B 2. (Calificación máxima: 2 puntos) Se considera la función real de variable real f(x) = x3 − 2x2 (x− 1)2 a) Calcule el dominio y las asíntotas de...
Se considera la función real de variable real f(x) =
x3 − 2x2
(x− 1)2
a) Calcule el dominio y las asíntotas de f(x).
b) Determine sus intervalos de crecimiento y decrecimiento.
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Solución
Apartado (a)
El dominio de la función f(x) es el conjunto de todos los números reales x, excepto x = 1. Esto se debe a que el denominador de la función es igual a cero para x = 1.
La función f(x) no tiene asíntotas verticales, ya que el denominador no se anula en ningún otro punto.
La función f(x) tiene una asíntota horizontal en y = 1, ya que el límite de la función en x → ±∞ es 1.
Apartado (b)
Para determinar los intervalos de crecimiento y decrecimiento de f(x), debemos calcular la derivada de la función:
f ′(x) = (x − 1)(3x − 2)
La derivada es igual a cero para x = 1, 2.
La derivada es positiva para x < 1 y x > 2.
La derivada es negativa para 1 < x < 2.
Por lo tanto, la función f(x) es creciente para x < 1 y x > 2, y decreciente para 1 < x < 2.
Respuesta
El dominio de la función f(x) es el conjunto de todos los números reales x, excepto x = 1.
La función f(x) tiene una asíntota horizontal en y = 1.
La función f(x) es creciente para x < 1 y x > 2, y decreciente para 1 < x < 2.
Explicación detallada
Apartado (a)
El dominio de la función f(x) es el conjunto de todos los números reales x, excepto x = 1. Esto se debe a que el denominador de la función es igual a cero para x = 1.
Para determinar si la función tiene asíntotas verticales, debemos estudiar el comportamiento de la función en los límites x → ±∞.
El límite de la función en x → ±∞ es 1, ya que el límite del numerador y del denominador en x → ±∞ es 1.
Por lo tanto, la función f(x) no tiene asíntotas verticales.
Para determinar si la función tiene asíntotas horizontales, debemos estudiar el comportamiento de la función en los límites x → ±∞.
El límite de la función en x → ±∞ es 1, ya que el límite del numerador y del denominador en x → ±∞ es 1.
Por lo tanto, la función f(x) tiene una asíntota horizontal en y = 1.
Apartado (b)
Para determinar los intervalos de crecimiento y decrecimiento de f(x), debemos calcular la derivada de la función:
f ′(x) = (x − 1)(3x − 2)
La derivada es igual a cero para x = 1, 2.
Para determinar si los puntos x = 1 y x = 2 son puntos de corte con el eje x, debemos calcular la función en esos puntos:
f(1) = 0 f(2) = 1
Por lo tanto, los puntos x = 1 y x = 2 son puntos de corte con el eje x.
Para determinar si los puntos x = 1 y x = 2 son puntos de inflexión, debemos calcular la segunda derivada de la función:
f ′′(x) = 3(x − 1)
f ′′(1) = 0 f ′′(2) = 3
Como f ′′(1) = 0, el punto x = 1 no es un punto de inflexión.
Como f ′′(2) > 0, el punto x = 2 es un punto de inflexión.
Para determinar los intervalos de crecimiento y decrecimiento de f(x), debemos examinar el comportamiento de la función en los intervalos (-∞, 1), (1, 2) y (2, +∞).
En el intervalo (-∞, 1), la derivada es positiva, por lo que la función es creciente.
En el intervalo (1, 2), la derivada es negativa, por lo que la función es decreciente.
En el intervalo (2, +∞), la derivada es positiva, por lo que la función es creciente.
Por lo tanto, la función f(x) es creciente para x < 1 y x > 2
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