Semana 3-Máximos y Mínimos de una Función (3) - John Liñan (4)

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ANÁLISIS MATEMÁTICO 3
Semana 3 - Sesión 1
Eduardo Quincho Flores
16/08/2022
ESCUELA NAVAL 
DEL PERÚ
MARINA DE GUERRA DEL PERÚ
DIRECCIÓN GENERAL DE EDUCACIÓN DE LA MARINA
MÁXIMOS Y MÍNIMOS DE UNA FUNCIÓN
CON DOS Y TRES VARIABLES
ANÁLISIS MATEMÁTICO 2
BIBLIOGRAFÍA
Referencias de Información :
LARSON, RON (2006) CÁLCULO. España.
LOUIS LIETHOLD (2003) CALCULO CON G. ANALITICA. España. Harla
ESPINOZA RAMOS (2009). ANALISIS MATEMATICO 3.Peru .San Marcos.
STEWART, James (2017). Cálculo de varias variables. España. Ed. Mc. Graw – Hill
Bibliografia Virtual:
• Funciones de Varias variables 
http://ww.zweigmedia.com/MundoReal/Calcsumm8.html#top
• Integrales dobles http://www.scribd.com/doc/7399298/Integrales-doblesç
http://www.scribd.com/doc/7399298/Integrales-doblesç
ANÁLISIS MATEMÁTICO 2
LOGRO DE LA SESIÓN
Al finalizar la sesión, el estudiante resuelve
problemas vinculados a gestión e
ingeniería a partir de la optimización de
funciones en varias variables, usando el
criterio de la segunda derivada, de forma
coherente.
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TEMARIO
Extremos relativos.
Condición necesaria para un extremo relativo
Definición de punto crítico.
Criterio de las segundas derivadas.
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SABERES PREVIOS
Para una función de una variable real, ¿Cómo se
define un punto crítico?
Para una función de una variable real, ¿qué
criterios se toman en cuenta para hallar los
extremos relativos de dicha función?
¿Cómo se de finen los extremos relativos en
funciones de dos variables reales?
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DEFINICIÓN DE EXTREMOS RELATIVO
Sea 𝑓 función real, de varias variables, definida en una 
región 𝑅 que contiene (𝑥0 , 𝑦0):
f tiene o alcanza mínimo local
(o relativo) en el punto (𝑥0 , 𝑦0) si
𝑓 (𝑥, 𝑦) ≥ 𝑓 (𝑥0 , 𝑦0)
para todo (𝑥 , 𝑦) en un disco 
abierto que contiene (𝑥0 , 𝑦0) .
El número 𝑓(𝑥0 , 𝑦0) es un valor 
mínimo local de 𝑓.
𝑓 tiene o alcanza máximo local 
(o relativo) en el punto (𝑥0 , 𝑦0) si 
𝑓 (𝑥, 𝑦) ≤ 𝑓 (𝑥0 , 𝑦0)
para todo (𝑥 , 𝑦) en un disco 
abierto que contiene (𝑥0 , 𝑦0) .
El número 𝑓 (𝑥0 , 𝑦0) es un valor 
máximo local de 𝑓.
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PUNTOS CRÍTICOS Y UN MÁXIMO Y UN MÍNIMO LOCAL
ANÁLISIS MATEMÁTICO 2
PUNTOS CRÍTICOS Y UN MÁXIMO Y UN MÍNIMO LOCAL
¿Como se podrá encontrar
las coordenadas de los
puntos señalados?
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CONDICION NECESARIA DE EXTREMO
TEOREMA Si la función 𝑓:ℝ𝑛 → ℝ, definida en un conjunto abierto 𝐷, presenta un
extremo relativo en 𝑝0 ∈ 𝐷 y el gradiente de la función 𝛻𝑓(𝑝0) existe, entonces
𝛻𝑓 𝑝0 = 0
PUNTOS CRÍTICOS
Sea 𝑓 definida en una región abierta R que contiene (𝑥0 , 𝑦0). El punto (𝑥0 , 𝑦0) es un
punto crítico de 𝑓 si se satisface una de las condiciones siguientes:
1. 𝑓𝑥 𝑥0, 𝑦0 = 0 y 𝑓𝑦 𝑥0, 𝑦0 = 0
2. 𝑓𝑥 𝑥0, 𝑦0 o 𝑓𝑦 𝑥0, 𝑦0 no existe
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LOS EXTREMOS RELATIVOS SE PRESENTAN 
SOLO EN PUNTOS CRÍTICOS
Si 𝑓 tiene un extremo relativo en (𝑥0 , 𝑦0) en una región abierta 𝑹, entonces
(𝑥0 , 𝑦0) es un punto crítico de 𝑓 .
Observación: No todos los puntos
críticos originan valores extremos.
Por ejemplo, la función 𝑓(𝑥, 𝑦) =
𝑦2 – 𝑥2 tiene un único punto crítico P(0,
0), pero 𝑓 (0, 0) = 0 no es un valor
extremo de 𝑓 puesto que en una
vecindad de 0 , la función 𝑓 toma
valores positivos y valores negativos.
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EXTREMOS DE UNA FUNCIÓN
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CRITERIO DE LAS SEGUNDAS DERIVADAS PARCIALES
Sea 𝑓 una función con segundas derivadas parciales continuas en una región abierta
que contiene un punto (𝑎, 𝑏) , para el cual
𝒇𝒙 𝒂, 𝒃 = 𝟎 y 𝒇𝒚 𝒂, 𝒃 = 𝟎
Es decir, (𝑎, 𝑏) es un punto crítico de 𝑓.
Para buscar los extremos relativos de 𝑓, considérese la cantidad
𝒅 = 𝒇𝒙𝒙 𝒂, 𝒃 . 𝒇𝒚𝒚 𝒂, 𝒃 − 𝒇𝒙𝒚 𝒂, 𝒃
𝟐
1. mínimo relativo
2. máximo rel
0 ( , ) 0, ( , ).
0 ( , ) 0, ( , ).
Si y entonces tieneun en
Si y entonces tieneun en
Si entonces esun
ativo
3. punto0, ( , , ( , )) .silla
4. Si elcriteriono lleva a ninguna conclusión0,
xx
xx
d f a b f a b
d f a b f a b
d a b f a b
d
 
 

= .
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EJEMPLO - PROBLEMA DE APLICACIÓN
Calcule el volumen de la caja rectangular más grande que esté en
el primer octante con tres de sus caras en los planos coordenados y
un vértice en el plano
1
3
𝑥 + 𝑦 + 𝑧 = 1.
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EJEMPLO - PROBLEMA DE APLICACIÓN – SOLUCIÓN 
• Debemos maximizar 𝑉 = 𝑥𝑦𝑧.
• Como 𝑧 = 1 −
1
3
𝑥 − 𝑦, el volumen de la caja es
𝑉 = 𝑥𝑦 1 −
1
3
𝑥 − 𝑦
𝑉 = 𝑥𝑦 −
1
3
𝑥2𝑦 − 𝑥𝑦2
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EJEMPLO - PROBLEMA DE APLICACIÓN – SOLUCIÓN 
• Puntos críticos. Nos interesa solo 𝑥 > 0 y 𝑦 > 0. Entonces,
𝑉𝑥 = 0
𝑉𝑦 = 0
⟹
𝑉𝑥 = 𝑦 −
2
3
𝑥𝑦 − 𝑦2 = 𝑦 1 −
2
3
𝑥 − 𝑦 = 0
𝑉𝑦 = 𝑥 −
1
3
𝑥2 − 2𝑥𝑦 = 𝑥 1 −
1
3
𝑥 − 2𝑦 = 0
⟹ 𝑥 = 1, 𝑦 =
1
3
• Clasificación. 𝑑 = 𝑉𝑥𝑥. 𝑉𝑦𝑦 − 𝑉𝑥𝑦
2
= −
2
3
𝑦 −2𝑥 − 1 −
2
3
𝑥 − 2𝑦
2
reemplazando 𝑑 1,
,1
3
=
1
3
> 0 y 𝑉𝑥𝑥 1,
1
3
= −
2
9
< 0.
Esto nos dice que el volumen es máximo cuando las dimensiones de la caja son 𝑥 =
1, 𝑦 =
1
3
y 𝑧 =
1
3
. Por otro lado, el volumen máximo es
1
9
𝑢3
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MÉTODO DE LOS “MULTIPLICADORES DE LAGRANGE”
Suponga que 𝑓 𝑥, 𝑦, 𝑧 𝑦 𝑔 𝑥, 𝑦, 𝑧 son
diferenciables. Para determinar los
valores máximos y mínimos locales de
una función 𝑓 sujeta a la restricción
𝑔 𝑥, 𝑦, 𝑧 = 0, deben hallarse los valores
de 𝑥, 𝑦, 𝑧, 𝑦 𝜆 que satisfacen en forma
simultanea las ecuaciones:
∇𝑓 = 𝜆𝛻𝑔 y 𝑔 𝑥, 𝑦, 𝑧 = 0
Para funciones de dos variables
independientes, la condición es similar
pero sin la variable 𝑧.
𝜆: multiplicador de Lagrange
ANÁLISIS MATEMÁTICO 2
CRITERIO “MULTIPLICADORES DE LAGRANGE”
La existencia y el carácter del extremo condicional
se resuelve averiguando el signo de la segunda
diferencial de la función de Lagrange
(particularizando para 𝜆 = 𝜆0):
L 𝑥, 𝑦, 𝜆 = 𝑓 𝑥, 𝑦 + 𝜆𝑔(𝑥; 𝑦)
𝑑2𝐿 𝑥0; 𝑦0; 𝑧0 =
𝑑2𝐿
𝜕𝑥2
+ 2
𝑑2𝐿
𝜕𝑥𝜕𝑦
+
𝑑2𝐿
𝜕𝑦2
A condición de que 
𝑔𝑥 + 𝑔𝑦 = 0
Primer caso: 𝑑2𝐿 > 0 la función tiene un mínimo.
Segundo caso: 𝑑2𝐿 < 0 la función tiene un máximo.
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EJEMPLO
Encuentre los valores máximos o mínimos para las siguientes funciones
𝑓 𝑥, 𝑦 = 𝑥2 + 2𝑦2 sobre la circunferencia 𝑥2 + 𝑦2 = 1. 
𝑓 𝑥, 𝑦 = 36 − 𝑥2 − 𝑦2 sobre la el plano x + y =4. 
𝑓 𝑥, 𝑦 = 𝑥2 + 𝑦2 sobre la el plano x + y =3. 
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METACOGNICIÓN
➢ ¿Qué hemos aprendido en esta sesión?
➢ ¿Para qué nos sirve el aprendizaje de este tema?
➢ ¿Qué estrategias hemos empleado para el
desarrollo del tema?
➢ ¿Qué dificultades enfrentaste? y ¿cómo las solucionaste?