐃𝐔𝐔𝐍𝐍𝐔𝐔 𝐁𝐁Á𝐔𝐔𝐔𝐔𝐍𝐍𝐔𝐔 
PRIMERA PARTE 
ÁLGEBRA 
 
Universidad Nacional de Ingeniería 
 
 
Coordinación General 
Dirección Superior UNI 
 
 
Elaboración 
Msc. Roberto Javier Ruiz Mendieta Msc. Hank Espinoza Serrano 
Profesor Titular Profesor Titular 
Departamento de Matemáticas Departamento de Matemáticas 
RUSB – UNI RUSB – UNI 
 
 
Revisión 
Msc. Elías Martínez Rayo Lic. José Manuel Siles Huerta 
Profesor Titular Profesor Titular 
Jefe del Departamento de Matemática Jefe del Departamento de Matemática 
RUSB – UNI RUPAP – UNI 
 
 
Ing. Santiago Roque Rodríguez Lic. Richard González Pilarte 
Encargado de Cátedra Encargado de Cátedra 
Departamento de Matemática Departamento de Matemática 
RUPAP – UNI RUPAP – UNI 
 
 
Ing. Ricardo Largaespada 
Encargado de Cátedra 
Departamento de Matemática 
RUSB – UNI 
 
 
Diseño y Diagramación 
Msc. Roberto Javier Ruiz Mendieta 
Profesor Titular 
Departamento de Matemáticas 
UNI 
 
 PRIMERA PARTE- ÁLGEBRA 
 
 
CURSO PROPEDÉUTICO DE MATEMÁTICA Página 1 
 
INTRODUCCIÓN 
Para multiplicar dos polinomios se aplica repetidamente la propiedad distributiva, multiplicando cada término 
del primer polinomio por todos los del segundo y, luego, se suma o resta. Además, se debe tener en cuenta el 
producto de potencias de igual base. 
 
El cuadrado del binomio, como otros productos notables, tiene una representación geométrica en el plano. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
La suma de las áreas de estos cuadrados y rectángulos es igual al área total del cuadrado de lado 𝒂𝒂 + 𝒃𝒃, es 
decir: 
 
 (𝒂𝒂 + 𝒃𝒃)𝟐𝟐 = 𝒂𝒂² + 𝟐𝟐𝒂𝒂𝒃𝒃 + 𝒃𝒃² 
 
PRODUCTOS NOTABLES 
Son aquellos productos que se rigen por reglas fijas y cuyo resultado puede hallarse por simple inspección. 
 
Entre los más importantes tenemos: 
1. Binomio: Cuadrado de la Suma 
(𝒂𝒂 + 𝒃𝒃)𝟐𝟐 = 𝒂𝒂² + 𝟐𝟐𝒂𝒂𝒃𝒃 + 𝒃𝒃² 
2. Binomio: Cuadrado de la Diferencia 
(𝒂𝒂 − 𝒃𝒃)𝟐𝟐 = 𝒂𝒂² − 𝟐𝟐𝒂𝒂𝒃𝒃 + 𝒃𝒃² 
3. Producto de la Suma por la Diferencia 
(𝒂𝒂 + 𝒃𝒃)(𝒂𝒂 − 𝒃𝒃) = 𝒂𝒂² − 𝒃𝒃² 
4. Binomio: El Cubo de la Suma 
(𝒂𝒂 + 𝒃𝒃)𝟑𝟑 = 𝒂𝒂𝟑𝟑 + 𝟑𝟑𝒂𝒂²𝒃𝒃 + 𝟑𝟑𝒂𝒂𝒃𝒃² + 𝒃𝒃³ 
5. Binomio: El Cubo de la Diferencia 
(𝒂𝒂 − 𝒃𝒃)𝟑𝟑 = 𝒂𝒂𝟑𝟑 − 𝟑𝟑𝒂𝒂²𝒃𝒃 + 𝟑𝟑𝒂𝒂𝒃𝒃² − 𝒃𝒃³ 
6. Productos de la Forma: 
(𝒂𝒂 + 𝒃𝒃)(𝒂𝒂𝟐𝟐 − 𝒂𝒂𝒃𝒃 + 𝒃𝒃𝟐𝟐) = 𝒂𝒂³ + 𝒃𝒃³ 
(𝒂𝒂 − 𝒃𝒃)(𝒂𝒂𝟐𝟐 + 𝒂𝒂𝒃𝒃 + 𝒃𝒃𝟐𝟐) = 𝒂𝒂𝟑𝟑 − 𝒃𝒃³ 
7. Cuadrado de un Trinomio 
( 𝒂𝒂 + 𝒃𝒃 + 𝒄𝒄)𝟐𝟐 = 𝒂𝒂² + 𝒃𝒃² + 𝒄𝒄² + 𝟐𝟐 (𝒂𝒂𝒃𝒃 + 𝒃𝒃𝒄𝒄 + 𝒂𝒂𝒄𝒄) 
8. El Cubo de un Trinomio 
(𝒂𝒂 + 𝒃𝒃 + 𝒄𝒄)𝟑𝟑 = 𝒂𝒂³ + 𝒃𝒃³ + 𝒄𝒄³ + 𝟑𝟑(𝒂𝒂 + 𝒃𝒃)(𝒃𝒃 + 𝒄𝒄)(𝒂𝒂 + 𝒄𝒄) 
9. Producto de dos binomios con término común 
( 𝒙𝒙 + 𝒂𝒂)(𝒙𝒙 + 𝒃𝒃) = 𝒙𝒙² + (𝒂𝒂 + 𝒃𝒃)𝒙𝒙 + 𝒂𝒂𝒃𝒃 
10. Identidades: 
( 𝒂𝒂 + 𝒃𝒃)𝟐𝟐 + (𝒂𝒂 − 𝒃𝒃)𝟐𝟐 = 𝟐𝟐𝒂𝒂𝟐𝟐 + 𝟐𝟐𝒃𝒃² = 𝟐𝟐(𝒂𝒂² + 𝒃𝒃²) 
( 𝒂𝒂 + 𝒃𝒃)𝟐𝟐 − (𝒂𝒂 − 𝒃𝒃)𝟐𝟐 = 𝟒𝟒𝒂𝒂𝒃𝒃 
( 𝒂𝒂 + 𝒃𝒃)𝟒𝟒 − (𝒂𝒂 − 𝒃𝒃)𝟒𝟒 = 𝟖𝟖𝒂𝒂𝒃𝒃 (𝒂𝒂² + 𝒃𝒃²) 
𝒂𝒂𝟑𝟑 = �
𝒂𝒂(𝒂𝒂 + 𝟏𝟏)
𝟐𝟐
�
𝟐𝟐
− �
𝒂𝒂(𝒂𝒂 − 𝟏𝟏)
𝟐𝟐
�
𝟐𝟐
 
(𝒂𝒂 + 𝒃𝒃)(𝒂𝒂𝒏𝒏−𝟏𝟏 − 𝒂𝒂𝒏𝒏−𝟐𝟐𝒃𝒃 + 𝒂𝒂𝒏𝒏−𝟑𝟑𝒃𝒃𝟐𝟐 − ⋯+ 𝒃𝒃𝒏𝒏−𝟏𝟏) = 𝒂𝒂𝒏𝒏 + 𝒃𝒃𝒏𝒏 
(𝒂𝒂 − 𝒃𝒃)(𝒂𝒂𝒏𝒏−𝟏𝟏 + 𝒂𝒂𝒏𝒏−𝟐𝟐𝒃𝒃 + 𝒂𝒂𝒏𝒏−𝟑𝟑𝒃𝒃𝟐𝟐 + ⋯+ 𝒃𝒃𝒏𝒏−𝟏𝟏) = 𝒂𝒂𝒏𝒏 − 𝒃𝒃𝒏𝒏 
Al considerar el área de un cuadrado de lado 𝒂𝒂 + 𝒃𝒃 
y las regiones que estas medidas generan en el 
cuadrado. 
 
 Si se extienden los extremos de los trazos 𝒂𝒂 y 𝒃𝒃, con 
𝒂𝒂 > 𝒃𝒃 > 𝟎𝟎, el área del cuadrado de lado 𝒂𝒂 + 𝒃𝒃 se 
dividirá en 𝟒𝟒 áreas menores (dos cuadrados, uno de 
lado 𝒂𝒂 y otro menor de lado 𝒃𝒃, y dos rectángulos de 
largo 𝒂𝒂 y ancho 𝒃𝒃). 
 
