Clase 4 Medidas de Disperción

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Medidas de dispersión
Rango, desviación media, varianza y desviación estándar 
Medidas de tendencia central, dispersión y posición
Medidas de 
Tendencia 
Central
Media
Mediana
Moda
Medidas de 
dispersión
El rango
Desviación 
media
Varianza
Desviación 
estándar
Medidas de 
posición
Cuartiles
Rango 
Intercuartil
Deciles PercentilesP
P
P
Distribución simétrica
Media
Moda
Mediana
En distribuciones totalmente simétricas la media ,
la mediana y la moda coinciden localizándose en
un mismo valor.
Distribuciones asimétricas
En cambio en distribuciones moderadamente asimétricas se 
tiene la siguiente relación aproximada:
𝑀𝑒𝑑𝑖𝑎 −𝑀𝑜𝑑𝑎 = 3(𝑀𝑒𝑑𝑖𝑎 −𝑀𝑒𝑑𝑖𝑎𝑛𝑎)
ഥ𝑥 > 𝑀𝑒 > 𝑀𝑜ഥ𝑥 < 𝑀𝑒 < 𝑀𝑜
Las distribuciones según la 
moda
Normal Bimodal Rectangular
Medidas de Dispersión
Son las que indican la diferencia en la intensidad con que
se dispersan o concentran los valores observados con
respecto a una medida de tendencia central
Medidas de dispersión
Las medidas de dispersión cuantifican la variabilidad (el
grado de separación) que presenta un conjunto de datos.
Ya que dos conjuntos de datos pueden tener las mismas
medidas de tendencia central pero diferir en términos de
variación.
Entre las medidas de dispersión, tenemos:
- Rango.
- Desviación media.
- Varianza.
- Desviación estándar o típica.
- Coeficiente de variación.
Rango
La dispersión puede medirse en términos de la diferencia
entre los dos valores extremos del conjunto de datos. De
esta forma, el rango (amplitud) se define como la
diferencia entre el máximo y el mínimo valor de la
distribución.
Observación: Esta medida de dispersión tiene como inconveniente
ser poco representativa, cuando existen valores extremos atípicos .
Depende sensiblemente del número de datos.
Se usa cuando se desea una medida simple de la variabilidad.
𝑅 = 𝑥 𝑚á𝑥 – 𝑥𝑚í𝑛
Para el caso de datos no 
agrupados
El siguiente conjunto de datos forma una población: 2, 4, 
6, 8 y 10 calcular el rango
𝑅 = 𝑥 𝑚á𝑥 – 𝑥𝑚í𝑛 = 10 − 2 = 8
𝑥 𝑚á𝑥 = 10 𝑥 𝑚í𝑛 = 2
Ejercicio
 Las ganancias de la primera mitad del año pasado de 
una empresa que vende ositos de peluche en lata se 
muestran en la tabla. Calcular el rango de las 
ganancias.
Mes Enero Febrero Marzo Abril Mayo Junio
Ganancias $16800 $34500 $17300 $12500 $14000 $18600
Rango para datos agrupados en intervalos
Los sueldos mensuales en $ de 60 empleados de la empresa 
Píramide A.A se da en la siguiente tabla:
Edad xi fi Fi
321 – 371 5
371 – 421 8
421 – 471 14
471 – 521 9
521 – 571 11
571 – 621 8
621 - 671 5
 60
5
13
27
36
47
55
60
346
396
446
496
546
596
646
𝐿𝑚 ⟶
𝐿𝑜 ⟶
𝑅 = 𝐿𝑚 − 𝐿𝑜 = 671 − 321 = 350
Límite superior del ultimo intervalo
Límite extremo inferior del primer intervalo
La diferencia entre el sueldo mayor y el sueldo menor es 350
Desviación media
Es una medida de dispersión que tiene en cuenta para su cálculo todos los
datos y no esta estrictamente ligada al número de ellos.
Desviación respecto a la media es la diferencia en valor absoluto entre cada
valor de la variable y la media aritmética.
Es el promedio de las desviaciones respecto a la media.
El valor || se refiere al valor absoluto.
𝐷 ҧ𝑥 =
σ𝑖=1
𝑛 𝑥𝑖 − ҧ𝑥
𝑛
𝐷 ҧ𝑥 =
𝑥1 − ҧ𝑥 + 𝑥2 − ҧ𝑥 + 𝑥3 − ҧ𝑥 + ⋯+ 𝑥𝑛−1 − ҧ𝑥
𝑛
Ejercicio
Calcule la desviación media de:
3, 10, 2, 8, 7
𝐷 ҧ𝑥 =
3 − 6 + 10 − 6 + 2 − 6 + 8 − 6 + 7 − 6
5
𝐷 ҧ𝑥 =
3 + 4 + 4 + 2 + 1
5
=
14
5
= 2,8
ҧ𝑥 =
3 + 10 + 2 + 8 + 7
5
=
30
5
= 6
Ejercicio
 Se tienen un número de hermanos
3 0 1 0 2 0 1
Calcule el promedio de los datos.
Calcule la desviación media correspondiente.
Desviación media de un conjunto de datos 
agrupados puntualmente
xi fi xifi 𝒙𝒊 − ഥ𝒙 𝒙 − ഥ𝒙 𝒇𝒊
13 3
14 14
15 23
16 10
17 5
18 4
19 1

