GEM231_mineralogia_cristalografia I formas externas_curso 3 2017 - juan carlos Abramonte Rivas

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Curso 3: Cristalografía I – formas 
externas
Prof. Regina Baumgartner - 2017
Agenda
• Definición
• Cristalización
• Crecimiento de cristal
• Orden interno: Elementos de simetría (sin translación) 
• Morfología cristalina 
• Simetría cristalina
• Ejes cristalográficos 
• Proyecciones 
Definición
• Los minerales poseen una disposición interna ordenada que 
es característica de cristales solidos
• Cuando las condiciones son favorables, pueden ser 
delimitados por planos lisos y tener una geometría regular 
conocido como cristales. 
• Un cristal es un solido homogéneo que posee un orden 
interno tri-dimensional
• El estudio de los cristales es la cristalografía. 
Definición
• El termino cristal debería usarse para solidos geométricos 
delimitados por planos o caras lisos
• Un cristal solido es euedro cuando planos bien formados
• Un cristal subedro tiene planos imperfectos y cristales 
anhedro no tienen planos. 
Definición
• Microcristalino: Sustancias 
cristalinas pueden ocurrir como 
agregados de grano fino que la 
naturaleza cristalina puede solo 
estar determinada con el 
microscopio.
• Criptocristalino: cuando las 
sustancias cristalinas no pueden ser 
identificas con el microscopio pero 
solo con rayos X. 
• Amorfo: Sustancias cristalinas que 
carecen de ordenamiento atómico 
interno. Si ocurren de manera 
natural se llaman metaloides. 
Cristalización 
• Que se forma a partir de soluciones, fundidos, vapores y 
recristalización en el estado solido?
• Un cristal es el resultados de un cambio de fase de la 
materia: liquido a solido, gas a solido o solido a solido. 
• En las fases fluidas, los átomos se encuentran en su 
mayoría desordenados. Variando T y P y concentración, 
se pueden agrupar en forma ordenada característica del 
estado cristalino. 
Cristalización 
• Ejemplo: NaCl.
• Cristales de sal que se forman al permitir evaporación de 
agua. La disolución de Na y Cl se hace cada vez mas difícil 
por la escasez del agua. Ocurre la precipitación y si se 
controla lentamente la evaporación, los iones de Cl y Na
se irán agrupando y construyendo la estructural del 
cristal. 
• Si la evaporación es rápida, aparecen muchos centros de 
cristalización pequeños sin formas bien definidas. 
Cristalización 
• Ejemplos:
• Formación de cristales de hielo por 
congelación del agua. 
• Rocas ígneas formados a partir del magma, 
que cristalizan. Esto es debido a que cuando 
la T disminuye, las moléculas se quedan 
quietas y van tomando un orden definitivo 
hasta constituir un solido cristalino. 
• La cristalización a partir de vapor: cristales de 
azufre en volcanes, en la fumarolas. 
• Formación de copos de nieve a partir de la 
condensación de aire saturado de vapor de 
agua. 
Crecimiento de un cristal
• Como pueden crecer cristales desde formas muy pequeñas 
a otras muy grandes?
• Nucleación: primer etapa de crecimiento de un cristal, i. e. 
formación de un núcleo o semilla
• El núcleo es la presencia de varios iones que se unen para 
formar el modelo estructural regular inicial. Los iones son 
los productos iniciales de la precipitación en ambiente 
acuoso o de cristalización en una masa fundida (magma).
Crecimiento de un cristal
• Se forman muchos núcleo y 
están redisueltos porque en 
una solución saturada existe 
la tendencia de los núcleos a 
redisolverse. 
• Tienen un área superficial 
muy grande versus su 
volumen y por ende, hay 
muchos átomos en la 
superficie con enlaces 
incompletos. 
• Para poder crecer, deben 
hacerlo de manera rápida. Si 
tiene un tamaño critico por la 
acomodación de capas de 
iones, tendrá mas posibilidad 
de perdurar, formando un 
cristal mayor. 
