Medidas de tendencia central y de dispersión_en programa de Est I 2023A - Everest Cervantes (3)

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ESTADÍSTICA
MEDIDAS DE TENDENCIA CENTRAL Y DE
 DISPERSIÓN
POR: DR. ALVARO IBARRA B.
MEDIDAS DE TENDENCIA CENTRAL
•TAMBIÉN LLAMADAS DE UBICACIÓN. SU 
PROPÓSITO CONSISTE EN SEÑALAR EL CENTRO 
DE UN CONJUNTO DE VALORES. A MENUDO SE LES 
LLAMA PROMEDIOS.
MEDIDAS DE DISPERSIÓN
•TAMBIÉN SE LES LLAMA DE PROPAGACIÓN.
•SE REFIERE A LA SEPARACIÓN ENTRE LOS DATOS DE UNA 
DISTRIBUCIÓN.
•EL PUNTO DE REFERENCIA DESDE EL QUE SE MIDE LA 
SEPARACIÓN DE CADA DATO ES LA MEDIA ARITMÉTICA.
LAS MEDIDAS DE T. CENTRAL SON:
•MEDIA ARITMÉTICA*
•MEDIANA*
•MODA* 
• LA MEDIA PONDERADA
•MEDIA GEOMÉTRICA
•MEDIA ARMÓNICA
* PARA DATOS AGRUPADOS Y NO AGRUPADOS
MEDIA ARITMÉTICA O SÓLO MEDIA
•ES LA MEDIDA DE LOCALIZACIÓN MÁS IMPORTANTE.
•SE LE CONOCE COMO PROMEDIO.
•ES EL VALOR MÁS REPRESENTATIVO DE UN CONJUNTO, 
PERO NO DEBE CONSIDERARSE COMO UN VALOR REAL.
PROPIEDADES DE LA MEDIA
• TODO CONJUNTO DE DATOS, AGRUPADOS O NO, POSEE UNA MEDIA
• TODOS LOS VALORES SE ENCUENTRAN INCLUIDOS EN EL CÁLCULO
• LA MEDIA ES ÚNICA
• LA SUMA DE LAS DESVIACIONES DE CADA VALOR DE LA MEDIA ES CERO
!(𝑋! − 𝑋) = 0
PUNTO DÉBIL DE LA MEDIA
• DADO QUE TODOS LOS ELEMENTOS DE UNA MUESTRA O POBLACIÓN SE 
UTILIZAN AL CALCULAR LA MEDIA, SI UNO O DOS DE ESTOS VALORES SON
EXTREMADAMENTE GRANDES O PEQUEÑOS, LA MEDIA PODRÍA NO SER UN 
PROMEDIO ADECUADO PARA REPRESENTAR LOS DATOS.
• NO ES ÚTIL EN EL CASO DE CLASES DE EXTREMO ABIERTO. POR EJEMPLO:
1-5 6-10 11-15 16 O MÁS “o más “ no es un 
límite
MEDIA ARITMÉTICA 
PARA DATOS NO AGRUPADOS
• PARA MUESTRAS:
• (𝑋 = ∑ #!
$
• PARA POBLACIONES:
• 𝜇 = ∑ "!
#
Donde
%𝑋:Media muestral
𝜇:Media poblacional
xi:	Cada	dato
n:	Tamaño	de	la	muestra
N:	Tamaño	de	la	población
MEDIA ARITMÉTICA
PARA DATOS AGRUPADOS
• PARA MUESTRAS:
#𝑋 = ∑(%&'"!)
