Evaluaciones 2019-0 - Maria Cristina Rodriguez Escalante

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Universidad del Pací!co
Manual de imagenLogotipo institucional
Primera Práctica Calificada - Solucionario
Matemáticas II Viernes 4 de enero de 2019
Está estrictamente prohibido el uso de cartucheras, calculadoras o notas y el présta-
mo de materiales.
No hay consultas; si considera que alguna pregunta está errada o mal propuesta
corrija el enunciado y justifique su proceder.
Justifique su respuesta.
Son importantes el orden y la claridad en la presentación de su trabajo, caso con-
trario se puede invalidar completamente la respuesta.
APELLIDOS:
NOMBRES:
SECCIÓN:
1 2 3 4 5 NOTA
1. Determine la veracidad de las siguientes afirmaciones. Justifique su respuesta.
a) Sean f : R→ R y x0 ∈ R. Si ĺım
x→x0
f(x) = 5, entonces ĺım
x→x0
f(x) sen(x)
x
= 5
(1 punto)
Solución. Falso. Considere f(x) = 5x y x0 = 1, entonces ĺım
x→1
f(x) = 5 pero
ĺım
x→1
f(x) sen(x)
x
= 5 sen(1) 6= 5
b) Sean f y g dos funciones reales tales que ĺım
x→0
g(x) = 0 y ĺım
x→0
f(x) = L ∈ R,
entonces ĺım
x→0
f(x)
g(x)
= +∞ o ĺım
x→0
f(x)
g(x)
= −∞. (1 punto)
Solución. Falso. Considere g(x) = x2 y f(x) = x, entonces ĺım
x→0
g(x) = 0 y
ĺım
x→0
f(x) = 0 = L ∈ R, pero ĺım
x→0
f(x)
g(x)
= ĺım
x→0
x2
x
= 0 6= ±∞
2. Calcule los siguientes ĺımites:
a) ĺım
x→0
√
x+ 4− 2
3
√
x+ 27− 3
(3 puntos)
Solución.
ĺım
x→0
√
x+ 4− 2
3
√
x+ 27− 3
= ĺım
x→0
√
x+ 4− 2
3
√
x+ 27− 3
·
√
x+ 4 + 2√
x+ 4 + 2
· (
3
√
x+ 27)2 + ( 3
√
x+ 27)(3) + (3)2
( 3
√
x+ 27)2 + ( 3
√
x+ 27)(3) + (3)2
= ĺım
x→0
(x+ 4)− 4
(x+ 27)− 27
· (
3
√
x+ 27)2 + ( 3
√
x+ 27)(3) + (3)2√
x+ 4 + 2
= ĺım
x→0
( 3
√
x+ 27)2 + ( 3
√
x+ 27)(3) + (3)2√
x+ 4 + 2
=
27
4
b) ĺım
x→0
cos(1/x2) + 2
x2
(2 puntos)
Solución. Para todo x ∈ R− {0}, se tiene que
1 ≤ cos
(
1
x2
)
+ 2
→ 1
x2
≤
cos
(
1
x2
)
+ 2
x2
Puesto que ĺım
x→0
1
x2
= +∞, entonces ĺım
x→0
cos(1/x2) + 2
x2
= +∞
c) ĺım
x→ 1
a
−
|2ax− 2|
ax2 + (2a− 1)x− 2
, donde a < −1
2
. (3 puntos)
Solución. Si a < −1
2
< 0 y x <
1
a
entonces ax− 1 > 0, por lo tanto
ĺım
x→ 1
a
−
|2ax− 2|
ax2 + (2a− 1)x− 2
= ĺım
x→ 1
a
−
2ax− 2
ax2 + (2a− 1)x− 2
= ĺım
x→ 1
a
−
2(ax− 1)
(ax− 1)(x+ 2)
= ĺım
x→ 1
a
−
2
(x+ 2)
=
2
1
a
+ 2
3. Sean a, b ∈ R − {0}, f : R → R tal que ĺım
x→0
f(x+ a)
x
= b y ĺım
x→0
f(x− b)
x
= a.
Calcule ĺım
x→0
f(bx+ a)
f(ax− b)
. (3 puntos)
Solución.
ĺım
x→0
f(bx+ a)
f(ax− b)
= ĺım
x→0
b · f(bx+ a)
bx
a · f(ax− b)
ax
=
b
a
·
ĺım
x→0
f(bx+ a)
bx
ĺım
x→0
f(ax− b)
ax
=
b
a
·
ĺım
u→0
f(u+ a)
u
ĺım
v→0
f(v − b)
v
=
b
a
· b
a
=
b2
a2
Donde los cambios de variable realizados son, u = bx y v = ax.
4. Usando la definición de ĺımite, demuestre que ĺım
x→3
(x2 − 6x) = −9. (3 puntos)
Solución. Halle δ,∣∣(x2 − 6x)− (−9)∣∣ < ε ↔ |x2 − 6x+ 9| < ε
↔ |(x− 3)2| < ε
↔ |x− 3| <
√
ε
Considere δ =
√
ε, entonces
0 < |x− 3| < δ → |x− 3| <
√
ε
→ |x2 − 6x+ 9| < ε
→ |(x2 − 6x)− (−9)| < ε
por lo tanto
∀ε > 0, ∃ δ =
√
ε > 0,
[
0 < |x− 3| < δ →
∣∣(x2 − 6x)− (−9)∣∣ < ε]
5. Un comercio de imprenta ofrece tarjetas perzonalizadas y cobra de la siguiente
manera: si el pedido es no más de 100 tarjetas el precio por cada una es 0, 35 dólares,
si la cantidad es mayor a 100 pero no más de 200 unidades el precio unitario es
0, 25 dólares y si la demanda es más de 200 unidades el precio se reduce a 0, 15.
a) Determine la función costo en términos de la cantidad x de tarjetas pedidas,
indique su dominio. (2 puntos)
Solución. La función costo es
C(x) =

0, 35x ; 0 ≤ x ≤ 100
0, 25x ; 100 < x ≤ 200
0, 15x ; 200 < x
donde Dom(f) = [0,+∞[
b) Determine los valores de x0 donde el ĺımite no existe. (2 puntos)
Solución. Observe que si x0 /∈ R \ {100, 200} entonces ĺım
x→x0
C(x) existe.
Si x0 = 100, entonces ĺım
x→100−
C(x) = 35 y ĺım
x→100+
C(x) = 25, no existe el
ĺımite global.