Crecimiento de un cristal
• La cristalización ocurre 
supuestamente por adición de 
iones sobre la superficie externa 
del cristal según un modelo 
continuo y regular.
• Pero no siempre es así y los 
cristales pueden contener 
imperfecciones de diferentes 
tipos. 
Orden interno 
• La estructural cristalina de un mineral puede 
considerarse como la repetición de un motivo o grupo 
de átomos periódicamente en el espacio. 
• La celda unitaria es la mínima parte de una estructura 
que se puede repetir al infinito en las 3 dimensiones, 
para generar todo el sistema. 
• La repetición ocurre de forma que se va llenando el 
espacio tridimensional por translación y repetición de 
la celda de modo que los alrededores de cada motivo 
sean idénticos. 
Orden interno 
• Formaciones de 
cristales de 
diferentes 
aspectos según 
una celda 
unitaria: un cubo. 
Orden interno 
• La repetición puede ser de 
átomos, moléculas, cationes, 
grupos aniónico o 
combinaciones. 
• El grupo carbonatos define 
una forma de triangulo 
equilátero, con C en el centro 
y los O en los vértices del 
mismo. 
• El ion Ca une estos grupos 
carbonato dando un 
contorno a la celda unitaria 
de forma romboédrica. 
Distribución ordenada de grupos 
triangulares (CO3)
2- y carbonatos 
en la estructura romboédrica de 
una celda unitaria de calcita 
(CaCO3) 
Elementos de simetría 
• Debido a la construcción de cristales, por la relación que 
tienen las diferentes caras entre si, y en ocasiones, su 
repetición, se puede hablar del concepto de simetría
• El elemento de simetría es el lugar geométrico que 
ayuda a la visualización de la simetría de una distribución 
ordenada
• Los ejes, planos y centro de simetría son ejemplos de los 
elementos de simetría. 
Sistemas cristalinos 
Elementos de simetría 
• Las operaciones de simetría correspondiente a cada uno 
de estos elementos son:
• Rotación alrededor de un eje
• Reflexión sobre un plano
• Inversión alrededor de un punto 
Elementos de simetría 
• La rotación alrededor de un eje imaginario puede genera otro 
motivo o varios motivos 
Elementos de simetría 
Eje de simetría
• Un eje de simetría es una línea imaginaria que pasa por el 
interior del cristal (no es tangencial al cristal en ninguna de sus 
caras, aristas o vértices) sobre cual se puede hacer girar el 
cristal y repetir su aspecto n veces durante una revolución 
completa. 
Elementos de simetría 
Eje de simetría
• Cuando n=1, quiere decir que después de haber rotado el 
cristal 360° alrededor del eje, no se encontró ninguna 
repetición en el aspecto del cristal (a).
• Los ejes de rotación pueden ser desde n=1 hasta n=∞. En este 
caso (b), el objeto entra en coincidencia consigo mismo para 
cualquier ángulo de rotación, 
Elementos de simetría 
Eje de simetría
• En los cristales, debido al orden interno, no 
se encuentra sino la posibilidad de ejes:
• Monarios (1-fold): Ø=360°
• Binarios (2-fold): Ø=180°
• Ternarios (3-fold): Ø=120°
• Cuaternarios (4-fold): Ø=90°
• Senarios (6-fold): Ø=60°
• Ejes de 5 y 7 no son posibles 
Elementos de simetría 
Eje de simetría
Elementos de simetría 
Eje de simetría
• Ejes de 5 y 7 no son posibles => La acomodación de celdas de 
este tipo de manera continua, una con otras, no permita llenar 
el espacio tridimensional (condición indispensable para la 
estabilidad del cristal).
• Se generan vacíos que no pueden ser llenados con otras 
unidades idénticas y por ende el cristal no se puede formar. 
