Método de las Rigideces - Análisis Estructural I

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EDIFICIOS SUJETOS A FUERZAS LATERALES 
LOS REGLAMENTOS MODERNOS DE DISEÑO SISMORESISTENTE ACEPTAN QUE EL ANALISIS 
ESTRUCTURAL SE REALICE ASUMIENDO QUE TIENEN UN COMPOMIENTO ELASTICO-LINEAL. 
 
EL NTP E.030 SEÑALA: “…EN CONCORDANCIA CON LOS PRINCIPIOS DE DISEÑO SISMORRESISTENTE, 
SE ACEPTA QUE LAS EDIFICACIONES TENDRÁN INCURSIONES INELÁSTICAS FRENTE A 
SOLICITACIONES SÍSMICAS SEVERAS. POR TANTO LAS SOLICITACIONES SÍSMICAS DE DISEÑO SE 
CONSIDERAN COMO UNA FRACCIÓN DE LA SOLICITACIÓN SÍSMICA MÁXIMA ELÁSTICA. EL ANÁLISIS 
PODRÁ DESARROLLARSE USANDO LAS SOLICITACIONES SÍSMICAS REDUCIDAS CON UN MODELO DE 
COMPORTAMIENTO ELÁSTICO…” 
 
CUANDO SE REUIERE RESULTADOS EXACTOS, LOS METODOS MATRICIALES OFRECEN UNA BUENA 
POSIBILIDAD, A TRAVES DEL USO DE SOFTWARE DISPONIBLES EN EL MERCADO. LOS METODOS 
SIMPLIFICADOS Y APROXIMADOS SON UTILES EN ETAPAS DE PREDIMENSIONAMIENTO O PARA 
VERIFICAR RESULTADOS OBTENIDOS CON COMPUTADORA. 
 
 
 
METODO DE RIGIDECES (MATRICIAL-EXACTO) 
 
CONCEPTOS BASICOS 
 
PARA LOS SISTEMAS ESTRUCTURALES DE PORTICOS (MARCOS), ARMADURAS, Y DUALES (PORTICOS 
CONTRAVENTADOS O CON MUROS), EL METODO MATRICIAL DE RIGIDECES SE CONSIDERA EXACTO. 
PARA LOS CASOS CON GEOMETRIA COMPLEJA, EL METODO DE LOS ELEMENTOS FINITOS NO TIENE 
CAMPO DE EXCEPCION PARA SOLUCIONARLOS. EL PRIMER LIBRO SOBRE ELEMENTOS FINITOS FUE 
PUBLICADO EN 1967 POR ZIENKIEWICZ Y CHEUNG. 
 
EN UN PORTICO PLANO, SE APLICAN FUERZAS Y MOMENTOS EN LOS NUDOS, LO QUE SE 
REPRESENTA COMO UN VECTOR DE “FUERZAS GENERALIZADAS” (F); DE LA MISMA MANERA EN 
CADA NUDO SE PRESENTAN GRADOS DE LIBERTAD, CAPACES DE DESPLAZARSE LINEALMENTE O 
GIRAR, A LOS QUE SE LLAMA “DESPLAZAMIENTOS GENERALIZADOS” (VECTOR u). 
 
 
SABIENDO POR DEFINICION QUE “F=Ku”, Y QUE EN EL DIAGRAMA “P VS u” LA PENDIENTE DE LA 
RECTA ES “K”; PUEDE DEFINIRSE “Kij” COMO LA FUERZA EN LA POSICION i PARA PRODUCIR UN 
DESPLAZAMIENTO UNITARIO EN LA DIRECCION j. DE MANERA ANALOGA, EN EL METODO INVERSO 
DE FLEXIBILIDADES, LOS COEFICIENTES DE FLEXIBILIDAD δij CORRESPONDEN A LA DEFLEXION EN i 
DEBIDO A UNA CARGA APLICADA EN j. 
 
PARA EL CASO DEL RESORTE, EL AREA BAJO LA CURVA O ENERGIA DE DEFORMACION SERA: 
U = 1/2uP; siendo P = Ku; U = 1/2Ku2 
GENERALIZANDO: 
PARA EL GL 1: U1 = 1/2u1P1 
PARA EL GL 2: U2 = 1/2u2P2 
SIENDO U = ΣUi = 1/2u1P1 + 1/2u2P2 + … = 1/2[P1 P2 …][u1u2…]T = 1/2PTu 
SUSTITUYENDO P = Ku: U = 1/2(Ku)Tu = 1/2(uTKu) 
 