 
 
 
 PRIMERA PARTE- ÁLGEBRA 
 
 
CURSO PROPEDÉUTICO DE MATEMÁTICA Página 2 
 
Ejemplos: 
Al desarrollar los siguientes productos notables, se obtiene: 
1) �√𝒙𝒙 + 𝟐𝟐��√𝒙𝒙 − 𝟐𝟐� = 𝑥𝑥 − 4 (Se utilizó la regla (𝒂𝒂 + 𝒃𝒃)(𝒂𝒂 − 𝒃𝒃) = 𝒂𝒂𝟐𝟐 − 𝒃𝒃𝟐𝟐) 
2) (𝒙𝒙𝟐𝟐 − 𝟐𝟐)(𝒙𝒙𝟑𝟑 + 𝟐𝟐) = 𝑥𝑥5 − 2𝑥𝑥3 + 2𝑥𝑥2 − 4 (Se utilizó Producto de 2 binomios) 
3) �𝒛𝒛 + 𝟏𝟏
𝟐𝟐
�
𝟒𝟒
= 𝑧𝑧4 + 2𝑧𝑧³ + 3
2
𝑧𝑧² + 1
2
𝑧𝑧 + 1
16
 (Se utilizó 2 veces cuadrado de un binomio) 
 
EJERCICIOS 
Desarrolle los siguientes productos notables. 
1) 𝒙𝒙𝟐𝟐(𝒙𝒙𝟑𝟑 + 𝟔𝟔𝒙𝒙𝟐𝟐 − 𝟑𝟑) 𝑹𝑹. 𝑥𝑥5 + 6𝑥𝑥4 − 3𝑥𝑥2 
2) (𝟏𝟏 – 𝟗𝟗𝒙𝒙𝟗𝟗)(𝟗𝟗𝒙𝒙𝟗𝟗 + 𝟏𝟏) 
3) (𝒙𝒙 − 𝟐𝟐)(𝒙𝒙 + 𝟐𝟐)(𝒙𝒙² + 𝟒𝟒) 𝑹𝑹. (𝑥𝑥² − 4)(𝑥𝑥² + 4) = 𝑥𝑥4 − 16 
4) (𝟐𝟐𝒙𝒙𝒂𝒂+𝟒𝟒 − 𝟖𝟖𝟗𝟗𝒂𝒂−𝟏𝟏)𝟑𝟑 
5) �𝒂𝒂²
𝟐𝟐
− 𝒃𝒃³
𝟑𝟑
�
𝟐𝟐
 𝑹𝑹. 𝑎𝑎
4
4
− 𝑎𝑎²𝑏𝑏³
3
+ 𝑏𝑏
6
9
 
6) (𝒙𝒙𝒂𝒂+𝟏𝟏 − 𝟒𝟒𝒙𝒙𝒂𝒂−𝟐𝟐)𝟐𝟐 
7) �√𝟐𝟐𝒙𝒙 + 𝟐𝟐𝟗𝟗²� ��𝟐𝟐𝒙𝒙²𝟒𝟒 − 𝟐𝟐√𝟐𝟐𝟗𝟗 � ��𝟐𝟐𝒙𝒙²𝟒𝟒 + 𝟐𝟐√𝟐𝟐𝟗𝟗 � 𝑹𝑹. 2𝑥𝑥² − 6√2𝑥𝑥𝑥𝑥² − 16𝑥𝑥4 
8) (𝟒𝟒𝒙𝒙³ − 𝟏𝟏𝟎𝟎𝟗𝟗²)(𝟒𝟒𝒙𝒙³ + 𝟓𝟓𝟗𝟗²) 
9) (𝒎𝒎 + 𝒏𝒏)(𝒎𝒎𝟒𝟒 – 𝒎𝒎³𝒏𝒏 + 𝒎𝒎²𝒏𝒏² – 𝒎𝒎𝒏𝒏³ + 𝒏𝒏𝟒𝟒) 𝑹𝑹. 𝑚𝑚5 + 𝑛𝑛5 
10) �√𝟐𝟐𝒙𝒙 + 𝟐𝟐𝟗𝟗𝟒𝟒�
𝟑𝟑
 
11) (𝟑𝟑𝒂𝒂 − 𝟐𝟐𝒃𝒃)𝟑𝟑 𝑹𝑹. 27𝑎𝑎³ − 54𝑎𝑎²𝑏𝑏 + 36𝑎𝑎𝑏𝑏² − 8𝑏𝑏³ 
12) (𝟏𝟏𝟓𝟓 + 𝒙𝒙𝟗𝟗)(𝒙𝒙𝟗𝟗 − 𝟏𝟏𝟓𝟓) 
13) (𝒎𝒎 + 𝟏𝟏)𝟒𝟒(𝒎𝒎− 𝟏𝟏)𝟒𝟒 𝑹𝑹. 𝑚𝑚8 − 4𝑚𝑚6 + 6𝑚𝑚4 − 4𝑚𝑚² + 1 
14) (𝟒𝟒𝒙𝒙𝟑𝟑 − 𝒙𝒙𝟒𝟒−𝒂𝒂𝟗𝟗𝟐𝟐)𝟐𝟐 (𝒙𝒙𝟒𝟒−𝒂𝒂𝟗𝟗𝟐𝟐 + 𝟓𝟓)𝟐𝟐 
15) (𝒙𝒙² − 𝒙𝒙 + 𝟏𝟏)𝟐𝟐 𝑹𝑹. 𝑥𝑥4 − 2𝑥𝑥³ + 3𝑥𝑥² − 2𝑥𝑥 + 1 
16) (𝒙𝒙 − 𝟐𝟐)(𝒙𝒙 − 𝟏𝟏)(𝒙𝒙 + 𝟏𝟏)(𝒙𝒙 + 𝟐𝟐) 
17) (𝒙𝒙 − 𝟏𝟏)𝟐𝟐(𝟐𝟐𝒙𝒙 − 𝟑𝟑 ) 𝑹𝑹. 2 �𝑥𝑥 − 3
2
� (𝑥𝑥 − 1)2 
18) �𝒂𝒂 + 𝟏𝟏
𝟐𝟐
 �
𝟐𝟐
� 𝒂𝒂 + 𝟑𝟑
𝟒𝟒
 � �𝟏𝟏
𝟐𝟐
𝒂𝒂 + 𝟏𝟏 �
𝟐𝟐
�𝒂𝒂 − 𝟑𝟑
𝟒𝟒
 � 
19) (𝟐𝟐𝒎𝒎𝟑𝟑 − 𝒏𝒏𝟒𝟒)(𝟐𝟐𝒎𝒎𝟑𝟑 + 𝒏𝒏𝟒𝟒) 𝑹𝑹. 4𝑚𝑚6 − 𝑛𝑛8 
20) 𝟐𝟐𝟐𝟐𝒙𝒙𝟑𝟑 − (𝒙𝒙 − 𝟗𝟗)𝟑𝟑 
21) ( 𝒑𝒑 + 𝒒𝒒 )( 𝟐𝟐𝒑𝒑 − 𝒒𝒒 )( 𝒑𝒑 − 𝒒𝒒 )( 𝟒𝟒𝒑𝒑² + 𝒒𝒒² )(𝟐𝟐𝒑𝒑 + 𝒒𝒒 ) 𝑹𝑹. 16𝑝𝑝6 − 𝑝𝑝² 𝑞𝑞4 − 16𝑝𝑝4𝑞𝑞² + 𝑞𝑞6 
22) (𝒎𝒎− 𝒏𝒏 )𝟐𝟐 + 𝟓𝟓(𝒎𝒎− 𝒏𝒏) − 𝟐𝟐𝟒𝟒 
23) (𝒎𝒎 + 𝟏𝟏)𝟒𝟒(𝒎𝒎− 𝟏𝟏)𝟒𝟒 𝑹𝑹. 𝑚𝑚8 − 4𝑚𝑚6 + 6𝑚𝑚4 − 4𝑚𝑚² + 1 
24) (𝒙𝒙 + 𝟗𝟗 + 𝒂𝒂)(𝒙𝒙 + 𝟗𝟗 − 𝒂𝒂) 
25) (𝒂𝒂𝟐𝟐𝒃𝒃𝟐𝟐 − 𝟏𝟏𝟏𝟏)(𝒂𝒂𝟐𝟐𝒃𝒃𝟐𝟐 + 𝟗𝟗) 𝑹𝑹. (𝑎𝑎𝑏𝑏)4 − 2(𝑎𝑎𝑏𝑏)2 − 99 
26) �√𝟐𝟐 + 𝟐𝟐𝒙𝒙 + 𝟗𝟗��√𝟐𝟐 + 𝟐𝟐𝟗𝟗 − 𝒙𝒙� 
27) �𝟐𝟐𝒂𝒂
𝟐𝟐
𝟓𝟓
− 𝟓𝟓
𝟐𝟐𝒃𝒃𝟑𝟑
 �
𝟑𝟑
 𝑹𝑹. 8𝑎𝑎
6
125
− 8𝑎𝑎
4
5𝑏𝑏³ 
+ 15𝑎𝑎
2
2𝑏𝑏6
− 125
8𝑏𝑏9
 
28) �𝟏𝟏
𝟐𝟐
𝒙𝒙² − 𝒃𝒃𝟑𝟑 �
𝟓𝟓
 
29) (𝒛𝒛² − 𝟐𝟐)(𝒛𝒛³ + 𝟏𝟏)(𝒛𝒛² + 𝟐𝟐) 𝑹𝑹. 𝑧𝑧7 + 𝑧𝑧4 − 4𝑧𝑧3 − 4 
30) �𝟏𝟏
𝟐𝟐
𝒙𝒙𝟐𝟐𝒏𝒏+𝟓𝟓 + 𝟏𝟏
𝟑𝟑
𝒃𝒃𝟑𝟑𝒏𝒏−𝟐𝟐�
𝟒𝟒
 
 
 
 
 PRIMERA PARTE- ÁLGEBRA 
 
 
CURSO PROPEDÉUTICO DE MATEMÁTICA Página 3 
 
FACTORIZACIÓN 
 
 
 
 
 
