Ecuaciones_diferenciales_y_sus_aplicaciones

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PARA ESTUDIANTES DE CIENCIAS E INGENIERIA
6ta. EDICION
EDUARDO ESPINOZA RAMOS
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ECUACIONES DIFEFENCIALES Y 
SUS APLICACIONES
PARA ESTUDIANTES DE CIENCIAS E INGENIERÍAS
6ta E D IC IO N
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EDUARDO ESPINOZA RAMOS
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II 09 2004
6ta EDICIÓN
ERECHOS RESERVADOS
ESTE LIBRO NO PUEDE REPRODUCIRSE TOTAL Ó PARCIALMENTE POR NINGÚN 
VIÉTODO GRÁFICO, ELECTRÓNICO O MECÁNICO, INCLUYENDO LOS SISTEMAS 
DE FOTOCOPIA, REGISTROS MAGNÉTICOS O DE ALIMENTACIÓN DE DATOS, SIN 
EXPRESO CONSENTIMIENTO DEL AUTOR Y EDITOR.
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N ° 13714 
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N° 2 0 0 7 - 12590
P R O L O G O
Teniendo en cuenta que el estudio de las Ecuaciones Diferenciales Ordinarias es muy 
importante en la formación de los estudiantes de Ciencias e Ingeniería, debido a que con 
frecuencia aparecen en el estudio de los fenómenos naturales.
Esta obra que presento en su 6ta Edición está orientada básicamente para todo estudiante 
do Ciencias Matemáticas, Física, Ingeniería, Economía y para toda persona interesada en 
fundamentar sólidamente sus conocimientos matemáticos.
Esta 6ta Edición está cuidadosamente corregida, aumentada y comentada tanto en sus 
i jetcicios y problemas resueltos y propuestos con sus respectivas respuestas. La teoría expuesta es 
precisa y necesaria para la solución de los diversos problemas abordados.
La lectura del presente libro requiere de un conocimiento del cálculo diferencial e 
integral; el libro empieza con un capítulo sobre los conceptos generales de las ecuaciones 
diferenciales, se continúa con diferentes métodos analíticos para resolver una ecuación diferencial 
de primer orden y primer grado, acompañado con algunas aplicaciones importantes, se abordan las 
ecuaciones diferenciales de orden n, homogéneas y no homogéneas con sus respectivas 
.iplicaciones, también se estudia los operadores diferenciales; asimismo, se trata del sistema de 
ecuaciones diferenciales lineales de primer orden con coeficientes constantes en diferentes 
métodos de solución, así mismo se estudia las ecuaciones diferenciales por medio de series de 
potencias utilizando el teorema de FROBENIUS, se ha incluido el capítulo de las ecuaciones en
• IHerencias y sus aplicaciones en economía, por último se considera algunas tablas como 
identidades trigonométricas e hipérbolas, sumatorias, logaritmos, ecuaciones cúbicas y cuarticas, 
tlei ivadas e integrales.
Por último agradecer y expresar mis aprecio a las siguientes personas por sus .aliosas 
sugerencias y críticas.
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DOCTOR PEDRO CONTRERAS CHAMORRO
Ex-Director de la Escuela Profesional de Matemática Pura de la UNMSM.
Catedrático Principal en Pos-Grado de la Facultad de Matemática Pura de la UNMSM 
Miembro Fundador de la Academia Nacional de Ciencia y Tecnología del Perú.
Catedrático de la Universidad Particular Ricardo Palma.
DOCTOR EUGENIO CABANILLAS LAPA
Doctor en matemática Pura, Universidad Federal de Río de Janeiro - Brasil.
Director de Pos-Grado en la Universidad Nacional Mayor de San Marcos.
Catedrático de la Universidad Nacional del Callao.
LIC. ANTONIO CALDERON LEANDRO
Ex-Jefe de Departamento Académico de la Facultad de Ing. Pesquera y Alimentos de la 
Universidad Nacional del Callao.
Jefe de Departamento Académico de la Facultad de Ciencias Naturales y Matemática de la 
Universidad Nacional del Callao.
Coordinador del Área de Matemática en la Facultad de Ingeniería de la Universidad Ricardo 
Palma.
LIC. SERGIO LEYVA HARO
Ex Jefe del Centro de Computo de la Facultad de Ingeniería Química de la Universidad 
Nacional del Callao.
Catedrático en la Facultad de Ingeniería Ambiental y de Recursos Naturales de la UNAC.
LIC. JUAN BERNUI BARROS
Director del Instituto de Investigación de la Facultad de Ciencias Naturales y Matemática de 
la Universidad Nacional del Callao.
Catedrático de la Universidad Nacional Mayor de San Marcos.
LIC. PALERMO SOTO SOTO
Catedrático de la Universidad Nacional Mayor de San Marcos.
Catedrático de la Universidad Particular Ricardo Palma.
Mg. JOSE QUIKE BRONCANO
Catedrático de la Universidad Nacional Mayor de San Marcos.
Coordinador del área de matemática en la Facultad de Ciencias Matemáticas Puras.
Lic. GUILLERMO MAS AZAHUANCHE
Catedrático de la Universidad Nacional del Callao 
Catedrático de la Universidad Nacional de Ingeniería.
Catedrático de la Universidad Ricardo Palma.
EDUARDO ESPINOZA RAMOS
D E D I C A T O R I A
Este libro lo dedico a mis hijos:
RONALD, JORGE y DIANA
que Dios ilumine sus caminos para que puedan 
ser guías de su prójimo w
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I.
1 . 1 .
1.2 .
1.3.
1.4.
1.5.
1.6 . 
1.7.
1.7.1.
1.7.2.
2.
2 . 1.
2 . 2 .
2.3.
2.4.
2.5.
I N D I C E
C A P I T U L O I
CONCEPTOS BASICOS Y TERMINOLOGIA.
Introducción
Definición
Clasificación de las Ecuaciones Diferenciales 
Orden de una Ecuación Diferencial Ordinaria 
Grado de una Ecuación Diferencial Ordinaria 
Solución de una Ecuación Diferencial Ordinaria 
Origen de las Ecuaciones Diferenciales Ordinarias 
Ecuaciones Diferenciales de una Familia de Curva 
Ecuaciones Diferenciales de Problemas Físicos
C A P I T U L O I I
ECUACIONES DIFERENCIALES ORDINARIA DE 
PRIMER ORDEN Y PRIMER GRADO.
Ecuaciones Diferenciales Ordinarias de Variable Separable 
Ecuaciones Diferenciales Ordinarias Reducibles a Variable Separable 
Otras Ecuaciones Diferenciales Ordinarias 
Ecuaciones Diferenciales Ordinarias Homogéne'as 
Ecuaciones Diferenciales Reducibles a Homogéneas
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2.6. Ecuaciones Diferenciales Ordinarias Exactas 72
2.7. Factor de Integración 87
2.8. Ecuaciones Diferenciales Lineales de Primer Orden 118 i
2.9. Ecuaciones Diferenciales de Bemoulli 134 j
2.10. Ecuaciones Diferenciales de Riccati 149]
2.11. Ecuaciones Diferenciales de Lagrange y Clairouts 153
2.12. Ecuaciones Diferenciales no resueltas con respecto a la Primera Derivada 160
2.13. Soluciones Singulares 168
C A P I T U L O I I I
3. APLICACIONES DE LAS ECUACIONES DIFERENCIALES 177
3.1. Problemas Geométricos
3.2. Trayectorias Ortogonales
3.3. Cambio de Temperatura
3.4. Descomposición, Crecimiento y Reacciones Químicas
3.5. Aplicaciones a los Circuitos Eléctricos Simples
3.6. Aplicaciones a la Economía
177
198
206
206
221
241
C A P I T U L O I V
4. ECUACIONES DIFERENCIALES DE ORDEN SUPERIOR. 258
C A P I T U L O V
5.2.
5.3.
5.4.
5.5. 
5 6.
Independencia Lineal de las Funciones 
El Wronskiano
Ecuaciones Diferenciales Lineales Homogéneas de Coeficientes Constantes 
Ecuaciones Diferenciales Lineales no Homogéneas de Coeficientes Constantes 
Método de Variación de Parámetro 
Ecuaciones Diferenciales de Euler
269
270
271 
276 
288 
311 
320
C A P I T U L O V I
6.1.
6,2.
6.3.
6.4
OPERADORES DIFERENCIALES
Leyes Fundamentales de Operadores
Propiedades
Métodos Abreviados
Solución de la Ecuación de Euler mediante Operadores
330
330
331
332 
346
C A P I T U L O V I I
7.
^ ^ ^ 5 Ñ É S 1 )IF E R E N C IA L E S DE COEFICIENTES
VARIABLES
7,1. Aplicaciones
' I I Aplicación al Péndulo Simple
de las Ecuaciones Diferenciales de Segundo Orden
355
365
371
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C A P I T U L O V I I I
SISTEMAS DE ECUACIONES DIFERENCIALES DE 
COEFICIENTES CONSTANTES 390
C A P I T U L O I X
9. RESOLUCIÓN DE ECUACIONES DIFERENCIALES 
MEDIANTE SERIES DE POTENCIAS 401
9.1. Solución de las Ecuaciones Diferenciales de Segundo Orden 403
9.1.1. Solución Entorno a PuntosSingulares 429
9.1.2. Puntos Singulares Regulares e Irregulares 430
9.2. Método de FROBENIUS 431
9.2.1. Casos de Raíces Indicíales 436
9.3. Dos Ecuaciones Diferenciales Especiales 457
9.3.1. Ecuaciones de Bessel y Función de Bessel de Primer Tipo 457
9.3.2. Ecuación Paramétrica de Bessel 462
9.3.3. Ecuación de Legendre 463
9.3.3.1. Solución de la Ecuación de Legendre 463
9.3.3.2. Polinomios de Lagendre
C A P I T U L O X
466
10. ECUACIONES EN DIFERENCIAS. 473
10.1. Definición
10.2. Orden de una Ecuación en Diferencias
10.3. Ecuaciones Lineales en Diferencias
10.4. Soluciones en las Ecuaciones en Diferencias
474
474
474
475
10. V Ejercicios Desarrollados 475
Licuaciones Lineales en Diferencias de Primer Orden con Coeficientes Constantes 480
484 
491 
494
498
499 
502
10,6.
1 n / Comportamiento de la Solución de una Ecuación en Diferencias
10 8, Ejercicios Propuestos
tu*) Aplicaciones de las Ecuaciones en Diferencias en Modelos Económicas
H) 10. Ejercicios Propuestos
m i l Ecuaciones en Diferencias Lineales y de Segundo Orden con
Coeficientes Constantes 
m 12. Comportamiento de la Solución
10.13. Ecuaciones en Diferencias de Segundo Orden no Homogéneas
10 14. Equilibrio y Estabilidad 
10.15. Ejercicios Propuestos
508 
511
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i mnr/ilos Básicos
C A P I T U L O I
I. CONCEPTOS BÁSICOS Y TERMINOLOGÍA.-
I I INTRODUCCIÓN.-
En los cursos básicos el lector aprendió que, dada una función y = f(x ) su derivada
dy
__ - f \x) es también una función de x; y que se calcula mediante alguna regla
dx
apropiada. El problema que enfrentamos en este curso, no es, dada una función y = f(x ) 
encontrar su derivada, más bien el problema es, si se da una ecuación como
dy
— = / ' (x) , encontrar de alguna manera una función y = f(x ) que satisfaga a la 
dx
ecuación, en una palabra se desea resolver ecuaciones diferenciales.
Una ecuación diferencial es la que contiene derivadas o diferenciales de una función 
incógnita.
Ejemplos de Ecuaciones diferenciales:
1.2. DEFINICIÓN.-
donde w = f ( x , y, z)
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Eduardo Espinoza Ramón
© 2 d ~ (ú d ~ a ) i d 2(0 _x — - + y~— T + z~— r = donde co = f ( x , y , z )d x 1 d y 2 dz2
1.3. CLASIFICACIÓN DE LAS ECUACIONES DIFERENCIALES.-
Las ecuaciones diferenciales se clasifican en dos tipos:
ler. Si la función incógnita depende de una sola variable independiente, en la cua 
sólo aparecen derivadas ordinarias, la ecuación diferencial se llama “Ecuaciói 
diferencial ordinaria”.
Ejemplos: Son ecuaciones diferenciales ordinarias las siguientes ecuaciones:
a) m — — = ~kx, donde k = mco~ es una magnitud positiva, m la masa (Ecuaciói
di
diferencial del movimiento armónico simple)
d 2y dy
b) (1 - - r )— — — 2x------ 1- p ( p + l )y = 0 (Ecuación diferencial de Legendre)
dx~ dx
. 2 d~v dy t t
c) x — y + x — + ( * - p~)y = 0 (Ecuación diferencial de Bessel)
dx* dx
d ̂
d) ( x - x~ )— + [y - (a + p + l ) x ] ------ a¡5 v = 0 (Ecuación diferencial de Gauss)
dx dx
\ i d ' q „ dq 1
c) — —+ a ——H— q = 0 (Ecuación diferencial de la corriente eléctrica ,donde q e>
dt~ di C
la carga eléctrica, R la resistencia, L la inductancia. C la capacitancia).
NO TA C IÓ N .-
A las ecuaciones diferenciales ordinarias se representa mediante el símbolo:
• nú i-plos Básicos 3
I )onde F indica la relación que existe entre las variables x, y , así como también sus 
derivadas
dy d 2y dny 
dx ’ dx2 ’ dxn
2do. Si la función incógnita depende de varias variables independientes y las derivadas 
son derivadas parciales, la ecuación diferencial se llama “Ecuación Diferencial 
Parcial”.
Ejemplos: Las siguientes ecuaciones son ecuaciones diferenciales parciales.