Si x0 = 200, entonces ĺım
x→200−
C(x) = 50 y ĺım
x→200+
C(x) = 30, no existe el
ĺımite global.
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Segunda Práctica Calificada - Solución
Matemáticas II Viernes 11 de enero de 2019
Está estrictamente prohibido el uso de cartucheras, calculadoras o notas y el présta-
mo de materiales.
No hay consultas; si considera que alguna pregunta está errada o mal propuesta
corrija el enunciado y justifique su proceder.
Justifique su respuesta.
Son importantes el orden y la claridad en la presentación de su trabajo, caso con-
trario se puede invalidar completamente la respuesta.
APELLIDOS:
NOMBRES:
SECCIÓN:
1 2 3 4 NOTA
1. Determine la veracidad de las siguientes afirmaciones. Justifique su respuesta.
a) Sea f : [0, 1]→ R una función continua. Si existe x0 ∈]0, 1[ tal que f(x0) = 0,
entonces f(0) · f(1) < 0.
(1.5 puntos)
Solución. Falso. Considere f(x) = 0 que es continua, entonces existe x0 =
1
2
tal que f(x0) = 0, pero f(0) · f(1) = 0.
b) La función f : A → R definida por f(x) = 1√
3− 2x− x2
, donde A es el
dominio máximo de definición, tiene una única aśıntota horizontal.
(1.5 puntos)
Solución. Falso. El dominio máximo de f está dado por
3− 2x− x2 > 0 ↔ (3 + x)(1− x) > 0
↔ x ∈]− 3; 1[
Como el dominio está acotado, entonces no tiene aśıntotas horizontales.
2. a) Sea f :] − ∞, 0] → R una función definida por f(x) = 2 −
√
x2 − 8x+ 17.
Determine la ecuación de la aśıntota obĺıcua de f . (4 puntos)
Solución.
m = ĺım
x→−∞
f(x)
x
= ĺım
x→−∞
2−
√
x2 − 8x+ 17
x
= ĺım
x→−∞
2
x
+
√
x2 − 8x+ 17
−x
= ĺım
x→−∞
2
x
+
√
x2 − 8x+ 17√
x2
= ĺım
x→−∞
2
x
+
√
1− 8
x
+
17
x2
= 1
b = ĺım
x→−∞
f(x)− x
= ĺım
x→−∞
2−
√
x2 − 8x+ 17− x
= ĺım
x→−∞
(2− x)−
√
x2 − 8x+ 17 · (2− x) +
√
x2 − 8x+ 17
(2− x) +
√
x2 − 8x+ 17
= ĺım
x→−∞
(2− x)2 − (x2 − 8x+ 17)
(2− x) +
√
x2 − 8x+ 17
= ĺım
x→−∞
4x− 13
2− x+
√
x2 − 8x+ 17
= ĺım
x→−∞
4x− 13
2− x+
√
x2 − 8x+ 17
·
1
−x
1√
x2
= ĺım
x→−∞
−4 + 13
x
2
−x + 1 +
√
1− 8
x
+ 17
x2
= −2
Por lo tanto, la aśıntota obĺıcua a la gráfica de f es la recta de ecuación
y = x− 2
b) Sean 0 < a < b < c, calcule ĺım
x→+∞
(√
ax+
√
bx+
√
cx−
√
ax
)
(2 puntos)
Solución.
L = ĺım
x→+∞
√
ax+
√
bx+
√
cx−
√
ax ·
(√
ax+
√
bx+
√
cx+
√
ax
)
(√
ax+
√
bx+
√
cx+
√
ax
)
= ĺım
x→+∞
ax+
√
bx+
√
cx− ax√
ax+
√
bx+
√
cx+
√
ax
= ĺım
x→+∞
√
bx+
√
cx√
ax+
√
bx+
√
cx+
√
ax
·
1√
x
1√
x
= ĺım
x→+∞
√
b+
√
c
x√
a+
√
b
x
+
√
c
x3
+
√
a
=
√
b
2
√
a
c) Sea f : R → R, definida por f(x) = 3
√
1 + x2 y x0 ∈ R. Calcule, usando la
definición, f ′(x0). (2 puntos)
Solución.
f ′(x0) = ĺım
x→x0
f(x)− f(x− 0)
x− x0
= ĺım
x→x0
3
√
1 + x2 − 3
√
1 + x20
x− x0
· (
3
√
1 + x2)2 + ( 3
√
1 + x2)( 3
√
1 + x20) + (
3
√
1 + x20)
2
( 3
√
1 + x2)2 + ( 3
√
1 + x2)( 3
√
1 + x20) + (
3
√
1 + x20)
2
= ĺım
x→x0
(1 + x2)− (1 + x20)
(x− x0)
(
( 3
√
1 + x2)2 + ( 3
√
1 + x2)( 3
√
1 + x20) + (
3
√
1 + x20)
2
)
= ĺım
x→x0
x+ x0
( 3
√
1 + x2)2 + ( 3
√
1 + x2)( 3
√
1 + x20) + (
3
√
1 + x20)
2
=
2x0
3( 3
√
1 + x20)
2
3. Sea f :]0, 1[→ R una función continua tal que ĺım
x→0+
f(x) = 0 y ĺım
x→1−
f(x) = 4.
Pruebe que existe x0 ∈]0, 1[ tal que f(x0) = 2. (4 puntos)
Solución. Debemos encontrar a, b ∈]0, 1[ tales que f(a) < 2 y f(b) > 2. Por dato
tenemos:
ĺım
x→0+
f(x) = 0, entonces
∀ε > 0, ∃δ > 0, [0 < x < δ → |f(x)− 0| < ε]
Para ε = 1,
∃δ > 0, [0 < x < δ → −1 < f(x) < 1]
Luego, considere a =
δ
2
, entonces:
[0 < a < δ → |f(a)| < 1]
Por lo tanto, f(a) < 2.
ĺım
x→1−
f(x) = 4, entonces
∀ε > 0, ∃δ > 0, [1− δ < x < 1→ |f(x)− 4| < ε]
Para ε = 1,
∃δ > 0, [1− δ < x < 1→ |f(x)− 4| < 1]
Luego, considere b = 1− δ
2
, entonces:
[1− δ < b < 1→ 3 < f(b) < 5]
Por lo tanto, f(b) > 2.