 
1. Factor Común. 
Se emplea para factorizar una expresión en la cual todos los términos tienen algo en común (puede ser un 
número, una letra, o la combinación de los dos). El Máximo Común Divisor de los términos del polinomio 
representa el factor común, tanto de la parte literal como de la numérica. 
Ejemplos: 
 𝒙𝒙³𝟗𝟗 + 𝒙𝒙²𝟗𝟗² − 𝟐𝟐𝒙𝒙𝟗𝟗 = 𝑥𝑥𝑥𝑥 (𝑥𝑥2 + 𝑥𝑥𝑥𝑥 − 2) 
 𝟔𝟔𝒙𝒙³ − 𝟏𝟏𝟐𝟐𝒙𝒙² + 𝟑𝟑𝒙𝒙 = 3𝑥𝑥(2𝑥𝑥2 − 6𝑥𝑥 + 1) 
 
2. Factor Común por Agrupación de Términos. 
Aquí utilizaremos el caso anterior, adicionando que uniremos los factores que se parezcan, es decir, los que 
tengan un factor común. 
Ejemplos: 
 𝒂𝒂𝒙𝒙 + 𝒂𝒂𝟗𝟗 + 𝒃𝒃𝒙𝒙 + 𝒃𝒃𝟗𝟗 = (𝒂𝒂𝒙𝒙 + 𝒃𝒃𝒙𝒙) + (𝒂𝒂𝟗𝟗 + 𝒃𝒃𝟗𝟗) = 𝑥𝑥(𝑎𝑎 + 𝑏𝑏) + 𝑥𝑥(𝑎𝑎 + 𝑏𝑏) = (𝑎𝑎 + 𝑏𝑏)(𝑥𝑥 + 𝑥𝑥) 
 𝟑𝟑𝒂𝒂𝟑𝟑 − 𝟑𝟑𝒂𝒂𝟐𝟐𝒃𝒃 + 𝟗𝟗𝒂𝒂𝒃𝒃𝟐𝟐 − 𝟑𝟑𝒃𝒃𝟐𝟐 − 𝒂𝒂𝟐𝟐 + 𝒂𝒂𝒃𝒃 = (3𝑎𝑎3 − 3𝑎𝑎2𝑏𝑏 + 9𝑎𝑎𝑏𝑏2) − (3𝑏𝑏2 + 𝑎𝑎2 − 𝑎𝑎𝑏𝑏) 
 = (3𝑎𝑎 − 1)(𝑎𝑎2 − 𝑎𝑎𝑏𝑏 + 3𝑏𝑏²) 
 
3. Diferencia de Cuadrados. 
Es la suma de las raíces cuadradas de los términos, multiplicada por la diferencia de las mismas. 
Ejemplos: 
 𝟖𝟖𝟏𝟏𝒙𝒙² − 𝟏𝟏𝟎𝟎𝟎𝟎 = (9𝑥𝑥 − 10)(9𝑥𝑥 + 10) 
 
4. Trinomio Cuadrado Perfecto 
Es el resultado del cuadrado de un Binomio (Puede ser la suma o la diferencia). La regla para factorar un 
trinomio cuadrado perfecto consiste en extraer raíz cuadrada al primer y tercer términos del trinomio, 
separando estas raíces por el signo del segundo término, elevando este resultado al cuadrado. 
Ejemplos: 
 𝒂𝒂
𝟐𝟐
𝟒𝟒⏟
𝒂𝒂
𝟐𝟐
+ 𝒂𝒂𝒃𝒃
𝟑𝟑
+ 𝒃𝒃
𝟐𝟐
𝟗𝟗⏟
𝒃𝒃
𝟑𝟑�������
𝟐𝟐�𝒂𝒂𝟐𝟐��
𝒃𝒃
𝟑𝟑�= 
𝒂𝒂𝒃𝒃
𝟑𝟑
= �𝑎𝑎
2
+ 𝑏𝑏
3
�
2
 
 
5. Trinomio de la Forma 𝒙𝒙² + 𝒃𝒃𝒙𝒙 + 𝒄𝒄. 
Consiste básicamente en extraer la raíz cuadrada del primer término, y buscar dos números que multiplicados 
den 𝒄𝒄 y cuya suma o diferencia sea 𝒃𝒃. 
Ejemplos: 
 𝒙𝒙² + 𝟔𝟔𝒙𝒙 + 𝟓𝟓 = (𝑥𝑥 + 5)(𝑥𝑥 + 1 ) 
 𝒙𝒙² + 𝟒𝟒𝒙𝒙𝟗𝟗² − 𝟏𝟏𝟐𝟐𝟗𝟗𝟒𝟒 = (𝑥𝑥 + 6𝑥𝑥²)(𝑥𝑥 − 2𝑥𝑥² ) = (𝑥𝑥 + 6𝑥𝑥²)�√𝑥𝑥 − √2𝑥𝑥 ��√𝑥𝑥 + √2𝑥𝑥 � 
 𝒙𝒙²⏟
𝒙𝒙
− 𝟐𝟐𝟎𝟎𝒙𝒙 + 𝟏𝟏𝟎𝟎𝟎𝟎�
𝟏𝟏𝟎𝟎�����������
𝟐𝟐(𝒙𝒙)(𝟏𝟏𝟎𝟎)=𝟐𝟐𝟎𝟎𝒙𝒙
= (𝑥𝑥 − 10)2 
Factorizar un polinomio significa descomponerlo en sus factores primos. Por 
ejemplo: 𝟏𝟏𝟐𝟐 = 𝟐𝟐² 𝒙𝒙 𝟑𝟑 donde 𝟐𝟐 y 𝟑𝟑 son números primos. La factorización es 
un proceso que permite transformar sumas y diferencias indicadas en 
productos. A continuación, se presentan algunas de estas representaciones: 
 
 𝒙𝒙
𝟒𝟒
𝟖𝟖𝟏𝟏
− 𝟏𝟏
𝟏𝟏𝟔𝟔
= �𝑥𝑥
2
9
− 1
4
� �𝑥𝑥
2
9
+ 1
4
� = �𝑥𝑥
3
− 1
2
� �𝑥𝑥
3
+ 1
2
� �𝑥𝑥
2
9
+ 1
4
� 
 
 
 PRIMERA PARTE- ÁLGEBRA 
 
 
CURSO PROPEDÉUTICO DE MATEMÁTICA Página 4 
 
6. Trinomio cuadrado de la forma 𝒂𝒂𝒙𝒙² + 𝒃𝒃𝒙𝒙 + 𝒄𝒄. 
En la factorización de este tipo de polinomios, debemos de multiplicar y dividir 𝒂𝒂𝒙𝒙² + 𝒃𝒃𝒙𝒙 + 𝒄𝒄 por el coeficiente 
𝒂𝒂, de modo que 
𝒂𝒂𝒙𝒙² + 𝒃𝒃𝒙𝒙 + 𝒄𝒄 = 𝒂𝒂
𝒂𝒂
(𝒂𝒂𝒙𝒙² + 𝒃𝒃𝒙𝒙 + 𝒄𝒄) = (𝒂𝒂𝒙𝒙)
𝟐𝟐+𝒃𝒃(𝒂𝒂𝒙𝒙)+𝒂𝒂𝒄𝒄
𝒂𝒂
 
 
de esta forma nos queda como un trinomio de la forma anterior. 
Ejemplos: 
 𝟒𝟒𝒙𝒙² + 𝒙𝒙 − 𝟓𝟓 = (4𝑥𝑥 + 5)(𝑥𝑥 − 1 ) 
 𝟐𝟐𝒙𝒙² − 𝟔𝟔√𝟐𝟐𝒙𝒙𝟗𝟗² − 𝟏𝟏𝟔𝟔𝟗𝟗𝟒𝟒 = �√2𝑥𝑥 + 2𝑥𝑥²��√2𝑥𝑥 − 8𝑥𝑥² � 
 
 
7. Trinomio Cuadrado Perfecto por Completación (Adición o Sustracción). 
En este caso se intenta transformar una expresión, en otra igual en la que se pueda aplicar trinomio cuadrado 
perfecto. 
Ejemplo: 
𝒎𝒎𝟒𝟒 − 𝟏𝟏𝟎𝟎𝒎𝒎²𝒏𝒏² + 𝟗𝟗𝒏𝒏𝟒𝟒 = 𝑚𝑚4 − 10𝑚𝑚²𝑛𝑛² + 9𝑛𝑛4 + 𝟒𝟒𝒎𝒎²𝒏𝒏² − 𝟒𝟒𝒎𝒎²𝒏𝒏² 
 = (𝑚𝑚2 − 3𝑛𝑛²)2 − 4𝑚𝑚²𝑛𝑛² = (𝑚𝑚2 − 3𝑛𝑛² + 2𝑚𝑚𝑛𝑛)(𝑚𝑚2 − 3𝑛𝑛² − 2𝑚𝑚𝑛𝑛). 
 