2 ^ 2 ̂2
ti) -—— + — — + — —.= 0 , donde co = f(x,y,z) (Ecuación diferencial de Laplace)
d x 2 d y 2 d z2
3 2 ^2
|>) — — = a2— — (Ecuación diferencial de la onda unidimensional)
d t2 dx2
d u d ̂ u
c) — = h2----- (Ecuación diferencial térmica unidimensional)
dt d x 2
,1) í0. + ^Lj^) = ^ L (Ecuación diferencial del calor)
d x 2 d y 2 d z 2 di
7 d2(ú d2co d'(Os d2CO . , , . , .a¿(------- 1-------- 1------- ) = ------ (Ecuación diferencial de la onda)
¿ x 2 d y 2 d z 2 dt2
d 2u d 2u0 — — + — — = f (je, y ) (Ecuación diferencial bidimensional de Poissón)
d x 2 d y 2
1,1, ORDEN DE UNA ECUACIÓN DIFERENCIAL ORDINARIA.-
I I orden de una ecuación diferencial ordinaria, está dado por el orden mayor tic su 
derivada.
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Eduardo Espinoza RamosI 1 onrcptos Básicos
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1.5. GRADO DE UNA ECUACIÓN DIFERENCIAL ORDINARIA.
El grado de una ecuación diferencial ordinaria, está dado por el exponente del mayoi 
orden de su derivada.
Ejemplos:
Determinar el orden y grado de las siguientes ecuaciones diferenciales ordinarias:
c>2y dy
dx
e — -̂ + sen x . ~ - x, es de 2do. orden y de 1er. grado.
dx
d } y d 2y 3 dy
~t t + 2(— y ) tgx,
dx dx dx
dy
dx
+ P(x )y = Q(x),
d y
("TT>2 ~ 2 ( , ~ ) 4 + .ry = 0,
dx dx
es de 3er. orden y de 1er. grado, 
es de 1 er. orden y de 1 er. grado, 
es de 3er. orden y de 2do. grado.
EJERCICIOS PROPUESTOS.-
Determinar el orden y grado de las siguientes ecuaciones diferenciales ordinarias.
d ' Q „ dQ Q 
+ R - + ^ - = 0
dt dt C
d 2y dy dy 2
~ 7 T - ^ + ( ~ r ) + y = °dx dx dx
d y m J . . , dy.2
d7 = ' f + l f /
T4 dy x2 d y _ 4 d~y 
dx dx2 dx3
*(y ” )3 + (y ')4 - y = 0
dx3 dx 
C f ) 7.V '+ y = eos x
® ( D xy ) 3 = 3a2 -1
® ( d y . i ^ d y dy * 7(— - ) + — —•(— ) - x y^cosjc dx dx dx ©
I .<>. SOLUCIÓN DE UNA ECUACIÓN DIFERENCIAL ORDINARIA.-
dy
Si y = F(x) es una función y f es la derivada de F, es decir: — = F \ x ) = f ( x ) , de
dx
donde:
dy_
dx
= / (* ) ... (a )
La ecuación (a ) es una ecuación diferencial ordinaria.
La solución de la ecuación (oí) consiste en buscar una función y = G (x ) de tal manera que 
verifique a la ecuación (a ).
Como F es la antiderivada de f, entonces G (x) = F(x) + C. donde C es una constante, es 
decir: d { G ( x ) ) ~ d ( F ( x ) + c ) = F \ x ) dx = f ( x ) d x
10) co sx .(y ")~ + s e n .r (y ) =1
Luego: y = G (x ) = F (x) + C ... ((i)
Se llama solución completa o solución general de la ecuación diferencial (a ).
La solución general ((i) nos representa una familia de curvas que dependen de una 
constante arbitraria que se llama familia de un parámetro.
En los problemas que incluyen ecuaciones diferenciales, se trata de obtener soluciones 
particulares, luego de la solución general de la ecuación diferencial, mediante ciertas 
restricciones, llamadas condiciones iniciales o de la frontera, se obtiene la solución 
particular.
Nota.- En la Solución General de la ecuación diferencial que llamamos no se 
considera las soluciones escondidas es decir que no están todas las soluciones.
Ejemplos:
Verificar que las funciones y, = e* , y2 = co sh * son soluciones de la 
ecuación diferencial y " - y = 0.
Solución
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Eduardo Espinoza Ramo\
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y = e = > y = e = > y - e
i i 1
y = c o sh x = > y ' = senhx =* v " = coshx 
2 2 1
Como y' '—y = 0 => ex - ex = 0 , y' '—y = 0 => cosh x - cosh x = 0
Verificar que la función y = ( p ( x ) - e x I e ’ dt + e*
J o
ecuación diferencial y '= 2xy = 1
Solución
es solución de 1¡
i .iin eptos Básicos
y = (p(x) = ex I e ' dt + e
Jo
dt +1 + 2xe
y '- 2 xy
y ' - cp '(x) = 2xex I e ' i
Jo
dt + \ + 2xex —2x(ex í é~' dt + ex )
Jo
2xex =1 , y ' - 2 x y = l\
) = ex í e~r
Jo
■ = 2xex f V
Jo
= 2xex í e~’ dt +1 + 2xeA - 2xex í e~‘ dt -
Jo Jo
K
( ? ) Verificar si la función J0 (t) = — 2 cos(/sen0W0 , satisface a la ecuación diferenciJ
n Jo
J ' o(0+---- ------+■ J0(t ) — 0
Solución
n
J0( t ) = — " cos(/sen0)¿/0 => J\) ( t) = -----sen(ís
n Jo n Jo
= í 2 eos
n Jo
y (/) + £ o W + y « ) = - - f
t JI Jo
sen 0 ) sen9 dO
cos(?sen0)sen~ 0 d9
cosí/ sen 0 )sen 9 d9
k
2 fT sen(f sen 9 ) sen 9 2 f->
-----------------d9 H— I ~cos(ísen0)¿/0
n Jo/
2 n
n ,)o
7T
2
P e
n ,Jo
cos(/sen0)íl-cos 0)á0
__2 f2 9
# Jo
sen(f sen 0 ) sen 0 ¿/0
’ - - f ^ Jo
2 seni f sen 0 ) sen 9d9
Integrando por partes I 2 cos(f sen0)cos2 9d9 .
Jeo
u = eos 9
dv = cos(ísen0)cos0 d9
du = -sen0 d9 
sen(í sen 9 )
v = ■
7
f cos(í sen 0) eos" 9 d 9 = -cos0.sen(ísen0) f 2 sen(ísen0)sen07 M’ 0 J„ í/0
= (0 - 0 H l ' “ en<,sen,))sen% >i 0 1 
K_ £
f 2 ? „ f 2 sen(í sen0)sen0 ,„
Luego cosí?sen0)cos 0 d9 = I ----------—---------d9
Jo Jo f
■ (2)
reemplazando (2) en (1) se tiene:
1 7T
2f ^ Jo </0 _ 2 _ ( * 2 S In Jo sen(/ sen 0 ) sen 0 d9- = 0
^---- (-J0(0 —0
( 4 ) Dada la función F(x) = <T'tcosh0d0, x > 0, verificar que F satisface a la ecuaciói
Jo
diferencial. x F " ( x ) + F \ x ) — xF (x ) = 0 .
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Eduardo Espinoza
Solución
MOO *00
F (x ) = I e~xcosbedO =* F '(.x) = - I e~xmshB cosh O dd 
Jo Jo
F " ( x ) = f e~xcosh0 cosh2 O dd
Jo
xF "(x) + F ’(a ) - xF (x ) = x f e~xmsh() cosh ’ 0 dd - í e” xcosh0 cosh Q d6
Jo Jo
r-x I e
Jo
f e~xcmhB (cosh29 - \ ) d e - í 
Jo Jo
f e~xcoshe senh2 6 dO - í
Jo Jo
-A 'C O S h #
-XCOSh# cosh# dd
senh 0 d9 - e -xcosht> cosh0 dO ... (1)
fIntegrando por partes I e jrcos,he senh2 O dO
u = senh O
dv = g-jtcoshe senh# de
du = cosh O dd
-x cosh 6e
JJo -jrmshfl , -> senh0.ee senh “ 6 dO = -------------
-x cosh6
/ + 1 f/ 0 X Jo
e ^ c w h . f l d6
I f e -Jtc¡.sh0 cosh 0= - (0 - 0 ) + — í e 
xJo
Luego í e Jceosh® senh2 6 dO = — í
Jo *J o
Reemplazando (2) en (1) se tiene-
-jrcoshe cosh0 dd . . . (2)
fxF " ( x ) -+ F \x ) - xF (x ) = x ( - e~ACOshe cosh6 d O ) - I e Jxoshtf cosh0 dOFJo
•vptos Básicos 9
: f e~xco%he cosh0 de - f e~xcmhe cosh 6 de = 0 
Jo Jo= e10 Jo
x F " ( x ) + F ' ( x ) - x F ( x ) = O 
EJERCICIOS PROPUESTOS.-
f r sen t
Verificar que la función y = x I —— dt, satisface a la ecuación diferencial
Jo t
dy
x — = y + jcsenx. 
dx
r x 2
Comprobar que la función y = ex I e' dt + cex, satisface a la ecuación diferencial
Jo
dv x+x2—— y = e 
dx
Dada la función H(a) = I - u.-~-'1'-' , a * 0. probar que H(a) satisface a la ecuación
f 1 eos atdt
J-i %/l-r
diferencial H " (a ) + — H '(a) + H (a ) = 0, 
a
Verificar que la función y - aresen (x y), satisface a la ecuación diferencial
xy'+ y = y ' \ j\ - x 2y2
'JJ(Comprobar que la función a: = y I sen; dt, satisface a la ecuación diferencialJo
. , 2 2 y — xy +y senx
I*x sen t
Comprobar que la función y = Clx + C2x\ —— dt, satisface a la ecuación diferencial
Jo f
x sen x.y' '—x eos x.y'+ y eos x = O .
Sea h(x) = — -dz, x > O, hallar los valores de “a” tal que la función f definida por
Ji z
e al,(x)
f ( x ) = ------- satisface a la ecuación diferencia! x2y "+ (3 x - x 2)y '+ ( l - . v - 3 e x )dy O
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10
13)
14)
15)
16)
Eduardo Espinoza Ramo
Verificar que la función x = y + Ln y, satisface a la ecuación diferencia
yy”+ y '3- y ' 2 = 0.
( ? ) Dada la función H ( a ) = í sen at(^ ̂ a * o probar que H(a) satisface a la ecuaciói
J > V w 1
diferencial H "(a) + — H '(a) + H(a ) = 0 
a
(lo) Si x ( t ) = f ( t - s ) e u s)esds , calcular el valor de: x " ( t ) + 2x\t ) + x(t )
Jo
(T i) Probar que la función >' = — í R( t ) scnhk(x - i )d t , satisface a la ecuación diferencii
^ Jo
y " - k - y = R(x)
i r *
^12) Probar que la función y = C,x + C2x | —dt, x > 0, satisface a la ecuación diferencia 
x 2y " - ( x 2 + x)y’-f-(x + l)y = 0.
a' “ ln" x .y ''-x ln x.y’+(ln x + l )y = 0 .
I u eu du
Demostrar que la función </>(x) = x~le 0 para x > 0, satisface a la ecuaciói 
diferencial x 2(p"(x) + (3 x - x 2 )0 ’ ( x ) + (1 - x - e2x)</>(*) = 0 .
Dada la función y ln y = x + I e‘ dt, satisface a la ecuación diferencial j
Jo
(1 + ln y )v ”+ y '2 —2xy.ex .
Demostrar que la función y = (x + \lx2 +1 )*, satisface a la ecuación diferencia
(1 + x 2)y "+ x y ' - k 2y = 0 .
I fi i i ¡ píos Básicos II
C ̂ dx
l ’ ) Probar que la función x(t) definida por: x(t ) = I — X- , satisface a la
Jo (x + / )
ecuación diferencial t x '+ 3x(f ) +
(1 + í 2)2
IH) Demostrar que la función / ia,b) = I e ax bx dx, satisface a la
Jo
ecuación diferencial
? , a b ^ - - 3 a ^ - - 2 b 2^ - = i 
db~ db da
K 1
I'») Probar que — = I 2 cos(mx" sen#)cos" 9d0, satisface a la
* Jo
ecuación diferencial
y " + m 2n 2x 2n 2y - 0
C ) Probar que y
f “Jo
senz+bcosz
x + z
dz, satisface a la ecuación diferencial
£ i 
dx2
a b
+ y ~ ~ + ~
X X
pe
Dada la función y = C,Ln x+C-,x I -------. x > 1, satisface a la ecuación diferencia , ,\ ,, ... , ¡ - _,/■> . „
“ J KLn(t ) 1 J D Verificar que las funciones y, = Vx, y2 - x , x > 0, satisfacen a la ecuación>«)
n )
diferencial 2x y" + 3xy'- y - 0 .
Verificar que las funciones y, = x 2, y2 = x ~ 2 ln x , x > 0, satisfacen a la ecuación 
diferencial x 2y " + 5xV + 4y = 0.
Demostrar que la función y = ~ log(sen2 6 + x 2 eos2 6)dd , satisface a la ecuación
Je
9 X ■+■ 1
diferencial (1 + x) y " + (l + x )y ' +y = ;rlog(—— ).
f K
Dada la función u — I eqxcos0 {A + fí log(xsen2 6 ))dd satisface a la ecuación diferencial 
Jo
d u du n
x — —H-------- q ’ xu = 0
dx dx
w
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Eduardo Espinoza Ramos
Demuestre que la función y
xy " -2 n y ' + xy = 1.