)
• PARA POBLACIONES: 
𝜇 =
∑(𝑓𝑖 ) 𝑥𝑖)
𝑁
Donde:
%𝑋:Media muestral
𝜇:Media poblacional
xi:	Marca	de	clase
fi:	Frecuencia	de	clase
n:	Tamaño	de	la	muestra
N:	Tamaño	de	la	población
LA MEDIA ARITMÉTICA EN EXCEL
• PARA DATOS NO AGRUPADOS:
• PARA DATOS AGRUPADOS
NO HAY FUNCIÓN, ES NECESARIO PLANTEAR LA FÓRMULA
LA MEDIANA
•ES EL VALOR QUE SE ENCUENTRA EQUIDISTANTE DE LOS 
EXTREMOS EN UN CONJUNTO DE DATOS ORDENADOS DE 
MAYOR A MENOR O VICEVERSA. DIVIDE EL TOTAL DE 
LOS DATOS EN DOS PARTES IGUALES
MEDIANA
PARA DATOS NO AGRUPADOS
𝑀𝑑 = !"#$
Donde:
𝑀𝑑: Mediana
n:	Tamaño	de	la	muestra
MEDIANA 
PARA DATOS AGRUPADOS
𝑀𝑑 = 𝐿! "
#
$ % ∑ '!"#$
'$%&
())
Donde:
𝑀𝑑:Mediana
Li: Límite real inferior de la clase que contiene a la mediana
∑facum:	Frec.	acumuladas	hasta	la	clase	anterior	a	la	que	contiene	a	la	mediana
fmed :	Frecuencia	absoluta	de	la	clase	que	contiene	a	la	mediana
c:	Amplitud	de	clase
n:	Tamaño	de	la	muestra
LA MEDIANA EN EXCEL
• PARA DATOS NO AGRUPADOS:
• PARA DATOS AGRUPADOS
NO HAY FUNCIÓN, ES NECESARIO PLANTEAR LA FÓRMULA
LA MODA
•ES EL VALOR QUE SE REPITE CON MÁS FRECUENCIA EN 
UN CONJUNTO DE DATOS ORDENADOS. PUEDE HABER 
MÁS DE UNA MODA.
NO EXISTE UNA FÓRMULA, SINO QUE SE UTILIZAN ESTOS CRITERIOS
• PARA UN VALOR ÚNICO MÁS REPETIDO : UNIMODAL
• PARA DOS MODAS: BIMODAL
• PARA MÁS DE DOS MODAS: MULTIMODAL
LAS MODAS SE LOCALIZAN POR INSPECCIÓN EN LA COLUMNA DE FRECUENCIAS 
ABSOLUTAS.
MODA
PARA DATOS NO AGRUPADOS
MODA PARA DATOS AGRUPADOS
𝑀𝑜 = 𝐿! " #!#! " #" (C)
Donde:
𝑀𝑜:Moda
Li: Límite real inferior de la clase que contiene a la Moda
A1: Diferencia	absoluta	entre	las	Frec.	Absolutas	de	la	clase	modal	y	la	premodal
A2: Diferencia	absoluta	entre	las	Frec.	Absolutas	de	la	clase	modal	y	la	postmodal
C:	Amplitud	de	clase
LA MODA EN EXCEL
• PARA DATOS NO AGRUPADOS:
ESTA ÚLTIMA ES UNA FÓRMULA DE MATRIZ, ES DECIR, SE SELECCIONA UN RANGO DESTINO, SE INSERTA LA FUNCIÓN, EL RANGO DONDE 
ESTÁN LOS DATOS A ANALIZAR Y LAS TECLAS SHIFT+CONTROL+ENTER
• PARA DATOS AGRUPADOS
NO HAY FUNCIÓN, ES NECESARIO PLANTEAR LA FÓRMULA
LA MEDIA PONDERADA
•PERMITE CALCULAR UN PROMEDIO QUE TOMA EN 
CUENTA LA IMPORTANCIA DE CADA VALOR RESPECTO 
DEL TOTAL. 
•CONSTITUYE UN CASO ESPECIAL DE LA MEDIA 
ARITMÉTICA, SE PRESENTA CUANDO HAY VARIAS 
OBSERVACIONES CON EL MISMO VALOR
MEDIA PONDERADA
PARA DATOS NO AGRUPADOS
Donde:
%𝑌:Media Ponderada
xi:	Cada	dato
wi:	Ponderación de	cada	dato
LA MEDIA PONDERADA EN EXCEL
PARA DATOS NO AGRUPADOS :
NO HAY FUNCIONES ESPECÍFICAS, ES NECESARIO 
PLANTEAR LA FÓRMULA
LA MEDIA GEOMÉTRICA
•SE USA CUANDO LOS VALORES SIGUEN UNA 
PROGRESIÓN GEOMÉTRICA.