Ahora se tiene lo siguiente: f es continua en [a, b] y f(a) < 2 < f(b), aplicando el
T.V.I
∃x0 ∈ [a, b] ⊂]0, 1[ tal que f(x0) = 2.
4. Grafique una función f : R− {−4, 4} → R con las siguientes propiedades:
(5 puntos)
f es continua en R− {−4, 4}, excepto en x = −2 y en x = 0.
ĺım
x→−4−
f(x)= 0, ĺım
x→−4+
f(x) = +∞, ĺım
x→0−
f(x) = 0, ĺım
x→4−
f(x) = +∞.
ĺım
x→+∞
f(x) = 2, ĺım
x→−∞
[ f(x) + x+ 1 ] = 0.
f posee discontinuidad de tipo removible en x = −2 y en x = 0.
La ecuación f(x) = 0 posee únicamente 1 solución.
x0 = 0 es punto mı́nimo de f .
f es creciente en los intervalos ]− 2, 0[, ]0, 4[, ]4,+∞[.
f es decreciente en los intervalos ]−∞,−4[, ]− 4,−2[.
x
y
1
1
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Tercera Práctica Calificada - Solución
Matemáticas II Viernes 18 de enero de 2019
Está estrictamente prohibido el uso de cartucheras, calculadoras o notas y el présta-
mo de materiales.
No hay consultas; si considera que alguna pregunta está errada o mal propuesta
corrija el enunciado y justifique su proceder.
Justifique su respuesta.
Son importantes el orden y la claridad en la presentación de su trabajo, caso con-
trario se puede invalidar completamente la respuesta.
APELLIDOS:
NOMBRES:
SECCIÓN:
1 2 3 4 5 NOTA
1. a) (3 puntos) Si f, g, g−1 : R→ R son funciones derivables que cumplen lo siguiente:
x f(x) g(x) f ′(x) g′(x)
0 2 3 −3 −4
1 3 2 5 −2
2 5 1 4 −1
Evalúe y de su respuesta en forma simplificada.
d
dx
g ◦ f(x) en x = 0 es 3
d
dx
g−1(x) en x = 1 es −1
d
dx
ln (f(x)) en x = 2 es
4
5
d
dx
ef(x)g(x) en x = 2 es −e5
b) (2 puntos) En cada caso, considere que A y B son constantes reales. Complete la
siguiente tabla, indicando los valores de A y B, según corresponda.
f(x) f ′(x) A B
Ax+B√
4− x
2x
√
4− x3
−4 32
arc sen
(
x√
x2 + 1
)
A (x2 + 1)
B
1 −1
2. (4 puntos) Sea f : A→ R una función definida por
f(x) =
√
1 + 2x 4
√
1 + 4x 6
√
1 + 6x · · · 100
√
1 + 100x
3
√
1 + 3x 5
√
1 + 5x 7
√
1 + 7x · · · 101
√
1 + 101x
,
donde A es su máximo dominio de definición.
a) (2.5 puntos) Determine f ′(x).
Solución.
ln (f(x)) = ln
(√
1 + 2x 4
√
1 + 4x 6
√
1 + 6x · · · 100
√
1 + 100x
3
√
1 + 3x 5
√
1 + 5x 7
√
1 + 7x · · · 101
√
1 + 101x
)
ln (f(x)) =
1
2
ln (1 + 2x) +
1
4
ln (1 + 4x) + · · ·+ 1
100
ln (1 + 100x)
−1
3
ln (1 + 3x)− 1
5
ln (1 + 5x)− · · · − 1
101
ln (1 + 101x)
f ′(x)
f(x)
=
1
2
· 2
1 + 2x
+
1
4
· 4
1 + 4x
+ · · ·+ 1
100
· 100
1 + 100x
−1
3
· 3
1 + 3x
− 1
5
· 5
1 + 5x
− · · · − 1
101
· 101
1 + 101x
f ′(x) =
√
1 + 2x 4
√
1 + 4x 6
√
1 + 6x · · · 100
√
1 + 100x
3
√
1 + 3x 5
√
1 + 5x 7
√
1 + 7x · · · 101
√
1 + 101x
[
1
1 + 2x
+
1
1 + 4x
+ · · ·+ 1
1 + 100x
− 1
1 + 3x
− 1
1 + 5x
− · · · − 1
1 + 101x
]
b) (1.5 puntos) Determine la ecuación de la recta tangente a la gráfica de f en el punto
de abscisa x = 0.
Solución.
Pendiente de la recta tangente: f ′(0) = 0.
Punto de tangencia: (0, f(0)) = (0, 1).
Ecuación de la recta tangente: y = 1.
3. (3 puntos) Sean f, g : R→ R funciones derivables. Pruebe la regla del producto para
f y g; es decir, pruebe lo siguiente:
(f · g)′ (x) = f ′(x) · g(x) + f(x) · g′(x)
para todo x ∈ R.
Solución. Sea x0 ∈ R,
(f · g)′ (x0) = ĺım
x→x0
(f · g) (x)− (f · g) (x0)
x− x0
= ĺım
x→x0
f(x)g(x)− f(x0)g(x0)
x− x0
= ĺım
x→x0
[f(x)− f(x0)] g(x) + f(x0) [g(x)− g(x0)]
x− x0
= ĺım
x→x0
f(x)− f(x0)
x− x0︸ ︷︷ ︸
definición de derivada
· ĺım
x→x0
g(x)︸ ︷︷ ︸
continuidad de g
+f(x0) · ĺım
x→x0
g(x)− g(x0)
x− x0︸ ︷︷ ︸
definición de derivada
= f ′(x0) · g(x0) + f(x0) · g′(x0)
4. (5 puntos) Sea p = g(q) la función demanda de cierto bien, donde p está medido en
cientos de soles y q en unidades, y q = x(t) mide el número de unidades demandadas
al iniciar el t-ésimo mes del año. Ambas funciones son derivables y están representadas
en las siguientes gráficas, donde T1 : 3q+5p−C = 0 y T2 : 3q+2t−27 = 0 son rectas
tangentes a las gráficas de las funciones respectivas.
q
p
g(q)2
1
8
T1
5
t
q
x(t)
3
1
6
T2
a) (2.5 puntos) Determine la razón de cambio promedio, respecto del tiempo, del
precio demandado, entre inicio de Marzo e inicio de Junio. Interprete el resultado.
Solución.
r.c.p. (g ◦ x) = g ◦ x(6)− g ◦ x(3)
6− 3
=
g(5)− g(1)
3
=
2− 8
3
= −2
Entre inicio de Marzo e inicio de Junio, por cada mes transcurrido el precio de-
mandado disminuye aproximadamente en 200 soles.
b) (2.5 puntos) Determine la razón de cambio porcentual, respecto del tiempo, del
precio demandado, en inicio de Junio. Interprete el resultado.
Solución.
r.c.%. (g ◦ x) (6) = (g ◦ x)
′ (6)
g ◦ x(6)
· 100 % = g
′(x(6))x′(6)
g(x(6))
· 100 % = g
′(5)x′(6)
2
· 100 %
=
−3
5
· −2
3
2
· 100 % = 20 %.
En inicio de Junio, por cada mes trasncurrido, el precio demandado aumenta apro-
ximadamente en un 20 %.
5. (3 puntos) La función de utilidad
U(x) = b
[
aK−x + (1− a)L−x
]−1
x
es conocida como función de utilidad CES (elasticidad de sustitución constante), donde
K y L son las cantidades del capital y de la fuerza laboral, respectivamente. Para dis-
tintos valores de x, la función de utilidad CES toma diferentes expresiones. Determine
la expresión que adopta la utilidad cuando x tiende a cero, es decir, calcule
ĺım
x→0
U(x).
Considere como constantes a K,L, b y a; además x ≥ −1, b > 0 y a ∈ [0, 1].
Solución.
L = ĺım
x→0
U(x)→ ln(L) = ln
 ĺım
x→0
b
[
aK−x + (1− a)L−x
]−1
x

= ĺım
x→0
ln
b [aK−x + (1− a)L−x]−1x

= ln(b)− ĺım
x→0
1
x
ln
(
aK−x + (1− a)L−x
)
︸ ︷︷ ︸
de la forma 0/0
= ln(b)− ĺım
x→0
−aK−x ln(K)− (1− a)L−x ln(L)
aK−x + (1− a)L−x
1︸ ︷︷ ︸
L’Hôpital
= ln(b) + a ln(K) + (1− a) ln(L)
= ln(bKaL1−a)
→ L = bKaL1−a
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Cuarta Práctica Calificada - Solución
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mo de materiales.
No hay consultas; si considera que alguna pregunta está errada o mal propuesta
corrija el enunciado y justifique su proceder.
Justifique su respuesta.
Son importantes el orden y la claridad en la presentación de su trabajo, caso con-
trario se puede invalidar completamente la respuesta.
APELLIDOS:
NOMBRES:
SECCIÓN:
1 2 3 4 5 NOTA
1. Complete: (4 puntos)
a) Sean f : A ⊂ R2 → R una función de dos variables y k ∈ R
La gráfica de f se define:
Graf(f) = {(x, y, z) ∈ R3 : (x, y) ∈ A ∧ z = f(x, y)}
La curva de nivel de f al nivel k, se define:
Nf (k) = {(x, y) ∈ A : f(x, y) = k}
b) Sean C ⊂ Rn, g : C ⊂ Rn → R y r ∈ R.
Por definición, se dice que C es un cono si:
∀t > 0 , ∀(x1, x2, . . . , xn) ∈ C , [(tx1, tx2, . . . , txn) ∈ C]
Por definición, g es homogénea de grado r, si:
C es un cono ∧ ∀t > 0 , ∀(x1, x2, . . . , xn) ∈ C , [g(tx1, tx2, . . . , txn) = tr g(x1, x2, . . . , xn)]
Además, si g admite derivadas parciales continuas, por el Teorema de Euler,
se cumple que:
r · g(x1, . . . , xn) = x1gx1(x1, . . . , xn) + x2gx2(x1, . . . , xn) + . . .+ xngxn(x1, . . . , xn)
2. Sea f : A ⊂ R2 → R una función definida por f(x, y) = 1− x√
x2 + y2
.
a) Grafique el dominio de f . (1 punto)
Y
X
b) Grafique las curvas de nivel de f , al nivel k = 1, k = 0. (2 puntos)
Y
X
k = 0
k = 1
3.
a) Si f : R2 → R es definida por f(x, y) = e
y−x
ln(x2 + 1)
, calcule fx(x, y) y fy(x, y)
(2 puntos)
Solución.
fx(x, y) =
−ey−x ln(x2 + 1)− ey−x 2x
x2 + 1
(ln(x2 + 1))2
fy(x, y) =
ey−x
ln(x2 + 1)
b) Sea f : R2 → R definida por
f(x, y) =

xy − x2
x+ y
, si x+ y 6= 0
0 , si x+ y = 0
Calcule fx(0, 0). (2 puntos)
Solución.
fx(0, 0) = ĺım
h→0
f(h, 0)− f(0, 0)
h
= ĺım
h→0
0− h2
h
− 0
h
= −1
c) Sean f(x, y) = yx − 2y, x(t) = cos(1 − t), y(t) = ln(t2 + et − 1). Si F (t) =
f(x(t), y(t)), determine F ′(1). (2 puntos)
Solución.
F ′(t) = fx · x′(t) + fy · y′(t)
= yx ln(y) · sen(1− t) + (xyx−1 − 2y ln(2)) · 2t+ e
t2 + et− 1
Si t = 1, entonces x(1) = 1 y y(1) = 1, por lo tanto:
F ′(1) = (1− 2 ln(2)) · 2 + e
e
4. Sea F : R2 → R+ una función homogénea de grado r que admite derivadas parciales
continuas. Si g(x, y) = ln(F (x, y)), pruebe que para todo (x, y) ∈ R2, la expresión
xgx(x, y) + ygy(x, y) es constante. (2 puntos)
Solución.xgx(x, y) + ygy(x, y) = x
Fx(x, y)
F (x, y)
+ y
Fx(x, y)
F (x, y)
=
xFx(x, y) + y Fy(x, y)
F (x, y)
=
r F (x, y)
F (x, y)
= r
5.
a) Sean f, g : R2 → R+ funciones que admiten derivadas parciales. Pruebe que
Elx(f · g) = Elx(f) + Elx(g)
(2 puntos)
Solución.
Elx(fg) =
[
x
fg
] [
∂(fg)
∂x
]
=
x
fg
[
g
∂f
∂x
+ f
∂g
∂x
]
=
x
f
∂f
∂x
+
x
g
∂g
∂x
= Elxf + Elxg
b) Si en una fábrica, el nivel de producción en miles de unidades está dada por la
función Q(K,L) = F
(
1
4
K4 +
3
4
L4
) 1
4
, donde F es un factor de productividad
(constante), K es el capital invertido medido en miles de dólares y L es el
tamaño de la fuerza laboral medido en cientos de trabajadores-hora. Determine
la variación porcentual del nivel de producción si se incrementa en uno por ciento
el capital invertido, sabiendo que actualmente es de 100 000 dólares y la fuerza
laboral es de 10 000 trabajadores-hora. (3 puntos)
Solución.
∂Q
∂K
=
1
4
F
(
1
4
K4 +
3
4
L4
)− 3
4
K3
Luego, si K = 100 y L = 100 entonces Q = 100F y
∂Q
∂K
=
F
4
. Por lo tanto
ElK(Q) =
K
Q
∂Q
∂K
=
100
100F
F
4
=
1
4
Es decir, la producción se incrementa en 0.25 %.
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Quita Práctica Calificada - Solución
Matemáticas II Viernes 08 de febrero de 2019
Está estrictamente prohibido el uso de cartucheras, calculadoras o notas y el présta-
mo de materiales.
No hay consultas; si considera que alguna pregunta está errada o mal propuesta
corrija el enunciado y justifique su proceder.
Justifique su respuesta.
Son importantes el orden y la claridad en la presentación de su trabajo, caso con-
trario se puede invalidar completamente la respuesta.
APELLIDOS:
NOMBRES:
SECCIÓN:
1 2 3 4 5 NOTA
1. Complete: (5 puntos)
a) Sean f : A ⊂ Rn → R una función de n variables.
P ∈ A es un mı́nimo relativo de f si
∃r > 0 ,∀Q ∈ B (P, r) ∩ A, [ f(Q) ≥ f(P ) ]
P ∈ A es un punto de silla de f si P es un punto cŕıtico de f que satisface
lo siguiente:
∀r > 0, ∃ Q1, Q2 ∈ B (P, r) ∩ A , [ f(Q1) < f(P ) < f(Q2) ]
b) Sean las funciones f, g, h : R2 → R definidas por
f(x, y) = x4 + y4 g(x, y) = x4 − y4 h(x, y) = −x4 − y4.
Dichas funciones poseen al (0, 0) como punto cŕıtico y el hessiano de dichas
funciones evaluado en dicho punto es nulo , el cual se clasifica como
Mı́nimo relativo de f.
Punto silla de g.
Máximo relativo de h.
2. Sea la función f : R2 → R definida por f(x, y) = (1 + 2x2) ey2−x2 . (4 puntos)
a) Determine los puntos cŕıticos de f. (1.5 puntos)
Solución. Debemos resolver el siguiente sistema de ecuaciones:
fx(x, y) = 4xe
y2−x2 − 2x(1 + 2x2)ey2−x2 = 2x(1− 2x2)ey2−x2 = 0
fy(x, y) = 2y(1 + 2x
2)ey
2−x2 = 0
De la primera ecuación se obtiene x = 0 o x = ±
√
2/2. Sustituyendo en la
segunda ecuación se observa que y = 0 para cualquiera de los valores de x
obtenidos anteriormente. Por tanto, los puntos cŕıticos son los siguientes:
(0, 0), (
√
2/2, 0), (−
√
2/2, 0)
b) Clasifique dichos puntos cŕıticos. (2.5 puntos)
Solución. Determinamos el Hessiano de f :
∆(x, y) =
∣∣∣∣ fxx fxyfyx fyy
∣∣∣∣ = ∣∣∣∣ 2 (4x4 − 8x2 + 1) ey2−x2 2y (2x− 4x3) ey2−x22y (2x− 4x3) ey2−x2 2 (1 + 2x2) (1 + 2y2) ey2−x2
∣∣∣∣
Aplicaremos el criterio de la segunda derivada.
Punto cŕıtico (0, 0) : ∆(0, 0) =
∣∣∣∣ 2 00 2
∣∣∣∣ = 4 > 0 y fxx(0, 0) = 2 > 0, luego
el (0, 0) es mı́nimo relativo de f.
Punto cŕıtico (
√
2/2, 0) : ∆(
√
2/2, 0) =
∣∣∣∣ −4e−1/2 00 4e−1/2
∣∣∣∣ = −16e−1 < 0,
luego el (
√
2/2, 0) es punto silla de f.
Punto cŕıtico (−
√
2/2, 0) : ∆(−
√
2/2, 0) =
∣∣∣∣ −4e−1/2 00 4e−1/2
∣∣∣∣ = −16e−1 <
0, luego el (−
√
2/2, 0) es punto silla de f.
3. Si se gastan x miles de dólares en mano de obra, y miles de dólares en equipo, la
producción de cierta fábrica será
Q(x, y) = 60 3
√
x 3
√
y2
unidades. Si hay c miles de dólares disponibles. Use el método de Lagrange para
determinar cómo debe distribuirse el dinero entre mano de obra y equipo para
generar la mayor producción posible. (4 puntos)
Solución.
Función de Lagrange: L(λ, x, y) = 60x1/3y2/3 + λ (x+ y − 6)
Puntos cŕıticos de L :
• Lx(λ, x, y) = 20x−2/3y2/3 + λ = 0
• Ly(λ, x, y) = 40x1/3y−1/3 + λ = 0
• Lλ(λ, x, y) = x+ y − c = 0
Resolviendo el sistema de ecuaciones obtenemos el punto cŕıtico
(
−20 3
√
4, c/3, 2c/3
)
.
Hessiano Orlado:
∆(λ, x, y) = −φ2xLyy + 2φxφyLxy − φ2yLxx
Criterio: ∆
(
−20 3
√
4, c/3, 2c/3
)
> 0 pues
• φx = 1
• φy = 1
• Lxx = −403 x
−5/3y2/3 < 0
• Lxy = 403 x
−2/3y−1/3 > 0
• Lyy = −403 x
1/3y−4/3 < 0,
luego (c/3, 2c/3) es máximo de Q sujeto a φ = 0.
Conclusión: Debe distribuirse c/3 miles de dólares en mano de obra y 2c/3
miles de dólares en equipo.
4. Calcule las siguientes integrales indefinidas: (3 puntos)
a)
∫ √
lnx
x
dx (1.5 puntos)
Solución.