1 e~xzdz o (i + r ) ' ,H satisface a la ecuación diferencial
Si H { t ) = I e 1 cos(tx)dx, para todo t e R, probar que H \ t ) + — H ( t ) = 0
Jo 2
1Si G ( t ) = I e x d x , t> 0 , probar que: G '(?) + 2 G ( í ) - 0
Verificar si la función y = C ]eharcscnx + C 2e ¿arcsen;c es la solución de la ecuación! 
diferencial ( l - x 2) y " - x y ' - b 2y = 0 .
Verificar que ( y ' ) 2 = [l + (.y ')2 ]3 es la solución diferencial de las circunferencias de ̂
radio r = 1
Demostrar que: y = ex (C, + C2 j e 1 dx) es la solución de la ecuación diferencial| 
y " - 2 x y ' - 2 y = 0 .
í sJoProbar que la función y{t) - I sen( t - s ) f ( s ) d s es una solución en I de .
y " ( t ) + y(t ) - / (/ ), que satisface v(0) = y' (0) = 0 , donde f es una función continúa| 
sobre el intervalo I , el cual contiene al cero.
Demostrar que y(t) - f (s ) ds es solución de y {n>{t) = f { t ) con
y(0) = y' (0) = ... = y (" J) (0) = 0 donde f es continúa sobre un intervalo I que contiene ,¡ 
al cero.
Comprobar que y = 2 I e s ds + c es solución de = — -¡=-
dx -JxJe
( oin eptos Básicos 13
1.7. ORIGEN DE LAS ECUACIONES DIFERENCIALES 
ORDINARIAS.-_______________________________________________________
Las ecuaciones diferenciales aparecen no sólo a partir de las familias de curvas 
geométricas, sino también del intento de describir en términos matemáticos, problemas 
físicos en ciencias e ingeniería.
Se puede afirmar que las ecuaciones diferenciales son la piedra angular de disciplinas 
como la física y la ingeniería eléctrica, e incluso proporcionan un importante instrumento 
de trabajo en áreas tan diversas como la biología y la economía.
Veremos la obtención de ecuaciones diferenciales que se origina de diversos problemas 
los cuales pueden ser geométricos, físicos o por primitivas.
I I ECUACIÓN DIFERENCIAL DE UNA FAM ILIA DE CURVAS.-
Si se tiene la ecuación de una familia de curvas, se puede obtener su ecuación diferencial 
mediante la eliminación de las constantes (o parámetros) y esto se obtiene aislando la 
constante en un miembro de la ecuación y derivando. También se puede eliminar la 
constante derivando la ecuación dada, tantas veces como constantes arbitrarias tenga, y se 
resuelve el sistema formado con la ecuación original.
•
Ejemplos.-
Encontrar la ecuación diferencial cuya solución general es y = C Í cosí.r + C2).
Solución
v = C¡ cos (x+C 2) => y'= -C ] sen(A: + C2)
y " = - C i cos(x + C2)
¡y " = ~C\ cos(x + C2) 
donde< => y + y = 0
[ y = Cj cos(.v + C2)
Encontrar la ecuación diferencial cuya solución general es y = A sen x + B eos x
Solución
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14 Eduardo Espinoza Ramos
©
y - A sen x + B cos x => y' = A eos x — B sen x
y " = - A sen x — B eos x 
[ y ” = -A s e n x -ñ c o s x
de donde => y ” +y = 0
[y = Asenx + ficosx 
Otra manera de eliminar las constantes es, considerando el sistema siguiente:
y = -A sen x + Z?cos;t 
• y ' = A cosx-fisen .v = 
y " = - A sen x - B eos x
- y + Asenx + fi eos x = 0 
- y ' +A eos x —B sen x = 0
- y " - A sen x - B cosx = 0
Este sistema de ecuaciones en dos incógnitas A y B tienen la solución sí y sólo sí:
= 0 => y ” +37 = 0
- y sen x eos x 
- y ' eos x - sen x 
- y " -sen x -co sx
Encontrar la ecuación diferencial cuya solución general es y = C¡e x + C 2e 3x
-3jc
Solución
y - C ¡ e ' + C 2e Ar => e ' y = C¡ + C 2e 2x derivando ex y'+ex y = - 2 C 2e 
e3xy'+e3xy = - 2 C 2 => 3e3ry'+e3xy"+3e3xy + e3xy’= 0 
3 y '+ y " + 3y + y '= 0 =» y " + 4y' + 3y = 0
-2x
Otra manera es:
y = C¡e- x + C2e-3x 
y' = -C,e~x - 3 C 2e~3x
-3 xy" = C¡e~x +9C2e 
el sistema tiene solución sí y solo sí:
-3x-y + Cxe x 
-y ' -C,e~x - 3 C 2e~3x = 0 
- y ” + C : U 9 C 2e~3x = 0
- y
- y ' - e '*
e~3x
—3e~3x = 0 =* e~*x
- y
- y '
1 1
- 1 - 3 = 0
- y " 9e~3x - y " 1 9
de donde y " + 4y' + 3y = 0
( ,.<111 ¡iltis Básicos 15
^ 2 2
Encontrar la ecuación diferencial cuya solución general es (x - a ) ~ + y = r , 
circunferencias de radio fijo r, con centro en el eje x, siendo “a” arbitrario.
Solución
( x - a j 1 + y2 = r 2 => x - a = ^ r 2 - y 2 derivando se tiene:
1 - 0 = -yy
4 2 2 r ~ y r2 — y2 -yy
de donde r 2 - y 2 = y 2y'2 (1 + y '2 ) y 2 - r 2
Q ) Encontrar la ecuación diferencial de la familia de parábolas las que tienen sus vértices
en el origen y sus focos sobre el eje y.
Solución
De acuerdo a los datos del problema, la gráfica de estas parábolas es:
La ecuación de ésta familia de parábolas es:
x 2 =4py ...(1 )
donde el vértice es v(0,0) y el foco F(0,p).
Como el parámetro es P entonces lo eliminamos
2 2 2 ,x y x — x y
— = 4 p, derivando se tiene - ---------- = 0
y y
simplificando
xy '= 2 y ecuación diferencial pedida
Hallar la ecuación diferencial de la familia de circunferencia en el primer cuadrante,
tangentes a las rectas x = 0 e y = 2x
Solución
De los datos del problema, el gráfico es:
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Eduardo Espinoza Ram os ,
Sí c (h,k) el centro => r = h por ser tangente 
el eje Y.
r~ = d 2 (c, p ) = d 2 (c, p) = ( a - h )2 + ( b - k ) 2 
r 2 = ( a - h ) 2 + ( b - k ) 2 
pero p(a,b) e L: y = 2x =* b = 2a 
Luego r 2 = ( a - h ) 2 + ( 2 a - k ) 2 ...(1 )
Además la ecuación de la circunferencia de radio r, centro c (h,k) es:
(.x - h ) 2 + ( y - k ) 2 = r 2 
Ahora derivamos la ecuación (2) se tiene; ( x - h ) + ( y - k ) y ' = 0 
Como en el punto p (a,b) es tangente a la recta y = 2x 
=* y '\x=a -^ entonces (a - h) + 2 (2a - k ) = 0 => 5a = h + 2k
h + 2 k 2 / -i\
a ----------- y b = —(h + 2k) — w)
5 5
Jy | O ^
Reemplazando (3) en ( 1) h2 = (— ------h )2 + ( —(h + 2 k ) - k ) 2
2 k -4 h ^ 2 ,2h - k i .... ,h~ = (----------)-+ (— _— )-, simplificando
5h +20kh — 5k2 = 0 => h 2 + 4 k h - k 2 - 0 => h = (y Í5 -2 )k ó => k = -
( x - h ) 2 + ( y - ^ — f = h2
7 5 -2
La expresión (4 ) es la ecuación de la fam ilia de circunferencias, para hallar la d mi 
diferencial, eliminamos el parámetro h de la ecuación (4) para esto derivamos:
( onceptos Básicos 17
h
2 ( x - h ) + 2 ( y — p -----) )7' = 0 despejando h tenemos:
V 5 - 2
h = {-̂ ^ reemplazando en (4)
V 5 - 2 + y ’
(y ¡5 -2 ) ( x + y y ' ) 2 f (^5 - 2)(x + yy ') n _ . (y/5-2 ) (x+ yy')^ 
l'̂ - i— J ' L 3̂ y— i— J \ i— /
S - 2 + y ' (V5 - 2)(v5 - 2+ y' ) V 5 -2 + y '
Simplificando se tiene: (a - (V 5 -2 )> ’) 2(1 + y ’2) = [(\¡5 - 2) (x + yy') ]2
I 7.2. KCUACIONES D IFERENCIALES DE PRO B LEM AS FÍSICOS.-
1 .as ecuaciones diferenciales de problemas físicos provienen de diferentes fuentes, tales 
como la mecánica, eléctrica, química, etc.
Ejemplos:
Si' sabe que los objetos en caída libre cercanos a la superficie de la tierra tiene una 
.itvici ación constante g. Ahora bien, la aceleración es la derivada de la velocidad y esta a 
u ve/, es la derivada de la distancia S. Luego, si se toma como dirección positiva la
d 2s
ilnación vertical hacia arriba, tenemos que la fórmula.— — = —g es la ecuación
dt~
tllli'icnciul de la distancia vertical recorrida por el cuerpo que cae. Se usa el signo menos 
|nii".(o que el peso del cuerpo es una fuerza de dirección opuesta a la dirección positiva.
I >Hii musa m de peso w se suspende del extremo de una varilla de longitud constante L. 
Suponiendo que el movimiento se realiza en un plano vertical, se trata de determinar el 
Alíenlo ck* desplazamiento 9, medido con respecto a la vertical, en función del tiempo t, 
(mu oiiNÍdcríi 9 > 0° a la derecha de op y 0 < 0o a la izquierda de op). Recuérdese que 
»'I iiit.'o s de un círculo de radio L se relaciona con el ángulo del centro 9 por la formula 
. - I II
d 2s , d 20
I lo lanío, la aceleración angular es: a = — — = L — --
dt2 dt2
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18 Eduardo Espinoza Ramos
por la segunda ley de Newton: F = nui = mL
d 26 
di2
©
En la figura vemos que la componente 
tangencial de la fuerza debida al peso w es mg 
sen 0, si no se tiene en cuenta la masa de la 
varilla y se igualan las dos expresiones de la 
fuerza tangencial se obtiene:
d 20
m L— — = - mg sen 6 
dt-
£ £ + í-se„f> = 0 
dt2 L
Una lancha que pesa 500kg. se desliza por un plano inclinado a 5o. Si la fuerza 
de rozamiento que se opone al movimiento es 20kg. y la resistencia de aire expresado en 
kilogramos equivale a 0.05 veces la velocidad en centímetros por segundo, hallar la 
ecuación del movimiento.
Solución
En la figura mostramos a la lancha sobre un 
plano inclinado; tomemos los siguientes 
datos:
F = Componente de peso en la dirección del 
movimiento.
Fr = Fuerza de r<//.amiento 
Fa = Resistencia del aire 
De acuerdo a la segunda ley de Newton se tiene:
Suma de fuerzas en la dirección del movimiento = (masa) x (aceleración)
Luego se tiene: F - FR - Fa = m.a ... (1)
donde F = 500 sen 5o = 43.6, FR = 20
< onceptos Básicos
Fa = 0.05v, m = siendo v = la velocidad, a = aceleración, m = la masa. 
981
ahora reemplazamos en la ecuación (1)
43.6-20-0.05v = 1^ f l entonces 23.6-0.05v =
981 981
... (2)
dv
como a = — que al reemplazar en (2) 
di
®
se tiene: + 0.05v = 23.6 que es la ecuación diferencial del movimiento.
981 dt
Considere el circuito simple conectado en serie que se muestra en la figura y que consta 
de un inductor, un resistor y un capacitor. La segunda Ley de Kirchoff dice que la suma 
de las caídas de voltaje a través de cada uno de los componentes del circuito es igual a la 
tensión E(t) aplicada. Si llamamos q(t) a la carga del capacitor en un instante cualquiera,
entonces la corriente i(t) está dada por i = — , ahora bien, se sabe que las caídas del
dt
voltaje son:
ó
En un inductor = L — - L — % 
dt dt~
En un capacitor = — q
c
En un resistor = iR = R
dq
dt
en donde L, C y R son constantes llamadas inductancia, capacitancia y resistencia 
respectivamente.
Pmi a determinar q(t) debemos por lo tanto, resolver la ecuación diferencial de segundo 
orden que se obtiene mediante la Ley de Kirchoff, es decir:
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20 Eduardo Espinoza Ramos
© Según la Ley de enfriamiento de Newton. la velocidad a la que se enfría una sustancia al 
aire libre es proporcional a la diferencia entre la temperatura de la sustancia y la del aire. 
Obtener la ecuación diferencial respectiva.
Solución
Consideremos los siguientes datos:
T = Temperatura de la sustancia enel instante t 
Ta = Temperatura del aire 
dT
— = La velocidad a la que se enfría una sustancia 
dt
dT
de la condición del problema se tiene: — = - k ( T —Ta), k ) 0
dt
que es la ecuación diferencial pedida donde k es la constante de proporcionalidad.
El signo negativo se debe a que la temperatura de la sustancia disminuye al transcurrir el 
tiempo.
EJERCICIOS PROPUESTOS.-
© Encontrar la ecuación diferencial cuya solución general es la familia de circunferencias: 
(a - a ) 2 + ( y - b ) 2 = r 2 en el plano xy, siendo a, b y r constantes arbitrarias.
