A. 3. (Calificación máxima: 2 puntos) Dada la función f (x) = x + 4 x2 a) Halle el dominio de la función y sus asíntotas. b) Determine los interval...

Solución:

a)

El dominio de la función es el conjunto de todos los números reales x tales que el denominador de la función no sea cero.

x2 ≠ 0
x ≠ 0

Por lo tanto, el dominio de la función es R \ {0}.

Para hallar las asíntotas, debemos considerar el límite de la función cuando x tiende a infinito.

limx→∞ f (x) = limx→∞ (x + 4 x2)
= limx→∞ x + limx→∞ 4 x2
= ∞ + limx→∞ 4 x
= ∞

Por lo tanto, la función tiene una asíntota horizontal en y = ∞.

Para hallar la asíntota vertical, debemos considerar el límite de la función cuando x tiende a 0.

limx→0 f (x) = limx→0 (x + 4 x2)
= limx→0 x + limx→0 4 x2
= 0 + limx→0 4 x
= 0

Por lo tanto, la función tiene una asíntota vertical en x = 0.

b)

La derivada de la función es:

f ′(x) = 1 - 8x

f ′(x) = 0 para x = 1/8.

Como f ′(x) es una función continua, podemos afirmar que f ′(x) tiene un signo constante en cada intervalo que no contiene a 1/8.

Para x < 1/8, f ′(x) < 0.

Para x > 1/8, f ′(x) > 0.

Por lo tanto, la función f (x) es decreciente en el intervalo (-∞, 1/8) y creciente en el intervalo (1/8, ∞).

El extremo relativo de la función es un máximo relativo en el punto de abscisa x = 1/8.

Respuesta:

• Dominio: R \ {0}
• Asíntotas:
• Horizontal: y = ∞
• Vertical: x = 0
• Intervalos de crecimiento y decrecimiento:
• Decrecimiento: (-∞, 1/8)
• Crecimiento: (1/8, ∞)
• Extremo relativo: Máximo relativo en x = 1/8