PARA UN SISTEMA COORDENADO ROTADO, SE NECESITA OBTENER LA NUEVA MATRIZ DE RIGIDEZ: 
Kv 
SABIENDO QUE LA MATRIZ “a-1” TRANSFORMA LAS ANTIGUAS COORDENADAS EN LAS NUEVAS: 
u = av 
Y DADO QUE LA ENERGIA DE DEFORMACION ES UN ESCALAR U, INDEPENDIENTE DEL SISTEMA DE 
REFERENCIA: 
U = 1/2(uTKu) = 1/2(vTKvv) 
REEMPLAZANDO: uTKu = (av)TK(av) = (vTaT)K(av) = vT(aTKa)v 
ES DECIR: Kv = aTKa 
 
AHORA, EN LOS PROBLEMAS CON ESTRUCTURAS QUE TIENEN DISTINTOS EJES LOCALES, INTERESA 
LAS FUERZAS EN ESOS EJES, ES DECIR: PV 
SIENDO EL TRABAJO UN ESCALAR, INDEPENDIENTE DEL SISTEMA COORDENADO: 
vTPV = uTP = (av)TP = (vTaT)P = vT(aTP) 
QUEDANDO: PV = aTP 
 
 
 
 
 
 
 
ELEMENTO VIGA 
METODO SIMPLIFICADO “PENDIENTE-DEFLEXION”. ESTE METODO FUE PRESENTADO EN UNA 
PUBLICACION DE LA UNIVERSIDAD DE MINNESOTA EN 1915 POR EL PROFESOR G. A. MANEY. 
CONSISTE EN UN METODO MATRICIAL EN EL QUE NO SE TOMA EN CUENTA LOS DEFORMACIONES 
POR AXIAL Y CORTE, SOLO LAS DEBIDAS POR FLEXION; ES DECIR, LAS QUE ORIGINAN GIROS Y 
ASENTAMIENTOS. 
 
LOS MOMENTOS FLECTORES FINALES SON IGUALES A LA SUMA DE: MEP + GIROS + ASENT. 
 
 
 
PARA EL CASO DE LOS GIROS, CON MOMENTOS POSITIVOS ACTUANDO EN LOS EXTREMOS, SE 
TIENE EN A UN GIRO HORARIO (+), Y EN B UNO ANTIHORARIO (-): 
 
 MBAL/2EI 
 MABL/2EI 
 
 
 
 
 
 
 
ӨA ӨB 
 
EN EL EXTREMO A, ΣV=0: ӨB = MABL/6EI + 2MBAL/6EI = L/6EI(MAB + 2MBA) 
SIGUIENDO EL MISMO PROCEDIMIENTO PARA EL EXTREMO B: ӨA = L/6EI(2MAB + MBA) 
EXPRESANDO MATRICIALMENTE, Y TOMANDO EN CUENTA QUE EL SENTIDO HORARIO ES 
POSITIVO: EL FLECTOR EN B MBA ESTA EN SENTIDO OPUESTO AL POSITIVO, POR ESO: 
ӨA = L/6EI(2MAB - MBA) 
ӨB = L/6EI(MAB - 2MBA) 
ADEMAS, EL GIRO EN B ӨB TAMBIEN TIENE SENTIDO OPUESTO: 
ӨA = L/6EI(2MAB - MBA) 
ӨB = L/6EI(-MAB + 2MBA) 
EXPRESANDO MATRICIALMENTE E INVIERTINDO: 
MAB = 2EI/L(2ӨA + ӨB) 
MBA = 2EI/L(ӨA + 2ӨB) 
 
PARA EL CASO EN EL QUE SE PRODUCE UN ASENTAMIENTO EN EL APOYO, DE SENTIDO HORARIO: 
Ψ=∆/L 
 
ӨA = L/6EI(2MAB - MBA) + Ψ 
ӨB = L/6EI(-MAB + 2MBA) + Ψ 
 
QUEDANDO LOS MOMENTOS EXPRESADOS COMO. 
MAB = 2EI/L(2ӨA + ӨB - 3Ψ) 
MBA = 2EI/L(ӨA + 2ӨB - 3Ψ) 
 
FINALMENTE, YA SE TIENE EL EFECTO DE GIROS Y ASENTAMIENTOS, FALTANDO LOS MEP: 
MAB = 2EI/L(2ӨA + ӨB - 3Ψ) + MEPAB 
MBA = 2EI/L(ӨA + 2ӨB - 3Ψ) + MEPBA 
 
FACTOR DE TRANSPORTE 
 
AHORA, HACIENDO USO DEL METODO DE RIGIDECES, PARA UN GIRO UNITARIO EN EL NUDO A, SE 
TIENE: 
MAB = 2EI/L(2ӨA + ӨB) = 4EI/L = K11 
MBA = 2EI/L(ӨA + 2ӨB) = 2EI/L = K21 
 