Cambio de variable: u = lnx→ du = 1
x
dx.
Reemplazando en la integral, obtenemos∫ √
lnx
x
dx =
∫ √
u du =
2
3
u3/2 + C =
2
3
√
ln3(x) + C.
b)
∫
eax
1 + e2ax
dx, donde a es una constante real no nula. (1.5 puntos)
Solución.
Cambio de variable: u = eax → du = aeaxdx.
Reemplazando en la integral, obtenemos∫
eax
1 + e2ax
dx =
1
a
∫
1
1 + u2
du =
1
a
arctan(u) + C =
1
a
arctan(eax) + C.
5. Sean a, b, c, d constantes reales tales que a < b < c < d y f, g : R → R funciones
cuyas segundas derivadas existen y son no nulas. A continuación se presentan las
gráficas de f, g y cuatro rectas tangentes horizontales. (4 puntos)
x
y
f
g
a b c d
Además definimos F : R2 → R como F (x, y) = f(x) + g(y).
a) Determine los puntos cŕıticos de F. (2 puntos)
Solución. Debemos resolver el siguiente sistema de ecuaciones:
Fx(x, y) = f
′(x) = 0
Fy(x, y) = g
′(y) = 0
De la primera ecuación se deduce que x = a o x = c y de la egunda ecuación se
obtiene que y = b o y = d. Luego, los puntos cŕıticos son
(a, b), (a, d), (c, b), (c, d).
b) Clasifique dichos puntos cŕıticos. (2 puntos)
Solución. Determinamos el Hessiano de F :
∆(x, y) =
∣∣∣∣ Fxx FxyFyx Fyy
∣∣∣∣ = ∣∣∣∣ f ′′(x) 00 g′′(y)
∣∣∣∣
Aplicaremos el criterio de la segunda derivada.
Punto cŕıtico (a, b) : ∆(a, b) =
∣∣∣∣ f ′′(a) 00 g′′(b)
∣∣∣∣ = f ′′(a)︸ ︷︷ ︸
−
g′′(b)︸ ︷︷ ︸
+
< 0, luego
(a, b) es punto silla de F.
Punto cŕıtico (a, d) : ∆(a, d) =
∣∣∣∣ f ′′(a) 00 g′′(d)
∣∣∣∣ = f ′′(a)︸ ︷︷ ︸
−
g′′(d)︸ ︷︷ ︸
−
> 0 y Fxx(a, d) =
f ′′(a) < 0 luego (a, d) es máximo relativo de F.
Punto cŕıtico (c, b) : ∆(c, b) =
∣∣∣∣ f ′′(c) 00 g′′(b)
∣∣∣∣ = f ′′(c)︸ ︷︷ ︸
+
g′′(b)︸ ︷︷ ︸
+
> 0 y Fxx(c, b) =
f ′′(c) > 0 luego (c, b) es mı́nimo relativo de F.
Punto cŕıtico (c, d) : ∆(c, d) =
∣∣∣∣ f ′′(c) 00 g′′(d)
∣∣∣∣ = f ′′(c)︸ ︷︷ ︸
+
g′′(d)︸ ︷︷ ︸
−
< 0 y Fxx(c, d) =
f ′′(c) < 0 luego (c, d) es punto de silla de F.
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EXAMEN PARCIAL
Matemáticas II 26 de enero de 2019
DURACIÓN: 120 Minutos
Verifique que son 5 preguntas, 20 puntos en total.
Está estrictamente prohibido el uso de cartucheras, calculadoras o notas y el présta-
mo de materiales.
No se aceptará reclamos de las preguntas resueltas con laṕız o con lapiceros de tinta
de gel termocromático.
No hay consultas; si considera que alguna pregunta está errada o mal propuesta
corrija el enunciado y justifique su proceder.
Justifique cada respuesta.
Son importantes el orden y la claridad en la presentación de su trabajo, caso con-
trario se pueden restar puntos o invalidar completamente la respuesta.
Puede utilizar el reverso de la carátula y la última hoja para responder o como hoja
de borrador, indicándolo claramente.
1 2 3 4 5 NOTA
M
ατεU
P
1. (3 puntos) Cuando el precio de cierto art́ıculo es p dólares por unidad, los clientes
demandan q cientos de unidades de dicho producto, donde
q2 + 3pq + p2 = 79.
a) (1 punto) Determine la elasticidad de la demanda, cuando el precio por cada art́ıculo
es de 5 dólares.
Solución. Calculemos la demanda cuando p = 5 :
q2 + 15q + 25 = 79→ q2 + 15q− 54 = 0→ (q + 18)(q− 3) = 0→ q = −18∨ q = 3.
Por tratarsede la demanda, q deberá ser no negativa; es decir, q = 3.
Por otro lado, determinanos
dq
dp
, para lo cual derivamos implicitamente obteniendo
lo siguiente:
2qq′ + 3q + 3pq′ + 2p = 0
Aśı, cuando p = 5 obtenemos que
dq
dp
∣∣∣∣
p=5
= −19
21
.
Luego, la elasticidad de la demanda se calcula de la siguiente manera:
η =
p
q
dq
dp
=
5
3
(
−19
21
)
= −95
63
.
b) (1 punto) Cuando el precio de cada art́ıculo es de 5 dólares, aproxime la variación
porcentual de la cantidad demandada cuando el precio aumenta en 2 %.
Solución. Del ı́tem anterior, por cada 1 % en que aumente el precio, la demanda
disminuirá aproximadamente en 95
63
%. Aśı, cuando el precio aumente en 2 %, la
demanda disminuirá en 180
63
%.
c) (1 punto) ¿A qué cantidad demandada la elasticidad es unitaria?
Solución. Del ı́tem a) se deduce que
dq
dp
= −2p+ 3q
2q + 3p
Dado que la elasticidad es unitaria:
|η| =
∣∣∣∣−pq
(
2p+ 3q
2q + 3p
) ∣∣∣∣ = pq
(
2p+ 3q
2q + 3p
)
= 1↔ 2p2+3pq = 2q2+3pq ↔ p2 = q2 ↔ p = q
Reemplazando la relación anterior en la ecuación de la demanda se tiene lo siguiente:
q2 + 3q2 + q2 = 79→ q =
√
15,8 = 12,57
La demanda es elástica cuando se producen 1257 unidades.