8. Cubo Perfecto de Binomios 
Teniendo en cuenta que los productos notables: 
(𝒂𝒂 + 𝒃𝒃)𝟑𝟑 = 𝒂𝒂𝟑𝟑 + 𝟑𝟑𝒂𝒂²𝒃𝒃 + 𝟑𝟑𝒂𝒂𝒃𝒃² + 𝒃𝒃³ 
(𝒂𝒂 − 𝒃𝒃)𝟑𝟑 = 𝒂𝒂𝟑𝟑 − 𝟑𝟑𝒂𝒂²𝒃𝒃 + 𝟑𝟑𝒂𝒂𝒃𝒃² − 𝒃𝒃³ 
Además de poseer 𝟒𝟒 términos, el polinomio debe tener las siguientes características: 
• El segundo término del polinomio sea el triple del cuadrado de la raíz cúbica del primer término multiplicado 
por la raíz cúbica del último término. 
• El tercer término del polinomio sea el triple de la raíz cúbica del primer término multiplicado por el cuadrado 
de la raíz cúbica del último término. 
• Los signos de los términos son todos positivos o van intercalándose iniciando con + según sea el caso. 
Ejemplos: 
 𝟔𝟔𝟒𝟒𝒂𝒂𝟑𝟑���
𝟒𝟒𝒂𝒂
+ 𝟒𝟒𝟖𝟖𝒂𝒂² + 𝟏𝟏𝟐𝟐𝒂𝒂 + 𝟏𝟏⏟
𝟏𝟏
= (4𝑎𝑎 + 1)3 
 3(4𝑎𝑎)2(1) = 48𝑎𝑎² 
 3(4𝑎𝑎)(1)² = 12𝑎𝑎 
 
9. Suma o Diferencia de Cubos Perfectos. 
A partir del producto notable (𝒂𝒂 + 𝒃𝒃)(𝒂𝒂𝟐𝟐 − 𝒂𝒂𝒃𝒃 + 𝒃𝒃𝟐𝟐) = 𝒂𝒂𝟑𝟑 + 𝒃𝒃𝟑𝟑, se puede distinguir las siguientes 
características: 
• El primer factor es la suma de las raíces cúbicas de ambos términos. 
• El segundo factor representa el cuadrado de la raíz cúbica del primer término menos el producto entre 
las raíces cúbicas más el cuadrado de la raíz cúbica del segundo término. 
• Cada uno de los factores obtenidos pueden seguir siendo factorizados, de ser posibles. 
De forma análoga puede tratarse el caso del producto notable (𝒂𝒂 − 𝒃𝒃)(𝒂𝒂𝟐𝟐 + 𝒂𝒂𝒃𝒃 + 𝒃𝒃𝟐𝟐) = 𝒂𝒂³ − 𝒃𝒃³ . 
Ejemplo: 
 𝒖𝒖𝟑𝟑𝒏𝒏+𝟔𝟔���
𝒖𝒖𝒏𝒏+𝟐𝟐
± 𝒗𝒗𝟑𝟑𝒏𝒏−𝟗𝟗���
𝒗𝒗𝒏𝒏−𝟑𝟑
= (𝒖𝒖𝒏𝒏+𝟐𝟐 ± 𝒗𝒗𝒏𝒏−𝟑𝟑)(𝒖𝒖𝟐𝟐𝒏𝒏+𝟒𝟒 ∓ 𝒖𝒖𝒏𝒏+𝟐𝟐𝒗𝒗𝒏𝒏−𝟑𝟑 + 𝒗𝒗𝟐𝟐𝒏𝒏−𝟔𝟔) 
 𝟏𝟏𝟐𝟐𝟓𝟓𝒂𝒂𝟑𝟑���
𝟓𝟓𝒂𝒂
− 𝟒𝟒𝟓𝟓𝟎𝟎𝒂𝒂²𝒃𝒃 + 𝟓𝟓𝟒𝟒𝟎𝟎𝒂𝒂𝒃𝒃² − 𝟐𝟐𝟏𝟏𝟔𝟔𝒃𝒃³���
𝟔𝟔𝒃𝒃
= (5𝑎𝑎 − 6𝑏𝑏)3 
 3(5𝑎𝑎)2(6𝑏𝑏) = 450𝑎𝑎²𝑏𝑏 
 3(5𝑎𝑎)(6𝑏𝑏)² = 540𝑎𝑎𝑏𝑏2 
 
 
 
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10. Factorización por Evaluación. 
Caso 1: Si el coeficiente principal es 𝟏𝟏, los posibles ceros son los 
Divisores del término independiente. 
 
Ejemplo: 
Al factorizar el polinomio 𝒙𝒙𝟑𝟑 − 𝟔𝟔𝒙𝒙𝟐𝟐 + 𝟏𝟏𝟐𝟐𝒙𝒙 − 𝟐𝟐, es evidente que el coeficiente 
principal es 𝟏𝟏 y que los divisores de 𝟐𝟐 son ±𝟏𝟏, ±𝟐𝟐. Se emplea el teorema 
del resto para obtener las raíces del polinomio, comprobándose que 
 𝒙𝒙 = 𝟏𝟏 es una raíz, ya que 𝑷𝑷(𝟏𝟏) = 𝟏𝟏𝟑𝟑 − 𝟔𝟔(𝟏𝟏)𝟐𝟐 + 𝟏𝟏𝟐𝟐(𝟏𝟏) − 𝟐𝟐 = 𝟎𝟎. 
 
Falta aplicar la regla de Ruffini para determinar los factores faltantes. 
 
 
 
 
 
 
 
 
Caso 2: Si el coeficiente principal es distinto de 𝟏𝟏, los posibles ceros del polinomio, se determinarán 
apartir de los valores 𝑫𝑫𝑫𝑫𝒗𝒗𝑫𝑫𝑫𝑫𝑫𝑫𝑫𝑫𝑫𝑫𝑫𝑫 𝒅𝒅𝑫𝑫𝒅𝒅 𝒕𝒕é𝑫𝑫𝒎𝒎𝑫𝑫𝒏𝒏𝑫𝑫 𝑫𝑫𝒏𝒏𝒅𝒅𝑫𝑫𝒑𝒑𝑫𝑫𝒏𝒏𝒅𝒅𝑫𝑫𝑫𝑫𝒏𝒏𝒕𝒕𝑫𝑫
𝑫𝑫𝑫𝑫𝒗𝒗𝑫𝑫𝑫𝑫𝑫𝑫𝑫𝑫𝑫𝑫𝑫𝑫 𝒅𝒅𝑫𝑫𝒅𝒅 𝒄𝒄𝑫𝑫𝑫𝑫𝒄𝒄𝑫𝑫𝒄𝒄𝑫𝑫𝑫𝑫𝒏𝒏𝒕𝒕𝑫𝑫 𝒑𝒑𝑫𝑫𝑫𝑫𝒏𝒏𝒄𝒄𝑫𝑫𝒑𝒑𝒂𝒂𝒅𝒅
. 
 
Ejemplo: 
Al factorizar el polinomio 𝟔𝟔𝒙𝒙𝟑𝟑 + 𝟐𝟐𝒙𝒙𝟐𝟐 − 𝟔𝟔𝒙𝒙 + 𝟏𝟏, es evidente que el coeficiente principal es distinto a 1 y 
que los divisores son ±𝟏𝟏, ± 𝟏𝟏
𝟐𝟐
, ± 𝟏𝟏
𝟑𝟑
, ± 𝟏𝟏
𝟔𝟔
. Se emplea el teorema del resto para comprobar que con el valor 
𝒙𝒙 = 𝟏𝟏
𝟑𝟑
 el polinomio se anula. Falta realizar la divisón de Ruffini cuyo divisor es (𝟑𝟑𝒙𝒙 − 𝟏𝟏), para determinar los 
factores faltantes. 
 
 
 
 
 
 
 
 
1 1 − 6 12 − 7
 1 − 5 7 
 1 −5 7 0 
 Factor faltante: 𝒙𝒙𝟐𝟐 − 𝟓𝟓𝒙𝒙 + 𝟐𝟐 
⟹ Finalmente, se obtiene la factorización 
deseada: 
𝒙𝒙𝟑𝟑 − 𝟔𝟔𝒙𝒙𝟐𝟐 + 𝟏𝟏𝟐𝟐𝒙𝒙 − 𝟐𝟐 = (𝑥𝑥 − 1)(𝑥𝑥2 − 5𝑥𝑥 + 7) 
𝟏𝟏/𝟑𝟑 
 
6 7− 6 1
 2 3 − 1 
 6 9 −3 0 
 (÷ 3) 2 3 −1 
 Factor faltante: 𝟐𝟐𝒙𝒙𝟐𝟐 + 𝟑𝟑𝒙𝒙 − 𝟏𝟏 
⟹ Finalmente, se obtiene la factorización deseada: 
𝟔𝟔𝒙𝒙𝟑𝟑 + 𝟐𝟐𝒙𝒙𝟐𝟐 − 𝟔𝟔𝒙𝒙 + 𝟏𝟏 = (3𝑥𝑥 − 1)(2𝑥𝑥2 + 3𝑥𝑥 − 1) 
 
 
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COCIENTES NOTABLES 
Son aquellos cocientes que sin efectuar la operación división, pueden ser escritos por simple inspección. A 
partir de los productos notables podemos inferir las siguientes formas: 
 
1. Si 𝑛𝑛 es un número par, 𝑎𝑎
𝑛𝑛−𝑏𝑏𝑛𝑛
𝑎𝑎+𝑏𝑏
= 𝑎𝑎𝑛𝑛−1 − 𝑎𝑎𝑛𝑛−2𝑏𝑏 + ⋯− 𝑏𝑏𝑛𝑛−1. 
 Ejemplo: 
 Cociente de la diferencia de los cuadrados de dos cantidades entre la 
 suma de las cantidades 
 