𝐷 ҧ𝑥 =
σ𝑖=1
𝑛 𝑥𝑖 − ҧ𝑥 𝑓𝑖
𝑛
=
61,2
60
= 1,02 ≈ 1
ҧ𝑥 =
σ𝑖=1
𝑛 𝑥𝑖𝑓𝑖
𝑛
=
916
60
= 15,26
2,26
1,26
0,26
0,74
1,74
2,74
3,74
91660 61,2
39
196
345
160
85
72
19
6,78
17,64
5,98
7,4
8,7
10,96
3,74
Ejercicio
xi fi xifi 𝒙𝒊 − ഥ𝒙 𝒙 − ഥ𝒙 𝒇𝒊
5 3
6 4
7 8
8 2

Encontrar la desviación media de:
Desviación media de datos agrupados 
en clases
Edad xi fi xifi 𝒙𝒊 − ഥ𝒙 𝒙 − ഥ𝒙 𝒇𝒊
30 – 35 2
35 – 40 4
40 – 45 8
45 – 50 5
50 - 55 1

𝐷 ҧ𝑥 =
σ𝑖=1
𝑛 𝑥𝑖 − ҧ𝑥 𝑓𝑖
𝑛
=
77
20
= 3,85 ≈ 4
ҧ𝑥 =
σ𝑖=1
𝑛 𝑥𝑖𝑓𝑖
𝑛
=
845
20
= 42,25
9,75
4,75
0,25
5,25
10,25
84520 77
65
150
340
237,5
52,5
19,5
19
2
26,25
10,25
32,5
37,5
42,5
47,5
52,5
Ejercicio
Edad xi fi xifi 𝒙𝒊 − ഥ𝒙 𝒙 − ഥ𝒙 𝒇𝒊
0 – 10 1
10 – 20 3
20 – 30 9
30 – 40 6
40 - 50 1

Encontrara la desviación media correspondiente al
siguiente conjunto de datos
Medidas de dispersión
Varianza
La varianza se define como el promedio de las desviaciones (distancias) cuadráticas
de las observaciones respecto del promedio. Mide el grado de dispersión de los
valores de la variable respecto a la media aritmética.
Observación: Esta medida de dispersión tiene como inconveniente que las unidades
de la variable están al cuadrado.
 
 22
2
2 XX
n
xxi





 
1
2
2




n
xx
S
i
Varianza poblacional:
Varianza muestral:
Medidas de dispersión
Desviación estándar
La desviación estándar se define como la raíz cuadrada de la varianza. Como la
varianza tiene las unidades de medidas elevadas al cuadrado, estas unidades no son
intuitivamente claras y fáciles de interpretar. Por lo que la desviación estándar es un
estadígrafo de dispersión que no presenta problema con las unidades de medidas,
es decir, las unidades quedan igual que los datos de origen.
Desviación estándar poblacional:
Las siguientes fórmulas se utilizan para calcular la desviación estándar, pero
nosotros utilizaremos la planilla de cálculo Excel para obtener este valor.
Nota:
Desviación estándar muestral:
 