M
ατ
εU
P
M
ατ
εU
P
2. (4.5 puntos) La cadena de libreŕıas V&W puede pedir cierto libro a una editorial a
un costo de 3 euros el ejemplar. El precio actual de venta de este libro es de 45 euros
y, a este precio, se venden 200 ejemplares por d́ıa. La libreŕıa planea bajar el precio
para estimular las ventas y estima que, por cada reducción de 1 euro en el precio, se
vendeŕıan 100 libros más por d́ıa.
a) (1.5 puntos) Exprese la utilidad diaria de la libreŕıa por la venta de este libro, como
una función del precio de venta.
Solución. Según los datos, la demanda diaria del libro en función del precio de
venta será dada por
q(p) = 100(45− p) + 200 = 100(47− p).
Por ende, la utilidad diaria por la venta del libro es dada por
U(p) = p · q(p)− 3q(p) = 100(47− p)(p− 3) = −100(p2 − 50p+ 141).
b) (1.5 puntos) Calcule la utilidad marginal cuando se venden 200 ejemplares. Inter-
prete este resultado.
Solución.
UMg(q) = U ′(q) =
dU
dp
· 1
dq
dp
= −100(2p− 50) · 1
−100
= 2p− 50
Entonces UMg(200) = 2(45)− 50 = 40. Es decir, la utilidad obtenida por la venta
y producción de la unidad 201 es aproximadamente 40e.
c) (1.5 puntos) Si al establecer el precio de venta en 25 euros, la cadena decide redu-
cir el precio del libro en
t2
100
euros después de t d́ıas, determine en cuanto vaŕıa
aproximadamente la utilidad al pasar del décimo d́ıa al décimo tercer d́ıa.
Solución. A partir de los datos se deduce que
p(t) = 25− t
2
100
.
Cuando se pasa del décimo al décimo tercer d́ıa, la utilidad vaŕıa aproximadamente
en:
d (U ◦ p) = (U ◦ p)′ (10)·∆t = U ′ (p(10)) p′(10)·3 = U ′(24)
(
−1
5
)
·3 = 200·
(
−1
5
)
·3 = −120
La utilidad disminuye aproximadamente en 120e.
M
ατεU
P
M
ατ
εU
P
3. (3 puntos) Pruebe lo siguiente: Si f : R→ R es una función derivable tal que f ′(x) ≤ 0,
para todo x ∈ R, entonces f es decreciente.
Solución. Sean x1, x2 ∈ R. Si x1 < x2, aplicando el Teorema del Valor Medio existe
c ∈]x1, x2[ tal que
f(x2)− f(x1)
x2 − x1
= f ′ (c)
Dado que f ′(c) ≤ 0 y que x2 − x1 > 0,
f(x2)− f(x1)
x2 − x1︸ ︷︷ ︸
+
= f ′ (c) ≥ 0
se deduce que f(x2)− f(x1) ≥ 0. Luego f(x1) ≤ f(x2).
4. (4.5 puntos) Sea f : [0,+∞[→ R una función dos veces derivable en el interior de su
dominio, que satisface lo siguiente:
f ′(x) = (ln x)2 (lnx+ 3) y f ′′(x) =
3 lnx (lnx+ 2)
x
,
para todo x ∈]0,+∞[. Además, dicha función cumple lo siguiente:
ĺım
x→0+
f(x) = 0, ĺım
x→1
f(x) = 0, ĺım
x→2−
f(x) = +∞ y
f posee discontinuidad removible en x = 0.
a) (2 puntos) Complete lo siguiente.
. Intervalo(s) de decrecimiento : ]0, e−3]
. Intervalo(s) de concavidad : [e−2, 1]
. Mı́nimo(s) local(es) : e−3
. Punto(s) de inflexión : e−2, 1
b) (2.5 puntos) Grafique f en el siguiente sistema de coordenadas.
X
Y
e−3 e−2 1
M
ατεU
P
5. a) (2 puntos) Dada la gráfica de la función dos veces derivable f :]0,+∞[→ R.
x
y
1 4
f
Ordene las siguientes expresiones reales
1
3
[f(4)− f(1)] f ′′(1) f ′(4) 0 f ′(1)
en forma creciente.
f ′(1) < 1
3
[f(4)− f(1)] < f ′(4) < 0 < f ′′(1)
b) (3 puntos) Sea f : R−{1/a} → R tal que f(x) = 2x− 3
ax− 1
, donde a es una constante
positiva.
(1.5 puntos) La derivada de orden n de f es
f (n)(x) = (−1)n+1 n!(3a− 2)an−1 (ax− 1)−(n+1)
(1.5 puntos) Use inducción para probar el resultado anterior.
Solución.
• n = 1 : f ′(x) = 2(ax−1)−(2x−3)a
(ax−1)2 =(3a−2)(ax−1)
−2 =(−1)21!(3a−2)a0(ax−
1)−2
• n = k : Supongamos que f (k)(x) = (−1)k+1 k!(3a− 2)ak−1 (ax− 1)−(k+1).
• n = k + 1
f (k+1)(x) =
[
f (k)(x)
]′
= (−1)k+1 k!(3a− 2)ak−1(−1)(k + 1) (ax− 1)−(k+1)−1 a
= (−1)k+2 (k + 1)!(3a− 2)ak (ax− 1)−(k+2)
= (−1)k+1+1 (k + 1)!(3a− 2)ak+1−1 (ax− 1)−(k+1+1)
Luego cumple para n = k + 1.
M
ατ
εU
P
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EXAMEN FINAL - SOLUCIONARIO
Matemáticas II 18 de febrero de 2019
DURACIÓN: 120 Minutos
Verifique que son 5 preguntas, 20 puntos en total.
Está estrictamente prohibido el uso de cartucheras, calculadoras o notas y el présta-
mo de materiales.
No se aceptará reclamos de las preguntas resueltas con laṕız o con lapiceros de tinta
de gel termocromático.
No hay consultas; si considera que alguna pregunta está errada o mal propuesta
corrija el enunciado y justifique su proceder.
Justifique cada respuesta.
Son importantes el orden y la claridad en la presentación de su trabajo, caso con-
trario se pueden restar puntos o invalidar completamente la respuesta.
Puede utilizar el reverso de la carátula y la última hoja para responder o como hoja
de borrador, indicándolo claramente.
