recta de máxima pendiente - Yessica silva (2)

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RECTAS Y PLANOS: PARALELISMO Y PERPENDICULARIDAD
GRUPO	: 2018- II- “B”
CURSO	: Geometría Descriptiva.
DOCENTE	: 
 
INTEGRANTES:
 
 
¿CUAL ES LA DIFERENCIA ENTRE UNA RECTA DE MAXIMA PENDIENTE DE UN PLANO Y UNA LINEA DE MAXIMA PENDIENTE DE UN PLANO?
Recta de máxima pendiente de un plano y línea de máxima pendiente de un plano son similares. Definimos recta de máxima pendiente de un plano como una recta (o cualquiera paralela a ella) contenida en un plano oblicuo, perpendicular a todas las horizontales contenidas en dicho plano. Analíticamente la recta de máxima pendiente de un plano se determina respecto a un plano horizontal cualquiera, y está dado por una recta contenida en aquel plano, que hace con su proyección ortogonal en el plano horizontal, un ángulo cuya tangente es máxima.
La dirección en que baja la recta de máxima pendiente es hacia el vértice más bajo del plano o paralelo a ella.
Por la razón anterior, la recta de máxima pendiente en la proyección horizontal, se indica con una flechita que apunte en esa dirección.
Obviamente, ninguna recta contenida en el plano, tendrá mayor pendiente, que la recta de máxima pendiente; el plano tiene pendiente igual a la recta de máxima pendiente; la recta de máxima pendiente es la pendiente del plano.
¿CÓMO IDENTIFICO UNA RECTA DE MÁXIMA PENDIENTE RESPECTO A UN PLANO HORIZONTAL, RESPECTO A UN PLANO FRONTAL Y RESPECTO A UN PLANO DE PERFIL?
RECTA DE MÁXIMA PENDIENTE RESPECTO AL PLANO HORIZONTAL
Consideraremos el plano P cuya intersección con el plano horizontal de proyección H es la recta i.
Se la recta mn la recta de máxima pendiente respecto al plano horizontal
Por definición sabemos que la recta mn recta i.
Pero la recta i tiene que ser paralela a todas las rectas horizontales del plano P.
Por lo tanto, la recta mn deberá ser entonces perpendicular a todas las horizontales del plano P.
Si tomamos una horizontal st del plano y como sabemos que ella es perpendicular a la recta mn, deberá cumplirse:
mHnH sHtH
(propiedad de rectas perpendiculares cuando una de ellas es paralela al plano horizontal de proyección)
En base a esta característica fundamental, es que se determina las proyecciones de cualquier recta de máxima pendiente con respecto al plano horizontal de proyección.
RECTA DE MÁXIMA PENDIENTE RESPECTO AL PLANO HORIZONTAL
Generalidades: sea el plano P que intersecta al plano frontal de proyección según la recta i.
Tomemos la recta vz como la de la máxima pendiente con respecto al plano frontal del plano P.
Sabemos por definición que la recta vz recta i.
Pero, además, la recta i es paralela a todas las rectas frontales del plano P. De este modo podemos deducir entonces que la recta de máxima pendiente con respecto al plano frontal vz es perpendicular a todas las rectas frontales del plano P.
Por lo tanto, si tenemos una frontal del plano xy y ésta es perpendicular a la recta vz, se debe cumplir:
vFzF xFyF
(propiedad de dos rectas perpendiculares, cuando una de ellas es paralela al plano frontal).
Con esta característica básica, es que se determina las proyecciones de cualquier recta de máxima pendiente con respecto al plano frontal de proyección.
RECTA DE MÁXIMA PENDIENTE RESPECTO AL PLANO LATERAL(PERFIL)
Generalidades: en una forma análoga a los casos anteriores se puede establecer, que la recta de máxima pendiente de un plano P con respecto al plano lateral de proyección, es perpendicular a todas las rectas de perfil del plano.
Consideraremos la recta ab como la de la máxima pendiente con relación al plano lateral de proyección del plano mns. Sea zw una recta de perfil cualquiera de dicho plano. 
Por definición sabemos que: ab es perpendicular zw, pero como la recta zw es paralela al plano de perfil, se tiene que cumplir que:
aPbP zPwP
procedimiento:
