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Semana 6-Ecuaciones diferenciales (1) - John Liñan (4)
Desafío Peru Veintitrés
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ANÁLISIS MATEMÁTICO 3 Semana 6 Eduardo Quincho Flores ESCUELA NAVAL DEL PERÚ MARINA DE GUERRA DEL PERÚ DIRECCIÓN GENERAL DE EDUCACIÓN DE LA MARINA Ecuaciones Diferenciales ANÁLISIS MATEMÁTICO 3 BIBLIOGRAFÍA Referencias de Información : LARSON, RON (2006) CÁLCULO. España. LOUIS LIETHOLD (2003) CALCULO CON G. ANALITICA. España. Harla ESPINOZA RAMOS (2009). ANALISIS MATEMATICO 3.Peru .San Marcos. STEWART, James (2017). Cálculo de varias variables. España. Ed. Mc. Graw – Hill Bibliografia Virtual: • Funciones de Varias variables http://ww.zweigmedia.com/MundoReal/Calcsumm8.html#top • Integrales dobles http://www.scribd.com/doc/7399298/Integrales-doblesç http://www.scribd.com/doc/7399298/Integrales-doblesç ANÁLISIS MATEMÁTICO 3 LOGRO DE LA SESIÓN Al término de la sesión, el estudiante resuelve ejercicios de EDO clasificándolas de acuerdo al tipo, al orden, la linealidad; y resuelve EDO de variable separable. ANÁLISIS MATEMÁTICO 3 TEMARIO ▪ Ecuaciones diferenciales ▪ Clasificación ▪ Ecuaciones diferenciables de variable separable ▪ Ecuaciones diferenciales con valor inicial ANÁLISIS MATEMÁTICO 3 ECUACIÓN DIFERENCIAL 𝒅𝒚 𝒅𝒙 = −𝟓𝒙 (𝒚 − 𝟑) 𝒅𝟐𝒚 𝒅𝒙𝟐 + 𝟑 𝒅𝒚 𝒅𝒙 + 𝟕𝒚 = 𝟎 Ejemplos: ❖ . ❖ . ❖ . ❖ . Una ecuación diferencial es una ecuación en la que interviene una función incógnita y una o varias de sus derivadas. Definición Tiene derivadas ordinarias Tiene derivadas parciales Tiene diferenciales 𝝏𝟐𝒖 𝝏𝒙𝟐 + 𝝏𝟐𝒖 𝝏𝒚𝟐 + 𝝏𝟐𝒖 𝝏𝒛𝟐 = 𝟎 𝒙 − 𝒚 𝒅𝒙 + 𝒚 − 𝒙 𝒅𝒚 = 𝟎 Tiene derivadas ordinarias ANÁLISIS MATEMÁTICO 3 ECUACIÓN DIFERENCIAL Contiene sólo derivadas ordinarias de una o más variables dependientes de una sola variable independiente. Las ecuaciones diferenciales se clasifican por tipo, orden, grado y linealidad. Clasificación de una ecuación diferencial TIPO: ▪ Ecuación Diferencial Ordinaria (EDO) 𝟏. 𝒅𝒚 𝒅𝒙 = −𝟓𝒙 (𝒚 − 𝟑) 𝒅𝒚 𝒅𝒙 + 𝒙 𝒔𝒆𝒏𝒙 = 𝒚 𝒙 𝟓 + 𝟐𝒙𝟐 𝒚′ + 𝟕𝒙𝟑𝒚 = 𝟑𝒆𝟑𝒙 𝟏) 𝟐) 𝟑) Una EDO puede contener más de una variable dependiente: yx dt dy dt dx +=+ 2 Ejemplos: ANÁLISIS MATEMÁTICO 3 ECUACIÓN DIFERENCIAL Contiene derivadas parciales de una o más variables dependientes de dos o más variables independientes. Las ecuaciones diferenciales se clasifican por tipo, orden, grado y linealidad. Clasificación de una ecuación diferencial TIPO: ▪ Ecuación Diferencial Parcial (EDP) 𝟐. 