A 3. (Calificación máxima: 2 puntos) Dada la función real de variable real definida por: f(x) =  x2 − x− 1 si x ≤ 3 3a x si x > 3 a) Determine...

Solución

Apartado (a)

Para que la función f(x) sea continua en todo su dominio, la función debe ser continua en el punto x = 3.

En el punto x = 3, la función f(x) toma el valor de f(3) = 32 - 3 - 1 = 7.

Para que la función sea continua en el punto x = 3, la expresión x2 − x− 1 = 7 debe ser válida.

Resolviendo la ecuación x2 − x− 1 = 7, obtenemos x = 4 o x = -1.

Como x = 4 > 3, la función f(x) se define como 3a/x para x = 4.

Para que la función sea continua en el punto x = 3, se debe cumplir que 3a/3 = 7.

Por lo tanto, el valor del parámetro a debe ser a = 7.

Para ese valor de a, la función f(x) es continua en todo su dominio.

La función f(x) es derivable en todo su dominio, ya que la función es polinomial para x ≤ 3 y es una función racional para x > 3.

Apartado (b)

Para a = 1, la función f(x) es:

f(x) =

x2 − x− 1 si x ≤ 3
3
x
si x > 3

En el punto x = 1, la función f(x) toma el valor de f(1) = 12 - 1 - 1 = 9.

La ecuación de la recta tangente a la gráfica de la función en el punto de abscisa x = 1 es de la forma y = mx + b, donde m es la pendiente de la tangente y b es la ordenada en el origen de la tangente.

La pendiente de la tangente es igual a la derivada de la función en el punto x = 1.

La derivada de la función f(x) es:

f ′(x) =

2x − 1 si x ≤ 3
3
x2
si x > 3

En el punto x = 1, la derivada de la función es:

f ′(1) = 2 * 1 - 1 = 1

Por lo tanto, la ecuación de la tangente es y = 1x + b.

Para determinar el valor de b, sustituimos x = 1 y y = f(1) = 9 en la ecuación de la tangente:

9 = 1 * 1 + b
9 = 1 + b
b = 9 - 1 = 8

Por lo tanto, la ecuación de la tangente es y = x + 8.

Respuesta

El valor del parámetro a para que la función f(x) sea continua en todo su dominio es a = 7.

La ecuación de la recta tangente a la gráfica de la función en el punto de abscisa x = 1 es y = x + 8.