RELACIONANDO: MAB /MBA = 2; DE OTRA MANERA: MBA/MAB = 0.5; ES DECIR: MBA = 0.5MAB 
LO QUE SIGNIFICA QUE EL FACTOR DE TRANSPORTE DE UN MOMENTO APLICADO EN UN NUDO Y 
RESTRINGIDO EN EL OTRO ES: FT=0.5 
 
MATRIZ DE RIGIDEZ 
PARA EL CASO, APLICANDO UN GIRO UNITARIO EN B: 
MAB = 2EI/L(2ӨA + ӨB) = 2EI/L = K12 
MBA = 2EI/L(ӨA + 2ӨB) = 4EI/L = K22 
 
QUEDANDO MATRICIALMENTE: 
 
 
CONDENSACION ESTATICA 
 
M1 = K11Ө1 + K12Ө2 
M2 = K21Ө1 + K22Ө2 = 0 
 
EXPRESANDO M1 EN FUNCION DE Ө1, PUES SIENDO M2 = 0, Ө2 = -K21/K22Ө1 
REEMPLZANDO Y TENIENDO EN CUENTA CONDICIONES DE SIMETRIA: 
M1 = K11Ө1 + K12(-K21/K22Ө1) = (K11 - K212/K22)Ө1 
SIENDO: K11 = K22 = 4; K12 = K21 = 2 
QUEDA: K = 3EI/L 
 
APLICANDO A UN PORTICO SIMETRICO: 
PARA ESTE PORTICO LA MATRIZ K SERA DE 18X18. ANALIZANDO SOLO DEFORMACION POR FLEXION, 
MAS CONDICIONES DE SIMETRIA, SE TIENE 4 GL, Y LA MATRIZ CONDENSADA K SERA DE 4X4. 
 
PARA LAS COLUMNAS K SERA, EN EJES LOCALES: 
 
 
PARA LA COLUMNA SUPERIOR, LOS EJES LOCALES 1,2,3,4 COINCIDEN CON LOS GLOBALES: 
K11 = 12EI1/H3 
K12 = -12EI1/H3 
K13 = -6EI1/H2 
K14 = -6EI1/H2 
K22 = 12EI1/H3 + 12EI2/H3 
K23 = 6EI1/H2 
K24 = 6EI1/H2 + -6EI2/H2 
K33= 4EI1/H + 3EI2/L 
K34= 2EI1/H 
K44= 4EI1/H + 4EI2/H + 3EI2/L 
 
PARA LA COLUMNA INFERIOR LOS EJES LOCALES 1,3 CORRESPONDEN A LOS EJES GLOBALES 2,4: 
K11 = 12EI2/H3 
K12 = -12EI2/H3 
K13 = -6EI2/H2 
K14 = -6EI2/H2 
K22 = 12EI2/H3 
K23 = 6EI2/H2 
K24 = 6EI2/H2 
K33= 4EI2/H 
K34= 2EI2/H 
K44= 4EI2/H 
 
PARA LA VIGA SUPERIOR EL EJE LOCALES 1 CORRESPONDE AL EJE GLOBAL 3: K33= 3EI2/L 
IDEM PARA VIGA INFERIOR: K44= 3EI2/L 
 
REEMPLAZANDO: I1 = I; I2 = 2I; L = 1.5H 
K11 = 12EI/H3 
K12 = -12EI/H3 
K13 = -6EI/H2 
K14 = -6EI/H2 
K22 = 12EI/H3 + 24EI/H3 = 36EI/H3 
K23 = 6EI/H2 
K24 = 6EI/H2 - 12EI/H2 = -6EI/H2 
K33= 4EI/H + 6EI/1.5H = 8EI/H 
K34= 2EI/H 
K44= 4EI/H + 8EI/H + 6EI/1.5H = 16EI/H 
 
LUEGO: F = [ F1 F2 M1 M2 ]T = [ P 0.5P 0 0 ]T; U = [ u1 u2 Ө1 Ө2 ]T 
 
DEFINIENDO LAS SIGUIENTES SUBMATICES: 
 
EN LA MATRIZ GLOBAL: 
 
POR CONDENSACION ESTATICA: 
 
RESOLVIENDO, PARA OBTENER K*δδ , LUEGO δ = K*δδ-1 P 
 
 
AHORA, PARA CALCULAR EL VECTOR DE GIROS: 
 
RESOLVIENDO: 
 
 
LOS MOMENTOS EN LAS VIGAS: 
 
 
 
SE QUIERE FINALMENTE HALLAR LAS REACCIONES EN LA BASE, POR LO QUE LA MATRIZ DE RIGIDEZ 
DE LA COLUMNA INFERIOR SERA, Y EL VECTOR DE DESPLAZAMIENTOS SERA: