B 3. (Calificación máxima: 2 puntos) Se sabe que la derivada de una función real f(x) de variable real es: f ′(x) = 3x2 + 8x a) Determine la expres...

Solución

Apartado (a)

Para determinar la expresión de f(x), integramos la derivada:

f(x) = ∫ f ′(x) dx = ∫ (3x2 + 8x) dx
f(x) = x3 + 4x2 + C

Dado que f(1) = 11, podemos sustituir x = 1 en la expresión anterior para determinar el valor de C:

f(1) = 1 + 4 + C
11 = 5 + C
C = 6

Por lo tanto, la expresión de f(x) es:

f(x) = x3 + 4x2 + 6

Apartado (b)

Para determinar los máximos y mínimos locales de f(x), debemos calcular la segunda derivada de la función:

f ′′(x) = 6x + 8

Los puntos críticos de la función son los puntos en los que la derivada es igual a cero o no existe. En este caso, la derivada es igual a cero para x = -4.

Para determinar si el punto x = -4 es un máximo o un mínimo local, calculamos la segunda derivada en ese punto:

f ′′(-4) = 6 * -4 + 8 = -24

Como la segunda derivada es negativa en x = -4, el punto es un mínimo local.

Por lo tanto, f(x) tiene un mínimo local en el punto (-4, 16).

Respuesta

La expresión de f(x) es:

f(x) = x3 + 4x2 + 6

La función tiene un mínimo local en el punto (-4, 16).