Rpta. x y " - 2 n y + x y = \
© Hallar la ecuación diferencial correspondiente a la cisoides, y2
3X '
a - x
Rpta. 2 x 3y '= y ( y 2 + 3 x " )
© Hallar la ecuación diferencial correspondiente a las rectas con pendientes y la
2
intercepción con el eje x iguales. Rpta. y " .̂ xy ' -y
© Hallar la ecuación diferencial de la familia de rectas cuyas pendientes y sus
intercepciones con el eje Y son iguales. Rpta. ydx - (x + 1) dy = 6
Conceptos Básicos 21
( 5) Hallar la ecuación diferencial de la familia de rectas cuya suma algebraica de las
intercepciones con los ejes coordenados es igual a k. Rpta. ( x y '- y ) ( } ' ’- l ) + ky' - 0
(ÍT ) Hallar la ecuación diferencial correspondiente a las estrofoides y2 = +
a - x
Rpta. ( x 4 - 4 x 2y 2 — y A)dx + 4x i ydy = 0
( 7 ) Encontrar la ecuación diferencial cuya solución general es la familia de circunferencias
( x - a ) 2 + ( y - b ) 2 = r 2, de radio fijo r en el plano xy siendo a y b constantes 
arbitrarias.
Rpta. (1 + y'2 ) 3 = r 2y " 2
( Ñ) Encontrar la ecuación diferencial cuya solución general es dada.
a) y = x 2 + C , e x + C 2e 2x Rpta. y "+ y ' - 2 y = 2(1 + x - x 2)
b) y = C lx + C 2e~x Rpta.
OII1>+V,+
c) y = x + C¡e + C2f' ,l Rpta. v"+4y'+3y = 4 + 3x
d) y = C¡e2' cos3x + C 2e2t sen3* Rpta. y " —4y'+\3y = 0
e) y - Ae2x + Bxe2x Rpta. y" -4y '+4y - 0
f) y = e x (C, + C2 J e~x dx), Rpta. y" -2xy ' - 2y = 0
g) y = A e ^ + B e Rpta. 4x* y "+6x2 y ' - y = 0
2
f ex^
h) y - C , x .J— Vdx + C1x Rpta. y " - x 2y'+xy - 0
i) (ax + b)(ay + b) = c, a, b, c constantes arbitrarias. Rpta. ( x - y )y"+2y '+2y" 0
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Eduardo Espinoza Ramos
'y 2
j ) y = Cxeax cosbx + C 2eax senbx, a, b parámetro. Rpta. y " -2 ay'+(a + b )y = 0
k) y = A (eos x + x sen x) + B (sen x - x eos x), A, B constantes
Rpta. xy"-2y '+xy = 0
d^x o
1) x = A sen (cot + B), co un parámetro, no debe ser eliminado, Rpta. — — + a x - 0
dt
m) y = Aex+y + Be~x+y , A y B constantes arbitrarias Rpta. (y - l ) y ' '+y = (y - 2)y'~
n) y = A-Jl + x 2 +B x Rpta. (1 + x 2 ) y " + x y ' - y = 0
í ) Encontrar la ecuación diferencial que describa la familia de circunferencias que pasan por 
el origen. Rpta. ( x “ + y “ )y "+ 2 [y '2 + l ] (y - xy' ) = 0
10) Encontrar la ecuación diferencial de la familia de rectas que pasan por el origen.
Rpta. xy ' -y = 0
í l ) Determinar la ecuación diferencial de la familia de circunferencias que pasan por el
2 2
origen y cuyos centros están en el eje X. Rpta. 2xy y' - y ' - x
Halle la ecuación diferencial de la familia de circunferencias cuyos centros están en el eje 
Y.
Encontrar la ecuación diferencial de la familia de parábolas con vértice en el origen y 
cuyos focos están en el eje X, Rpta. 2xy' = y
14) Halle la ecuación diferencial de la familia de tangentes a la parábola y 2 - 2 x
Hallar la ecuación diferencial de la familia de circunferencias que tienen su centro sobre
el eje X. Rpta. y'2 +yy' '+1 = 0
Rpta. y '2 y ' " = 3y' y " 2
16) Hallar la ecuación diferencial de la familia de parábolas con el eje focal paralelo al eje X.
Conceptos Básicos 23
© Obtenga la ecuación diferencial de la familia de parábolas cuyos vértices y focos están en 
el eje X. Rpta. y y " + y " = 0
(Ts) Obtenga la ecuación diferencial de la familia de circunferencias que pasan por (0,-3)
y (0,3), y cuyos centros están en el eje X.
( j9 ) Hallar la ecuación diferencial de todas las circunferencias que pasan por los puntos
(2,2) y (-2,2). Rpta. (x 2 - y2 - 2 x y - 8 )— - ( x 2 - y 2 - 2 x y + 8) = 0
dx
( 20) Hallar la ecuación diferencial de todas las líneas tangentes a la curva y 2 = - x .
( 2T) Hallar la ecuación diferencial de todas las circunferencias tangentes a la recta y = -x
Rpta. ( x - y ) y " [2 —(x —y )y " ] = 2 y '[ l+ y '2 ] 2
( 22) Por un punto p(x,y) de una curva que pasa por el origen, se trazan dos rectas paralelas a
los ejes coordenados, las que determinan un rectángulo con dichos ejes. Hallar la 
ecuación diferencial de la curva, de modo que ésta divida al rectángulo formado en dos 
regiones, donde el área de la parte derecha sea el triple del área de la parte izquierda.
Rpta. 3xv' = y 1
(23) Hallar la ecuación diferencial de todas las tangentes a la parábolas x 2 = 2 y +1.
Rpta. 2xy '- y '2 - 2y -1 = 0
( 24) Hallar la ecuación diferencial de todas las normales de la parábola y 2 = x
Rpta. y ' (4 x - y '2 ) = 4y + 2_v'
Determinar la ecuación diferencial de todas las curvas planas y = f(x ) tal que la le> clin- 
incide en ellas, partiendo de una fuente puntual fija, es reflejada hacia un segundo punto 
'fijo. Suponer que los puntos fijos son (a,0) y (-a, 0).Rpta. xyy’2 í (x 2 - y 2 - a 2 )y' = xy
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24 Eduardo Espinoza Ramos
Hallar la ecuación diferencial de la familia de curvas que satisfacen la siguiente propiedad: 
“ El área de la región encerrada por la curva, los ejes coordenados x e y, y la coordenada
del punto p(x,y) de la curva es igual a ( x 1 + y ~ )" Rpta. 2yy’ + 2 x - y = 0
27) Hallar la ecuación diferencial de la familia de curvas que cumple con la siguiente 
propiedad: “ Si por un punto cualquiera de una curva de la familia se trazan las rectas\ 
tangente y normal a ella, el área del triángulo formado por dichas rectas con el eje y es
x2v
igual a — — , donde y0 es la coordenada del punto en que la tangente corta el eje y.
Rpta. y'2 (1 + x) — yy'+1 = 0
Hallar la ecuación diferencial de la familia de curvas que satisface la condición siguiente: 
“ Si por el punto p(x,y) de una curva, en el primer cuadrante, se trazan las rectas tangente 
y normal a ella, siendo T el punto de intersección de la tangente con el eje 0X y N el 
punto de intersección de la normal con el eje 0Y, entonces el área del triángulo TON es
xv
igual al — , donde 0 es el origen de coordenadas. Rpta. ( x 2 - y ~ ) y ' = xy
29) Hallar la ecuación diferencial de la familia de curvas que satisfacen la siguiente 
condición: “ Si por un punto cualquiera p(x,y) de una curva de la familia se trazan las i 
rectas tangente y normal a la curva, y si además A es el punto de intersección de la recta 
normal con la recta y = x y B es la intersección de la recta tangente con la recta y = x 
entonces el segmento AB tiene longitud V2 . Rpta. (y '2- l ) 2 = ( x - y ) 2(y l2+ l ) 2
30) Hallar la ecuación diferencial perteneciente a las cardioides r = a( 1 - sen 0)
Rpta. (1 - sen 0) dr + r eos 0 d0 = 0
(5 7 ) Hallar la ecuación diferencial perteneciente a la estrofoides, r = a (sec 0 + tg 0).
Conceptos Básicos
(32) Encontrar la ecuación diferencial de las siguientes soluciones generales:
v . senh x „ cosh x , „
a) y = A -------------------------- \-B-,A ,B constantes.
R
b) tgh(— + —) = y¡3 tg(— x + C ) , C constante.
4 2 4
/ 2 2 kc) ± ( x + c ) = ^k - y -karc.cosh(—),k fijo y c arbitrario
y
x —b
d). y = a cosh(------- ) ,a,b constantes arbitrarios.
a
e) y = C¡e ~x + C 2e2x + C 3xe2x, C¡, C 2 , C3 constantes.
© Encontrar la ecuación diferencial de la familia de circunferencias de radio I .
con centros en la bisectriz del primer y tercer cuadrante.
Rpta. ( x —y )2(l + y ' ) 2 = ( l + y ' ) ’
(34) Hallar la ecuación diferencial de todas las parábolas con eje paralelo al eje y, y
tangente a la recta y = x . Rpta. y '2 = 2yy"-2 .xy" + 2y,- l
(35) Hallarla ecuación diferencial de las curvas tales que la tangente en un punto cualquiera M 
forme un ángulo 0 con el eje 0X y que verifique 0-< ¡ )= ^ - siendo <)> el ángulo que OM 
forme con el eje OX.
(36) En la práctica, un cuerpo B de masa m que va cayendo (tal como un hombre que
desciende en paracaídas) encuentra una resistencia del aire proporcional a su velocidad 
instantánea v(t). Usar la segunda ley de Newton para encontrar la ecuación diferencial (li­
la velocidad del cuerpo en un instante cualquiera. Rpta. — + — v = q
dt m
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Eduardo Espinoza Ramos
Un circuito en serie contiene un resistor y un 
inductor, tal como se muestra en la figura. 
Determine la ecuación diferencial de la 
corriente i(t) si la resistencia es R, la 
inductancia es L y la tensión aplicada es E(t).
Rpta. L — + R i = E( t ) 
dt
Un circuito en serie contiene un resistor y un 
capacitor, tal como se muestra en la figura, 
encuentre la ecuación diferencial para la carga 
q(t) del capacitor si la resistencia es R, la 
capacitancia es C y el voltaje aplicado es E(t).
©
Cuál es la ecuación diferencial de la velocidad v de un cuerpo de masa m que cae 
verticalmente a través de un medio que opone una resistencia proporcional al cuadrado de
la velocidad instantánea?
„ dv k i 
Rpta. — + — v =, 
dt m
Ecuaciones Diferenciales de Prim er Orden 27
C A P I T U L O I I
2. ECUACIONES DIFERENCIALES ORDINARIAS DE 
PRIMER ORDEN Y DE PRIMER GRADO
A las ecuaciones diferenciales ordinarias de primer orden y de primer grado, 
representaremos en la forma:
F ( x , y , % = 0 
dx
... ( i)
La ecuación (1) nos indica la relación entre la variable independiente x, la variable
dependiente y, y su derivada —
dx
De la ecuación diferencial F (x , y .— ) = 0, despejamos la derivada — ; es decir en la
dx dx
forma siguiente:
dy
dx
= g ix ,y )
2.1. ECUACIONES DIFERENCIALES ORDINARIAS DE VARIABILI 
SEPARABLE.-
Si de la ecuación diferencial ordinaria de primer orden y primer grado que es:
dy
dx
= g (x,y), podemos expresar en la forma:
M (x) dx + N (y ) dy = 0 ...(2)
donde M es una función sólo de x y N es una función sólo de y, entonces a la ecuación 
(2) se le denomina "ecuación diferencial ordinaria de variahle separable" y la
solución general se obtiene por integración directa, es decir:
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28 Eduardo Espinoza Ramos
M (x )dx + N(y)dy = C
donde C es la constante de integración.
Ejemplos: Resolver las siguientes ecuaciones diferenciales:
, 2 2 \ y 2 2 rv( y~+xy ) — + x - x y = 0
dx
Solución
A la ecuación diferencial dada expresaremos en la forma: 
y 2 (x + \)dy + x 2 (1 - y)dx - 0, separando las variables
' - d y + X —- = 0, integrando se tiene: f—— dy+ f --- - C , de donde
1 J l - y J l + X
tenemos:
l - y l + x
( x + y ).(x - y - 2) + 2 Ln
l + x
l-y \
= k
( 2 ) x j l + y2 + y\l\ + x2y ’ = 0
Solución
A la ecuación diferencial expresaremos así:
xyfl + y2dx+ y\J\ + x2dy = 0, separando las variables
X̂ X— + -v ilv = 0, integrando se tiene: í M- . = + j ¿0. —
y f ^ x 2 ^ 7 7 ' + J V l + y2
= c,
donde tenemos Vl + x2 + y\Jl + y" = C
ex sec y dx + (\ + ex )sec y tg ydy = 0, y = 60° si x = 3
Solución
Ecuaciones Diferenciales de Prim er Orden
ex sec y dx + (l + ex ) sec y tg y dy = 0, separando la variable.
- — ~ + tg ydy = 0, integrando. í — + f tg ydy = C, de donde se tiene:
l + e J [ + ex J
l + e x
Ln{--------) = Lnk => l + e x = k eos y
eos y
Cuando x = 3,y = 60° => l + e3 => k = 2(1 + e3)
l + ex = 2(1 + e3) eos y 
J y Ln y dx + x dy = 0, y f x=, = 1
Solución
y Ln y dx + x dy = 0, separando las variables se tiene:
dx .dy n .
— + ---------= 0, integrando ambos miembros.
x yLny
f dx f dy ,
---- h — -— = C, de donde tenemos:
J x J yLny
Ln x + Ln(Ln y) = C Ln(x . Ln y) = C, Levantando el logaritmo: x Ln y = k 
Cuando x = l , y = l =* L n l = k => k = 0
x Ln y = 0 => Ln y = 0 =» y = 1 
© (xy2 - y 2 + x -l)d x + (x2 y — 2xy + x 2 + 2y ~ 2x + 2)dy = 0
Solución
( xy" - y 2 + x - l ) d x + ( x 2y - 2 x y + x " + 2 y - 2 x + 2)dy = 0 , agrupando
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( y 2 + l ) ( x - l ) d x + ( x 2 - 2 x + 2 ) ( y + \)dy = 0 , separando las variables
I.