En primer lugar, se determina las proyecciones de perfil de una recta cualquiera de perfil del plano, o sea en nuestro caso zPwP.
En esta proyección trazamos aPbP zPwP. la determinación de las proyecciones horizontal y frontal de la recta buscada, se efectúa aplicando las propiedades de las rectas de un plano. 
PARALELISMO
PARALELISMO ENTRE RECTAS
Si dos rectas ab y mn son paralelas entre sí: sus proyecciones horizontales, sus proyecciones frontales y sus proyecciones de perfil deben ser paralelas entre sí, respectivamente.
De modo, que si la recta ab es paralela a la recta mn debe cumplirse los siguientes postulados:
1. aHbH // mHnH
2. aFbF // mFnF
3. aPbP // mPnP
Estas tres condiciones deben cumplirse simultáneamente. Basta que una de las condiciones falle entonces dichas rectas no serán paralelas.
PARALELISMO ENTRE RECTAS Y PLANOS
Para que una recta sea paralela a un plano, es necesario y suficiente que la recta sea paralela por lo menos a una recta del plano.
· Recta ab // st
· Recta st en el plano P
· Luego recta ab // P
PARALELISMO ENTRE PLANOS
Si dos planos son paralelos entre sí, es condición necesaria y suficiente que tengan por lo menos dos rectas paralelas entre si y en diferente dirección.
PERPENDICULARIDAD
PERPENDICULARIDAD ENTRE RECTAS
Dos rectas son perpendiculares entre sí, cuando forman un ángulo de 90°. Cabe resaltar que las dos rectas no necesariamente deben cortarse según un punto común; pueden ser también dos rectas perpendiculares y que se cruzan.
PRINCIPIO FUNDAMENTAL: Si dos rectas cualesquiera son perpendiculares entre sí, y una de ellas es paralela a un plano, las proyecciones de dichas rectas en ese plano son también perpendiculares entre sí.
Esto quiere decir, que, si la recta a es perpendicular a la recta b, y la recta a es paralela al plano P, la proyección aP de la recta a debe ser perpendicular a la proyección bP de la recta b.
PERPENDICULARIDAD ENTRE RECTAS Y PLANOS
Sea la recta ab que es perpendicular al plano cualquiera P. referimos sus proyecciones al plano horizontal de proyección. Según esto, podemos exponer lo siguiente:
I. Como la recta ab es perpendicular al plano, debe serlo a cualquier recta de él; digamos a la recta ws. Por esta razón, la recta ab deberá ser perpendicular a la recta mn (que en este caso es una horizontal del plano).
II. Como la recta ab es perpendicular a la recta mn y siendo mn paralela al plano horizontal de proyección, debe cumplirse que:
aHbH 	 mHnH
(corolario 1 de perpendicularidad entre rectas)
III. Si hacemos un análisis análogo con respecto a una recta frontal del plano, podemos llegar a la conclusión de que, si la recta ab es perpendicular a una recta st que es frontal de un plano, y siendo st paralela al plano frontal, debe cumplirse que:
aFbF 	sFtF
conclusión:
Para que una recta perpendicular a un plano cualquiera quede completamente determinada, basta que su proyección horizontal sea perpendicular a la proyección horizontal de una recta horizontal del plano, y que su proyección frontal, sea perpendicular a la proyección frontal del plano. Ambas condiciones deben cumplirse simultáneamente.
PERPENDICULARIDAD ENTRE PLANOS
Para que dos planos sean perpendiculares entre sí, es condición necesaria y suficiente que, en uno de los planos exista por lo menos una recta que sea perpendicular al otro plano.
Por lo tanto, si el plano abc es perpendicular al plano mns debe existir en el plano abc (o en el plano mns) una recta wd que sea perpendicular al otro plano mns (o al abc).
De esto podemos deducir un procedimiento para averiguar si existe perpendicularidad entre dos planos dados:
· Se toma un punto v en el plano abc.
· Por el punto v trazamos la recta vz perpendicular al plano mns.
· Si la recta vz pertenece al plano abc, quiere decir que ambos planos dados son perpendiculares.
· Si la recta vz no pertenece al plano abc, significa que los planos dados no son perpendiculares.