Análisis en Rn - CLASE 22

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Análisis en - CM3C1
PROFESOR: ALEJANDRO EDUARDO HIDALGO GORDILLO
CLASE 21: Puntos criticos
1
PUNTOS CRÍTICOS
Lo que conocemos: Sea , abierto. Si es diferenciable en el punto . La diferencial de en el punto es la funcional lineal , si tenemos
Si es diferenciable en todo punto de , tenemos la aplicación 
PUNTOS CRÍTICOS
Generalizando: 
Si , la forma , forma bilineal
, forma tri-lineal
PUNTOS CRÍTICOS
Para , forma -lineal 
Por simplicidad se tendrá cuando se consideren 
Ahora nuestro mayor interés en 2-diferencial , que llamaremos la forma hessiana de la función en el punto . Ella es una forma cuadrática, según la siguiente definición.
Definición 1
Una forma cuadrática es una función cuyo valor en el vector esta dado por , donde es una matriz simétrica .
Tendremos la siguiente notación
.
Definición 1
Si entonces 
La forma hessiana de una función dos veces diferenciable en el punto será indicado por o . Sabemos que , por tanto
Definición 1
El teorema de Schwarz garantiza que la matriz , llamada matriz Hessiana de en , es simétrica.
Utilizaremos la fórmula de Taylor infinitesimal:
para estudiar los puntos críticos de una función de clase .
Definición 2
Dada una función diferenciable , un punto es llamado punto crítico de (0 punto singular) cuando , es decir cuando .
Definición 3
Una función abierto, tiene un máximo (mínimo) local en el punto cuando existe tal que (respectivamente ). 
Ejemplo
La función tiene un máximo local en el punto , el máximo. 
Y tiene un mínimo local en el punto (0,0), y ese valor mínimo es .
Si tiene derivadas parciales en el punto y en se da un máximo (mínimo) local entonces es un punto crítico.
En efecto; sean las funciones por calculo en se tiene , para . Por lo tanto es un punto critico de .
Punto critico
Un punto crítico se dice no degenerado cuando la matriz Hessiana en ese punto es invertible, es decir
Daremos algunas propiedades referidas a los puntos críticos en funciones diferenciables.
Primero una propiedad del Algebra Lineal.
Lema
Sea una transformación lineal invertible. Existe una constante tal que para todo .
Demostración
Sea . Para cualquier , tenemos , entonces .
Teorema 
Sea y diferenciable en el punto . Si la matriz , tiene determinante no nulo entonces existe tal que . Es decir si entonces . 
Demostración 
La definición de diferenciabilidad nos da para cada 
 si , tenemos tomando (el lema). Existe tal que entonces y por lo tanto tenemos . Por lo tanto si .
Corolario 1
Sea dos veces diferenciable. Todo punto critico no-degenerado es un punto critico aislado.
Demostración 
Consideramos un punto critico no-degenerado y en entonces tenemos la Hessiana de en y siendo punto critico no-degenerado cumple por el teorema es aislado.
Corolario 2
El conjunto de los puntos críticos no-degenerados de una función dos veces diferenciable es numerable.
Demostración
Sabemos que un conjunto de puntos aislados es numerable.
Corolario 3
Si todos los puntos críticos de una función dos veces diferenciables, son no-degenerados entonces en cada compacto existe un numero finito de ellos.
-Demostración 
De la hipótesis y las derivadas parciales son continuas en . Si es el limite de una sucesión de puntos críticos de entonces, es punto critico de . Luego el conjunto de los puntos críticos de contenido en es cerrado, , por lo tanto es compacto.
Definición
Sea una forma cuadrática, dada por . Diremos que la forma es positiva cuando cumple; para todo en . Si , para todo diremos que es una forma cuadrática negativa.
Si una forma cuadrática es positiva o negativa, diremos que ella es una forma definida. Llamaremos a una forma cuadrática indefinida cuando existen vectores tal que y .
Ejemplo 1
Dado un producto interno en , la forma cuadrática es positiva. Si es negativa.
Ahora para un , la forma cuadrática es indefinida.
