SEMANA 7 - PROPORCIONALIDAD Y SEMEJANZA DE TRIÁNGULOS - PRE U - Kevin Rojas Rodriguez

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PROPORCIONALIDAD 
 
En proporcionalidad nos basaremos de los 
siguientes teoremas: 
 
1. TEOREMA DE THALES ENTRE 
PARALELAS 
Si tres o más rectas paralelas son 
intersecadas por dos rectas secantes, 
entonces entre las rectas paralelas se 
determinan segmentos proporcionales. 
 
 
 
 
 
 
 
 Entonces: 
 
 
 
 
 
 
2. TEOREMA DE THALES EN UN 
TRIÁNGULO 
Si se traza una paralela a un lado de un 
triángulo tal que intercepta a los otros dos 
lados, entonces, sobre dichos lados se 
determinan segmentos proporcionales. 
 
 
Si: ACPR // 
Entonces: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
3. TEOREMA DE LA BISECTRIZ 
INTERIOR 
La bisectriz del ángulo interior de un triángulo 
divide al lado opuesto en segmentos 
proporcionales a los lados adyacentes. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Si: 
CD es bisectriz interior 
Entonces: 
 
 
 
 
4. TEOREMA DE LA BISECTRIZ 
EXTERIOR 
 
La bisectriz del ángulo exterior de un 
triángulo que corta a la prolongación del lado 
opuesto, los segmentos determinados por 
cada uno de los extremos de ese lado con el 
punto de intersección son proporcionales a 
los otros dos lados. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Si: 
BD es bisectriz exterior 
Entonces: 
 
 
 
 
 
 
 
 
5. TEOREMA DEL INCENTRO 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
6. TEOREMA DE CEVA 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
7. TEOREMA DE MENELAO 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
SEMEJANZA DE 
TRIÁNGULOS 
 
DEFINICIÓN 
Dos triángulos son semejantes si tienen sus 
tres ángulos interiores de igual medida y los 
lados homólogos respectivamente 
proporcionales. 
 
 
 
 
 
 
 
 → El ABC ~ PQR 
 
El símbolo “” se lee: “es semejante a” 
Dados dos triángulos semejantes llamaremos 
lados homólogos, uno en cada triángulo, a 
aquellos opuestos a ángulos congruentes. 
 
* OBSERVACIÓN: 
En dos triángulos semejantes sus lados 
homólogos son proporcionales, así como sus 
elementos homólogos (altura, bisectriz, 
mediana, etc.) 
Se llama elementos homólogos a los 
elementos de uno y otro triángulo semejante 
que se encuentra en relación directa. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 → El ABC ~ PQR 
 
→ K
QT
BS
QN
BM
PQ
AB
=== 
 
k: Razón de semejanza. 
 
CRITERIOS DE SEMEJANZA 
Dos triángulos serán semejantes si cumplen 
con cualquiera de los siguientes casos: 
 
1. Primer caso: 
Dos triángulos serán semejantes si tienen por 
lo menos dos ángulos de igual medida. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
→ El ABC ~ PQR 
n
m
b
a = 
n
m
b
a = 
n
m
b
a = 
 Si: 
 
1
L

//
2
L

//
3
L

 
A 
a 
b 
m 
n 
B 
C 
P R 
 
 
b 
a 
 n 
 m 
B 
A C 
D 
a 
b 
m 
n 
1
L

 
2
L

 
3
L

 
n
m
b
a = 
A 
a 
b 
 
 m 
 
 n 
 
  
 
  
C 
B 
D 
A D C 
B 
  
I 
I : Incentro 
AC
BCAB
ID
BI +
= 
B 
E 
O 
D 
A 
F 
C 
AD . BE . CF = DB . EC . FA 
a . b . c = x . y . z 
z 
y 
a 
b 
x 
c 
  
C A 
B 
  
P 
Q 
R 
 
  
C A 
B 
  
P 
Q 
R 
 
  
  
M S N T 
  
 c 
b 
a 
C A 
B 
 
 
 
ck ak 
bk 
P 
Q 
R 
 
 
 
2. Segundo caso: 
Dos triángulos serán semejantes si tienen 
dos lados respectivamente proporcionales y 
el ángulo comprendido entre dichos lados de 
igual medida. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
→ El ABC ~ PQR 
 
3. Tercer caso: 
Dos triángulos serán semejantes si tienen 
sus tres lados respectivamente 
proporcionales. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
→ El ABC ~ PQR 
 
* OBSERVACIÓN: 
 
1) Si: ACMN // 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
→ El ABC ~ MBN 
 
 
 
 
 
2) Si: ACMN // 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 → El ABC ~ MBN 
 
PROPIEDADES: 
1. L: Lado del cuadrado PQRS 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
2. ABCD: Trapecio, AD//PQ//BC 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
3. 
 x = 
ba
ab
+
 
 
 
 
 
4. ABCD: Rombo 
PQRS: Cuadrado de lado “L” 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
PRÁCTICA DIRIGIDA 
01. Si: c//b//a

, hallar AC 
 
a
E
x x+10
F
b
x+9
C
x+3
B
A D
c
 
 a) 11 b) 12 c) 13 d) 14 e) N.a. 
 