𝒂𝒂² − 𝒃𝒃²
𝒂𝒂 + 𝒃𝒃
= 𝒂𝒂 − 𝒃𝒃 
 
2. Si 𝑛𝑛 es un número impar, 𝑎𝑎
𝑛𝑛+𝑏𝑏𝑛𝑛
𝑎𝑎+𝑏𝑏
= 𝑎𝑎𝑛𝑛−1 − 𝑎𝑎𝑛𝑛−2𝑏𝑏 + 𝑎𝑎𝑛𝑛−3𝑏𝑏2 − ⋯+ 𝑏𝑏𝑛𝑛−1. 
Ejemplo: 
Cociente de la diferencia de dos cubos de dos cantidades entre la suma de las cantidades 
𝒂𝒂³ + 𝒃𝒃³
𝒂𝒂 + 𝒃𝒃
= 𝒂𝒂² − 𝒂𝒂𝒃𝒃 + 𝒃𝒃² 
 
3. Si 𝑛𝑛 es un número par o impar, 𝑎𝑎
𝑛𝑛−𝑏𝑏𝑛𝑛
𝑎𝑎−𝑏𝑏
= 𝑎𝑎𝑛𝑛−1 + 𝑎𝑎𝑛𝑛−2𝑏𝑏 + 𝑎𝑎𝑛𝑛−3𝑏𝑏2 + ⋯+ 𝑏𝑏𝑛𝑛−1. 
Ejemplos: 
Cociente de la diferencia de los cuadrados de dos cantidades entre la diferencia de las cantidades 
𝒂𝒂² − 𝒃𝒃²
𝒂𝒂 − 𝒃𝒃
= 𝒂𝒂 + 𝒃𝒃 
Cociente de la diferencia de los cubos de dos cantidades entre la diferencia de las cantidades 
𝒂𝒂³ − 𝒃𝒃³
𝒂𝒂 − 𝒃𝒃
= 𝒂𝒂² + 𝒂𝒂𝒃𝒃 + 𝒃𝒃² 
 
4. Si 𝑛𝑛 es un número par o impar, 𝑎𝑎𝑛𝑛 + 𝑏𝑏𝑛𝑛 nunca es divisible por 𝑎𝑎 − 𝑏𝑏. 
Ejemplos: 
1. Determine la división de 𝑥𝑥4 − 𝑥𝑥4 entre 𝑥𝑥 − 𝑥𝑥. 
Solución: Se tiene que 𝑥𝑥
4−𝑦𝑦4
𝑥𝑥−𝑦𝑦
= 𝑥𝑥3 + 𝑥𝑥2𝑥𝑥 + 𝑥𝑥𝑥𝑥2 + 𝑥𝑥3. 
 
2. Simplifique cociente 𝒙𝒙
𝟐𝟐𝟖𝟖+𝒙𝒙𝟐𝟐𝟔𝟔+𝒙𝒙𝟐𝟐𝟒𝟒+⋯+𝒙𝒙𝟒𝟒+𝒙𝒙𝟐𝟐+𝟏𝟏
𝒙𝒙𝟑𝟑𝟖𝟖+𝒙𝒙𝟑𝟑𝟔𝟔+𝒙𝒙𝟑𝟑𝟒𝟒+⋯+𝒙𝒙𝟒𝟒+𝒙𝒙𝟐𝟐+𝟏𝟏
. 
Solución: Escribiendo el numerador y el denominador como cocientes notables, se tiene: 
𝑥𝑥78 + 𝑥𝑥76 + 𝑥𝑥74 + ⋯+ 𝑥𝑥4 + 𝑥𝑥2 + 1
𝑥𝑥38 + 𝑥𝑥36 + 𝑥𝑥34 + ⋯+ 𝑥𝑥4 + 𝑥𝑥2 + 1
=
(𝑥𝑥2)40 − (1)40
𝑥𝑥2 − 1
(𝑥𝑥2)20 − (1)20
𝑥𝑥2 − 1
=
(𝑥𝑥2)40 − (1)40
(𝑥𝑥2)20 − (1)20
=
(𝑥𝑥40)2 − 12
𝑥𝑥40 − 1
 
 =
(𝑥𝑥40 − 1)(𝑥𝑥40 + 1)
𝑥𝑥40 − 1
= 𝑥𝑥40 + 1 
 
 
 PRIMERA PARTE- ÁLGEBRA 
 
 
CURSO PROPEDÉUTICO DE MATEMÁTICA Página 7 
 
A continuación, se presenta un diagrama con algunas interrogantes cuyas respuestas nos permitirá seleccionar 
el método que nos brinde una idea más clara de la manera en que podemos factorizar el polinomio en cuestión. 
 
FORMA DE DISTINGUIR LOS CASOS DE FACTORIZACIÓN 
 
 
¿La expresión tiene factor 
común? 
 
 
¿Qué tipo de expresión es? 
 
 
 
¿Es un Binomio? 
 
¿Es un trinomio? 
 ¿Es un polinomio de 4 o más 
términos? 
 
¿Es una diferencia de 
cuadrados? 
 ¿Es un trinomio cuadrado 
perfecto? 
 ¿Es factorizable por 
agrupación de términos? 
 
¿Es una suma ó resta de 
cubos? 
 ¿Es un trinomio de la forma 
x²±bx±c? 
 
¿Es un caso combinado? 
 
 
¿Es una suma de cuadrados? 
 ¿Es un trinomio de la forma 
𝒂𝒂𝒙𝒙² ± 𝒃𝒃𝒙𝒙 + 𝒄𝒄? 
 ¿Es una suma ó resta de 
binomios al cubo? 
 
 
¿Es un trinomio cuadrado 
perfecto por Completación? 
 ¿Es factorizable por división 
sintética o evaluación? 
¿Puedo utilizar cocientes 
notables? 
 
 
EJERCICIOS 
Factorice los siguientes polinomios: 
1) 𝒙𝒙² + 𝟒𝟒𝒙𝒙𝟗𝟗 + 𝟒𝟒𝟗𝟗² 𝑹𝑹. (𝑥𝑥 + 2𝑥𝑥)2 
2) 𝒙𝒙³ + 𝒙𝒙² 
3) 𝟐𝟐𝟐𝟐𝒂𝒂³ − 𝟓𝟓𝟒𝟒𝒂𝒂²𝒃𝒃 + 𝟑𝟑𝟔𝟔𝒂𝒂𝒃𝒃² − 𝟖𝟖𝒃𝒃³ 𝑹𝑹. (3𝑎𝑎 − 2𝑏𝑏)3 
4) 𝒙𝒙𝟑𝟑𝟐𝟐 + 𝒙𝒙𝟐𝟐𝟑𝟑 + 𝒙𝒙𝟔𝟔 
5) 𝟖𝟖𝒙𝒙𝟑𝟑 − 𝟐𝟐𝟐𝟐 𝑹𝑹. (2𝑥𝑥 – 3)(4𝑥𝑥2 + 6𝑥𝑥 + 9) 
6) 𝒙𝒙𝟒𝟒 − 𝟒𝟒𝒙𝒙³ − 𝒙𝒙² + 𝟏𝟏𝟔𝟔𝒙𝒙 − 𝟏𝟏𝟐𝟐 
7) 𝒙𝒙² − 𝒂𝒂𝒙𝒙 − 𝒃𝒃𝒙𝒙 + 𝒂𝒂𝒃𝒃 𝑹𝑹. (𝑥𝑥 − 𝑎𝑎)(𝑥𝑥 − 𝑏𝑏) 
8) 𝒙𝒙𝟒𝟒 − 𝟐𝟐𝒙𝒙³ − 𝟏𝟏𝟑𝟑𝒙𝒙² + 𝟏𝟏𝟒𝟒𝒙𝒙 + 𝟐𝟐𝟒𝟒 
9) 𝒂𝒂𝟒𝟒 − 𝟏𝟏𝟎𝟎𝒂𝒂² + 𝟗𝟗 𝑹𝑹. (𝑎𝑎 + 1)(𝑎𝑎 − 1)(𝑎𝑎 + 3)(𝑎𝑎 − 3) 
 
