FORMULARIO

Vista previa del material en texto

1 
 
Familias Paramétricas Especiales de Distribuciones Univariadas 
Distribución ( )f x f.g.m= ( )X t ( )E X ( )Var X ( )F x 
Uniforme 
Discreta   ( )1,2, ,
1
N
I x
N
 ( )
( )
11
 0
1
1 0
t N
t
e e
t
N e
t
+−

−
=
 
1
2
N +
 
2 1
12
N −
 
x
N
 
Uniforme 
Discreta1   ( )1 2, , ,
1
Nx x x
I x
N
 
No es útil 
1
1 N
i
i
x
N =
 ( )
2
1
1 N
i
i
x E X
N =
−   
 
Bernoulli ( )   ( )
1
0,1
1
xx I x 
−
− ( )1
te − +  ( )1 − 
Binomial 
( )   ( )0,1,2, ,1
n xx
n
n
I x
x
 
− 
− 
 
 ( )1
n
te  − +  
n ( )1n − 
Hipergeométrica A N A
x n x
N
n
−   
   
−   
 
 
 
( ) ( )  ( )máx 0, , ,min ,n N A n AI x− + 
No es útil A
n
N
 1
1
A A N n
n
N N N
−   
−   
−   
 
 
Hipergeométrica 
Negativa 
  ( ), ,
1
1
k N A k
x N x
k A k
I x
N
A
− +
− −  
  
− −  
 
 
 
 
 ( )1
1
k N
A
+
+
 
( )( )
( )( )
1
1
1 2 1
k N N A k
A A A
+ −  
− + + + 
 
2 
 
V ( ) ( ) 11
1
N A n xA x
x n x
N n
n
− + − − + − 
  
−  
+ − 
 
 
  ( )0,1,2, ,nI x 
No es útil A
n
N
 ( )( )
( )2 1
n A N n N A
N N
+ −
+
 
 
Poisson 
  ( )0,1,2,!
xe
I x
x
 −
 ( )exp 1
te −
 
 
  
Geométrica ( )   ( )0,1,2,1
x
I x − 
( )1 1 te

− −
 
1 

−
 
2
1 

−
 ( )
1
1 1
x

+
− − 
Distribución ( )f x f.g.m= ( )X t ( )E X ( )Var X ( )F x 
Geométrica1 ( )   ( )
1
1,2,
1
x
I x 
−
− 
( )1 1
t
t
e
e

− −
 
1

 
2
1 

−
 ( )1 1
x
− − 
Pascal 
( )   ( )0,1,2,
1
1
 
xk
k x
I x
x
 
+ − 
− 
 
 
( )1 1
k
te


 
 
− − 
 
( )1k 

−
 
( )
2
1k 

−
 
 
Pascal1 
( )   ( ), 1, 2,
1
1
1
x kk
k k k
x
I x
k
 
−
+ +
− 
− 
− 
 
( )1 1
k
t
t
e
e


 
 
− − 
 
k

 ( )
2
1k 

−
 
 
Zeta o Zipf ( )
  ( )1,2,3,1
1C
I x
x

+
+
donde 
( )
1
1
1
1
1
x
C
x


−
+
=
  
+ =   
   
 
No es útil ( )
( )
1C
C


+
para 0  ( )
( )
( )
( )
2
1 1
1
C C
C C
 
 
 + +
−  
−  
para 1  
 
3 
 
Uniforme 
Continua   ( ),
1
I x
  −
 
( )
t te e
t
 
 
−
−
 
2
 +
 ( )
2
12
 −
   ( ),
x
I x
 

 
−
−
  ( ),I x + 
Triangular ( )
( )( )  
( ),c
2
a
x a
I x
b a c a
−
− −
( )
( )( )  
( ),
2
c b
b x
I x
b a b c
 −
+  
− − 
 
No es útil 
3
a b c+ +
 
2 2 2
18
a b c ab ac bc+ + − − −
 
 
Normal 
  ( )
2
,
1
exp
2
2
x
I x



− 
 − 
−  
   
 
2 21exp
2
t t 
 
+ 
 
 
 2 
Distribución ( )f x f.g.m= ( )X t ( )E X ( )Var X ( )F x 
LogNormal 
 ) ( )
2
0,
1 ln
exp
2
2
x
I x
x


 

 − 
−  
   
 
No es útil 2
exp
2


 
+ 
 
 
( ) ( )2 2exp 1 exp 2   − +  
 
Gamma 
( )  )
( )
1
0,
r r xx e
I x
r
 − −


 
r
t


 
 
− 
 
r

 
2
r

 
 
Exponencial 
 ) ( )0,
xe I x −

 
t


 
 
− 
 
1

 
2
1

 1
xe −− 
Hipoexponencial 
1 1,
i
nn
jx
i
i j j i j i
e



 
−
= = 
 
  − 
  
 
( )
1
1n
i i
E X
=
=
( )2 2
1
1
 
n
i i
E X
=
= 
 
4 
 
Ji-Cuadrado 
 ) ( )
1
2 1
2 2
0,
1
2
2
k
k
x
x e
I x
k
− −

 
 
 
 
 
 
 
21
1 2
k
t
 
 
− 
 
k 2k 
Beta 
( ) ( )
1 1
1
,
a b
x A B x
B A B a b B A B A
− −
− −   
   
− − −   
  ( )A,BI x 
No es útil 
A+ ( )
a
B A
a b
−
+
 ( )
( )( )
2
2
1
B A ab
a b a b
−
+ + +
 
 
Beta Estándar ( )
( )  
( )
11
0,1
1
,
bax x
I x
B a b
−− −
 
No es útil a
a b+
 
( )( )
2
1
ab
a b a b+ + +
 
 
 
 
Beta Tipo II 
( )( )
 ) ( )
1
0,
, 1
m
m n
x
I x
B m n x
−
+
+
 
 
1
m
n −
 ( )
( ) ( )
2
1
1 2
m m n
n n
+ −
− −
 
 
Distribución ( )f x f.g.m= ( )X t ( )E X ( )Var X ( )F x 
Weibull 1
exp
x r x r
 

  
−  − −   
−    
     
 ) ( ),rI x 
No es útil 1
1r 

 
+  + 
 
 
2
2 2 11 1
 
      
 + −  +     
      
 1 exp
x r


 − 
− −  
   
 
Cauchy 
( )
22 x

   + −
 
 
No tiene pero si F. 
Característica
( )t = 
exp i t t  −   
Indefinida Indefinida 1
2
+
1 x
arctg

 
− 
+  
 
 
5 
 
Laplace 
exp
2
x 


 − 
− 
  
F. Característica: 
( ) 2 21
i te
t
t


 =
+
 
 22 
( ) ( ),
e
2
x
I x



− 
− 
 
−
+
 ) ( ),
e
1
2
x
I x



− 
− 
 

 
 
− 
  
 
Logística 
2
exp
1 exp
x
x





  −
−  
  
   − 
+ −   
    
 
No es útil  2 2
3
 
 
1
1 exp
x 

  −
+ −  
  
 
Pareto 
 ) ( ),1 I xx



+
 
No es útil 
1

 −
 
2
1 2
 
 
   
   
− −   
 
 
 
 
1
x

 
−  
 
 
Distribución ( )f x f.g.m= ( )X t ( )E X ( )Var X ( )F x 
r 
( )
  ( )
4
2 2
1,1
1
1 2
,
2 2
n
x
I x
n
B
−
−
−
− 
 
 
 
No es útil 0 1
1n −
 
 
Burr 
( )
 ) ( )
1
0,1
, , 0
1
c
k
c
ckx
I x c k
x
−
+

+
 ( ) .Beta 1 ,r rrE X k k
c c
 
= − + 
 
 ( ) ( )
22E X E X−    ( )1 1
k
cx
−
− + 
Gumbel para 
máximos 
asintóticos 
( ) ( )  ( ) ( ),exp
x x
e e I x
   

− − − −
− 
− 0.577 
 
+  + 
2
26


 
( ) exp xe  − −− 
6 
 
Gumbel para 
mínimos 
asintóticos 
( ) ( )  ( ) ( ),exp
x x
e e I x
   

− −
− 
− 0.577 
 
−  − 
2
26


 
( ) 1 exp xe −− − 
Fréchet para 
máximos 
asintóticos 
 
1
0,
( )
k
k
xk e I x
x



+  
− 
 

 
 
 
 
 
( )
1
1E X
k

 
=  − 
 
1con k  
( ) 1p p
p
E X
k

 
=  − 
 
 
2 22 11 1
k k

    
 − − −    
    
2con k  
exp
k
x
   
−  
   
 
Fréchet para 
mínimos 
asintóticos 
( ) ( )
1
0,
exp
x x
I x
 

  
−

    
−    
     
 
 
( )
1
1E X
k

 
=  + 
 
( ) 1p p
p
E X
k

 
=  + 
 
 
2 22 11 1
k k

    
 + − +    
    
 1 exp
x


   
− −  
   
 
Weibull para 
máximos 
asintóticos 
1
exp
k k
k w x w x
w w w  
−  
    − − −    
 − − −    
 
( ) ( ).wI x− 
 
 
 
 
exp
k
w x
w 
  − 
−  
−   
 
Distribución ( )f x f.g.m= ( )X t ( )E X ( )Var X ( )F x 
Weibull para 
mínimos 
asintóticos 
1
exp
k k
k x x 
     
−  
    − − 
−     
− − −      
 ) ( ),I x  
 
( ) ( )
1
1E X
k
  
 
= + −  + 
 
( ) ( ) 1
ppp
E X
k
  
 
− = −  + 
 
 
( )
2 12 21 1
k k
 
    
−  + − +    
    
 
1 exp
k
x 
 
  − 
− −  
−   