Solucionario - 1ra recuperación (1) - Eliane Melanie Lopez Atencia

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SOLUCIONARIO 1RA RECUPERACIÓN DE LA EC4 
Pregunta 1: 
a. Calcular A1 + A2 
 
𝑓(𝑐) =
∫ 𝑓(𝑥)𝑑𝑥
10
2
10 − 2
 
8𝑓(𝑐) = ∫ 𝑓(𝑥)𝑑𝑥
10
2
 
∫ 𝑓(𝑥)𝑑𝑥
10
2
= 𝐴1 + 2 ∗ 2 + 𝐴2 + 2 ∗ 2 + 4 ∗ 2 −
𝜋22
2
= 8𝑓(𝑐) 
Finalmente: 
𝐴1 + 𝐴2 = 8𝑓(𝑐) + 2𝜋 − 16 
b. Calcular el trabajo 
Calcular la densidad lineal: 
𝜆 =
Δ𝑚
Δ𝑥
=
150
50
= 3 
Se sabe que: 
Δ𝑚𝑔 = 𝜆Δ𝑥𝑔 
𝑊 = 𝑥Δ𝑚𝑔 = 𝑥Δ𝑥𝜆𝑔 
El trabajo total será: 
𝑊 = ∫ 𝑥3𝑔 𝑑𝑥
50
0
 
𝑊 = 3𝑔 [
𝑥2
2
]
0
50
= 3750𝑔 
 
A1 A2 
c. Calcular la función que convierte la siguiente integral: 
∫
x
√4 − x2
 dx 
En: 
∫ 2𝑠𝑒𝑛𝜃 𝑑𝜃 
Solución: 
𝑥 = 2𝑠𝑒𝑛𝜃 
𝑑𝑥 = 2𝑐𝑜𝑠𝜃 𝑑𝜃 
Entonces si sustituimos: 
4 − x2 = 4 − 4𝑠𝑒𝑛2𝜃 = 4(1 − 𝑠𝑒𝑛2𝜃) = 4𝑐𝑜𝑠2𝜃 
∫
x
√4 − x2
 dx = ∫
2senθ
√4𝑐𝑜𝑠2𝜃
 2𝑐𝑜𝑠𝜃 𝑑𝜃 = ∫ 2𝑠𝑒𝑛𝜃 𝑑𝜃 
La sustitución es: 
𝑥 = 2𝑠𝑒𝑛𝜃 
d. Calcular el volumen del solido 
se sabe que el volumen de un sólido es: 
 
𝑉 = ∫ 𝜋𝑦2 𝑑𝑥
𝑏
𝑎
 
La función que define la región A es 
𝑦 = 𝑓(𝑥) 
por lo tanto, el volumen que generará la función será: 
𝑉 = ∫ 𝜋𝑓(𝑥)2 𝑑𝑥
𝑏
𝑎
 
e. Calcular el centro de masa 
Calculamos las coordenadas del centro de masa: 
�̅� =
2(1) + 4(4) + 6(2)
12
= 2.5 
�̅� =
2(4) + 4(4) + 6(1)
12
= 2.5 
Las coordenadas de centro de masa son: 
𝐶𝑀 = (2.5; 2.5) 
 
 
Pregunta 2: 
Resolver la siguiente integral: 
∫ 𝑎2𝑒𝑥𝑎 𝑑𝑎 
𝑢 = 𝑎2 ; 𝑑𝑣 = 𝑒𝑎𝑥 𝑑𝑎 
𝑑𝑢 = 2𝑎 𝑑𝑎 ; 𝑣 =
𝑒𝑎𝑥
𝑥
 
Entonces: 
∫ 𝑎2𝑒𝑥𝑎 𝑑𝑎 =
𝑎2𝑒𝑥𝑎
𝑥
− ∫
𝑒𝑎𝑥
𝑥
 2𝑎 𝑑𝑎 
Luego: 
𝑢 =
2
𝑥
𝑎 ; 𝑑𝑣 = 𝑒𝑎𝑥 𝑑𝑎 
𝑑𝑢 =
2
𝑥
 𝑑𝑎 ; 𝑣 =
𝑒𝑎𝑥
𝑥
 
Luego: 
∫ 𝑎2𝑒𝑥𝑎 𝑑𝑎 =
𝑎2𝑒𝑥𝑎
𝑥
−
2𝑎
𝑥
𝑒𝑎𝑥
𝑥
+ ∫
𝑒𝑎𝑥
𝑥
2
𝑥
 𝑑𝑎 
∫ 𝑎2𝑒𝑥𝑎 𝑑𝑎 =
𝑎2𝑒𝑥𝑎
𝑥
−
2𝑎𝑒𝑎𝑥
𝑥2
+
2
𝑥3
𝑒𝑥𝑎 + 𝐶 
Pregunta 3: 
Obtenga la anti derivada de: 
𝑔(𝑥) =
1
√4 − 9x2
 