 22
2
2 XX
n
xxi





 
1
2
2




n
xx
SS
i
Medidas de dispersión
Propiedad importante de la desviación estándar
El uso de la desviación estándar nos permite determinar, con un buen grado de
precisión, la ubicación de los valores de una distribución de frecuencias en relación
a la media. Por lo cual si la distribución de los datos se acerca al modelo normal,
aproximadamente el 68% de los datos están dentro de ±1 desviación estándar a
partir de la media de la distribución. Aproximadamente el 96% de los valores caen
dentro de ±2 desviaciones estándar a partir de la media y aproximadamente el
100% caen dentro de ±3 desviaciones estándar a partir de la media .
Observación: Todas las medidas de dispersión vistas
anteriormente tiene como inconveniente que no sirven
para comparar la variabilidad entre variables con unidades
de medidas distintas.
Por ejemplo si deseamos comparar la variabilidad del peso
medido en kilógramos y la estatura medida en
centímetros de un conjunto de personas.
Medidas de dispersión
Coeficiente de variación
El coeficiente de variación se define como la razón entre la desviación estándar y la
media aritmética, el cual se puede expresar en porcentaje al ser multiplicado por
100.
Observación: Esta medida de dispersión tiene como ventaja que no
depende de las unidades de medidas de la variable, lo cual permite
comparar la variabilidad de datos de variables con distintas unidades.
Coeficiente de variación:
X
S
X
CV 
 → Desviación estándar
→ Media aritmética
Coeficiente de Variación
0 1
Datos menos dispersos
(más homogéneos)
Datos más dispersos
(más heterogéneos)
Medidas de dispersión
Homogéneo: Uniforme, semejante, similar, idéntico.
Heterogéneo: Diverso, variado, mezclado, distinto.
Observación: En la mayoría de las distribuciones de datos el coeficiente de variación
toma valores desde 0% al 100%.
Grupo 1 Grupo 2
19 – 20 – 20 – 19 – 22 28 – 32 – 30 – 4 – 6Los siguientes datos representan las edades en años de dos grupos
diferentes de personas, en las cuales se calculó el promedio.
Determine el grupo de personas que presenta un comportamiento
más homogéneo en sus edades.
Media: 20 Media: 20
Ejemplo 1
Respuesta:
Como se puede observar en la gráfica de cada grupo de personas,
las medidas de tendencia central (en este caso la media) no
reflejan la variabilidad o dispersión del grupo de datos.
Es por esto que debemos utilizar otro indicador para medir la
variabilidad de los datos. Este indicador puede ser el coeficiente de
variación.
0
5
10
15
20
25
30
35
0 1 2 3 4 5 6
E
d
a
d
Persona
Edades Grupo 1
0
5
10
15
20
25
30
35
0 1 2 3 4 5 6
E
d
a
d
Persona
Edades grupo 2
El coeficiente de variación de la edad del primer y segundo grupo,
son respectivamente 6,1% y 68,9%, por lo que el primer grupo
presenta un comportamiento más homogéneo con respecto a la
edad, ya que su coeficiente de variación es menor.
Se tienen los registros del sueldo en miles de pesos y los años de
antigüedad de 30 operarios de una fábrica. Determine con respecto a
qué variable los operarios presentan menor variabilidad. Justifique su
respuesta.
Ejemplo 2
Sueldos en m$ Años de antigüedad
396 351 427 12 5 6
296 360 338 11 5 3
385 400 317 9 7 4
348 367 346 6 5 6
405 361 392 8 7 8
367 411 492 7 8 1
496 359 292 5 10 7
372 455 400 9 12 10
483 433 362 8 8 3
309 435 378 5 8 5
Para el caso de un conjunto de datos 
agrupados puntualmente
xi fi xifi 𝒙𝒊 − ഥ𝒙
𝟐 𝒙𝒊 − ഥ𝒙
𝟐𝒇𝒊
13 3
14 15
15 23
16 10
17 5
18 4