3
©
©
©
——— ^ + ̂ - v = o, integrando ambos miembros 
x2 - 2 x + 2 y2 + l
í — — 1 '>dX— + f \ -- -̂dy = C, de donde 
J x ~ - 2 x + 2 J v2 + l
tenemos:
— Ln\x2 -2.v + 2| + - L «| y 2 + ll + are.tg y = C,
2 I 1 2 I 1
ln ((x2 - 2x + 2)( v 2 +1)) + 2 arctg y = C .
ln ((x2 - 2x + 2 )(y 2 + 1)) = C - arctg y , levantando el logaritmo
( x 2 - 2 x + 2 )(v 2 +1) = ke~2dTCtgy, de donde se tiene: .'. ( x 2 - 2 x + 2 ) (y ‘‘ + l )e~'sy = k
EJERCICIOS PROPUESTOS.-
Resolver las siguientes ecuaciones diferenciales.
Rpta. c tg 2 y = tg2 x + C 
cy
tg x. sen 2 y.dx + eos2 x.c tg y.dy = 0
xy - y - y
1 + y
/i 7 dy o 2 Vi + xr — = x y + x 
dx
Rpta. 2V14- Xs =3Ln(y + \) + C
e ? T ydx + e y- 2xdy = 0 Rpta. e4x+ 2 e2y= C
(x 2y - x 2 + y - l ) d x + ( x y + 2 x —3y — 6)dy = 0
Rpta. — + 3 x + y + L n ( x - 3 ) (y — 1 ) = C 
2
__ 2 _ _
( 6 ) ex+y sen xdx + (2y + \)e~y dy = 0 Rpta. e* (sen x - eos x ) - 2 e V = C
la laciones Diferenciales de Primer Orden 31
( j ) 3e ‘ tg y dx + (1 - ex )
® ey( ^ + l) = l
dx
sec' y dy = 0 Rpta. tg y = C ( l - e x )
Rpta. ln (ev -1 ) = C - ;
( >7) y '= l + x + y 2 + x y 2 Rpta. arc. tg - x - — = C
10) y -x y '= a ( í+ x y) Rpta. y :
a + ex 
1 + ax
( II) (1 + y2)dx = (y - j\ + y2)(l + x 2 f /2dy Rpta. Ln + y
y + VT V l + X2
+ C
©
0
©
©
©
(1 — y )e vy ’h— =— - = 0 
xLnx
e~y (1 + y ') = 1
ex- ydx + e y- xdy = 0
(1 + y + y 2 )dx + x ( x 2 -A )dy = 0
>’'= 10x+>’ , a > 0, a * l
dy x2
Rpta. C + — = Ln(Lux) 
y
Rpta. e x = C ( \ - e ~ y)
Rpta. e 2x+ e 2y= C
Rpta. ^Ln (^— ^ - ) + ~ a r c . t g { 2~ - ) = C 
° x" V 3 V 3
dx y (l + x )
Rpta. l0 v +10_;y= C
Rpta. 3y2 -21n(l + x 3) = C
('£)
Oj)
dy x — e x 
dx y + ey
dy _ ax + b 
dx ex + d '
a,b,c,d e R
Rpta. y 2 - x 2 + 2 ( e y - e X) = C
„ , ax b e - a d , , .
Rpta. y = — + ----- -— Ln\cx + d\ + k
c e
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dy __ ay + b 
dx cy + d
, a,b,c,d e R
„ cv ad —be T i , i ,
Rpta. X - — + -----5— Ln\ay + b\ + k
a a
2 )
22)
B
24)
y ( x 3dy + y3dx) = x 3dy
(xy + x)dx = ( x 2 y 2 + x 2 + y +1 )dy
3 2 x 2 + 2 y 2 , 3 - x 2 - 2 y 2 , „x e dx - y e dy = O,
xdy + \J 1 + y2 dx = O
dy _ (y - l ) ( x - 2 ) ( ; y + 3) 
dx ( x - l ) ( y - 2 ) ( x + 3)
Rpta. 3x2y — 2x2 + 3y2 = kx~y?l 
Rpta. ln (x2 +1) - y 2 - 2 j + 41n ¡ k(y + 1) |
Rpta. 25(3x2 - \ ) e 3*2 + 9 (5 y 2 + l )e~5 r = C
Rpta. x (y + y¡\ + y 2) = k
Rpta. (x - lX y + 5 )5 = k ( y - l ) ( x + 3)5
■y O n 9 "> 1 dy
x y - 4 x ~ = ( x y - - 9 y ) —
dx
Rpta. x + — Ln
4
x - 3
x + 3
= y + Ln
y - 2
y + 2
+ k
(x - y 2 x)dx + (y - x 2 y)dy = 0 Rpta. (x 2 — l)( v 2 -1 ) = k
&
32)
y2( \ - x 2) 2dy = aresenx dx en el intervalo -1 < x < 1 Rpta. 2y ’ -3 (arcsenx)“ - C j
xy
30) xydx + ( x 2 + l )e ' dy = 0
(x + l )(y - l)dx + (x - l ) (y + 1) dy = 0
Rpta. y = sen (In | x I + C)
Rpta. Lnyfx^ +1 + f ----di — C
Ja t
- x + y
Rpta. (a — 1 )(>• — 1 ) = ke 2
(ey +1) cosxdx + e y (sen x + l)<iy = 0 Rpta. (sen x + l ) ( e y +1) - k
33)
34)
2 d y , xy + y — = 6x 
dx
y Ln x . Ln y. dx + dy = 0
Rpta. x 2 + y + 12y + 721n ¡ 6 - y |= C
Rpta. Ln (Ln y ) + x L n x - x = C
licuaciones Diferenciales de Prim er Orden 33
35) (xy + 2x + y + 2) dx + (x~ + 2x) dy = 0
e y (1 + x ' )dy - 2x(l + e y )dx = 0
dy 1 + eos x
© dx sen' y
dy _ x2- x y - x + y 
dx x y - y 2
Rpta. -s/x1 + 2x(y + 2) — k 
Rpta. l + e y - C (l + x 2)
Rpta. 2y -s e n “ j - x - s e n x = C 
Rpta. y 2 = ( x - 1 )2 +k
(y>) xdx - 4 I - x4 dy = x2 V l + x4 dy
Jo) ( í + y2 )dx = (y- + y2 )(1 + j r Ÿ ' 2 dy
y y - sen x. e X + í V
Rpta. y = —
2 V 1 + x“
+ C
Rpta.
Vi
Ln
l + yji + y2
Rpta. 2 y = 2ex+~ ' (eos x - sen x ) + k
(■u) (4 x + xy )dx + (y + x~y)dy = 0
0 (x + Xyfy )dy + y j v d x = 0
Rpta. (1 + x 2 )(4 + y 2 ) = k
Rpta. — + ln xy = c
yjy
Rpta. x — 3x - 3y - 3 I n | 21
©
dy _ 3x2 - 6x~y2 
dX y _ P y
; y(3) = i Rpta. ( x 3- l ) 4 = k ( 2 y 2 - \ )
II. Encontrar la solución particular de la ecuación diferencial, mediante las condiciones
dadas:
( l ) sen 2x . dx + eos 3y dy = 0. y ( ~ ) = — Rpta. 2 sen 3y - 3 eos 2x = 3
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©
©
©
©
©
©
©
ío )
lJ )
15)
y' — 2y.c tg x = O, y (—) = 2
dv x x
dx y 1 + y
, y(0)= i
@ x (y 6 + l)dx + y 2( x 4 + l )dv - O, y(O) = 1
l-e o s 2 x , n ,n. „
----------- + y = O, y (—) = O
1 + sen y 4
y 2y ' - x 2 = O , y (-2) = -2,
x 'dy + xydx = x 2dy + 2ydx ,y ( 2 ) - e 
dy 3 , 2 -,-1/2
dx
y' sen x = y ln y , y (—) = e
(l + ex )y .y '= e x ,y(0) = 1
11) (xy +x )dx + (x y - y ) d y = 0 , y (0) = 1
1 2) ( 4 x + x y 2)dx + (y + x 2y)dy = 0, y (1) = 2
13) x d x + y e xd y - O, y (0) = 1
y*'v y '= x - 1, y (2 ) = O
y' + 6y. tg 2x = O , y (0) = -2,
Rpta. y = 2 sen x
Rpta. 3y2 + 2y3 = 3x2 +5
Rpta. 3are. tg x2 + 2are. tg y'1 = —
Rpta. V 2 sen x + sen y - eos y = O
Rpta. y = x
Rpta. xy = 2 ( x - l ) e - x
1/2Rpta. y = (3 - 2yl\ + x~ )“
Rpta. 2ey = V ë ( l + ex)
2 2Rpta. 1 + y = ----- j
l - x
Rpta. (l + .v2 ) (4 + y 2) = 16
Rpta. y = [2 (\ - x )e x -\\2
2 7
Rpta. ey = x - 2 x + 1
Rpta. y = -2 eos 2x
i.cuaciones Diferenciales de Prim er Orden 35
16) y ’ x ln x - y = 0, y (2) = Ln 4 Rpta. y = 2 Ln x
17) (1 + ex )yy '= e y , y (0) = O
-7 1 7
2ydx + x 'd y = - d x , y (— — ) = — 
Ln x 2
dr sen O + e sen 6 rt
— = -------------------- r ( - ) = O
dO 3er + e r cos 9 2
2(0 4dy + y dx - x~dy , y (4) = -1.
©
22) Hallar y si:
a) í ydx = K ( y 3- b i ) 
Ja
b) í ydx = K ( y - b )
J a
c) I* ydx = K ( y 2 —b2) 
Ja
d) f y2dx = K ( y - b )
Ja
e) f y2dx = K ( y 2 - b 2) 
Ja
f) í x2dy = x3( y - b )
J a
í
l + ex
Rpta. (1 + y)e y - Ln(------- ) + l - x
2
Rpta. 2 y + 1 = 2ex
Rpta. 2aretg(er) + arctg(eos0) = -
Rpta. (2 + x )y -3 x + 6 = O
^ Í ) dy = x (2ydx - xdy), y ( 1 ) = 4 Rpta. y = 2x2 + 2
g) I x6y2dx = x7(y 2 - b 2)
Rpta. 3Ky~ -2 x = 3Kb - 2 a
(x-a)
Rpta. y = e K
Rpta. y = ( 2 K y \ x - a ± 2 K b ) 
Rpta. y ( x - a ----- ) + K = O
Rpta. x - a = 2/nn(—)
b
Rpta. ( 2 y - 3 b ) x 2 = - a 2b
Rpta. (6 y2 - I b 2 )x 6 + a (' b 2 = O
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KCUACIONES DIFERENCIALES ORDINARIAS REDUCIRLES 
VARIABLE SEPARABLE.-
I as ecuaciones diferenciales de la forma siguiente:
... (1)— = f {ax+by + c) 
dx
donde h, I' y c son constantes, no son de variable separable.
I’ai.i resolvei oslas ecuaciones diferenciales, se transforma en una ecuación diferencial de
variable separable, mediante la sustitución; z = ax + by + c, de donde — = a ) j
dx b dx
que al reemplazar en la ecuación ( 1 ), se obtiene una nueva ecuación diferencial, que es de 
variable separable.
1 dz dz • 1
es decir: — (— — a) = f ( z ) , de donde — = a + bf (z ) , separando la variable
b d x dx
dz
■ dx ecuación de variable separable.
a + b f ( z )
Ejemplos: Resolver las ecuaciones diferenciales siguientes:
( x + y ) 2y ' = a 2
Solución
dy dz
Sea z = x + y => — = — -1, reemplazando en la ecuación diferencial se tiene: 
dx dx
Z2 (— -1 ) = a2, separando la variable - ^ = dx, integrando ambos miembros.
dx z + a
r zrdz f
J z2 + a 2 J dx + C => z - aarc. tg(—) — x + C , de donde a
x + y y
x + y -a .a rctg (------ ) = x + C, simplificando se tiene: x + y — atg(— + k)
a a
I . mu iones Diferenciales de Prim er Orden 37
( T ) ÿ = eos“ (ax + by + c ) , a , b constantes positivas y diferentes.