∫
1
 √4 − 9x2
 𝑑𝑥 
Sabemos que: 
3𝑥 = 2𝑠𝑒𝑛𝜃 
𝑥 =
2
3
𝑠𝑒𝑛𝜃 
𝑑𝑥 =
2
3
𝑐𝑜𝑠𝜃 𝑑𝜃 
Entonces: 
4 − 9x2 = 4 − 9
4
9
𝑠𝑒𝑛2𝜃 = 4𝑐𝑜𝑠2𝜃 → √4 − 9x2 = 2𝑐𝑜𝑠𝜃 
 
Luego: 
∫
1
 √4 − 9x2
 𝑑𝑥 = ∫
2
3
𝑐𝑜𝑠𝜃
2𝑐𝑜𝑠𝜃
𝑑𝜃 =
1
3
 ∫ 𝑑𝜃 =
1
3
𝑎𝑟𝑐𝑠𝑒𝑛 (
3𝑥
2
) + 𝐶 
Pregunta 4: 
Evalué la siguiente integral: 
∫
𝑥
𝑥2 + 𝑥 − 6
1
0
 
Desarrollamos por fracciones parciales: 
𝑥2 + 𝑥 − 6 = (𝑥 + 3)(𝑥 − 2) 
Entonces: 
𝑥
𝑥2 + 𝑥 − 6
=
𝐴
(𝑥 + 3)
+
𝐵
(𝑥 − 2)
 
𝐴 =
3
5
 ; 𝐵 =
2
5
 
Entonces reemplazamos: 
∫
𝑥
𝑥2 + 𝑥 − 6
1
0
= ∫
3
5(𝑥 + 3)
𝑑𝑥
1
0
+ ∫
2
5(𝑥 − 2)
𝑑𝑥
1
0
=
1
5
ln (
16
27
) 
Pregunta 5: 
Calcular el volumen representada por una función que rota sobre el eje x 
𝑉 = ∫ 𝜋𝑓(𝑥)2 𝑑𝑥
2
0
 
La función que describe la función al rotar es la siguiente: 
𝑦 = 𝑓(𝑥) =
1
8
𝑥2√2 − 𝑥 
por lo tanto, el volumen que generará la función será: 
𝑉 = ∫ 𝜋𝑦2 𝑑𝑥
2
0
= ∫ 𝜋 (
1
8
𝑥2√2 − 𝑥)
2
 𝑑𝑥
2
0
=
𝜋
64
∫ (2𝑥4 − 𝑥5)𝑑𝑥 =
𝜋
30
2
0
 
Pregunta 6: 
sabemos que: 
𝑦 = 180 −
𝑥2
45
 
Igualamos a 0 
𝑦 = 180 −
𝑥2
45
= 0 
𝑥 = 90 
Calculamos la longitud de arco: 
𝐿 = ∫ √1 + (
𝑑𝑦
𝑑𝑥
)
290
0
𝑑𝑥 = ∫ √1 + (
−2𝑥
45
)
290
0
𝑑𝑥 = ∫ √1 +
4𝑥
452
290
0
𝑑𝑥 
Reemplazamos: 
𝑢 =
2𝑥
45
 , 𝑠𝑖 𝑥 = 0 𝑒𝑛𝑡𝑜𝑛𝑐𝑒𝑠 𝑢 = 0 𝑦 𝑠𝑖 𝑥 = 90 𝑒𝑛𝑡𝑜𝑛𝑐𝑒𝑠 𝑢 = 4 
𝐿 = ∫ √1 + 𝑢2
4
0
(
45
2
) 𝑑𝑢 =
45
2
∫ √1 + 𝑢2
4
0
 𝑑𝑢 
𝑢 = 𝑡𝑔𝜃 
Entonces: 
√1 + 𝑢2 = 𝑠𝑒𝑐2𝜃 
Reemplazamos: 
𝐿 =
45
2
∫ 𝑠𝑒𝑐𝜃𝑠𝑒𝑐2𝜃 𝑑𝜃 =
4
0
45
2
∫ 𝑠𝑒𝑐3𝜃 𝑑𝜃
4
0
 
𝐿 =
45
2
∫ 𝑠𝑒𝑐3𝜃 𝑑𝜃
4
0
=
45
4
[𝑠𝑒𝑐𝜃𝑡𝑔𝜃 + 𝑙𝑛|𝑠𝑒𝑐𝜃 + 𝑡𝑔𝜃|]
4
0
 
𝐿 = 45√17 +
45
4
𝑙𝑛(4 + √17) ≈ 209.1 
 
Pregunta 7: 
𝐴 = ∫ (−𝑥2 + 6𝑥)𝑑𝑥
6
0
 
𝐴 = 36 
Calculamos las coordenadas X e Y: 
�̅� =
1
𝐴
∫ 𝑥
6
0
𝑓(𝑥) 𝑑𝑥 
�̅� =
1
36
∫ 𝑥
6
0
(−𝑥2 + 6𝑥) 𝑑𝑥 = 3 
�̅� =
1
𝐴
∫
1
2
6
0
𝑓2(𝑥) 𝑑𝑥 
�̅� =
1
36
∫
1
2
6
0
(−𝑥2 + 6𝑥)2 𝑑𝑥�̅� = 3.6 
Las coordenadas de centro de masa son: 
𝐶𝑀 = (3; 3.6)