 
 PRIMERA PARTE- ÁLGEBRA 
 
 
CURSO PROPEDÉUTICO DE MATEMÁTICA Página 8 
 
10) 𝒎𝒎³ + 𝟒𝟒𝒎𝒎² + 𝒎𝒎− 𝟔𝟔 
11) 𝒛𝒛𝟒𝟒 − 𝟐𝟐𝒛𝒛² + 𝟑𝟑 𝑹𝑹. (𝑧𝑧² + 1)�𝑧𝑧 − √3��𝑧𝑧 + √3� 
12) 𝒎𝒎³ + 𝟑𝟑𝒎𝒎² − 𝟒𝟒𝒎𝒎− 𝟏𝟏𝟐𝟐 
13) 𝒙𝒙𝟗𝟗 − 𝟐𝟐𝒙𝒙 − 𝟑𝟑𝟗𝟗 + 𝟔𝟔 𝑹𝑹. (𝑥𝑥 − 3)(𝑥𝑥 − 2) 
14) 𝟑𝟑𝟒𝟒𝟑𝟑𝒋𝒋𝟑𝟑 + 𝟔𝟔𝟒𝟒𝑫𝑫³ 
15) 𝒙𝒙𝟒𝟒 − 𝟒𝟒𝒙𝒙³ + 𝟑𝟑𝒙𝒙² + 𝟒𝟒𝒙𝒙 − 𝟒𝟒 𝑹𝑹. (𝑥𝑥 − 1)(𝑥𝑥 + 1)(𝑥𝑥 − 2)2 
16) 𝒕𝒕² + 𝟗𝟗 − 𝟏𝟏𝟎𝟎𝒕𝒕 
17) 𝟑𝟑𝒙𝒙𝟓𝟓 − 𝟏𝟏𝟖𝟖𝒙𝒙³ + 𝟐𝟐𝟐𝟐𝒙𝒙 𝑹𝑹. 3𝑥𝑥(𝑥𝑥² − 3)2 
18) 𝟐𝟐𝒕𝒕² − 𝟒𝟒𝟎𝟎𝒕𝒕 − 𝟏𝟏𝟐𝟐 
19) 𝟑𝟑𝟔𝟔𝒙𝒙𝟔𝟔 − 𝟒𝟒𝟗𝟗 𝑹𝑹. (6𝑥𝑥³ + 7)(6𝑥𝑥³ − 7) 
20) 𝒛𝒛𝟒𝟒 − 𝟐𝟐𝒛𝒛² + 𝟑𝟑 
21) 𝟐𝟐𝒎𝒎𝟒𝟒 + 𝒎𝒎³ − 𝟖𝟖𝒎𝒎² −𝒎𝒎 + 𝟔𝟔 𝑹𝑹. 2(𝑚𝑚− 1)(𝑚𝑚 + 1)(𝑚𝑚 + 2) �𝑚𝑚 − 3
2
� 
22) 𝒙𝒙³ − 𝟒𝟒𝒙𝒙² + 𝒙𝒙 + 𝟔𝟔 
23) 𝒙𝒙𝟗𝟗 − 𝟐𝟐𝒙𝒙 − 𝟑𝟑𝟗𝟗 + 𝟔𝟔 𝑹𝑹. (𝑥𝑥 − 3)(𝑥𝑥 − 2) 
24) 𝟐𝟐𝟓𝟓(𝒙𝒙 + 𝟗𝟗)² − 𝟒𝟒𝟒𝟒𝟏𝟏(𝒙𝒙 − 𝟗𝟗)² 
25) 𝑫𝑫𝟒𝟒 − 𝟐𝟐𝟐𝟐𝑫𝑫² − 𝟏𝟏𝟒𝟒𝑫𝑫 + 𝟏𝟏𝟐𝟐𝟎𝟎 𝑹𝑹. (𝑟𝑟 − 3)(𝑟𝑟 + 3)(𝑟𝑟 + 4)(𝑟𝑟 − 5) 
26) 𝟒𝟒𝟗𝟗𝒙𝒙𝟏𝟏𝟎𝟎𝒏𝒏 − 𝟏𝟏
𝟖𝟖𝟏𝟏
𝒃𝒃𝟏𝟏𝟐𝟐𝒏𝒏 
27) 𝒎𝒎³ − 𝟏𝟏𝟐𝟐𝒎𝒎² + 𝟏𝟏𝟔𝟔 𝑹𝑹. (𝑚𝑚 + 4)(𝑚𝑚 − 2)𝟐𝟐 
28) 𝑫𝑫𝟔𝟔 − 𝒕𝒕𝟔𝟔 
29) (𝒙𝒙 − 𝟗𝟗)𝟑𝟑 − (𝒙𝒙 + 𝟗𝟗)𝟑𝟑 𝑹𝑹.−2𝑏𝑏(3𝑥𝑥² + 𝑥𝑥²)𝟐𝟐 
30) 𝟔𝟔𝟒𝟒(𝒎𝒎 + 𝒏𝒏)𝟑𝟑 − 𝟏𝟏𝟐𝟐𝟓𝟓 
31) 𝒎𝒎𝟒𝟒 + 𝟔𝟔𝒎𝒎³ + 𝟑𝟑𝒎𝒎 + 𝟏𝟏𝟒𝟒𝟎𝟎 𝑹𝑹. (𝑚𝑚 + 4)(𝑚𝑚 + 5)(𝑚𝑚² − 3𝑚𝑚 + 7) 
32) 𝒛𝒛³ + 𝒛𝒛² − 𝟏𝟏𝟑𝟑𝒛𝒛 − 𝟐𝟐𝟖𝟖 
33) 𝒙𝒙² + 𝟐𝟐𝟔𝟔
𝟓𝟓
𝒙𝒙 + 𝟏𝟏 𝑹𝑹. �𝑥𝑥 + 1
5
� (𝑥𝑥 + 5) 
34) 𝒙𝒙𝒎𝒎 − 𝟐𝟐𝒂𝒂𝒙𝒙² − 𝟐𝟐𝒂𝒂 + 𝒙𝒙𝒎𝒎+𝟐𝟐 
35) 𝟐𝟐𝒂𝒂²𝒙𝒙 + 𝟒𝟒𝒂𝒂𝒙𝒙 + 𝟐𝟐𝒙𝒙 − 𝒂𝒂² − 𝟐𝟐𝒂𝒂 − 𝟏𝟏 𝑹𝑹. (2𝑥𝑥 − 1)(𝑎𝑎 + 1)𝟐𝟐 
 
FRACCIONES ALGEBRAICAS 
El cociente de dos expresiones algebraicas se denomina expresión 
fraccionaria. A continuación, veamos algunos ejemplos: 
𝟐𝟐𝒙𝒙
𝒙𝒙−𝟏𝟏
 , √𝒙𝒙+𝟑𝟑
𝒙𝒙+𝟏𝟏
 , 𝟗𝟗−𝟐𝟐
𝟗𝟗𝟐𝟐−𝟒𝟒
 
Una expresión racional es una expresión fraccionaria donde el numerador y el denominador son polinomios. 
Por ejemplo, las siguientes son expresiones racionales: 
𝒙𝒙³ 
𝒙𝒙²−𝟏𝟏
 , 𝟐𝟐𝒙𝒙
𝟒𝟒−𝟔𝟔
𝒙𝒙+𝟏𝟏
 , 𝟗𝟗+𝟐𝟐
𝟗𝟗𝟐𝟐−𝟒𝟒
 
En esta sección aprendemos a ejecutar operaciones algebraicas de expresiones racionales. 
 
DOMINIO DE UNA EXPRESIÓN ALGEBRAICA 
En general, una expresión algebraica puede no estar definida para todos los valores de la variable. El dominio 
de una expresión algebraica es el conjunto de números reales que se permite tenga la variable. 
 
 
 PRIMERA PARTE- ÁLGEBRA 
 
 
CURSO PROPEDÉUTICO DE MATEMÁTICA Página 9 
 
Ejemplo. Encuentro los dominios de las siguientesexpresiones. 
a. 𝟐𝟐𝒙𝒙² + 𝟑𝟑𝒙𝒙 − 𝟏𝟏 b. 𝒙𝒙
𝒙𝒙𝟐𝟐−𝟓𝟓𝒙𝒙+𝟔𝟔
 c. √𝒙𝒙
𝒙𝒙−𝟓𝟓
 
Respuesta: 
a. Este polinomio está definido para toda 𝒙𝒙, entonces, el dominio es el conjunto de R de números reales. 
b. Primero factorizamos el denominador 𝒙𝒙
𝒙𝒙𝟐𝟐−𝟓𝟓𝒙𝒙+𝟔𝟔
= 𝒙𝒙
(𝒙𝒙−𝟐𝟐)(𝒙𝒙−𝟑𝟑)
. Como el denominador es cero cuando 
𝒙𝒙 = 𝟐𝟐 ó 𝟑𝟑, la expresión no está definida para estos números. El dominio será {𝒙𝒙|𝒙𝒙 ≠ 𝟐𝟐 𝟗𝟗 𝒙𝒙 ≠ 𝟑𝟑}. 
c. Para que el numerador este definido, debemos tener 𝒙𝒙 ≥ 𝟎𝟎. Tampoco podemos dividir entre 0, de modo 
que 𝒙𝒙 ≠ 𝟓𝟓 . Entonces el dominio es {𝒙𝒙|𝒙𝒙 ≥ 𝟎𝟎 𝟗𝟗 𝒙𝒙 ≠ 𝟓𝟓} 
 
SIMPLIFICACIÓN DE EXPRESIONES RACIONALES 
 
 
 
 
 
 
 
 
Ejemplo. 
Simplifique 𝑥𝑥
2−1
𝑥𝑥2+𝑥𝑥−2
 
Solución: 
 
𝒙𝒙𝟐𝟐 − 𝟏𝟏
𝒙𝒙𝟐𝟐 + 𝒙𝒙 − 𝟐𝟐
=
(𝒙𝒙 − 𝟏𝟏)(𝒙𝒙 + 𝟏𝟏)
(𝒙𝒙 − 𝟏𝟏)(𝒙𝒙 + 𝟐𝟐)
=
𝒙𝒙 + 𝟏𝟏
𝒙𝒙 + 𝟐𝟐
 
 
 
MULTIPLICACIÓN Y DIVISIÓN DE EXPRESIONES RACIONALES 
Para multiplicar expresiones racionales, usamos la siguiente propiedad de fracciones 
 𝑨𝑨
𝑩𝑩
× 𝑪𝑪
𝑫𝑫
= 𝑨𝑨𝑪𝑪
𝑩𝑩𝑫𝑫
 Esto dice que para multiplicar dos fracciones multiplicamos sus numeradores y multiplicamos 
sus denominadores. 
 