𝟏) 𝟐) 𝟑) Ejemplos: 𝝏𝒛 𝝏𝒙 + 𝒙 𝝏𝒛 𝝏𝒚 = 𝒙 + 𝟐𝒚 𝝏𝟐𝒛 𝝏𝒙𝟐 + 𝝏𝟐𝒛 𝝏𝒚𝟐 = 𝒙𝟐 + 𝒚𝟐 𝝏𝟐𝒛 𝝏𝒙𝟐 + 𝟓 𝝏𝒛 𝝏𝒙 + 𝒙 𝝏𝒛 𝝏𝒚 = 𝒙 + 𝒔𝒆𝒏𝒙𝒚 𝝏𝟐𝒖 𝝏𝒙𝟐 = 𝝏𝟐𝒖 𝝏𝒕𝟐 − 𝟐 𝝏𝒖 𝝏𝒕 𝟒) ANÁLISIS MATEMÁTICO 3 ECUACIÓN DIFERENCIAL ORDEN: 𝒚′′ + 𝟓 𝒚′ 𝟑 − 𝟒𝒚 = 𝟐 + 𝟓𝒙 EDO de 1er orden 𝒚′ + 𝟒𝒙𝒚 = 𝟓 𝒔𝒆𝒏𝟐𝒙 EDO de 2do orden 𝟓𝒚′′′ + (𝟐 + 𝟑𝒙)𝒚′′ = 𝟒𝒙 𝒆𝟒𝒙 EDO de 3er orden 𝟓 𝒚′′ 𝟒 + 𝒚′′ = 𝟒𝒙 𝒄𝒐𝒔𝟔𝒙 EDO de 2do orden El orden de una ecuación diferencial, es igual al de la derivada de mayor orden en la ecuación. Las ecuaciones diferenciales se clasifican por tipo, orden, grado y linealidad. Clasificación de una ecuación diferencial 𝟑. 𝟏) 𝟐) 𝟑) Ejemplos: 𝟒) ANÁLISIS MATEMÁTICO 3 ECUACIÓN DIFERENCIAL GRADO: Las ecuaciones diferenciales se clasifican por tipo, orden, grado y linealidad. Clasificación de una ecuación diferencial 𝟒. 𝟏) 𝟐) 𝟑) Ejemplos: Es la potencia de la derivada de mayor orden que aparece en la ecuación, siempre y cuando la ecuación este en forma polinómica, de no ser así se considera que no tiene grado. 𝒚′ 𝟐 − 𝟓𝒙𝒚 = 𝟎 EDO de 1er orden y 2do grado 𝒚′′ + 𝟓 𝒚′ 𝟑 − 𝟐𝒚 = 𝒙 EDO de 2do orden y 1er grado 𝒚′ 𝟑 − 𝟕𝒙𝒚 = 𝒆𝒙 EDO de 1er orden y 3er grado ANÁLISIS MATEMÁTICO 3 ECUACIÓN DIFERENCIAL LINEALIDAD: Las ecuaciones diferenciales se clasifican por tipo, orden, grado y linealidad. Clasificación de una ecuación diferencial 𝟓. Se dice que una EDO de orden 𝑛 es lineal, si tiene la forma: ▪ La variable 𝑦 y todas sus derivadas 𝑦′, 𝑦′′, … , 𝑦(𝑛−1), 𝑦(𝑛) son de primer grado. ▪ Los coeficientes 𝑎𝑛, 𝑎𝑛−1, … 𝑎1, 𝑎0, dependen de 𝑥 o son constantes 𝒂𝒏 𝒚 (𝒏) + 𝒂𝒏−𝟏𝒚 (𝒏−𝟏) + ⋯ + 𝒂𝟏𝒚 ′ + 𝒂𝟎𝒚 = 𝒇(𝒙) ANÁLISIS MATEMÁTICO 3 ECUACIÓN DIFERENCIAL LINEALIDAD: Las ecuaciones diferenciales se clasifican por tipo, orden, grado y linealidad. Clasificación de una ecuación diferencial Una EDO de orden 𝑛 es lineal, si tiene la forma: 𝒂𝒏 𝒚 (𝒏) + 𝒂𝒏−𝟏𝒚 (𝒏−𝟏) + ⋯ + 𝒂𝟏𝒚 ′ + 𝒂𝟎𝒚 = 𝒇(𝒙) 𝒂𝟏 𝒙 𝒚 ′ + 𝒂𝟎 𝒙 𝒚 = 𝒇(𝒙) ▪ EDO lineal de orden dos: 𝒂𝟐 𝒙 𝒚 ′′ + 𝒂𝟏 𝒙 𝒚 ′ + 𝒂𝟎 𝒙 𝒚 = 𝒇(𝒙) ▪ EDO lineal de orden tres: 𝒂𝟑 𝒙 𝒚 ′′′ + 𝒂𝟐 𝒙 𝒚 ′′ + 𝒂𝟏 𝒙 𝒚 ′ + 𝒂𝟎 𝒙 𝒚 = 𝒇(𝒙) 𝟓𝒙𝒚′ + 𝟒𝒙𝒚 = 𝟓 𝒔𝒆𝒏𝟐𝒙 𝟐 + 𝟒𝒙 𝒚′′ + 𝒙 + 𝟖 𝒚′ + 𝟖𝒚 = 𝟓 + 𝟐𝒙 𝟓𝒚′′′ + (𝟐 + 𝟑𝒙)𝒚′′+ 𝟑𝒚′ + 𝟏𝟑𝒚 = 𝟒𝒙 𝒆𝟒𝒙 ▪ EDO lineal de orden uno: ANÁLISIS MATEMÁTICO 3 ECUACIÓN DIFERENCIAL Ejercicios: 2y)cos(y)(sen =− xcosy5yx4y)x1( =+−− ( ) 0y6ytyt 345 =+− 2 2 2 dx dy 1 dx yd += Lineal, segundo orden, grado 1 Lineal, cuarto orden, grado 1 No lineal, segundo orden, grado 2 Lineal, tercer orden, grado 1 Determinar si las siguientes EDOs son Lineales o no lineales, el orden y el grado: Clasificación de una ecuación diferencial ANÁLISIS MATEMÁTICO 3 ECUACIÓN DIFERENCIAL Solución de una Ecuación diferencial Una función 𝑦 = 𝑓(𝑥) es una solución de la ecuación diferencial si la ecuación se satisface al sustituir en ella 𝑦 = 𝑓(𝑥) y sus derivadas respectivas. Ejemplo: La función 𝒚 = 𝒙𝒆𝒙 es solución de la ecuación diferencial 𝒚′′ − 𝟐𝒚′ + 𝒚 = 𝟎 𝒚′ = 𝒙𝒆𝒙 + 𝒆𝒙 𝒚′′ = 𝒙𝒆𝒙 + 𝟐𝒆𝒙 𝒚′′ − 𝟐𝒚′ + 𝒚 = 𝟎 𝒙𝒆𝒙 + 𝟐𝒆𝒙 − 𝟐 𝒙𝒆𝒙 + 𝒆𝒙 + 𝒙𝒆𝒙 = 𝟎 𝟎 = 𝟎 Solución: 1er paso: Derivamos 𝒚 = 𝒙𝒆𝒙 2do paso: Sustituimos en ANÁLISIS MATEMÁTICO 3 ECUACIÓN DIFERENCIAL • Con la condición inicial es posible encontrar la solución particular de la ecuación diferencial. 0 0 Resuelva Sujeta a : ( , ) : ( ) dy f x y dx y x y = = Problema de valor inicial Condición inicial ANÁLISIS MATEMÁTICO 3 ECUACIÓN DIFERENCIAL Es la EDO que se puede escribir de la siguiente forma: • 𝑓(𝑦) es una función exclusivamente de 𝑦 • 𝑔(𝑥) es una función exclusivamente de 𝑥 . Esta ecuación se resuelve integrando a ambos lados: 𝒇 𝒚 𝒅𝒚 = 𝒈 𝒙 𝒅𝒙 න𝒇 𝒚 𝒅𝒚 = න𝒈 𝒙 𝒅𝒙 + 𝑪 EDO de variables separables ANÁLISIS MATEMÁTICO 3 ECUACIÓN DIFERENCIAL Hallar la solución general de la ecuación diferencial Solución ▪ Ordenando: ▪ Integrando Ejemplo - EDO de variables separables 𝒅𝒚 𝒅𝒙 = 𝒙 − 𝟒 𝒙 − 𝟑 𝒅𝒚 = 𝒙 − 𝟒 𝒙 − 𝟑 𝒅𝒙 න𝒅𝒚 = න 𝒙 − 𝟒 𝒙 − 𝟑 𝒅𝒙 + 𝑪 𝒚 = න 𝟏 − 𝟏 𝒙 − 𝟑 𝒅𝒙 + 𝑪 𝒚 = 𝒙 − 𝐥𝐧 𝒙 − 𝟑 + 𝑪 ANÁLISIS MATEMÁTICO 3 ECUACIÓN DIFERENCIAL Hallar la solución general de la ecuación diferencial 𝒅𝒚 𝒚 = 𝒙 𝒅𝒙 𝒍𝒏 𝒚 = 𝟏 𝟐 𝒙𝟐 + 𝑪𝟏 𝒚 = 𝒆 𝟏 𝟐𝒙 𝟐+𝑪𝟏 𝒚 = ± 𝒆𝑪𝟏𝒆 𝟏 𝟐𝒙 𝟐 𝒚 = ± 𝑪 𝒆 𝟏 𝟐𝒙 𝟐 Solución ▪ Ordenando: ▪ Integrando න 𝒅𝒚 𝒚 = න𝒙 𝒅𝒙 + 𝑪𝟏 Ejemplo - EDO de variables separables ANÁLISIS MATEMÁTICO 3 ECUACIÓN DIFERENCIAL Hallar la solución general de la ecuación diferencial Solución ▪ Ordenando: ▪ Integrando Ejemplo - EDO de variables separables 𝒅𝒚 𝒅𝒙 = 𝒙𝟐 𝟏 + 𝒚𝟐 𝟏 + 𝒚𝟐 𝒅𝒚 = 𝒙𝟐 𝒅𝒙 න 𝟏 + 𝒚𝟐 𝒅𝒚 = න𝒙𝟐 𝒅𝒙 + 𝑪𝟏 𝒚 + 𝒚𝟑 𝟑 = 𝒙𝟑 𝟑 + 𝑪 ANÁLISIS MATEMÁTICO 3 METACOGNICIÓN ➢ ¿Qué hemos aprendido en esta sesión? ➢ ¿Para qué nos sirve el aprendizaje de este tema? ➢ ¿Qué estrategias hemos empleado para el desarrollo del tema? ➢ ¿Qué dificultades enfrentaste? y ¿cómo las solucionaste?
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