1 2 3 4 5 NOTA
M
ατεU
P
1. (4.5 puntos) La cadena de librerias V& W adquiere de la editorial Liwru los libros
“Cálculo Diferencial para Economistas -Teoŕıa” y “ Cálculo Diferen-
cial para Economistas -Ejercicios Propuestos” a 20 soles y 10 soles por uni-
dad, respectivamente. Actualmente, la cadena de libreŕıas V& W, tiene una demanda
diaria de 200 ejemplares del libro de teoŕıa y 150 ejemplares del libro de ejercicios pro-
puestos. Las funciones demanda de los libro de teoŕıa (T ) y de los libros de ejercicios
propuestos (E) vienen dadas por:
T (p1, p2) = 4 700− 50p1 − 30p2
E(p1, p2) = 4 550− 40p1 − 40p2
Donde p1 y p2 son los precios de venta unitarios de los libros de teoŕıa y ejercicios
resueltos, respectivamente.
a) (1 punto) Asumiendo que los costos fijos son nulos, exprese la utilidad diaria de la
libreŕıa en términos de los precios p1 y p2.
Solución.
U(p1, p2) = p1T (p1, p2) + p2E(p1, p2)− 20T (p1, p2)− 10E(p1, p2)
= (p1 − 20)(4 700− 50p1 − 30p2) + (p2 − 10)(4 550− 40p1 − 40p2)
b) (3.5 puntos) La libreŕıa, con el objetivo de incrementar las ventas, planea bajar
el precio de ambos libros. Use diferenciales para determinar si, le conviene reducir
en dos soles el precio del libro de teoŕıa o, reducir en 3 soles el precio del libro de
ejercicios propuestos.
Solución.
T (p1, p2) = 4 700− 50p1 − 30p2 = 200
E(p1, p2) = 4 550− 40p1 − 40p2 = 150
Entonces (p1, p2) = (60, 50).
Caso 1: 4p1 = −2
dU =
∂U
∂p1
4p1
= [(4 700− 50p1 − 30p2)− 50(p1 − 20)− 40(p2 − 10)] (−2)
= 6 800
Caso 2: 4p2 = −3
dU =
∂U
∂p2
4p2
= [−30(p1 − 20) + (4 550− 40p1 − 40p2)− 40(p2 − 10)] (−3)
= 7 950
Le conviene reducir en 3 soles el precio del libro de ejercicios resueltos.
M
ατ
εU
P
M
ατ
εU
P
2. (3 puntos) Sea f : R2 → R definida por f(x, y) = x5 + y5. Demuestre que (0, 0) es
punto de silla de f .
(Sugerencia: Use la definición de punto de silla.)
Solución.
fx = 5x
4 = 0
fy = 5y
4 = 0
De donde se obtiene que (0, 0) es punto cŕıtico de f . Luego
∀ r > 0, ∃Q1 =
(r
2
, 0
)
, Q2 =
(
−r
2
, 0
)
[f(Q2) = −
r5
32
< f(0, 0) = 0 <
r5
32
= f(Q1) ]
M
ατεU
P
3. (6 puntos)
a) (3 puntos) Sea In =
∫
x−neax dx donde n ∈ N y a es una constante real. Si
In = f(x) +K In+1, determine f(x) y K.
Solución.Si hacemos u = x−n y dv = eax dx, entonces du = −nx−n−1 dx y
v =
eax
a
, luego:
In = x
−n e
ax
a
−
∫
eax
a
(−nx−n−1) dx
=
x−n eax
a
+
n
a
∫
x−(n+1)eax dx
=
x−n eax
a
+
n
a
In+1
Por lo tanto f(x) =
x−n eax
a
y K =
n
a
.
b) (3 puntos) Sea F :
[
0,
π
2
]
→ R definida por
F (x) =
∫ cos2(x)
0
arc cos(
√
t) dt+
∫ sen2(x)
0
arc sen(
√
t) dt
Pruebe que F es una función constante.
Solución.
F ′(x) = − arc cos(
√
cos2(x)) 2 cos(x) sen(x) + arc sen(
√
sen2(x)) 2 sen(x) cos(x)
= − arc cos(| cos(x)|) 2 cos(x) sen(x) + arc sen(| sen(x)|) 2 sen(x) cos(x)
= − arc cos(cos(x)) 2 cos(x) sen(x) + arc sen(sen(x)) 2 sen(x) cos(x)
= −2x cos(x) sen(x) + 2x sen(x) cos(x) = 0
Como F ′(x) = 0 para todo x ∈
[
0,
π
2
]
, entonces F (x) = C para todo x ∈
[
0,
π
2
]
M
ατ
εU
P
4. (4 puntos) El objetivo de la siguiente pregunta es calcular el ĺımite:
L = ĺım
n→∞
n∑
k=1
n+ k
n2 + k2
a) (1 punto) Complete:
∫ 1
0
1 + x
1 + x2
dx = ĺım
n→∞
n∑
k=1
n+ k
n2 + k2
b) (3 puntos) Use el segundo teorema fundamental del cálculo para determinar el valor
de L.
Solución. ∫ 1
0
1 + x
1 + x2
dx =
∫ 1
0
1
1 + x2
dx+
∫ 1
0
x
1 + x2
dx
=
∫ 1
0
1
1 + x2
dx+
1
2
∫ 1
0
2x
1 + x2
dx
=
[
arctan(x) +
1
2
ln(1 + x2)
]∣∣∣∣1
0
= arctan(1) +
1
2
ln(2)
M
ατεU
P
5. (2.5 puntos) Sean O(q) y D(q) las funciones oferta y demanda (ambas funciones son
invertibles) de cierto bien con precio de equilibrio pe, la pérdida irrecuperable de efi-
ciencia generada por un precio tope p0 (donde p0 < pe) se define como el área encerrada
por las gráficas de la oferta, la demanda y la recta q = q0, donde q0 es la cantidad
ofertada a un precio p0.
a) (1 punto) Represente en el siguiente plano la región que representa la pérdida
irrecuperable de eficiencia generada por un precio tope p0.
q
p
p0
pe
D
O
qeq0
b) (1.5 puntos) Si el precio tope y el precio de equilibrio se relacionan por p0 =
pe
2
, la
pérdida irrecuperable de eficiencia (PI) es una función que depende de pe. Complete
con la regla de correspondencia de PI:
PI = PI(pe) =
∫ O−1(pe)
O−1(
pe
2
)
D(q)−O(q) dq
M
ατ
εU
P