Solución
Sea z = ax + by + c => — = a + by\ de donde y ' - —( - - a ) , reemplazando en la
dx ’ b dx
1 dz , 2 di , ■y
ecuación —(------ a) = cos z => — = ci + bcos z ,
b dx dx
dz
separando las variables se tiene: — ------— = dx, integrando se tiene:
o + b eos” z
í ----- ̂ = [dx + k => f
J a + b cos“ z J J
dz
- X + k
a sen" z + {a + b) eos" ;
1 f sec zdz , 1 a
- I -------------- r - x + k => , i; ■ rarctg --------tg(ax + by+ c ) = x + k
a j 2 , "tg" z +
a
a + b yja(a + b) V a + b
( x + y ) "
( x + y ) n + ( x + y ) 1’
Solución
dz — 1
Sea z = x + y => y ' = --------- 1, reemplazando en la ecuación diferencial se tiene:
dx
dz zm dz zm
----- 1 +1 = ---------- => — = — ::------- , separando las variables
dx zn + z p dx z" + z p
zn + zp
--------- d z -d x , integrando se tiene:
7n 7 P r n - m + l 7 p - m + i
-dz = I dx + Ç => ——------ 1- —----------= x + C
n —m + 1 p —m + l
(x + y ) " m- \ + ( x + y ) p—m+1
n - m +1 p - m + l
■ x + C, n - r n ^ - X , p — m # — I
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Solución
d
A
' ivemplii/ando en la ecuación diferencia dada.j
' >
d;(v „■)
— [ *— + * „ ■ ' simplificando : 5</r = «.v</.v
x x i x
,3 ¿
integrando se tiene: - y = cr — + C => 2x3 v3 = 3a2 x 2 + K
(ln x + v 3 )dx - 3xy1 dv = 0
Solución
Sea z — Lnx + y => —— — — t-3v".3’ ’ , de donde 3xy~\' = x — — 1, reemplazando en la i 
dx x dx
ecuación diferencial se tiene: z — ( x ----- 1) = 0 => (¿ + 1) — x — = 0, separando las]
dx dx
variables. — - - ^ - = 0, integrando se tiene: Ln x - Ln(z + 1) = Ln C =í> x = C ( z + l ) l
x z + 1 a
z + 1 = kx => ln x + y 3 + l = fcc donde k = — y 3 = /fcx-ln x -1
c
(6x + 4y + 3) dx + (3x + 2y + 2)dy = 0
Solución
La ecuación diferencial expresaremos en la forma: (2(3x + 2y)+3)dx + (3x+2y + 2)dy = 0 
Sea z = 3x + 2y => dz = 3 dx + 2 dy => dy = ^ ( d z - 3dx)
reemplazando en la ecuación diferencial {2x + 3)dx + (z + 2) (— — = 0
2
1 1 naciones Diferenciales de Prim er Orden 39
z + 2
simplificando y separando la variable se tiene dx + ------ dz - 0,
z
integrando ambos miembros z + 2 L n z + x = Cde donde:
4x + 2y + 2Ln (3x + 2y) = C
( 7) eos (x + y)dx = x sen (x + y) dx + x sen (x + y)dy
Solución
Sea z = x + y => dx = dz - dy , reemplazando en la ecuación diferencial se tiene: 
eos z dx = x sen z dx + x sen z (dz - d x ), simplificando y separando la variable.
— = tg z dz integrando se tiene: .\ x eos (x + y) = C
x
EJERCICIOS PROPUESTOS.-
Resolver las siguientes ecuaciones diferenciales:
(7 } — = eos ,(x + y) Rpta. y = 2 arc.tg (x + C) - x
dx
© y = s e n 2(x->> + l) Rpta. tg (x - y + 1) = x + C
® dy x + y , ,— = --------—- Rpta. y + Ln | x + y + 1 | = x + C
dx x + y + 2
( 4) / ln | jc -y |=l + ln| x - y | Rpta. (x - y) Ln | x - y I = C - y
(7 ) y ' = ( x + y ) 2 Rpta. x + y = tg (x + C)
( ) (x + y - 1 )dx + (2x + 2y - 3) dy = 0 Rpta. x + 2y + Ln I x -+- y - 2 | = (
(? ) ( l + x 2y 2)y + ( xy -1 )2 at' = 0 sug : xy = z Rpta. y2 =ke xy
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40 Eduardo Espinoza Ramos
J ) (x6 - 2x5 + 2x 4 - y 3 + 4x2y)dx + (xy2 - 4x3)dy = 0 ,
sug : y = xz Rpta. - — x2 + 2x + -^-r- - — = C 
3 3x x
Rpta. ( y - x ) 2 + l0y — 2x = C
1(0 VíJ '/v dx + ( V: - 2 x e x' r )dy = 0 Rpta. \ny + e y = C
© v'= sen(x- y)
V — X 71
Rpta. x + C = ctg ( - + —)
12) y'=(8jc + 2v + i r Rpta. 8x + 2y + 1 = 2 tg (4x + C)
&
14)
( x 2y 3 + y + x - 2 ) d x + ( x 3y 2 + x)dy = 0 Rpta. 3x2 —12x + 2x3y 3 +6xy — C
( l - x y eos xy)dx - x eos xy dy = 0 Rpta. Ln x - sen xy = C
15} [ x2 sen (-^ )-2 ycos (~ --)]í¿Y + xcos(-;y )dy = 0 Rpta. a-sen(-^-) = C
e yy’= K ( x + e y) - i sug: Z = x + e y Rpta. y = \n(Çe - x )
17) x2yy' = - t g ( x 2y2) - x y 2 sug: z - x 2y 2 Rpta. sen(x‘’ y ~ ) - k e x
y'= ax + by + c , a, b, e e R Rpta. b(ux t by+ c ) + a = ce
bx
( x 2y 2 + l )dx + 2xzdy = 0 Rpta. — ---- h — Ln x = C
l -x y 2
20) (xy-2xy\n~ y + y ln y)dx + (2x~ ln y + x)dy = 0
sug:z = x Ln y Rpta. 2x2 + (2 x ln y + l ) 2 = C
i i unciones Diferenciales de Primer Orden 41
®
©
®
(i? )
(2x + 3y - l)dx + (4x + 6y - 5 ) dy = 0 
(2x - y)dx + (4x - 2y + 3) dy = 0 
(6x + 3y - 5)dx - (2x + y) dy = 0
Rpta. x + 2y + 3 Ln (2x + 3y - 7) = C 
Rpta. 5x + lOy + C = 3 Ln | 10x-5y+ 6 I 
Rpta. 3x - y = C + Ln (2x + y - 1)
(x y + y x' + x 5y + x y5 + y 7 + y5 ) d x - ( x 4y 3 + x 6y + xy6)dy = 0
Rpta. —— h x ----- l— —^ T + - + ̂ T = C
3 2x 2x y 3y
Mediante una sustitución adecuada reducir la ecuación diferencial.
p (xmy n )ydx + Q ( x my" )xdy = 0, a una ecuación diferencial de variable separable.
(2 + 4x2-yjy)y dx + x3^[y dy = 0 
_y(xy +1 )dx + x(l + xy + x 2y 2 )dy = 0
(JH) ( y - x y 2) d x - ( x + x 2y)dy = 0
Rpta. x y 2 = C
Rpta. ~IXZ..+ 1 - UiKy
2x-y2
Rpta. L n ( - ) - x y = C
y
(i'>) { y - x y 1 + x 2y3 ) d x + { x 3y 2 - x 2y)dy = 0 Rpta. 2\nx + x 2y 2 - 2 x y - K
dy 1 + xy'
— = ----- t— sug: x + y = u, x v = v
dx 1 + xJ y
dy ey
dx 2y — xey
dy
© ~ r = ts (x + 3?)dx
1dy_ _ _____________
dx Ln( 2x+y+3 )+ l
Rpta. x~y - \ = K ( x + y Y
Rpta. y 2 = x e y + C
Rpta. x - y - Ln |sen (x+y)+ cos(x+y)|= C
Rpta. (2x + y + 3) Ln 12x+y+3 I = x + C
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42 Eduardo Espinoza Ramos
—- = jr2 + y - l , sug : z = x2 + 2.x + y Rpta. 2x + x 2 + y + \ - K e x
<l\
( 35) (* v V ( ' xy, sug : x = uy Rpta. 2y5 = - 3 x 2 + Ky2
dx
( ( tx ,’y t l)(U + (3x • 2y + 3) dy = O Rpta. 5(x+y + C) = 2 Ln |15x - lOy + 11’
{ \ Í ) v* \ l ) l ' { \ > 2 y ) Rpta. 4y - 2x + sen (2x + 4y) = C
3x) v’ \¡2\-t 3v Rpta. 6^2x + 3y-4Ln (31/2x + 3y + 2 ) -9 x - C
39) y ’ = y + sen x - eos x, sug. z = -\Jy + sen x Rpta. Ĵy + sen x = — + C
40) y jx+y + ly ' = y j x + y - l
4x + C; u = x + yRpta. u2 + 2u - u\lu2 -1 + Ln u+\[u2 - 1
© (x + v - 2 + —)dx + (2 - x - y )dy = 0X
Rpta. 2 ln x - 4x + 4y - (x + y )2 = k
© (2x — 2y + xex )dx — (2x — 2y — l)dy = 0 Rpta. ( x - l ) e x + ( x - y 2) + y = C
© [sen x - tg (x -2y)] dx + 2 tg (x - 2y) dy = 0 Rpta. - eos x + Ln cos (x - 2y) = C
© (1 — xy + x 2y 2)dx + ( x 3y — x~)dy = 0 Rpta. 2 lu x + x 2 y 2 - 2xy = C
@ (y 5 a re . s e n ---- y4 a re . tg y[x)dx + dy = 0
V 1 + x
1— /— 1--- y — 1 6y~ + 3 y + 2
Rpta. v x arc.lg V x - ¿ « v i + x + Ln(~------ ) + —------ :------- = C
y 6 y
46) 2yy'= y 2 + x 2 -2 x Rpta. y 2 = c e x - x 2
I t mu iones Diferenciales de Prim er Orden 43
© y'+ sen 2 (x + y) - 0 Rpta. tg (x + y ) = x + C
y '= ( x + y ) ln ( x + y ) - l Rpta. ln |x+ y\ = cex
( l'j) 2(x2y + yj\ + x4y2 )dx + x3dy = 0 Rpta. x2 (x 2y + /̂l + x4 y 2 ) = C
® y2arc. tg x + y3arc. see V x2 +1 + — = 0dx
(M ) xy(xdy + y dx) = 6y3 dy , cuando x = 2, y = 1 sug. z = xy Rpta. y 2(x 2 - 3 y 2) :
( Í í ) x 2 ( x d x + y dy) = ( x 2 + y 2) d x , cuando x = 1, y = 2
sug. z = x 2 + y 2 • Rpta. (x 2 + y 2 )(10 -9x ) = 5x
(v i ) dx + dy = (x + y)(l + — )2 (x dy — y dx)
x
V o
sug. z = x + y, co = — Rpta. (2;y+ cx)(jc + y) + x = 0
x
(x2 + y 2 )(x dy + y dx) - xy(x dy + y dx) = 0
sug. z = x 2y 2, © = xy Rpta. x 2y 2 = C (x 2 + y 2)
55) v 2(x 2 + 2 )d x + (x 3 + v 3) (y d x - x d y ) = 0 Rpta. —r — — + - L n x = C
^ ' x y 2x2
(56) (6x - 3y + 2)dx - (2x - y - 1) dy = 0 Rpta. 3x - y + C = 5 Ln | 2x - y + 4 |
(57) — = (x + y - 3 )2 - 2 (x + y - 3 ) Rpta. -----------= x + C
dx x + y — 4
(58) ^j- = —2 + e2x~y+l Rpta. x + e~2x~v+I = C
™ dy 2 x -3 y + 4 1
x dy = y (xy + eos 7i) dx 60 — = ( -------------- )
dx 3 .v -2 y - l
1 x y2
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61) (1 - x y)dx + x ( y - x ) d y = O sug. z = x - y Rpta. y -2 x y + 2 x ~ + — = k
62) y ' = ( 8 x + 2 y ) ¿ +2(8x + 2y) + l Rpta. are tg (4x + y) = 4x + k
2.3. OTRAS ECUACIONES DIFERENCIALES ORDINARIAS.-
Resolver las siguientes ecuaciones diferenciales 
Q co sv '= 0
Como co sy '= 0
Solución
n
y ’ = arccosO = — (2 n +1)
9
dy K K
— = —(2rc + l) => dy = — (2n + \)dx, integrando
M i(2n + X )dx+K , de donde se tiene: y = — (2 « + l)x + K, n e z
Solución
dy
e y = 1 , tomando logaritmo se tiene y ’= 0 , — = 0 => y = C, C constante
dx
ln y ’ = x
Solución
ln y '= x => y’= e x => dy = exdx
integrando j d y = j e xdx + C de donde se tiene: y - e x + C
2 , , o 167Tx y cosy + l = 0, y —>-— - ; jc —>+°°
Solución
I i unciones Diferenciales de Prim er Orden 45
x ' y 'cosy + 1 = 0 => cos y. y '+ — = 0 de donde cosy.dy + ~ = 0, integrando
CD
CD
CD
CD
eos ydy+ | = c de donde se tiene: sen y - — = C , como y —> cuando x
n 16/T 1 16 7T
C = s e n — -, por lo tanto: sen y — = sen (----- )
3 x 3
Solución
Como t g y '= x = » y' = aretg x + n n , n e z
dy = (arc.tg x + n n) dx, integrando J dy — j* (are. tg x + hk )dx + C de donde se tiene:
1 2
y = x are. tg x - — Ln( 1 + x ) + nK x + C
EJERCICIOS PROPUESTOS
Resolver las siguientes ecuaciones diferenciales.
e y = x Rpta. y = x (Ln x - 1) + C
tg y ' = 0 Rpta. y = 7t n x + C
e y = e Ay y' + 1, y es acotada para x —> + °° Rpta. y = 0
sen y = x Rpta. y = x arc. sen x - V l - x 2 +nnx, n e z
<D
CD
x2 v '+cos2v = 1, y —> 1^1, cuando x —> +<*> Rpta. y = arc.tg (— + - j= ) + 3;r 
3 x V 3
(x + l )y '= y - 1 , y es acotada, para x + °° Rpta. y = 1
y '= 2 x (J t+ y ), y es acotada, para x » Rpta. y = -n
+oo
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""s o 1 9
K ) x v ’ -s e n y = l , y - » 5 n, x -> Rpta. y -2 a r c . t g (1-----7 ) + —^
' 2x~ 2
”9 ) y = ln(— ) Rpta. y = - Ln (C - x)
•—/ rlrdx
r—\ 7 1 -, 7
(l + x~ )y '— cos“ 2;y = 0, y — 7r, x —>
„ 1 n 7
Rpta. y = — are. tg (— harc. tgx ) + —7T 
2 2 2
2.4. ECUACIONES DIFERENCIALES ORDINARIAS HOMOGÉNEAS.-]
a. Fundón Homogénea: Diremos que la función f (x,y) es homogénea de grado
k x e y, sí y solo si, cumple con la condición siguiente:
f ( k x , Xy) = l k f ( x , y)
Ejemplo: Determinar cuales de las siguientes funciones son homogéneas.