•ÚTIL EN EL CÁLCULO DE PORCENTAJES, RAZONES, 
NÚMEROS ÍNDICES O TASAS DE CRECIMIENTO. ES 
DECIR, MIDE LA RAZÓN DE CAMBIO DE UNA VARIABLE
MEDIA GEOMÉTRICA
PARA DATOS NO AGRUPADOS
𝑀! =
𝒏 𝒙𝟏 𝒙𝟐 … 𝒙𝒏
Donde:
𝑀! : Media Geométrica
X1… Xn	:	Cada	dato
n:	Tamaño	de	la	muestra
LA MEDIA GEOMÉTRICA EN EXCEL
PARA DATOS NO AGRUPADOS:
LA MEDIA ARMÓNICA
•ES EL RECÍPROCO DE LA MEDIA DE LOS RECÍPROCOS DE 
LOS DATOS A ANALIZAR
•ES RECOMENDADA PARA CALCULAR VELOCIDADES
•SIEMPRE ES IGUAL O MENOR QUE LA MEDIA 
ARITMÉTICA
MEDIA ARMÓNICA 
PARA DATOS NO AGRUPADOS
𝐻 = #
∑ +,' Donde
𝐻: Media Armónica
xi:	Cada	dato
n:	Tamaño	de	la	muestra
LA MEDIA ARMÓNICA EN EXCEL
PARA DATOS NO AGRUPADOS:
LAS MEDIDAS DE DISPERSIÓN SON:
• EL RANGO
• LA VARIANZA*
• DESVIACIÓN ESTÁNDAR*
• LA DESVIACIÓN MEDIA*
• EL COEFICIENTE DE VARIACIÓN
* PARA DATOS AGRUPADOS Y NO AGRUPADOS
EL RANGO
•ES LA MEDIDA DE DISPERSIÓN MÁS SENCILLA. 
CONSISTE EN LA RESTA ENTRE EL VALOR MAYOR Y EL 
MENOR EN UN CONJUNTO DE DATOS
RANGO
PARA DATOS NO AGRUPADOS
Donde:
R:	Rango
𝑉#:	Valor	mayor	del	conjunto	de	
datos
𝑉$:	Valor	menor	del	conjunto	de	
datos
𝑅 = 𝑉! − 𝑉"
EL RANGO EN EXCEL
PARA DATOS NO AGRUPADOS:
NO HAY FUNCIÓN, ES NECESARIO PLANTEAR LA FÓRMULA
LA VARIANZA
•MIDE LA DISPERSIÓN PROMEDIO ALREDEDOR DE L A 
MEDIA. SE CALCULA PARA MUESTRAS Y PARA 
POBLACIONES, SEGÚN SEA EL CASO.
VARIANZA
PARA DATOS NO AGRUPADOS
Donde:
𝑥%:	cada	uno	de	los	datos
𝑠&: Varianza muestral
n:	Tamaño	de	la	muestra
�̅�:	Media	de	la	muestra
𝜎&:	Varianza	poblacional
N:	Tamaño	de	la	población
𝜇:	Media	de	la	población
• PARA MUESTRAS:
• 𝑠^ = ∑(#"`#)#$`b
• PARA POBLACIONES:
• 𝜎^ = ∑(#"`c)#d
VARIANZA 
PARA DATOS AGRUPADOS
• PARA MUESTRAS:
• 𝑠^ = ∑[(#"`#)#(f")]$`b
• PARA POBLACIONES:
• 𝜎^ = ∑[(#"`c)#(f")]d
Donde:
𝑥%:	Marca	de	clase
𝑓%:	frecuencia	de	clase
𝑠&: Varianza muestral
n:	Tamaño	de	la	muestra
�̅�:	Media	de	la	muestra	(datos	
agrupados)
𝜎&:	Varianza	poblacional
N:	Tamaño	de	la	población
𝜇:	Media	de	la	población	(datos	
agrupados)
LA VARIANZA EN EXCEL
• PARA DATOS NO AGRUPADOS:
• PARA DATOS AGRUPADOS
NO HAY FUNCIÓN, ES NECESARIO PLANTEAR LA FÓRMULA
LA DESVIACIÓN ESTÁNDAR
•MIDE LA DISPERSIÓN PROMEDIO ALREDEDOR DE L A 
MEDIA. SE CALCULA PARA MUESTRAS Y PARA 
POBLACIONES, SEGÚN SEA EL CASO. ES LA RAÍZ 
CUADRADA DE LA VARIANZA, PARA EVITAR LAS 
UNIDADES CUADRADAS.
DESVIACIÓN ESTÁNDAR
PARA DATOS NO AGRUPADOS
Donde:
𝑥%:	cada	uno	de	los	datos
s	∶ Desviación estándar muestral
n:	Tamaño	de	la	muestra
�̅�:	Media	de	la	muestra
𝜎:	Varianza	poblacional
N:	Tamaño	de	la	población
𝜇:	Media	de	la	población
• PARA MUESTRAS:
• S= ∑(#"`#)#$`b
• PARA POBLACIONES:
• 𝜎 = ∑(#"`c)#d
DESVIACIÓN ESTÁNDAR
PARA DATOS AGRUPADOS
• PARA MUESTRAS:
• S= ∑[(#"`#)#(f")]$`b
• PARA POBLACIONES:
• 𝜎 = ∑[(#"`c)#(f")]d
Donde:
𝑥%:	Marca	de	clase
𝑓%:	frecuencia	de	clase
𝑠 ∶ Varianza muestral
n:	Tamaño	de	la	muestra
�̅�:	Media	de	la	muestra	(datos	
agrupados)
𝜎 :	Varianza	poblacional
N:	Tamaño	de	la	población
𝜇:	Media	de	la	población	(datos	
agrupados)
LA DESVIACIÓN ESTÁNDAR EN EXCEL
• PARA DATOS NO AGRUPADOS:
• PARA DATOS AGRUPADOS
NO HAY FUNCIÓN, ES NECESARIO PLANTEAR LA FÓRMULA
LA DESVIACIÓN MEDIA
•ES LA MEDIA ARITMÉTICA DE LOS VALORES ABSOLUTOS 
DE LAS DESVIACIONES CON RESPECTO A LA MEDIA 
ARITMÉTICA
DESVIACIÓN MEDIA
PARA DATOS NO AGRUPADOS
Donde:
DM	∶ Desviación Media
𝑥%:	cada	uno	de	los	datos
n:	Tamaño	de	la	muestra
�̅�:	Media	de	la	muestra𝐷𝑀 =
∑ 𝑥# − �̅�
𝑛
DESVIACIÓN MEDIA
PARA DATOS AGRUPADOS
𝑦∗ =
∑[( 𝑥# − �̅� )(𝑓#)]
𝑛Donde:
y*:	Desviación	media
𝑥%:	Marca	de	clase
𝑓%:	frecuencia	de	clase
n:	Tamaño	de	la	muestra
�̅�:	Media	de	la	muestra	(datos	
agrupados)
LA DESV. MEDIA EN EXCEL
• PARA DATOS NO AGRUPADOS:
• PARA DATOS AGRUPADOS
NO HAY FUNCIÓN, ES NECESARIO PLANTEAR LA FÓRMULA
EL COEFICIENTE DE VARIACIÓN
•RELACIONA LA DESVIACIÓN ESTÁNDAR Y LA MEDIA. 
EXPRESA LA PRIMERA EN TÉRMINOS DE PORCENTAJE DE 
LA SEGUNDA.
COEFICIENTE DE VARIACIÓN
PARA DATOS NO AGRUPADOS
Donde:
CV: Coemiciente de Variación
𝜇 :	Media	Aritmética	Poblacional
𝜎 :	Desviación	Estándar	Poblacional
Para poblaciones:
𝐶𝑉 =
𝜎
𝜇 (100)
EL COEFICIENTE DE VARIACIÓN
EN EXCEL
PARA DATOS NO AGRUPADOS:
NO HAY FUNCIÓN, ES NECESARIO PLANTEAR LA FÓRMULA