Elementos de simetría 
Eje de simetría
Elementos de simetría 
Eje de simetría
Punto central = eje
• Punto
• Ovalo
• Triangulo
• Cuadrado
• Hexágono
En la circunferencia se 
coloco el numero de 
figuras dependiendo 
el eje de rotación 
Elementos de simetría 
Elementos de simetría 
Eje de simetría – como reconocerlo
Acordarse que el eje siempre atraviesa el cristal por su 
interior y jamás tangencial a el.
• Para encontrar los ejes de rotación en un cristal, hacerlo 
girar sobre una línea imaginaria propuesta y 
permitiéndole una rotación completa (360°) y observar 
cuantas veces se repite el mismo aspecto del cristal en el 
giro completo
• En ocasiones resulta mas cómodo y practico mirar el 
cristal en planta y así aparecen mas fácilmente los 
diversos ejes presentes, por la repeticiónde las caras de 
forma simétrica. 
Elementos de simetría 
Plano de simetría
El plano de simetría produce 
mediante la operación de 
reflexión, una imagen igual a la 
primera, como si el plano fuera 
un espejo. 
El motivo que se refleja es el 
opuesto al motivo original y 
jamás podrán superponerse 
entre si. 
Elementos de simetría 
Plano de simetría – como reconocerlo
Los planos de simetría pueden estar o no presentes en un 
cristal y para buscarlos, se debe mirar que una superficie 
imaginaria puede cortar el cristal en dos partes 
exactamente iguales. 
Los planos pueden pasar por:
• Aristas o córtalas en su punto medio
• Por vértices
• Cortar las caras en su mitad.
Elementos de simetría 
Centro de simetría
• Esta relacionado con la operación de inversión
• Si desde cualquier punto de la superficie de un 
cristal hacemos pasar una línea imaginaria que 
atraviese el cristal por su centro, y dicha línea al 
salir del cristal. Por su extremo opuesto, toca 
otro punto idéntico al primero, tiene un centro 
de simetría, verificado por la inversión de dicho 
punto. 
• Si el punto esta en la parte superior del cristal, al 
hacer la operación de inversión, el nuevo punto 
hallado estará en la parte inferior del cristal. 
• El procedimiento puede realizarse también con 
caras o aristas.
Elementos de simetría 
Centro de simetría
• Esta relacionado con la operación de inversión
Elementos de simetría 
Centro de simetría en el 
octaedro. 
El tetraedro no tiene 
centro de simetría. 
Elementos de simetría 
Centro de simetría - como reconocerlo 
• Como regla practica, basta colocar sobre una superficie 
horizontal en cada una de sus caras, y si en todas las 
posiciones, encontramos siempre una cara igual a la que esta 
apoyado, que sea siempre paralela a la cara de apoyo en 
mención, existirá un centro de simetría
• Si la cara elegida tiene una figura geométrica irregular, debe 
mostrar inversión de la misma
• Si la cara apoyada apunta hacia la izquierda del observador, la 
de arriba debe apuntar haca la derecha y viceversa. 
• Esta condición debe cumplirse en todas y cada una de las 
caras del cristal sino no tiene centro de simetría. 
Elementos de simetría 
Eje de inversión. 
• También pueden, 
incluso junto a todo esto 
anterior, existir otros 
ejes llamados de 
inversión o de roto-
inversión, ya que 
combinan operaciones 
de rotación con 
inversión. 
Elementos de simetría 
Eje de inversión. 
• También pueden, 
incluso junto a todo esto 
anterior, existir otros 
ejes llamados de 
inversión o de roto-
inversión, ya que 
combinan operaciones 
de rotación con 
inversión. 
Elementos de simetría 
Eje de inversión. 
• Pueden ser los mismos ordenes de los ejes simples:
• Monarios de inversión (1-fold rotoinversion)
• Binario de inversión (2-fold rotoinversion)
• Ternario de inversión (3-fold rotoinversion)
• Cuaternario de inversión (4-fold rotoinversion)
• Senario de inversión (6-fold rotoinversion) 
Elementos de simetría 
Eje de inversión. 
Elementos de simetría 
Elementos de simetría 
Combinaciones de rotación y 
simetría 
Perspectiva Símbolo Proyección
Notación simple
• Ejes de simetría: A
• Seguido de un subíndice n expresando del orden del 
eje
• A4: eje de simetría cuaternario
• A6: eje de simetría senario
• 3A2: 3 ejes de simetría de orden cuaternario
• 4A3: 4 ejes de simetría de orden ternario
Notación simple
Planos de simetría
• Planos de simetría: p
• 5p: cristal que tiene 5 planos de simetría
• 3p: tres planos de simetría
• Centro de simetría: c
• Solo se usa una vez y solo cuando este elemento esta 
presente en el cristal 
Notación Hermann Mauguin
Notación la mas usada
• Ejes de simetría o de inversión: se emplea números
• 1, 2, 3, 4, 6: ejes monario, binario,…
• ത1, ത2, ത3, ത4, ത6: ejes de inversión monario, binario,…
• m: planos de simetría
•
2
m
, 
4
m
, 
6
m
: plano de simetría perpendicular al eje binario, al eje 
cuaternario, al eje senario
• Centro de simetría: no tiene símbolo. Queda implícito en los 
ejes de simetría impares con inversión (ത1, ത3) y en los ejes de 
simetría par, planos de simetría perpendicular (
2
m
, 
4
m
, 
6
m
)
Notación Hermann Mauguin
Ejemplos 
• Un cristal con la simetría 
siguiente: un eje cuaternario, 
cuatro ejes binarios, cinco planos 
de simetría y centro en notación 
simple: A4,4A2,5p,C
• En notación Hermann Mauguin: 
4
m
, 
2
m
, 
2
m
Notación Hermann Mauguin
Ejemplos 
• En la notación simple, van primero los ejes de simetría y en 
forma decreciente se van citando, desde aquellos de orden 
superior, descendiendo a los de orden inferior. Enseguida se 
colocan los planos y por ultimo el centro de simetría. Todos 
los elementos se separan por medio de comas.
Notación Hermann Mauguin
Conversión desde notación simple a Hermann Mauguin
• En la simetría de todo el cristal siempre hay un elemento que 
indique a que sistema cristalino pertenece dicho cristal.
• Sistema Cubico: presencia de 4 ejes ternarios (4A3)
• Sistema Tetragonal: 1 eje cuaternario (1A4)
• Sistema hexagonal: 
• Hexagonal: 1 eje senario (1A6)
• Romboédrica: un eje ternario (1A3)
• Sistema rómbico u ortorrómbico: 3 ejes binarios (3A2)
• Sistema monoclínico: un eje binario (1A2)
• Sistema triclínico: solo puede tener centro o nada de 
simetría.
• Ejemplo: A4, 4A2, 5p, C pertenece al sistema tetragonal 
Notación Hermann Mauguin
Convenciones de la notación Hermann Mauguin
• Algunos cristales tienen tantos simetría (sistema cubico) que 
el símbolo de su expresión simple puede contener hasta cinco 
partes: 3A4, 4A3, 6A2, 9p, C. 
• En la expresión Hermann Mauguin, solo puede contener 3 
partes: A, B, C. 
Notación Hermann Mauguin
Convenciones de la notación Hermann Mauguin
• Sistema cubico o isométrico
• A: hace referencia a tres ejes de orden cuaternario o 
binario. 
4
m
, ത4, 4 ó
2
m
, 2
• B: se refiere a 4 elementos de orden ternario. ത3, 3. estos 
ejes nunca tienen planos de simetría perpendicular, por eso 
la fracción no puede ser fraccionario
• C: se refiere a 6 elementos de orden binario, 6A2. Pueden 
ser ejes simples o planos de simetría (un plano de simetría 
es un caso particular de elemento binario, pues duplica la 
imagen). 