Ejemplo. 
Ejecute la multiplicación indicada y simplifique 𝒙𝒙²+𝟐𝟐𝒙𝒙−𝟑𝟑
𝒙𝒙²+𝟖𝟖𝒙𝒙+𝟏𝟏𝟔𝟔
• 𝟑𝟑𝒙𝒙+𝟏𝟏𝟐𝟐
𝒙𝒙−𝟏𝟏
. 
Solución: 
 𝒙𝒙²+𝟐𝟐𝒙𝒙−𝟑𝟑
𝒙𝒙²+𝟖𝟖𝒙𝒙+𝟏𝟏𝟔𝟔
• 𝟑𝟑𝒙𝒙+𝟏𝟏𝟐𝟐
𝒙𝒙−𝟏𝟏
= (𝑥𝑥−1)(𝑥𝑥+3)
(𝑥𝑥+4)2
• 3(𝑥𝑥+4)
𝑥𝑥−1�����������
𝐹𝐹𝑎𝑎𝐹𝐹𝐹𝐹𝐹𝐹𝐹𝐹𝐹𝐹𝐹𝐹𝐹𝐹
= (𝑥𝑥−1)(𝑥𝑥+3)3(𝑥𝑥+4)
(𝑥𝑥+4)2(𝑥𝑥−1)���������
𝐶𝐶𝑎𝑎𝑛𝑛𝐹𝐹𝐹𝐹𝐶𝐶𝐹𝐹 𝐹𝐹𝑎𝑎𝐹𝐹𝐹𝐹𝐹𝐹𝐹𝐹𝐹𝐹𝐹𝐹 
𝐶𝐶𝐹𝐹𝐶𝐶𝐶𝐶𝑛𝑛𝐹𝐹𝐹𝐹
= 3(𝑥𝑥+3)
𝑥𝑥+4
 
 
Para dividir las expresiones racionales, usando la siguiente propiedad de las fracciones 𝑨𝑨
𝑩𝑩
÷ 𝑪𝑪
𝑫𝑫
= 𝑨𝑨𝑫𝑫
𝑩𝑩𝑪𝑪
 . Esto 
dice que, para dividir una fracción entre otra fracción, invertimos el divisor y multiplicamos. 
Para simplificar expresiones racionales, factorizamos el numerador y el 
denominador y usamos la siguiente propiedad de fracciones: 
𝑨𝑨𝑪𝑪
𝑩𝑩𝑪𝑪
=
𝑨𝑨
𝑩𝑩
 
 
Esto nos permite cancelar factores comunes del numerador y el denominador. 
 
 
Nota: No podemos cancelar 𝑥𝑥2 en la 
expresión 
𝑥𝑥2−1
𝑥𝑥2+𝑥𝑥−2
 porque 𝑥𝑥2 no es un 
factor. 
 
 
 PRIMERA PARTE- ÁLGEBRA 
 
 
CURSO PROPEDÉUTICO DE MATEMÁTICA Página 10 
 
Ejemplo. Ejecute la división indicada y simplifique 𝒙𝒙−𝟒𝟒
𝒙𝒙𝟐𝟐−𝟒𝟒
÷ 𝒙𝒙
𝟐𝟐−𝟑𝟑𝒙𝒙−𝟒𝟒
𝒙𝒙𝟐𝟐+𝟓𝟓𝒙𝒙+𝟔𝟔
 
Solución: 
𝑥𝑥 − 4
𝑥𝑥2 − 4
÷
𝑥𝑥2 − 3𝑥𝑥 − 4
𝑥𝑥2 + 5𝑥𝑥 + 6
=
(𝑥𝑥 − 4)(𝑥𝑥 + 2)(𝑥𝑥 + 3)
(𝑥𝑥 − 2)(𝑥𝑥 + 2)(𝑥𝑥 − 4)(𝑥𝑥 + 1)
=
(𝑥𝑥 + 3)
(𝑥𝑥 − 2)(𝑥𝑥 + 1)
 
 
 
 
SUMA Y RESTA DE EXPRESIONES RACIONALES 
Para sumar o restar expresiones racionales, primero encontramos un denominador común y a continuación 
usamos la siguiente propiedad de fracciones: 
𝑨𝑨
𝑩𝑩
+
𝑪𝑪
𝑩𝑩
=
𝑨𝑨 + 𝑪𝑪
𝑩𝑩
 
 
Aun cuando funcionara cualquier mínimo común denominador (MCD). El MCD se encuentra al factorizar cada 
denominador y tomar el producto de los distintos factores, usando la potencia superior que aparezca en 
cualquiera de los factores. 
 
Ejemplos. 
Ejecute las operaciones indicadas y simplifique: 
1) 3
𝑥𝑥−1
+ 𝑥𝑥
𝑥𝑥+2
 
Solución: 
Aquí el MCD es simplemente el producto de (𝑥𝑥 − 1)(𝑥𝑥 + 2) 
3
𝑥𝑥−1
+ 𝑥𝑥
𝑥𝑥+2
= 3(𝑥𝑥+2)+𝑥𝑥(𝑥𝑥−1)
(𝑥𝑥−1)(𝑥𝑥+2)
 escribir la fracción usando el 𝑀𝑀𝑀𝑀𝑀𝑀 
 = 3𝑥𝑥+6+𝑥𝑥
2−𝑥𝑥
(𝑥𝑥−1)(𝑥𝑥+2)
 sume fracciones 
 = 𝑥𝑥
2+2𝑥𝑥+6
𝑥𝑥2+𝑥𝑥−2
 combinando y reduciendo términos 
 
 
2) 1
𝑥𝑥2−1
− 2
(𝑥𝑥+1)2
 
Solución: 
El MCD de (𝑥𝑥2 − 1) = (𝑥𝑥 − 1)(𝑥𝑥 + 1) 𝑥𝑥 (𝑥𝑥 + 1)2 𝑒𝑒𝑒𝑒 (𝑥𝑥 − 1)(𝑥𝑥 + 1)2 
1
𝑥𝑥2−1
− 2
(𝑥𝑥+1)2
= 1
(𝑥𝑥−1)(𝑥𝑥+1)
− 2
(𝑥𝑥+1)2
 factorice. 
 = (𝑥𝑥+1)−2(𝑥𝑥−1)
(𝑥𝑥−1)(𝑥𝑥+1)2
 combine fracciones 
 = 𝑥𝑥+1−2𝑥𝑥+2
(𝑥𝑥−1)(𝑥𝑥+1)2
 use propiedad distributiva 
 = 3−𝑥𝑥
(𝑥𝑥−1)(𝑥𝑥+1)2
 reduzca términos semejantes en el numerador 
 
 
 
 
 
 
 
 PRIMERA PARTE- ÁLGEBRA 
 
 
CURSO PROPEDÉUTICO DE MATEMÁTICA Página 11 
 
FRACCIONES COMPUESTAS. 
Una fracción compuesta es una fracción en la que el numerador, el denominador o ambos son expresiones 
fraccionarias. 
 
Ejemplos. 
Simplifique lo indicado: 
1) 
𝒙𝒙
𝟗𝟗 + 𝟏𝟏
𝟏𝟏 − 𝟗𝟗𝒙𝒙
 
Solución 
Combinamos los términos del numerador en una sola fracción, igual en el denominador. A continuación, 
invertimos y multiplicamos. 
𝑥𝑥
𝑦𝑦+1
1−𝑦𝑦𝑥𝑥
=
𝑥𝑥+𝑦𝑦
𝑦𝑦
𝑥𝑥−𝑦𝑦
𝑥𝑥
= 𝑥𝑥+𝑦𝑦
𝑦𝑦
× 𝑥𝑥
𝑥𝑥−𝑦𝑦
= 𝑥𝑥(𝑥𝑥+𝑦𝑦)
𝑦𝑦(𝑥𝑥−𝑦𝑦)
 
 
2) 
𝟏𝟏
𝒂𝒂+𝒉𝒉 − 
𝟏𝟏
𝒂𝒂
𝒉𝒉
 
Solución 
1
𝑎𝑎+ℎ−
1
𝑎𝑎
ℎ
=
𝑎𝑎−(𝑎𝑎+ℎ)
𝑎𝑎(𝑎𝑎+ℎ)
ℎ
= 𝑎𝑎−𝑎𝑎−ℎ
𝑎𝑎(𝑎𝑎+ℎ)
× 1
ℎ
 Invierta el divisor y simplifique 
 = −ℎ
𝑎𝑎(𝑎𝑎+ℎ)
× 1
ℎ
= −1
𝑎𝑎(𝑎𝑎+ℎ)
 
 
3) 
�𝟏𝟏+𝒙𝒙𝟐𝟐�
𝟏𝟏/𝟐𝟐
− 𝒙𝒙
𝟐𝟐
�𝟏𝟏+𝒙𝒙𝟐𝟐�
𝟏𝟏/𝟐𝟐
(𝟏𝟏+𝒙𝒙𝟐𝟐)
 