T ) f ( x , y ) = x 2y - 4 y 3 es homogénea de grado 3 en x e y
f ( x , y ) ~ y 2 t g A es homogénea de grado 2 en x e y.
^ y
3 ) f ( x ,y ) = l jx i - y 3 es homogénea de grado 1 en x e y
x2 - 2
'4 ) f ( x ) = —----- — es homogénea de grado cero en x e y
xy
/ (x, y) = x 2 + sen x.eos y , no es homogénea. 
f ( x , y ) = ex , no es homogénea.
b. Ejercicios Propuestos:
Determinar si las siguientes funciones son homogéneas o no.
I rnaciones Diferenciales de Prim er Orden 47
( 7 ) f ( x ,y ) = e y 
( 5 ) f(x ,y) = x - 5y + 6
2 2 yx + xy
3x - 4_v 
( T ) f(x ,y) = x Ln x - y Ln y
© / (x, y) = (x2 + y2) 2
Ç4) f ( x , y) = xsen— - ysen
x
© / (x .y ) = x3- x r + y3
8 ) f(x,y) = x Ln x - x Ln y
2x
Ç9) f ( x , y) = (x 2 + y2 ) e y + 4xy 10) f ( x . y) = x arctg(—) + y arctgC— )
c. Definición:
Diremos que una ecuación diferencial ordinaria de primer orden y de primer 
grado de la forma:
M (x,y) dx + N (x,y) dy = 0
es homogénea si M y N son funciones homogéneas del mismo grado en x e y. 
Ejemplo: Las siguientes ecuaciones diferenciales ordinaria son homogéneas.
( 2 ) x — = y + 2xe x 
dx
( T ) ( x 3 - y 3) d x + y 2xdy = 0
( 3 ^ (x3 + y2\¡x2 + y2 )dx — xyyjx2 + y2dy — 0
(4 ) (y]x2 - y2 - y arcsen(—) )dx = xcos(—)dy
' x x
d. Solución de una Ecuación Diferencial Homogéneas.
Consideremos una ecuación diferencial ordinaria homogénea.
M (x,y) dx + N(x,y)dy = 0 . . .d )
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entonces: M(À, x, Xy) = XK M (x,y) y N(A.x, Ày) = ÁK N(x,y) ... (2)
esto es porque la ecuación diferencial (1) es homogénea, haciendo; A - — en la
ecuación (2) se tiene:
M ( l , - ) = 4 r M U , v ) 
X X
M (x , v ) = xkM ( 1,—)
X
M ( x , y ) = x KM ( l , —) - x KM(\,u) = x Ky/(u), donde m= —
es decir: M (x , v) = x K(p(u) , u — — 
x
N ( l tL ) = - L . N ( x , y ) => N ( x ,y ) = x KN ( l A
X X
N(x , y) = x K N ( l , ( —)) = x KN(\,u)= x k N ( 1 , u ) = xKy/(u) , « = ^
x x
es decir:
como
N(x , y) = x K\\f(u) , u = —
(3)
(4)
(5)y = ux => dy = udx + xdu 
reemplazando (3), (4), (5) en (1) se tiene: 
x k<p(w)dx + x K \\i(u)(u dx + xdu) = 0, simplificando
(p(u)dx + y fu) (udx + xdu) = 0, agrupando y separando la variable se tiene:
— 4------ -̂--------- du - 0 , que es una ecuación diferencial de variable separable.
x <p(u) + u\¡/(u)
Análogamente se hace para A - — , u = —
y y
I i naciones Diferenciales de Prim er Orden 49
e) Ejercicios Desarrollados
Resolver las siguientes ecuaciones diferenciales.
( l ) ( x 2 +3xy + y 2)dx~ x 2dy = 0
Solución
Sea y = ux => dy = udx + xdu, reemplazando en la ecuación diferencial.
( x " + 3x "y + x 2u 2) d x - x 2(udx + xdu) = 0 , simplificando
2 7 -3
x (u~ + 2u + l )dx- x~ du = 0 , para x ^ 0 se tiene:
(.u 2 + 2u + 1 ) d x - x d u = 0 l de donde separando la variable — ----- - = o, integrando
x (u + 1)2
se tiene: |— - | — - U l = C. de donde ¿ hx + —-— = C
(u + 1)~ v + x
Solución
A la ecuación diferencial dada expresaremos así: 
( y + \]y2 - x 2 )dx - xdy = 0
Sea y = ux => dy = udx + xdu ... (2)
i
reemplazando (2) en (1 ) se tiene:
(ux 4- V 2 2 ?u x - x )dx- x(udx + xdu) = 0, agrupando se tiene:
xyju2 - W x- x2du = 0, para x * 0 y además u * ±1, se tiene: — — O.
* Vm2-1
f dx f í/m t ,
integrando J ----- j -j - - -----= k , efectuando y simplificando: 2Cv = C " x +1
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integrando J*— + j" Ln(u)du = C, 
efectuando y simplificando (x - y) Lnx + y Lny = Cx + y
y y
(x - v arctg(—) )dx + x arctg(—)dy = 0
x x
Solución
Sea y = u x => dy = udx + xdu, reemplazando en la ecuación diferencial se tiene: 
(x - ux arctgu)dx + x arctgu (udx + xdu) = 0,
dx
simplificando y separando las variables se tiene: — + arctg u du - 0, integrando
Jf+J°rctgudu = LnC => Lnx + uarc. tgu— Ln(\ + u~) = LnC* ’ '!(1 +iC '
2 , „ 2y y v + y -)
Como u = — entonces 2y.arctg(—) = a luí------- — )C
x x X
< - \ I ii y f y I,n x)dx + x(Ln y - Ln x)dy = 0
Solución
\ l.i ct nación diferencial podemos escribir en la forma:
(< v ln( ' ))d\ i » ln( - )dv = 0 ... (1)
i x
Se ¡i y iis ;• dy udx f xdu ...(2 )
reemplazando (2) »mi { I ) se tiene:
( x ux I .miHix + x Ln(u) (udx + xdu) = 0, agrupando y simplificando
dx + x Ln(u)du = 0, separando la variable: — + ln u du = 0,
x
I ( ilaciones Diferenciales de Prim er Orden 51
©
xey dx+ yexdy = 0
Solución
Sea y = ux -̂ > dy = udx + xdu, reemplazando en la ecuación diferencial dada se tiene: 
i i 
xeu dx + uxeu (u dx + x d u ) = 0 agrupando y simplificando ( eu + u 2eu )dx +xue“du - 0.
separando la variable.
dx ue"du n ,
---- 1- ----------— = 0, integrando. Lnx -
x 1
eu + u 2e"
r te' dt
~ia ’ ,
e' + t 2e'
como u = —
x
entonces Lnx :
f.t te'dt
U 1 2(
e1 + r e
y y y( y cos(—) + x sen(—))dx = eos (—)dy 
x x x
Solución
Sea y = ux => dy - udx + xdu, reemplazando en la ecuación diferencial dada se tiene: 
(ux eos u + x sen u)dx = x eos u (u dx + x du).
Agrupando y simplificando, se tiene: sen u dx = x eos u du. separando la variable 
dx
■ = c tg u du integrando• Jf-Jc tgudu + Lnk => Lnx = Ln sen u + Lnk
y yx = k sen u, como u = — => x = k sen —
,f. EJERCICIOS PROPUESTOS.
I. Resolver las siguientes Ecuaciones Diferenciales.
( T ) (4x2 + xy - 3y 2 )dx + (-5 x 2 + 2xy + y 2 )dy = 0
2,
lux + —ln 1 - 1 + —ln 1 - 2 - — ln l + 2
3 X 4 X 12 X
= c
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ih y ( 0( v /-v)
</> v (p'(y/x)
v.v ' 2 (y -Jxÿ) 2x2Rpta. 16xy = (y + 4x — ex )
( a cose c ( - ) - y )dx + a dy = 0
A
Rpta. In kx = cos(—) 
x
xy ' - y + 2xe x Rpta. ln(x~k) = ex
y ydy = ( ---- cos ec~ —)dx
x X
Rpta. 2 y -x sen (— ) + 4x\nx = kx
x
2(2x~ + y )d x -xy d y = 0 Rpta. x 4 = c 2(4x2 + y 2)
x~y '—4x + lxy + 2yi Rpta. x " ( y + 2x) = c (y + x)
y dx = ( x + y jy 2 - x 2 )dy Rpta. arcsen(—) = In(Ay) 
y
dy y(2x3 y3)
dx x(2x -3 ,y )
Rpta. y3 = exe 3 v
x dy - y dx = yjx2 + y2 dx Rpta. v + \Jx2 + y2 = CX
y ( x ¿ + x y - 2 y ¿)dx + x (3y¿ - x y - x ¿)dy = 0 Rpta. 2.v2 , ( - ~ ) + 2xy + x¿ - c y 2
x
v2 _ ,.„2
xy~dy + (x 3 - y 3 )dx = 0 Rpta. y 3 = -3 x 3 ln x + ex3
(6x2 - 7 y 2)dx -\4xydy = 0 Rpta. 2x3 - 7 xy2 = c
.V =■
2 xy
3x - y2
Rpta. c (v 2 - x 2) = y 3
I cuaciones Diferenciales de Prim er Orden 53
©
©
©
©
2 2 xy =yjy - x Rpta. y + ̂ /y '2 - x2 = ex3e
y(y+-v/y2-jc2 ).
OA + 2fecy + cy2+y'(fox2+ 2cxy + / y 2) = 0 Rpta. f y3 +3cxy2 +3bx2y + ax = k
dx + (2^/Ây - x)dy - 0
( x j x 2 + y2 - y2)dx+ xydy = 0
Rpta. — + Lny = c
Rpta. x Ln\x\ + y fx ^ + y 2 = ex
©
(x + (x— y)ex )dx + xex dy =0
y v(x + y sen(—))dx - x sen(—)dy = 0
Rpta. x(l + ex ) = k
Rpta. ln x + cos(—) = c 
x
© x3y'= y 3 + 3xy2 +4x 2y + x3 Rpta. y = y[c — 2Lnx
(2xy + x 2)y '= 3y 2 +2xy Rpta. y 2 +xy = cx3
dy y , y . — = — + sen(—)
dx x x
Rpta. cosec(—)-ctg (—) = kx
2xy ' (x2 + v2) = y(y2 + 2x 2) Rpta. y“ = exe
Ih) x y'= 3(x" + y “ )arctg( ' ) + xy Rpta. y = a tg(fcc )
©
@
xy2dy—( x 3 + y 3)dx = 0
v dy y
x sen(—) — = y sen(—) + x 
x dx x
Rpta. y 3 = x 3(31nx + c)
Rpta. cos(—) + ln(cx) = 0 
x
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y2dx + ( Xyj y2 - x 2 - xy)dy = O Rpta. y 2( x - 2 c ) + c 2x = 0
2 ^ & + ( y , - ^ y ) = 0 
dx
Rpta. xy2 = c (x 2 + y 2)
x 2y '—y 2 + xy = x 2 Rpta. y - — :-------vx
c - Lux
x 2_v' = y 2 -t-3xy + 2x 2 Rpta. y = x tg (Ln x + c) - x
y y y v(xsen(—)- y c o s (—))dx + xcos(—)dy = O Rpta. xsen(—) = &
X X X X
V\Jx~ + y2 dx - x (x + yjx1 + y2 )dy = O Rpta. ex - -<jx2 + y~ = xLn(y¡x2 + y2 - x)
x — = y(ln v - ln x ) 
dx
Rpta. ln(—) = 1 + cx
x
y dx + x(ln(—) - 2)dy = O
x
Rpta. y - c (l + Ln(—))
y
y y y y y(xcos(—) + ysen(—))y dx + (x cos(—) - y sen(—))x dy = O Rpta. xycos(—) = c
X X X X X
L 1
( x + ye x )dx - xe x dy = O Rpta. y = x Ln (Ln |x| + C)
y (ln(—) +1 )dx - x ln(—)dy = O Rpta. lnx — ln2(—) = c
1 x
dy _ x2 - y2
x + y
f (u2+l)du
Rpta. ln x + c = I — — — —, u =J 1 —u-u -u
(x3 + y2*Jx2 + y2 )dx -x ys jx2 + y2dy = O Rpta. (x 2 + y 2 ) J/2 = x^LnÇkx3)
~ = -— + are.ig (y/x) 
dx x
Rpta. ln x = | —— — + c , u = — 
arctg u x
1 1 naciones Diferenciales de Prim er Orden 55
(■11) yjxy dx = ( x - y + Jxy)dy Rpta. y J x - y ( J x - J y ) = k e ^ ~ ^
0 * ) - CJ l + 3-x ^ y = 0 Rpta. ( x 2 + y 2) 2 = k x y
y d x 3y — x
® v d\ V —sen(—)
x cos(—) ——- — y cos(—) — x Rpta. x = ke x
x dx x
(47) Î È L ^ ' - r y . - y ’ o R p ta . x ‘ + y ' = * y < , + y + c )
ydx 2y - x y - x
( J x 2 - y2 - y arcsen(—))dx + xarcsen(-)dy = O Rpta. lnx + ̂ -(arcsen(-))2 = k
x x 2 x
® (x tg ( - ) + y )d x -x dy = O Rpta. sen (-) = kx
x ’ X
(«;(») (y ¡x+y + s ¡ x - y ) d x + ( s f x - y - 4x+:y)dy = o Rpta. yjx+y + y ¡ x - y = c
® (2xtg —+ y)áx = x dy Rpta. x 2 = £ s e n ( - )
x ' x
(52) (4x2 + 3xy + y 2)dx + (4 v 2 + 3xy + x 2)dy = O Rpta. ( x 2 + y 2) 3( x + y ) 2 = c
53) x — —y = ---------- Rpta. — arctg(—) = Lnksjx~ + y"
dx ' arctg(—)
54) xy'ln — = x+ yln — Rpta. lnx = ^(ln(^ )-l) + c
55) ( x + sen(—) )dx —x sen(— )dy = O Rpta. lnx + cos~ = c
56) y (x 2 + xy -- 2 y 2 )dx + x(3y 2 — xy — x 2 )dy — O Rpta. 2 y : ln (- ~ ) + 2xy + x : = cy2
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» < ' J ' 1 < ti/' \\'\].\ + y'dy - O Rpta. (x2 + y2) 2 = x 3 lncx3
V V 2 V y 9 y
i '"t'ii ' ■ > ln veos — -ysec — )dx + (xeos — + xsec —)¿y
dy x +xy + y
dx
)dy = 0
? y v Rpta. j r (sen — 4- tg— ) = c
Rpta. arctg— = ln x + c
x
x(x2 + y ” )dy = y{x2 + y j x 2 + y2 + y2 )dx Rpta. y + y¡x2 + y2 =
J^+y2
cx2e y
xy}dy = (2 y 4 + x 4 )dx
dy xy
dx x2 - xy + y 2
dy _ 6x2 - 5 x y - 2 y 2 
dx 6x2 - 8xy + y 2
dy n> 2 x — - v - J x ' + v" 
dx ' V
x ^ = y + 2xe-y,x 
dx
Rpta. Áx8 = x 4 + y 4
Rpta. (x - y ) e y - c
Rpta. ( y - x ) ( y —3x)9 = c (y - 2 x )12 
Rpta. y + yjx2 + y2 = cy
Rpta. ex - ln kx2
Demostrar que ( x + y ) a+h( x - y ) a h = k es la solución de la ecuación diferencial 
(ax - by) dx + (bx - ay) dy = 0
(x - y ) (4x + y ) dx + x (5x - y) dy = 0 Rpta. x(y + x )2 = c ( y - 2 x )
(3x~ - 2xy - 3y 2 )dx = Axy dy Rpta. ( y - x ) ( y + 3x)3 = c x 3
I madones Diferenciales de Prim er Orden
@
y y ( x - v arctg—)dx + x arctg — dy = 0
X X
Rpta. 2y arctg — = xln C X̂--~-y- ■■
X X
( y 3 - x 3 )dx = xy(x dx + y dy) Rpta. 2x2 ln (x+ y ) = ex2 + 2 x y - y 2
© 4x2 + x y - 3 y 2 + (-5 x 2 + 2^y + y 2) — = 0dx Rpta. ( y - x ) 8( y - 2 x )9 = c ( y + 2x )5
© x3y — = x4 + 3x2y2 + y 4 dx
Rpta. y2 - x2( l+ ) 
ln kx"
