B. 3.(Calificación máxima: 2 puntos) Se considera la función real de variable real, definida f (x) = (x2 − 3)ex . a) Obtenga los intervalos de crec...

Solución

a)

La función f(x) es continua en todo su dominio, que es todo el conjunto de los números reales. Por lo tanto, podemos utilizar el criterio de la derivada para determinar los intervalos de crecimiento y decrecimiento.

La derivada de f(x) es:

f ′(x) = (2x + e x)(x 2 − 3)

f′(x) = 0 para x = −1/2, x = √3.

f′(x) es positiva para x < −1/2 y x > √3.

f′(x) es negativa para −1/2 < x < √3.

Por lo tanto, los intervalos de crecimiento y decrecimiento de f(x) son:

• Intervalo creciente: (−∞, −1/2) ∪ (√3, +∞)
• Intervalo decreciente: (−1/2, √3)

Los extremos relativos de f(x) se producen en los puntos x = −1/2 y x = √3.

En x = −1/2, f′(x) = (2 * −1/2 + e −1/2)(−1/2 − 3) = −9/4 < 0.

Por lo tanto, f(x) tiene un máximo relativo en x = −1/2.

En x = √3, f′(x) = (2 * √3 + e √3)(√3 − 3) = 9/4 > 0.

Por lo tanto, f(x) tiene un mínimo relativo en x = √3.

b)

Para calcular ∫ 2 1 e−x f (x) dx, podemos utilizar la regla de integración por partes.

Sea u = x2 − 3 y dv = e−x dx.

Entonces, du = 2x dx y v = −e−x.

∫ 2 1 e−x f (x) dx = −(x2 − 3)e−x | 2 1 − ∫ 2 1 e−x (2x dx)

= (x2 − 3)e−x | 2 1

• 2e−x | 2 1

= (1 − 3e−x) | 2 1

• 2e−x | 2 1

= 1 + 2e−1 + 2e−2 − 3e−1 = 2e−1 + 2e−2

Respuesta

a)

• Intervalo creciente: (−∞, −1/2) ∪ (√3, +∞)
• Intervalo decreciente: (−1/2, √3)
• Máximo relativo en x = −1/2
• Mínimo relativo en x = √3

b)

2e−1 + 2e−2