Propiedad
Si una forma cuadrática es definida entonces su matriz es invertible.
Demostración 
Sea la transformación lineal cuya matriz es , según la base canónica. Entonces (es el producto interno canonico)
Así siendo definida para todo , para todo es invertible.
Por lo tanto la forma Hessiana de una función de clase , en un punto critico , es positivo o negativo, el punto críticos es no-degenerado.
El máximo (minimo) local que puede asumir una función se llama valor extremo local.
Teorema (Criterio de la segunda derivada para valores extremos locales) 
Sean una función de clase un punto critico de y la forma cuadrática Hessiana de en el punto . Entonces:
Si es positivo, es un punto de mínimo local no-degenerado 
Si es negativo, es un punto de máximo local no-degenerado.
Si es indefinida, no es punto de mínimo local ni de máximo local para .
Demostración 
Sea . Para todo tenemos la formula de Taylor, , Es decir, 
Demostración 
	La función continua siendo positiva en todos los puntos de la esfera unitaria de , el cual es un conjunto compacto, existe tal que , para todo con . Entonces para todo con la expresión dentro de los corchetes en es positiva. 
	Por lo tanto , entonces es un punto de mínimo local para 
Demostración 
En este caso para muy pequeño lo que esta entre corchetes en es negativo, entonces , si luego es un punto de máximo local de .
	En este caso es indefinida, existen vectores y tal que y . Entonces para todo , tenemos y .
	Luego la igualdad de , para y suficientemente pequeño, en norma, equivalentemente para pequeño; y , para suficientemente pequeño, luego no es punto de mínimo local de máximo local para .
Demostración 
En este caso es indefinida, existen vectores y tal que y . Entonces para todo , tenemos y .
	Luego la igualdad de , para y suficientemente pequeño, en norma, equivalentemente para pequeño; y , para suficientemente pequeño, luego no es punto de mínimo local de máximo local para .
Ejemplo 1 
Sea pues .
El único punto critico es , el origen. La Hessiana (la matriz) de en el punto es es tal matriz diagonal. 
Ejemplo 1 
Por lo tanto la forma Hessiana en es de esto la forma cuadrática Hessiana es positiva, si es negativa, si , asi es punto mínimo si y maximo si y es indefinida si y no admite mínimo ni máximo local en , se dice que es un punto silla.
Ejemplo 2
Sea la función , la cual es diferenciable. Su , el único punto critico de es .
La matriz Hessiana de en es 
 
Ejemplo 2
La forma cuadrática Hessiana es . Existen y no nulos tal que 
 y , entonces la forma cuadrática Hessiana es indefinida en .
Ejemplo 2
Interpretando el resultado 
Sea la bola abierta suficientemente pequeñ0. Sea el punto , ósea y ahora 
 finalmente Verifica . Por lo tanto el origen es un punto de ensilladura.
El Teorema de la Función Implícita
Sabemos: Dada una función , para un valor real se tiene la ecuación . El conjunto de puntos que son solución de la ecuación llamamos curva de nivel . Nos podemos preguntar, ¿cuándo tal curva o parte de ella es la gráfica de una función? Equivalentemente en , ¿ dependerá de como función o dependerá de como función? Responderemos a estas preguntas. 
El Teorema de la Función Implícita
Por ejemplo, sea la función si consideramos la curva de nivel es una circunferencia de centro y radio .
Es evidente que toda la circunferencia no es la grafica de una función, pero si por partes.
El Teorema de la Función Implícita
Estas son algunas de las funciones que están en . Se dice que la ecuación define implícitamente las funciones mostradas.
El Teorema de la Función Implícita
Se verifica , para todo , análogamente con las demás funciones.
Caso general: Dada la función y la constante , consideramos la ecuación .
Se trata de ver y dependiendo de las otras variables, como función, ósea 
Teorema (De la FunciónImplícita)
Dada la función de clase en el abierto , sea tal que y . Existen una bola y un intervalo con las siguientes propiedades:
 y para todo .
Para todo existe un único tal que .
	La función , asi definida es de clase y sus derivadas parciales en cada punto son dadas por