Solución. 
�𝟏𝟏+𝒙𝒙𝟐𝟐�
𝟏𝟏/𝟐𝟐
− 𝒙𝒙
𝟐𝟐
�𝟏𝟏+𝒙𝒙𝟐𝟐�
𝟏𝟏/𝟐𝟐
�𝟏𝟏+𝒙𝒙𝟐𝟐�
=
𝟏𝟏+𝒙𝒙𝟐𝟐−𝒙𝒙𝟐𝟐
�𝟏𝟏+𝒙𝒙𝟐𝟐�
𝟏𝟏/𝟐𝟐
�𝟏𝟏+𝒙𝒙𝟐𝟐�
= 
𝟏𝟏
�𝟏𝟏+𝒙𝒙𝟐𝟐�
𝟏𝟏/𝟐𝟐
�𝟏𝟏+𝒙𝒙𝟐𝟐�
= 𝟏𝟏
�𝟏𝟏+𝒙𝒙𝟐𝟐�𝟏𝟏/𝟐𝟐
× 𝟏𝟏
�𝟏𝟏+𝒙𝒙𝟐𝟐�
= 𝟏𝟏
�𝟏𝟏+𝒙𝒙𝟐𝟐�𝟑𝟑/𝟐𝟐
 
 
EJERCICIOS 
I. Simplifique la expresión racional. 
1) 𝑥𝑥
2+6𝑥𝑥+8
𝑥𝑥2+5𝑥𝑥+4
 𝑹𝑹. 𝑥𝑥+2
𝑥𝑥+1
 3) 2𝑥𝑥
3−𝑥𝑥2−6𝑥𝑥
2𝑥𝑥2−7𝑥𝑥+6
 𝑹𝑹. 2𝑥𝑥
2+3𝑥𝑥
2𝑥𝑥−3
 
2) 𝑥𝑥
2−𝑥𝑥−12
𝑥𝑥2+5𝑥𝑥+6
 𝑹𝑹. 𝑥𝑥−4
𝑥𝑥+2
 4) 1−𝑥𝑥
2
𝑥𝑥3−1
 𝑹𝑹.− 𝑥𝑥+1
𝑥𝑥2+𝑥𝑥+1
 
 
II. Ejecute la multiplicación o división y simplifique 
1) 𝑥𝑥
2−2𝑥𝑥−15
𝑥𝑥2−1
× 𝑥𝑥+1
𝑥𝑥−5
 𝑹𝑹. 𝑥𝑥+3
𝑥𝑥−1
 4) 2𝑥𝑥
2−3𝑥𝑥+1
𝑥𝑥2+2𝑥𝑥−15
÷ 2𝑥𝑥
2−7𝑥𝑥−3
𝑥𝑥2+6𝑥𝑥+5
 𝑹𝑹. 𝑥𝑥
2−1
(𝑥𝑥−3)2
 
2) 𝑥𝑥
2−𝑥𝑥−6
𝑥𝑥2+2𝑥𝑥
× 𝑥𝑥
3+𝑥𝑥2
𝑥𝑥2−2𝑥𝑥−3
 𝑹𝑹. 𝑥𝑥 5) 4𝑦𝑦
2−9
2𝑦𝑦2+9𝑦𝑦−18
÷ 2𝑦𝑦
2+𝑦𝑦−3
𝑦𝑦2+5𝑦𝑦−6
 𝑹𝑹. 1 
3) 𝑥𝑥
2+2𝑥𝑥𝑦𝑦+𝑦𝑦2
𝑥𝑥2−𝑦𝑦2
× 2𝑥𝑥
2−𝑥𝑥𝑦𝑦−𝑦𝑦2
𝑥𝑥2−𝑥𝑥𝑦𝑦−2𝑦𝑦2
 𝑹𝑹. 2𝑥𝑥+𝑦𝑦
𝑥𝑥−2𝑦𝑦
 6) 
𝑥𝑥3
𝑥𝑥+1
𝑥𝑥
𝑥𝑥2+2𝑥𝑥+1
 𝑹𝑹. 𝑥𝑥3 + 𝑥𝑥2 
 
 
 PRIMERA PARTE- ÁLGEBRA 
 
 
CURSO PROPEDÉUTICO DE MATEMÁTICA Página 12 
 
III. Ejecute la adición o sustracción y simplifique. 
1) 1
𝑥𝑥+3
− 1
𝑥𝑥2+7𝑥𝑥+12
 𝑹𝑹. 1
𝑥𝑥+4
 4) 𝑥𝑥
𝑥𝑥2−4
− 1
𝑥𝑥−2
 𝑹𝑹. −2
𝑥𝑥2−4
 
2) 𝑥𝑥
𝑥𝑥2−𝑥𝑥−6
− 1
𝑥𝑥+2
− 2
𝑥𝑥−3
 𝑹𝑹.− 2𝑥𝑥+1
𝑥𝑥2−𝑥𝑥−6
 5) 3
𝑥𝑥−1
− 4
𝑥𝑥2−𝑥𝑥
+ 2
𝑥𝑥
 𝑹𝑹. 5𝑥𝑥−6
𝑥𝑥2−𝑥𝑥
 
3) 1
𝑥𝑥+1
− 𝑥𝑥
(𝑥𝑥+1)2
+ 1
𝑥𝑥2−1
 𝑹𝑹. 2𝑥𝑥
𝑥𝑥3+𝑥𝑥2−𝑥𝑥−1
 
IV. Simplifique la expresión fraccionaria compuesta. 
1) 
𝑥𝑥−2
𝑥𝑥−1−
𝑥𝑥−3
𝑥𝑥−2
𝑥𝑥+2
 𝑹𝑹. 1
𝑥𝑥3−𝑥𝑥2−4𝑥𝑥+4
 3) 
𝑥𝑥
𝑦𝑦−
𝑦𝑦
𝑥𝑥
1
𝑥𝑥2
− 1
𝑦𝑦2
 𝑹𝑹.−𝑥𝑥𝑥𝑥 
2) 1 − 1
1−1𝑥𝑥
 𝑹𝑹.− 1
𝑥𝑥−1
 4) 1 + 1
1+ 11+𝑥𝑥
 𝑹𝑹. 2𝑥𝑥+3
𝑥𝑥+2
 
 
V. Simplifique la expresión fraccionaria. (expresiones como estas aparecen en calculo) 
1) 
1
1+𝑥𝑥+ℎ−
1
1+𝑥𝑥
ℎ
 2) 11
𝑅𝑅1
+ 1𝑅𝑅2
 3) �1 + � 𝑥𝑥
√1−𝑥𝑥2
�
2
 4) 2(1+𝑥𝑥)
1/2−𝑥𝑥(1+𝑥𝑥)−1/2
𝑥𝑥+1
 
 
 
 
 BIBLIOGRAFÍA Y WEBGRAFÍA 
 
 
CURSO PROPEDÉUTICO DE MATEMÁTICA 
 
 
Hay una gran cantidadde libros de matemática básica que fueron consultados. A continuación, presentamos 
una breve lista de los mismos: 
1. Ruiz Roberto. 2015. Libro de Texto de Matemática. Universidad Nacional de Ingeniería, Managua, 
Nicaragua. 
2. Swokowski – Cole. 2009. Álgebra y Trigonometría con Geometría Analítica. Cengage Learning, corporativo 
Santa Fe, México. 
3. Walsh Carlos 2008. Matemática Introductoria. Universidad Nacional de Ingeniería, Managua, Nicaragua. 
4. Colección Lexus. 2006. Manual de Preparación Pre – Universitaria (Álgebra). Lima Perú. 
5. Leithold Louis. 1998. Matemáticas Previas al Cálculo. 3° edición, Oxford University Press. México. 
6. E. P. Pillips, T. Butts, M. Shaughnessy. 1991. Álgebra con Aplicaciones. Harla, S.A, México. 
En la web se encuentran innumerables documentos relacionados con las matemáticas pre – universitarias, 
algunos de los cuales fueron consultados. A continuación, presentamos una breve lista de los mismos:
1. http://www.sectormatematica.cl/educmedia.htm 
2. http://www.vadenumeros.es/primero/alturas-mediatrices-medianas.htm 
3. http://www.vadenumeros.es/primero/ecuaciones-logaritmicas.htm 
4. http://www.uv.es/~ivorra/Libros/Logica.pdf 
5. https://es.khanacademy.org/math/algebra 
6. www.profesorenlinea.cl/matematica/Funciones_matematicas.html 
 
http://www.sectormatematica.cl/educmedia.htm
http://www.vadenumeros.es/primero/alturas-mediatrices-medianas.htm
http://www.vadenumeros.es/primero/ecuaciones-logaritmicas.htm
http://www.uv.es/%7Eivorra/Libros/Logica.pdf
https://es.khanacademy.org/math/algebra
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
	1.1 PORTADA
	PRIMERA PARTE
	ÁLGEBRA
	Autores
	Msc. Roberto Javier Ruiz Mendieta - Msc. Hank Espinoza Serrano
	2. COLABORADORES
	3.1 Parte I - ÁLGEBRA
	4. BIBLIOGRAFÍA ÁLGEBRA
	5. CONTRAPORTADA