02. Calcular EF , sí c//b//a

. 
a
E
x 2x+1
F
b
7x-1
C
12
B
A D
c
 
 a) 26 b) 27 c) 28 d) 30 e) 32 
 
03. En la figura, hallar el valor de “x” 
20
 
1015
A C
B
x
 
 a) 12 b) 10 c) 8 d) 9 e) 15 
 
04. Calcular: BD / DE, en el dibujo adjunto: 
 
18


1612
A C
B
E


D
 
 a) 1 5/7 b) 1 4/9 c) 1 7/9 d) 1 2/5 e) 1 5/9 
 
05. En la figura, hallar “x”. 
 


610

A CB D
x
 
 a) 12 b) 24 c) 18 d) 16 e) 48 
 
06. Hallar AB. 
 
A C
B


4
5

 
 a) 5 b) 6 c) 4 d) 8 e) 9 
 
07. Calcular la longitud ED. 
 
AB


D
E
n
b
C
2n 5
 
 
 
c 
b C A 
B 
 
ck 
bk P 
Q 
R 
 
c 
b 
a 
C A 
B 
ck ak 
bk P 
Q 
R 
 
 
  
 
 
M N 
C A 
B 
A C 
M N 
B 
A 
B 
C 
Q R 
P S 
L 
b 
h 
bh
hb
L
+
= 
A 
B C 
D 
P Q 
a 
b 
PQ = 
ba
ab2
+
 
x 
a 
b 
A 
B 
C 
D 
P 
Q R 
S 
d 
D 
L = 
dD
Dd
+
 
 
 
 a) 2,75 m b) 2,50 m c) 2,25 m 
 d) 2,90 m e) 2,35 m 
 
08. Si: DBEF,DC//EB = , donde: AF = 3m; FB 
= 2. 
 Hallar BC. 
A
F
B
C
E
D 
 a) 2m b) 3 1/3m c) 2 1/5 m 
 d) 3 2/3m e) 3m 
 
09. En el gráfico adjunto P y Q son puntos de 
tangencia donde: AQ = 4 metros y PC = 
16 metros. Hallar R. 
A
Q
B
P
C
 
 a) 5m b) 6m c) 7m d) 8m e) 9m 
 
10. En el triángulo ABC, MN//AByBC//DE . 
Hallar “x”. 
 
A M Q D C
B
E
N
3 2 x 10 - x
 
 
 a) 3m b) 4m c) 5m d) 6m e) 7m 
 
11. Hallar “x”, en la figura: 
 
8
9
6
x
 
 a) 3 b) 4 c) 5 d) 6 e) 7 
 
12. Calcular “x”, si RC = 3, DO = 9 
 
R U O
C
D
 
 a) 1 b) 2 c) 3 d) 4 e) N.a. 
 
13. Del gráfico calcular TE, si MT = 15, TR = 
10 
 
M
R
T
 
 
 a) 12 b) 13 c) 14 d) 6 e) N.a. 
 
14. En la figura. Calcular “x” (O punto de 
tangencia) 
 
9
10
x
O
 
 
 a) 6,3 b) 3,6 c) 36 d) 63 e) N.a. 
 
15. Del gráfico, calcular “x” 
 
 
4 x 2 
 
 a) 1 b) 2 c) 3 d) 4 e) N.a. 
 
16. En un triángulo equilátero se inscribe un 
cuadrado de lado “L”. Halla el lado del 
triángulo si un lado del cuadrado esta sobre 
el lado de un triángulo. 
a) )332(
3
L
+ b) L/4 c) L/3 
d) L e) L 3 
 
17. Hallar el lado del cuadrado PQRS. 
Si AP = 1, SC = 9. 
 
A C
B
P S
RQ
a) 1
b) 2
c) 3
d) 4
e) 5 
 
18. Hallar EF. Si BF = 3; AB = 9, AC = 6. 
A C
B
F
E


 
a) 2 b) 6 c) 4 
 d) 3 e) 5 
 
19. Calcular “x”. Si AB = 12 y CD = 6. 
A
B
C
D
O
x
 
 
a) 2 b) 3 c) 4 
 d) 5 e) 1 
 
20. Hallar el lado del cuadrado MNPQ. Si: 
AC=10 y la altura del triángulo es 12. 
A
B
C
M
Q
P
Q 
 
 a) 15,6 b) 05,6 c) 38,5 
 d) 18,5 e) 45,5