𝜎2 =
σ𝑖=1
𝑛 𝑥𝑖 − ҧ𝑥
2𝑓𝑖
𝑛
=
90,98
60
= 1,52
ҧ𝑥 =
σ𝑖=1
𝑛 𝑥𝑖𝑓𝑖
𝑛
=
911
60
= 15,18
4,75
1,39
0,03
0,67
3,31
7,95
91160 90,98
39
210
345
160
85
72
14,25
20,89
0,74
6,72
16,56
31,80
En el caso de ser una muestra
𝑆2 =
σ𝑖=1
𝑛 𝑥𝑖 − ҧ𝑥
2𝑓𝑖
𝑛 − 1
=
90,98
60 − 1
= 1,54
Esto se específica en el enunciado o en 
el problema.
La desviación estándar 
correspondiente será
𝜎 = 𝜎2 = 1,52 = 1,23
𝑆 = 𝑠2 = 1,54 = 1,24
Como se tratan de años entonces tenemos
𝜎 = 1,23 𝑎ñ𝑜𝑠 𝑆 = 1,24 𝑎ñ𝑜𝑠
𝜎2 = 1,52 𝑎ñ𝑜𝑠2 𝑆2 = 1,54 𝑎ñ𝑜𝑠2
ҧ𝑥 = 15,18 años
Población Muestra
Coeficiente de variación
𝐶𝑉 =
𝜎
ҧ𝑥
× 100
𝐶𝑉 =
1,23
15,18
× 100 = 8,1%
Esto me indica si los datos varían mucho
o poco.
Un criterio para decidir es si el
porcentaje da mayor o igual al 25%.
Ejercicio
 Encontrar el promedio, la varianza, la desviación
estándar y el coeficiente de variación correspondiente:
xi fi xifi 𝒙𝒊 − ഥ𝒙
𝟐 𝒙𝒊 − ഥ𝒙
𝟐𝒇𝒊
10 5
11 6
12 3

Para el caso de un conjunto de datos en 
intervalos
EDAD xi fi xifi 𝒙𝒊 − ഥ𝒙
𝟐 𝒙𝒊 − ഥ𝒙
𝟐𝒇𝒊
10 - 15 5
15 - 20 9
20 - 25 12
25 - 30 15
30 - 35 11
35 - 40 8

𝜎2 =
σ𝑖=1
𝑛 𝑥𝑖 − ҧ𝑥
2𝑓𝑖
𝑛
=
3265
60
= 54,42
ҧ𝑥 =
σ𝑖=1
𝑛 𝑥𝑖𝑓𝑖
𝑛
=
1560
60
= 26
182,25
72,25
12,25
2,25
42,25
132,25
156060 3265
62,5
157,5
270
412,5
357,5
300
911,25
650,25
147
33,75
464,75
1058
12,5
17,5
22,5
27,5
32,5
37,5
En el caso de ser una muestra
𝑆2 =
σ𝑖=1
𝑛 𝑥𝑖 − ҧ𝑥
2𝑓𝑖
𝑛 − 1
=
3265
60 − 1
= 55,34
Esto se específica en el enunciado o en 
el problema.
La desviación estándar 
correspondiente será
𝜎 = 𝜎2 = 54,42 = 7,38
𝑆 = 𝑠2 = 55,34 = 7,43
Como se tratan de edad entonces tenemos
𝜎 = 7,38 𝑎ñ𝑜𝑠 𝑆 = 7,43 𝑎ñ𝑜𝑠
𝜎2 = 54,42 𝑎ñ𝑜𝑠2 𝑆2 = 55,34 𝑎ñ𝑜𝑠2
ҧ𝑥 = 26 años
Población Muestra
Coeficiente de variación
𝐶𝑉 =
𝜎
ҧ𝑥
× 100
𝐶𝑉 =
7,38
26
× 100 = 28,38%
Esto me indica si los datos varían
significativamente, debido a que el
porcentaje es mayor o igual al 25%.
Otra forma de decirlo es que los datos
son heterogéneos.
Ejercicio
EDAD xi fi xifi 𝒙𝒊 − ഥ𝒙
𝟐 𝒙𝒊 − ഥ𝒙
𝟐𝒇𝒊
40 – 50 3
50 – 60 10
60 - 70 2

Determinar el promedio, la varianza y la
desviación estándar considerando los
datos como una población y como una
muestra
Medidas de tendencia central, dispersión y posición
Medidas de 
Tendencia 
Central
Media
Mediana
Moda
Medidas de 
dispersión
El rango
Desviación 
media
Varianza
Desviación 
estándar
Medidas de 
posición
Cuartiles
Rango 
Intercuartil
Deciles PercentilesP
P
P
P
P
P
P
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