© (■Jxy - x)dx + ydy = 0
y I y 
Rpta. lnx + -— 2.1— = c
x y x
® x y^ - = 2x~ + 3xy+ 2y2 (75) (3xy + y 2 )dx + (x 2 + xy)dy = 0
II. Resolver las siguientes ecuaciones diferenciales con las condiciones iniciales dadas.
© ( y - y j x 2 + y2) d x - x d y = 0 , y (V3 ) = 1
Rpta: x 2 = 9 -6 y
(xy' -y )arctg (—) = x , y (1) = 0
X
V
/ ? o ~ y 
Rpta: -y/x + y “ = e x arctg(—)
X
©
dy y ' - 2 * , - ¿
dx y + 2 x y - x
Rpta: y = -x
© x — = xex + y , y ( l ) = 0 dx
Rpta: lnx + e x = 1
©
dy _ I x y - y 1 ' y ( 1 ) _ 2 
dx 2xy - x
Rpta: xy (y - x) = 2
©
v /r
(xcos'C—) - v)dx + x dy = 0 , y ( l ) = — 
x ' 4
Rpta: tg(—) = ln(—)
X X
w
w
w
.e
ls
ol
uc
io
na
rio
.n
et
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Eduardo Espinoza Ramos
\ il\ i (,( + 3xy + 4 y )dy = O, y (2) = 1 Rpta: 4 (2y + x) Ln x = 2y - x
\(i i V ) d x + x ( 3 x ~ - 5 y 2)dy = 0, y (2) = 1 Rpta: 2y5 - 2 x 2y 3 +3x = O
( \\ 2 y - ) y '~ 2 x y , y (0) = -1 Rpta: x~ = 2 y " (y + l)
IV' + 2 x y - 2 y )dx + (y + 2 x y - 2 x )dy = O , y (0) = 3 Rpta: y ~ - x y + x = 3 (y + x)
(y - 3x2 )dy + 2xy dx = 0 , y (0) = 1 Rpta: 3 2 2 y = y - x
? y, y + xcos (—) 
dx x 4
Rpta: 1 + ln x = tg(—)
X
dy v v
-j- = sec(—) + (—) , y(2 ) = n
dx x x
Rpta: y - x arc.sen (Ln 2x - 1 )
(x 3 + y 3) d x - x y 2dy = 0 . y (1) = 0 Rpta: y 3 = 3x3 ln x
(3x2 +9xy+ 5 y2) í ix - (6 x 2 +4xy )<iy II O *c 0 II 1 o
. Rpta: 3x4 + 4 (y 2 + 3 x -
( x ~ - 3 y 2 )x + 2xy dy = 0 , y (2) = 2, Rpta:
£
 l°° 
!II
(x 4 + y 4)dx = 2x 3ydy , y (1) = 0 Rpta:
2 Ln\cx\ — 1 ,
y ' = ( , i i )x
Ui\ex\
( x 2 + y 2 )d + xy dy = 0, y (1) = -1 Rpta:
4 _ 9 o _
x + 2 x “ y “ = 3
(x 3 + y 3 )dx = 2xy2dy , y (2) = 1 Rpta: y3 = x3 - — (7>/2xx) 
4
dy y y i 
~ = 4+ — + (—) , y (l ) = 2 
dx x x
Rpta: y \ \ ftarctg(— ) - 2 ln | x | = — 
2x 4
I ( ilaciones Diferenciales de Prim er Orden 59
6
©
©
©
©
dy ~~ 
x — = xex + y , y ( l ) = 0 
dx
Rpta: y = -x In | 1 - Ln x )
(x 4 + 6 x 2y 2 + y 4)¿/x + 4xy(x2 + y 2)dy = 0, y (1 ) = O Rpta: x 5 +10x3y 2 + 5xy4 = 1
dy_
dx
2 xye y ( i )2
Rpta: y = k(\ + e y )
( 2 x y + y 2) d x - 2 x 2dy = O, y = e, x = e Rpta: 2x + y Ln x = 3y
y y{ x - 3 y sen — )dx + 3xsen—dy = O, y(l) = — 
x x 4
(.’.<>) Resolverla ecuación diferencial (2x2 +3xy + 2y2)dx -x yd y = 0 de tal modo que la 
solución pasa por el punto P( 1,0).
©
dy 
xy— = y 
dx
3- x 3, y ( l ) = 2 28) — = cosh(—), y ( l ) = 0
dx x x
m ) v dx + f v cos(—) - x]dy = 0 , y(0) = 2
y
1.5. ECUACIONES 
HOMOGÉNEAS.-
DIFERENCIALES REDUCIBLES
Las ecuaciones diferenciales de la forma siguiente:
dy _ ax + by + c 
dx ' ^a'x + b 'y + c'
.. ( 1)
No son homogéneas, porque tanto en el numerador como en el denominador ap;..ecen 
dos constantes c y c ' , estas constantes se pueden eliminar mediante una traslación, 
transformando a la ecuación (1) en una ecuación diferencial homogénea, para esto 
consideremos las ecuaciones:
w
w
w
.e
ls
ol
uc
io
na
rio
.n
et
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60
í
Eduardo Espinoza Ramos
L ̂\ ax + by + c - 0 L : a 'x + b' v + c '= 0
2
. . . (2)
donde el punto de intercepción es (h, k). Si trasladamos el origen de coordenadas al punto 
(h,k) las ecuaciones de (2) se transforman en:
az'+bco = 0 a a' z + b' (ú - 0 y haciendo el cambio x = z + h, y = où + k 
de donde dx = dz, dy = dco, se tiene de (1)
d a _ az + bio _
d z ~ a 'z + b'co ’ a + b (— )
z
(3)
que es una ecuación diferencial homogénea.
Cuando L, : ax + by + c = 0: L 2 : a 'x + b'y + c ' - 0 son paralelos no se aplica este 
método, sin embargo se tiene:
a a ' a b , ,— = — => — = — = A => fl = Â f l ,o = Ar>,de donde se tiene:
b b' a' b'
dy ax + by + c l { a ' x + b 'y ) + c
— = / ( —;— - -------^ = f (— ;— r,---------t ) = g (a2x + b 2y)
dx a x + b y + c a x + b y + c
Que es una ecuación diferencial reducible a variable separable.
► X
I inaciones Diferenciales de Prim er Orden 61
Observación:
Otra forma de transformar a una ecuación diferencial homogénea, las ecuaciones 
diferenciales que no son homogéneas, es mediante la sustitución de la variable y = Z ° ° , 
ocurriendo esto cuando todos los términos de la ecuación son del mismo grado, 
atribuyendo el grado 1 a la variable x, el grado a a la variable y, y el grado a -1 a la 
dy
derivada — . Además se puede transformar a homogénea mediante sustituciones
dx
adecuadas de acuerdo al problema.
Ejemplos.- Resolver las siguientes ecuaciones diferenciales.
I ) (x - 4y - 9) dx + (4x + y - 2) dy = 0
Solución
Sea L y : x -4 _y -9 = 0 a L2 : 4a + y - 2 = 0, como L { } i L 2 
=> 3p (h, k) e L] n L i , y para esto resolvemos el sistema 
íx - 4 y — 9 = 0
=> x = l , y = -2, es decir P (l, -2)
[4x + y - 2 = 0
Consideremos x = z + h, y = co + kde donde 
x = z + l , y = o )-2 , además dx = dz, dy = dco
reemplazando en la ecuación diferencial dada: (z - 4oo) dz + (4z + ca) dco = 0 ... (1) 
que es una ecuación diferencial homogénea.
Sea z = uot) => dz = udco + todu ... (2)
reemplazando (2) en (1) y simplificando se tiene:
(u2 +1 )d(ú + (u — 4)(odit = 0 , separando la variable ^ - + U ^ du =0 , integrando
co u~ +1
Í - - - -+ f 4 du - C => lnco2(u2 + l)-8 a r c tg « = k ...(3)
J (O J u~ f 1
w
w
w
.e
ls
ol
uc
io
na
rio
.n
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62 Eduardo Espinoza Kamos
z x —1
Como z = u co => u — — —------ reemplazando en (3)
(o y + 2
ln[(x - 1)2 + ( y + 2)2 ] - 8 a r c t g ( - ^ ) = k
y + 2
2) *L
si v-
dy _ x + 3 y -5 
dx x — y — 1
Solución
Sean L { : x + 3 y - 5 = 0 a L 2 : x - y - l = 0 , como L }X L 2 entonces:
3 p (h,k) e L, n L2, y para esto resolvemos el sistema.
x + 3y - 5 = 0 íx = 2
P( 2,1)
x - y - l = 0 [ y - 1 
Consideremos x = z + 2, y = co + 1, dx = dz, dy = dco ... (1)
a la ecuación diferencial dada expresaremos así:
(x + 3y - 5) dx - (x - y - 1) dy = 0 ••• (2)
reemplazando (1) en (2) y simplificando: (z + 3 co) dz - (z - co) dco = 0 ... (3)
es una ecuación diferencial homogénea:
Sea co = u z => dco = u dz + z du, de donde al reemplazar en (3) y separando la
. , , . dz ( u - \ )d u
variable, se tiene:---- b — ---------- = 0. integrando
z u + 2 u +1
¡dH-l( u - l ) d u x-K => ln C (x+ y - 3 ) = -2 (-2 + 2m +1 ' ' ' x + y - 3
4xy1dx + ( i x 1y-\ )dy = 0
Solución
Sea y = za => dy = a zu ^dz , reemplazando en la ecuación diferencial se tiene:
4x z 2adx + (3x 2z 2“ - 1 - z a~l )adz = 0 - (D
11 unciones Diferenciales de Prim er Orden 63
Luego 2 a + 1 es el grado de 4x z 2a
2 a + 1 es el grado de 3x2z 2oM 
a - 1 es el grado de z “ -1
y para que la ecuación (1) sea homogénea debe cumplirse:
2 a + l = a - l = > a = - 2 , como y = za y = z "2 => dy = -2z~ i dz
4 x z -4rfx + (3x2z -2 -1 ) (-2 z _3) í/z = 0, de donde
4xz dx - 2(3x2 - z 2 )dz = 0 , que es una ecuación diferencial homogénea.
Sea z = u x => dz = u dx + x du, reemplazando en la ecuación diferencial homogénea se 
tiene: 4x 2m dx — 2(3x2 - h 2x 2){u dx + xdu) — 0
de donde simplificando y separando la variable se tiene: 
dx u2 - 3 ,
—- + —r------du = 0, integrando se tiene:
x u ' - u
f — + í~ ^ d u = C => Ln x + 3 Ln u - Ln (u“ 1) = C
J x J u - u
como k = - - , y = z~2 se tiene: y ( l - x 2y ) “ = i í
x
(■•) ( y 4 “ 3 x 2)dy = -x y dx
Solución
Sea y = z “ , a e R => dy = a z a~ldz
reemplazando en la ecuación diferencial dada: