CLASE 3-06

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CÁLCULO III – CLASE 
PROFESORA: GIMENEZ SABINA 
Factores lineales repetidos en el denominador (raíces iguales o múltiples) 
Cada raíz múltiple da origen a tantas fracciones como su orden de multiplicidad. 
 ( ) {
 
 
 
 
 
 ( )
 ( )
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Ejemplo: 
Encuentre la solución de la integral ∫
 
 
 
Factorizo el denominador: ( ) entonces tiene orden de multiplicidad 2 y una simple , por lo 
tanto: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 ( ) ( ) 
 ( )
 
 ( ) ( ) 
Para x=0 
 
 
 
 
Para x = 3 
 
 
 
 
Para x = 1 
 ( ) ( ) 
 
 
 ( ) 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
∫
 
 
 
 
 
∫
 
 
 
 
 
∫
 
 
 
 
 
∫
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 ( ) 
 
Ejemplo: 
∫
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
( ) 
 
 
( ) 
 
 ( ) ( ) 
( ) 
 
 ( ) ( ) 
Para x = 1 
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Para x = 2 
 
Para x = 3 
 
Formo un sistema con I y II: 
{
 
 
 
 ( ) 
Reemplazamos el valor encontrado en la primer ecuación: 
 
∫
 
 
 ∫
 
 
 ∫
 
( ) 
 ∫
 
( ) 
 
 ( ) 
 
 
 
 
 
 
 
( ) 
 
 
Fracciones Impropias 
Si el ( ) ( ) se debe efectuar primero la división. Así se obtiene un polinomio más una fracción propia 
que podrá escribirse como una suma de fracciones simples: 
 ( )
 ( )
 ( ) 
 ( )
 ( )
 donde c(x) es el cociente y r(x) es el resto. 
Luego ∫
 ( )
 ( )
 ∫ ( ) ∫
 ( )
 ( )
 , donde ( ) ( ) 
 
Ejemplo: 
Halle la solución de la integral ∫
 
 
 
El grado de p(x) y q(x) son iguales 
Realizamos la división: 
 ⌊ 
 3 
 
Por lo tanto: 
 ( )
 ( )
 
 
 
 
 
 
 
Factorizamos el denominador de 
 
 
 
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( )( )
 
 
 
 
 
 
 
 ( ) ( )
( )( )
 
 ( ) ( ) 
Para x = 2 
 
 
 
 
Para x = - 2 
 
 
 
 
Por lo tanto: 
∫
 
 
 ∫ 
 
 
∫
 
 
 
 
 
∫
 
 
 
 
 
 ( ) 
 
 
 ( ) 
 
Actividad: 
Resuelva: ∫
 
 
 y ∫
 
 
 
 
 
 
 
Integración aproximada 
Existen dos situaciones en las cuales es imposible hallar el valor exacto de una integral definida. 
La primera proviene del hecho de que, para evaluar ∫ ( ) 
 
 
 aplicando el Teorema Fundamental del Cálculo, se 
necesita conocer una primitiva F. Sin embargo en muchos casos hallar una primitiva es difícil o prácticamente 
imposible. Por ejemplo evaluar ∫ 
 
 
 
 
 ∫ √ 
 
 
. 
La segunda situación surge cuando la función se determina a partir de una experiencia científica, por ejemplo en 
un laboratorio, a través de lecturas o datos recogidos. 
En los dos casos planteados se pueden calcular los valores aproximados de la integral definida utilizando lo que se 
conoce como “integración numérica” o “integración aproximada”. 
Estos métodos emplean valores de f(x) en diversos puntos y son especialmente apropiados para computadoras y 
calculadoras. 
Un método para resolver estos casos ya lo conocemos dado que la integral definida se define como un límite de 
sumas de Riemann de modo que se podría usar cualquiera de estas sumas para aproximar la integral. 
También es posible emplear la Regla del Trapecio o Regla de Simpson. 
 
TEOREMA: LA REGLA DEL TRAPECIO: 
Sea f continua en [a ; b]. la Regla del Trapecio para aproximar ∫ ( ) 
 
 
 está dada por: 
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∫ ( ) 
 
 
 
 
 
 [ ( ) ( ) ( ) ( ) ( )] 
Además, cuando , el lado derecho se aproxima a ∫ ( ) 
 
 
 
 
Ejemplo: 
Use la regla del trapecio para aproximar ∫ 
 
 
 para x = 8 
 
TEOREMA: REGLA DE SIMPSON: 
Sea f en [ a ; b] y sea n un entero par. La regla de Simpson para aproximar ∫ ( ) 
 
 
: 
∫ ( ) 
 
 
 
 
 
 [ ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )] 
Además, cuando , el lado derecho se tiende a ∫ ( ) 
 
 
 
 
Ejemplo: 
Aproxime ∫ 
 
 
 mediante la regla de Simpson para x = 8