CLASE 26-27-Derivadas y continuidad

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CÁLCULO II: CLASE N° 26-27 
PROFESORA: GIMENEZ SABINA 
 
Derivadas laterales 
Definición: Si la función f está definida en c, entonces: 
 La derivada lateral por izquierda de f en está dada por: 
 ( ) 
 
 ( ) ( )
 
 
Si existe el límite. 
Forma alternativa: 
 ( ) ( )
 
 
 La derivada lateral por derecha de f en está dada por: 
 ( ) 
 
 ( ) ( )
 
 
Si existe el límite. 
Forma alternativa: 
 ( ) ( )
 
 
 
Derivabilidad y continuidad 
Relación entre derivada de una función en un punto y su continuidad en dicho punto. 
 
Ejemplo 1): 
Analice la derivabilidad de ( ) {
 
 
 en x = 1 
⟶ Continuidad: cada tramo es una función polinómica, por lo tanto son continuas excepto 
quizás en x = 1 
1) ( ) 
2) 
 son iguales por lo tanto el límite existe y es ( ) 
 
3) ( ) ( ) 
LA FUNCIÓN ES CONTINUA EN x = 1 
⟶ Derivabilidad: como f está definida por tramos y cambia su expresión en x = 1, en ese punto 
consideramos las derivadas laterales: 
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 ( ) 
 ( ) ( )
 
 
( ) 
 
 
 
 
 
 ( ) 
 ( )
 
 Pendiente de la recta tangente por la izquierda de x = 1 
 ( ) 
 ( ) ( )
 
 
( ) 
 
 
 
 
 
 ( ) Pendiente de la recta tangente por derecha de x = 1 
 
Por lo tanto, como ( ) ( ) la función no es 
derivable en x = 1. 
La función es continua en x = 1 pero no es derivable en 
dicho punto. 
 
 
 
 
Ejemplo 2): 
Considere la función ( ) √ 
 
 y analice la existencia de la derivada en x = 0. 
⟶ Continuidad: 
1) ( ) √ 
 
 
2) √ 
 
 son iguales, por lo tanto el límite existe 
 √ 
 
 y es √ 
 
 
3) ( ) √ 
 
 
La función es continua en x = 0. 
⟶ Derivabilidad: 
 ( ) 
 ( ) ( )
 
 
√ 
 
 √ 
 
 
 
 
√ 
 
 
 Como no existen la 
 ( ) 
 ( ) ( )
 
 
√ 
 
 √ 
 
 
 
 
√ 
 
 
 función no es derivable 
 en x = 0 
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(recta tangente vertical) 
 
 
 
Teorema: Si una función es derivable en x = c, entonces es continua en x = c. 
Demostración: 
Debemos demostrar que f es continua en x = c, es decir que f (x) tiende a f ( c) cuando x : 
 ( ) ( ) 
O su equivalente: [ ( ) ( )] lo que hay que demostrar 
Por lo tanto [ ( ) ( )] ( ) [
 ( ) ( )
 
] 
 ( )
 ⏟ 
 
 
 
[
 ( ) ( )
 
]
⏟ 
 ( )
 
 ( ) 
 
Nota: la continuidad no implica la derivabilidad en un punto; pero la derivabilidad implica 
continuidad. 
Recíproco del teorema: que una función sea continua no implica necesariamente que sea derivable. 
Pero es válido el contrarecíproco: si una función no es continua en un punto entonces no es derivable 
en dicho punto. 
Ejemplos: 
Analice la derivabilidad de la función definida 
gráficamente. 
Rta: la función no es continua en x = 2 por lo tanto no es 
derivable en ese punto. 
 
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¿En qué puntos una función no es derivable 
 Si una función no es continua en un punto entonces no es derivable en dicho punto. Una 
función que presenta un discontinuidad (de cualquier tipo) en un punto, no es derivable en 
ese punto. 
 Si la gráfica de una función tiene esquinas o puntos picos, la gráfica de f no tiene tangente 
en esos puntos que ya las derivadas laterales son distintas. 
 Si la curva tiene recta tangente en un punto pero es vertical. En ese caso no existe la 
derivada en ese punto. 
 
Ejemplos de gráficas donde la función no es derivable en un punto c: 
 
 f(x) no es continua en 
 pertenece al dominio pero no existe la tangente en ese punto. 
No existe ( ) 
 
 
 
 pertenece al dominio de f(x) pero f(x) no es continua en 
La gráfica no tiene recta tangente en ( ( )) 
No existe ( ) 
 
 
 
 
Si la función no es continua en un punto la función no es derivable en ese punto. No 
existe ( ) 
 
 
 
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 F(x) es continua en pero no tiene tangente en x = 
No existe ( ) (las derivadas laterales existen pero son 
distintas) 
En x = existe un punto pico. 
 
 
 
 
La función tiene tangente vertical en ( ( )). 
Su pendiente no está definida por lo tanto No existe 
 ( ). 
La función es continua en 
 
 
 
Si una función es continua en un punto, esto no asegura que sea derivable. 
Una función es derivable en cierto valor de x si su gráfica es “suave” en el punto 
correspondiente (x;y). Es derivable si en dicho punto la gráfica tiene una tangente bien 
definida con una pendiente bien definida. Para que esto ocurra la función debe ser continua en 
el punto y las derivadas laterales deben existir y ser iguales en dicho punto. 
 
 
La gráfica siguiente 
representa una función 
derivable en todo su 
dominio excepto en x = 
a, x = b y x = c. 
 
 
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Derivabilidad de una función en un intervalo 
Una función es derivable en x = c si f ´(c) existe. 
Una función es derivable en un intervalo abierto (finito o infinito) si tiene derivada en cda punto 
del intervalo. 
Una función es derivable en un intervalo cerrado [a;b] si es derivable en el intervalo abierto (a;b) 
y si los límites 
 
 ( ) ( )
 
 
 
 ( ) ( )
 
 
existen. 
 
Ejemplo: 
Dad la función definida gráficamente, analice la derivabilidad: 
 
En x = 0, punto pico, las derivadas laterales son 
distintas, por lo tanto f(x) no es derivable en x = 0. 
En x = 3 f(x) es discontinua, por lo tanto no es 
derivable en ese punto. 
En los demás puntos del dominio f(x) es derivable 
porque se puede trazar la tangente en cualquier punto 
y definir su pendiente. 
 
Actividad: 
Analice la dervabilidad de ( ) {
 
 
 
; luego realice un bosquejo 
de su gráfica