2
m
, 2 o m. Esta parte C puede ser ausente. 
Notación Hermann Mauguin
Convenciones de la notación Hermann Mauguin
• Sistema cubico o isométrico
• Para construir una simetría del sistema cubico, se toma 
un símbolo de cada una de las partes, cuidando que 
sean compatibles entre ellas. 
• Ejemplo: 
4
m
ത3
2
m
;
2
m
ത3; ത432
• No existen las simetrías: 
4
m
32; 
2
m
3; 2ഥ3
• Se reconoce que una simetría pertenece al sistema 
cubico o isométrico por tener B como un elemento de 
orden ternario. 
Notación Hermann Mauguin
Convenciones de la notación Hermann Mauguin
• Sistema cubico o isométrico
Notación Hermann Mauguin
Convenciones de la notación Hermann Mauguin
• Sistema tetragonal
• A: hace referencia a un elemento de orden cuaternario. 
4
m
, 4 o ത4
• B: hace referencia a dos elementos de orden binario. 
2
m
, 
2 o m
• C: se refiere a dos elementos de orden binario. 
2
m
, 2 o m
• Simetría del sistema: 
4
m
2
m
2
m
; 422, 4mm, ത4; 4 
• Las B y C pueden ser ausentes.
• Se reconoce la simetría del sistema tetragonal porque A
es de orden cuaternario
Notación Hermann Mauguin
Convenciones de la notación Hermann Mauguin
• Sistema tetragonal
Notación Hermann Mauguin
Convenciones de la notación 
Hermann Mauguin
• Sistema tetragonal 
Combinación de un eje de 
rotación cuaternario y dos 
series de ejes de rotación 
binaria. Los motivos unitarios 
por encima de la página se 
indican por medio de puntos 
negros y los situados por 
debajo de la página vienen 
indicados por círculos blancos. 
Combinaciones de rotación y 
simetría 
Convenciones de la notación 
Hermann Mauguin
• Sistema tetragonal 
Combinación de un eje de 
rotación cuaternario, cuatro 
ejes de rotación binarios y 
planosde simetría 
perpendiculares a cada uno de 
los ejes. 
Combinaciones de rotación y 
simetría 
Convenciones de la notación 
Hermann Mauguin
• Sistema tetragonal 
Combinación de un eje de 
rotación cuaternario y dos 
series de planos de simetría 
paralelos al eje cuaternario.
Notación Hermann Mauguin
Convenciones de la notación Hermann Mauguin
• Sistema hexagonal (hexagonal)
• A: hace referencia a un elemento de orden senario. 
6
m
, 6 
o ത6
• B: hace referencia a tres elementos de orden binario. 
2
m
, 
2 o m
• C: se refiere a tres elementos de orden binario. 
2
m
, 2 o m
• Simetría del sistema: 
6
m
2
m
2
m
; 622; ത62m
• Las B y C pueden ser ausentes.
• Se reconoce la simetría del sistema hexagonal porque A
es de orden seis
Notación Hermann Mauguin
Convenciones de la notación Hermann Mauguin
• Sistema hexagonal (hexagonal)
Notación Hermann Mauguin
Convenciones de la notación Hermann Mauguin
• Sistema hexagonal (romboédrica)
• A: hace referencia a un elemento de orden tres. 3 o ത3
• B: hace referencia a tres elementos de orden binario. 
2
m
, 
2 o m
• C: se refiere a tres elementos de orden binario. 
2
m
, 2 o m
• Simetría del sistema: ; ത3
2
m
; 32; 3
• Las B y C pueden ser ausentes.
• Se reconoce la simetría del sistema romboédrica porque 
A es de orden tres
Notación Hermann Mauguin
Convenciones de la notación Hermann Mauguin
• Sistema rómbico o ortorrómbico
• A: hace referencia a un elemento de orden binario. 
2
m
, 
2 o m
• B: hace referencia a un elemento de orden binario. 
2
m
, 2 
o m
• C: se refiere a un elemento de orden binario. 
2
m
, 2 o m
• Simetría del sistema: 
2
m
2
m
2
m
; 222; 2mm
• Ninguna de las partes pueden ser ausentes.
• Se reconoce la simetría del sistema rómbico porque 
tiene tres partes y todas son de sistema binaria (eje o 
plano)
Notación Hermann Mauguin
Convenciones de la notación Hermann Mauguin
• Sistema rómbico o ortorrómbico
Notación Hermann Mauguin
Convenciones de la notación Hermann Mauguin
• Sistema monoclínico
• A: hace referencia a un elemento de orden binario. 
2
m
, 
2 o m
• B: no existe segunda parte
• C: no existe tercera parte
• Simetría del sistema: 
2
m
; 2; m
• Se reconoce la simetría del sistema monoclínico porque 
tiene solo una parte y es de sistema binaria 
Notación Hermann Mauguin
Convenciones de la notación Hermann Mauguin
• Sistema monoclínico
Notación Hermann Mauguin
Convenciones de la notación Hermann Mauguin
• Sistema triclínico
• A: hace referencia a un elemento de orden monario. ത1 o 
1 
• B: no existe segunda parte
• C: no existe tercera parte
• Simetría del sistema: ത1 ; 1 
• Se reconoce la simetría del sistema triclínico porque 
tiene solo una parte y es de sistema monaria
Notación Hermann Mauguin
Convenciones de la notación Hermann Mauguin
• Sistema triclínico
Notación Hermann Mauguin
Equivalencias de ejes de inversión 
• Un eje de inversión monario equivale a centro de 
simetría: ത1 = C
• Un eje de inversión binario equivale a un plano de 
simetría; ത2 = m
• Un eje de inversión cuaternario incluye un eje binario 
simple y además el cristal no posee centro de simetría.
• Un eje de inversión senario equivale a un eje ternario 
simple y además plano de simetría perpendicular. ത6 = 
3
m
Resumen de operaciones de 
simetría sin traslado
• Ejes de rotación: 1, 2, 3, 4, y 6
• Ejes de rotoinversion: ത1, ത2, ത3, ത4, ത6
• Centro de simetría: i
• Planos de simetría: m
• Combinaciones de ejes de rotación: 622, 422 , 222
• Ejes de rotación con plano de simetría: 
6
m
2
m
2
m
Notación Hermann Mauguin
Símbolos que implican la existencia de centro de simetría
• 5 símbolos los que indican implícitamente que el cristal 
posee centro:
• Los ejes de inversión de orden impar: ത1 y ത3
• Los ejes simples pares, que tienen plano de simetría 
perpendicular (
2
m
, 
4
m
, 
6
m
)
Notación Hermann Mauguin
Símbolos que implican la existencia de centro de simetría
• 5 símbolos los que indican implícitamente que el cristal 
posee centro:
• Los ejes de inversión de orden impar: ത1 y ത3
• Los ejes simples pares, que tienen plano de simetría 
perpendicular (
2
m
, 
4
m
, 
6
m
)
Morfología de 
cristal
• Diagrama circular de la 
izquierda: distribución 
del punto unitario
• Diagrama de la derecha: 
elementos de simetría. 
• 11 contienen un centro 
de simetría y son 
conocidos como el 
grupo Laue
• El 
2
m
aparece en dos 
diferentes 
orientaciones.
4
m
2
m
2
m
2
m
2
m
2
m
Morfología de 
cristal
• Diagrama circular de la 
izquierda: distribución 
del punto unitario
• Diagrama de la derecha: 
elementos de simetría.
• 11 contienen un centro 
de simetría y son 
conocidos como el 
grupo Laue
32 clases de simetría 
32 clases de simetría 
Simetría de cristal 
• Eje de simetría senario 
• Eje de inversión cuaternario
• Centro de inversión 
• Plano de simetría 
Ejes cristalográficos
• Para dar un nombre a las caras de los 
cristales, se necesita un eje de referencia 
que sirven para ubicar en posición las 
respectivas formas externas del cristal. 
• Estos ejes de llaman ejes cristalográficos que 
se deben tomar paralelos a aristas reales del 
cristal. 
• Se eligen 3 (con excepción del sistema 
hexagonal) y en la mayoría de los casos 
coinciden con los ejes de simetría del cristal
• Se nombran a, b, y c. se interceptan en el 
interior del cristal (son imaginarios). Cada 
una tiene su extremo positivo y negativo.
Ejes cristalográficos
• Los ángulos 
ente los ejes 
son:
• α entre b y c
• β entre a y c
• γ entre a y b
Ejes cristalográficos
• Sistema cubico o 
isométrico
• Tres ejes mutuamente 
perpendiculares, de 
longitud igual (del 
mismo color). a1, a2 y 
a3. 
Ejes cristalográficos
• Sistema tetragonal
• Tres ejes mutuamente 
perpendiculares, dos de 
ellos, los horizontales, 
son de igual longitud 
(mismo color) y se 
llaman a1 y a2. 
• El eje vertical es mas 
corto o mas largo que 
los otros dos (c). 
Ejes cristalográficos
• Sistema rómbico
• Tres ejes mutuamente 
perpendiculares, y 
todos son de diferentes 
longitud (diferentes 
colores).
Ejes cristalográficos
• Sistema hexagonal
• Se usan 4 ejes, tres de 
ellos en el plano 
horizontal y uno 
vertical.
• Ejes horizontales: a1, a2, 
a3 y están a 120° uno 
del otro. Igual longitud 
y perpendicular a c
• Eje vertical: c con 
mayor o menor 
longitud a los 
horizontales. 
Ejes cristalográficos
• Sistema monoclínico
• Tres ejes desigual 
(diferente colores), dos 
de ellos forman un 
ángulo oblicuo y el 
tercero perpendicular 
al plano de los otros 
dos.
Ejes cristalográficos
• Sistema triclínico
• Tres ejes desiguales 
(diferentes colores) que 
se cortan en ángulos 
oblicuos 
Intersecciones de las caras
• Las caras del cristal se definen en posición por su intersección 
con los ejes cristalográficos. 
• Una cara puede cortar a un eje a una cierta medida o ser 
paralela a el
• Es importante definir a que distancia relativa corta la cara a los 
diferentes ejes. 
Intersecciones de las caras
Intersecciones de las caras
• AA es paralelo a b y c y corta a a una cierta medida: 
intersecciones del plano son: 1a: ∞b: ∞c
• A’A’ es paralelo a los ejes b y c y corta al eje a a una cierta 
medida. Las intersecciones de este plano son: 2a: ∞b: ∞c
Intersecciones de las caras
• BB es paralelo a a y c y corta b a una cierta medida: 
intersecciones del plano son: ∞ a: 1b: ∞c
• AB corta los ejes a y b a distancias iguales y es paralelo a c: 1a: 
1b: ∞c
• Un plano que corte a los tres ejes a igual medida: 1a: 1b: 1c
Intersecciones de las caras
Intersecciones de las caras
• Desarrollo de las caras cristalinas 
que son paralelas a los planos. 
Las intersecciones indicadas en 
las caras son valores relativos sin 
indicar longitudes reales de 
corte. 
• Cuando las intersecciones se 
asignan a las caras de un cristal 
sin conocimiento de las 
dimensiones de la Celda unitaria, 
una cara que cortea los tres ejes 
recibe la asignación 1a: 1b: 1c y 
se llama cara unidad (unit face) 
del cristal
Intersecciones de las caras
• Cuando en el cristal hay varias 
caras que corten a los tres ejes, 
se elige la mas grande y aquella 
que se desarrolla con mas 
frecuencia. 
