CLASE 15-MATRIZ ADJUNTA

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ARITMÉTICA Y ÁLGREBA II: CLASE N°15 
PROFESORA: GIMENEZ SABINA 
MATRIZ ADJUNTA 
Dada una matriz cuadrada a se define como matriz adjunta y se simboliza a la matriz 
transpuesta de la que resulta de la que resulta de sustituir en la matriz dada cada elemento por su 
adjunto correspondiente. 
En símbolos para una matriz de orden 3x3: 
 (
 
 
 
) (
 
 
 
)
 
 (
 
 
 
) 
donde son los adjuntos correspondientes a los elementos . 
 
Propiedad: 
El producto de una matriz por su adjunta es conmutativo e igual al producto del determinante de 
la matriz dada por la matriz identidad. 
 | | 
 
Ejemplo: 
Calcule la adjunta de la matriz (
 
 
 
) 
 
[
 
 
 
 
 
 |
 
 
| |
 
 
| |
 
 
|
 |
 
 
| |
 
 
| |
 
 
|
 |
 
 
| |
 
 
| |
 
 
|]
 
 
 
 
 
 
 
 (
 
 
 
)
 
 (
 
 
 
) 
 
Actividad: 
1) Calcule el elemento de la matriz adjunta de (
 
 
 
) 
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2) Halle el elemento de la matriz adjunta de (
 
 
 
) 
 
Matriz inversa: 
Sabemos por definición que una matriz A tiene inversa si verifica que: 
 
La condición necesaria y suficiente para que una matriz admita inversa es que sea cuadrada y su 
determinante no nulo. Dada | | 
Sabemos que | | 
Como | | multiplico miembro a miembro por 
 
| |
 
 
 
| |
 
| | 
| |
 
 
 
| |
 
 
 
| |
 
Entonces 
 
 
| |
 
 
Ejemplo: 
 Si es posible, calcule la inversa de (
 
 
 
) 
¿B es cuadrada? Sí 
El | | |
 
 
 
| por lo tanto existe la inversa y se calcula dividiendo 
cada elemento de por : 
 (
 
 
 
)
 
 (
 
 
 
) 
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Por lo tanto 
(
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 )
 
 
 
 
Actividad: 
Halle si es posible la inversa de (
 
 
 
) 
 
Aplicación: La criptografía o Teoría de códigos: 
La criptografía, que es el arte de ocultar mensajes en el mundo es empleada en los sistemas 
computarizados de algunas secretarías de estado y en las aduanas, principalmente. 
La Teoría de Códigos también se utiliza para detectar y corregir los errores que se transmiten 
en el envío de información por diversos medios, ya sea por fibra óptica, onda de los teléfonos 
celulares, vía satélites o por cable. 
Para algunos se define como una ciencia de crear y decifrar códigos mientras que para otros es 
sólo la técnica de codificación y decodificación de mensajes. 
Las matrices se utilizan para desarrollar sistemas de código. Se puede construir un código 
sencillo asociando un número diferente a cada letra del abecedario y un número diferente para 
el espacio. 
EJEMPLO: 
A=1 E=5 I=9 M=13 P=17 T=21 X=25 
B=2 F=6 J=10 N=14 Q=18 U=22 Y=26 
C=3 G=7 K=11 Ñ=15 R=19 V=23 Z=27 
D=4 H=8 L=12 O=16 S=20 W=24 ESPACIO=28 
 
Supongamos que dos personas, Juan y Maria desean comunicarse entre sí usando un código porque 
suponen que sus llamadas telefónicas y su correo fueron intervenidos. 
Si Juan le envía a Maria el mensaje: “LLAMAME MAÑANA”, utilizando el sistema anterior de 
sustitución, escribiría: 
12 12 1 13 1 13 5 28 13 1 15 1 14 1 
Este tipo de código, sin embargo, es fácil de decifrar. Para lograr el objetivo propuesto ellos pueden 
trabajar con matrices y establecer una matriz no singular, por ejemplo, de orden 2, llamarla “matriz 
de código” o “matriz de codificación”. 
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Supongamos que acuerdan la siguiente matriz de código: (
 
 
) 
Juan separa el mensaje en parejas de letras teniendo en cuenta además el espacio y cada pareja la 
escribe como una matriz de orden 2x1. Así surgen para el mensaje “LLAMAME MAÑANA”, siete 
matrices de 2x1: 
 (
 
 
) (
 
 
) (
 
 
) (
 
 
) (
 
 
) (
 
 
) (
 
 
) 
Juan decide transformar cada una de las 7 matrices por el producto de 
Calculando todos los productos resultaría: 
 (
 
 
) (
 
 
) (
 
 
) 
 (
 
 
) (
 
 
) (
 
 
) 
 (
 
 
) (
 
 
) (
 
 
) 
 (
 
 
) (
 
 
) (
 
 
) 
 (
 
 
) (
 
 
) (
 
 
) 
 (
 
 
) (
 
 
) (
 
 
) 
 (
 
 
) (
 
 
) (
 
 
) 
Ahora Juan está en condiciones de escribir el mensaje codificado: 12 48 1 16 1 16 5 43 13 40 15 46 
14 43 
Maria recibie el mensaje y necesita descubrir se contenido. Debe decodificarlo. Si existe una matriz 
de código entre ellos, necesitan también una “matriz decodificadora” o “matriz de decodificación”. 
Esta nueva matriz es la INVERSA DE LA MATRIZ DE CÓDIGO. 
Es decir,: si cada cada vector del mensaje original se obtiene haciendo 
 . 
Buscamos la inversa de A y decodificamos el mensaje: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Por lo tanto: (
 
 
) 
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Resolvemos: 
 
 (
 
 
) (
 
 
) (
 
 
) que representan las 2 primeras letras del mensaje 
 
 (
 
 
) (
 
 
) (
 
 
) 
 
 (
 
 
) (
 
 
) (
 
 
) 
 
 (
 
 
) (
 
 
) (
 
 
) 
 
 (
 
 
) (
 
 
) (
 
 
) 
 
 (
 
 
) (
 
 
) (
 
 
) 
 
 (
 
 
) (
 
 
) (
 
 
) 
Tener en cuenta que: 
 Los elementos de la matriz que se elige como matriz de código deben ser números enteros y 
los elementos de su inversa también. 
 Un mensaje se puede codificar también separando en grupo de 3 o más letras. Si se separa 
en grupos de 3 letras se debe elegir una matriz de codificación de orden 3 que tenga 
inversa y cumpla con las características enunciadas. Para un grupo de 4 letras se usa una 
matriz de 4x4. 
 Cuando más grande es el número de letras elegidas por grupo, más difícil resultará romper 
el código para alguien que no lo conoce. 
 
Actividad: 
Usando el código presentado que asocia a cada letra del abecedario un número y la matriz de 
código (
 
 
) 
a) Codifique el mensaje “NOS VEMOS EL MARTES” 
b) Descodifique el mensaje:”65 35 43 22 166 94 168 98 94 53 17 10 105 62”