Semana-2-MÃtodos-de-IntegraciÃn - John Liñan (4)

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ANÁLISIS MATEMÁTICO 2
Semana 2
Eduardo Quincho Flores
ESCUELA NAVAL 
DEL PERÚ
MARINA DE GUERRA DEL PERÚ
DIRECCIÓN GENERAL DE EDUCACIÓN DE LA MARINA
MÉTODOS DE INTEGRACIÓN POR 
PARTES Y CAMBIO DE VARIABLE 
ANÁLISIS MATEMÁTICO 2
BIBLIOGRAFÍA
HAASER – LA SALLE – SULLIVAN (2003). Análisis Matemático II. 
México. Ed. Trillas. 
MITACC Máximo. Calculo III. 5ta Edición. Perú.
PITA Claudio (1995) Cálculo Vectorial. México. Primera edición
STEWART, James (2007). Calculo Diferencial e Integral. España. Ed. 
Mc. Graw – Hill 
https://matematicaavalo.jimdo.com/sesiones-de-
clase/sesi%C3%B3n2/- Lic. Jose Ávalo
https://matematicaavalo.jimdo.com/sesiones-de-clase/sesi%C3%B3n2/-
ANÁLISIS MATEMÁTICO 2
MÉTODOS DE INTEGRACIÓN 
Al finalizar la sesión, el estudiante
resuelve ejercicios y problemas
vinculados al cálculo integral a través
del método de sustitución algebraica y
del método de integración por partes
Logro
ANÁLISIS MATEMÁTICO 2
Valor de Reventa 
El valor de reventa de una máquina 
industrial disminuye a una tasa que 
depende del tiempo. 
Cuando la máquina tiene t años, la tasa 
a la cual cambia su valor es 
dólares por año.
Si originalmente la máquina valía $5 
200, ¿cuánto valdrá cuando tenga 10 
años?
𝑉´ 𝑡 = −960𝑒
−𝑡
5
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Método de cambio de variable o sustitución 
Si 𝑦 = 𝑓(𝑢) es una función derivable de 𝑢, 𝑢 = 𝑔(𝑥) en una función derivable 
de 𝑥 y 𝐹 es una antiderivada de 𝑓, entonces:
1. Cambio de 
variable
2. Diferencial
3. Reemplazar en 
la integral 
𝑓׬ 𝑔(𝑥) ⋅ 𝑔´(𝑥)𝑑𝑥 = 𝑓׬ 𝑢 𝑑𝑢 = 𝐹 𝑢 +C
4. Regresar a la 
variable 𝑥
𝑑𝑢 = 𝑔´ 𝑥 𝑑𝑥
𝑢 = 𝑔(𝑥)
𝑢 = 𝑔(𝑥)
׬ 𝑓 𝑔(𝑥) ⋅ 𝑔´(𝑥)𝑑𝑥 = 𝑓׬ 𝑢 𝑑𝑢 = 𝐹 𝑢 +C
ANÁLISIS MATEMÁTICO 2
Cambio de variable o sustitución - Ejercicios 
1. න 𝑥3 + 5 8 (3𝑥2)𝑑𝑥
2. න 3𝑥2 − 5 𝑥3 − 5𝑥 𝑑𝑥
3. ׬
1
8−3𝑥
𝑑𝑥
4. ׬ cos3𝜃 sen𝜃𝑑𝜃
5. න
sec2
1
𝑥
𝑥2
𝑑𝑥
6. ׬ 𝑒𝑥sen 𝑒𝑥 𝑑𝑥
7. න𝑒𝑥 1 + 4𝑒𝑥𝑑𝑥
8. න
ln𝑥 5
𝑥
𝑑𝑥
9. න
3𝑥2
𝑥3 − 2
𝑑𝑥
10. න
sen ln𝑥
𝑥
𝑑𝑥
11. න𝑒tan𝑥sec2(𝑥)𝑑𝑥
12. නsen6𝜃 cos𝜃𝑑𝜃
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El movimiento armónico amortiguado 
¿Cómo determinaría la ecuación que describe la
amortiguación de los resortes?
La intensidad de amortiguación de los resortes de una moto 
lineal es estimado por 
𝐴′ 𝑡 = −15𝑒−0.015𝑡sen𝑡
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Método de integración por partes 
Por la formula de derivación de producto:
Si integramos y acomodamos los términos, se obtiene la formula de
integración por partes:
𝑑
𝑑𝑥
𝑓 𝑥 𝑔(𝑥) = 𝑓 𝑥 𝑔′ 𝑥 + 𝑔 𝑥 𝑓′(𝑥)
න𝑓 𝑥 𝑔′ 𝑥 𝑑𝑥 = 𝑓 𝑥 𝑔 𝑥 − න𝑔 𝑥 𝑓′ 𝑥 𝑑𝑥
La fórmula para integración por partes, quizás es más fácil recordarla en la
siguiente notación. Sea 𝑢 = 𝑓 𝑥 y 𝑣 = 𝑔(𝑥) luego, la fórmula se convierte en:
න𝑢𝑑𝑣 = 𝑢𝑣 − න𝑣𝑑𝑢
ANÁLISIS MATEMÁTICO 2
Integración por partes - Ejercicios 
1. න 𝑡𝑒𝑡 𝑑𝑡
2. න ln𝑥 𝑑𝑥
3. න𝑥sen 𝑥 𝑑𝑥
4. ׬ 𝑥sec2𝑥𝑑𝑥
5. ׬ 2𝑥 + 3 𝑒𝑥𝑑𝑥
7. න 𝑥 cos 2𝑥 𝑑𝑥
8. න 𝑥2 ln 3𝑥 𝑑𝑥
6. න𝑥2ln𝑥 𝑑𝑥
׬ .9 𝑒𝑥cos(𝑥) 𝑑𝑥
10. ׬ sen𝑥 ln cos𝑥 𝑑𝑥
11. ׬ 𝑥 𝑒6𝑥𝑑𝑥
׬ .12
ln𝑥
𝑥3
𝑑𝑥
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METACOGNICIÓN
➢ ¿Qué hemos aprendido en esta sesión?
➢ ¿Para qué nos sirve el aprendizaje de este tema?
➢ ¿Qué estrategias hemos empleado para el
desarrollo del tema?
➢ ¿Qué dificultades enfrentaste? y ¿cómo las solucionaste?