• En un cristal rómbico, la cara 
sombreada (cara unidad) corta a 
los tres ejes cristalográficos en 
sus extremos positivos, con 
intersecciones 1a: 1b: 1c. 
Intersecciones de las caras
• La cara encima de la sombreada 
se puede prolongar hacia los ejes 
y buscar su intersección: 2a: 2b: 
2/3c respecto a la cara unidad. 
• Dividiendo por dos como factor 
común: 1a:1b: 1/3c
Intersecciones de las caras
Índices de Miller
• Los índices de Miller de una 
cara consisten en una 
expresión de números enteros 
que se deducen de los 
parámetros obtenidos por 
intersección y su posterior 
inversión. Si es preciso, se 
eliminan los fraccionarios. 
• Los números que expresan los 
índices se refieren en su orden 
a los ejes a, b, y c, son cuatro 
en el sistema hexagonal.
Índices de Miller
• Si tenemos dos caras con 1a: 
1b: 1c y 2a: 2b: 2/3c
• Al invertir tenemos: 1/1 1/1 
1/1 y ½ ½ 3/2
• Eliminación de las fracciones: 
(111) y (113)
• Si los índices son de dos 
dígitos: (1, 12, 4)
• Si una cara corta los ejes de 
forma negativa: (1ത11)
• Cuando no se conoce las 
intersecciones: (hkl)
Índices de Miller
• Índice de Miller respecto a 
los extremos positivo y 
negativo de los ejes 
cristalográficos.
Índices de Miller
Índices de Miller
Índices de Miller
Medición de ángulos
• La medición de ángulos entre caras se hace con un 
goniómetro de contacto. Esto es necesario para representar 
las formas cristalinas en un plano bi-dimensional. 
Proyecciones 
• Representación tri-dimensional en un plano bi-
dimensional de una cristal. 
• Proyección esférica
• Proyección estereográfica
Proyección esférica 
• Si de un punto cualquiera 
del espacio se trazan 
normales a todas las caras 
de un cristal, se obtiene un 
rayo de rectas 
convergentes en dicho 
punto
• Polos de las caras. Puede 
ser fijada mediante 
coordenadas esféricas, 
latitud y longitud como en 
geografía. 
Proyección esférica 
• Si de un punto cualquiera 
del espacio se trazan 
normales a todas las caras 
de un cristal, se obtiene un 
rayo de rectas 
convergentes en dicho 
punto
• Polos de las caras. Puede 
ser fijada mediante 
coordenadas esféricas, 
latitud y longitud como en 
geografía. 
Proyección estereográfica 
• Plano de proyección = 
plano diametral de la 
esfera, es decir, un plano 
que la corte por el centro y 
forme en ella un círculo 
máximo denominado 
círculo fundamental de 
proyección
Proyección estereográfica 
• El punto de vista se ubica 
en uno de los polos de 
este círculo. Las rectas que 
unen el punto de vista o 
con los polos de las caras 
proyectados en la esfera, 
cortan el plano de 
proyección y estos puntos 
de intersección forman la 
proyección estereográfica 
del cristal
Proyección estereográfica 
• El punto de vista se ubica 
en uno de los polos de 
este círculo. Las rectas que 
unen el punto de vista o 
con los polos de las caras 
proyectados en la esfera, 
cortan el plano de 
proyección y estos puntos 
de intersección forman la 
proyección estereográfica 
del cristal
Proyección estereográfica 
Angulos Φ
Proyección estereográfica 
Angulos ρ
Proyección estereográfica 
• Se usan los ángulos 
entre caras (longitud 
y latitud) para poder 
proyectar la cara del 
cristal. 
Proyección estereográfica 
Proyección estereográfica 
Proyección estereográfica 
Proyección estereográfica