Análisis en Rn - CLASE 21

Vista previa del material en texto

Title Lorem Ipsum
Sit Dolor Amet
Análisis en - CM3C1
PROFESOR: ALEJANDRO EDUARDO HIDALGO GORDILLO
CLASE 21: Puntos criticos
1
PUNTOS CRÍTICOS
Lo que conocemos: Sea , abierto. Si es diferenciable en el punto . La diferencial de en el punto es la funcional lineal , si tenemos
Si es diferenciable en todo punto de , tenemos la aplicación 
PUNTOS CRÍTICOS
Generalizando: 
Si , la forma , forma bilineal
, forma tri-lineal
PUNTOS CRÍTICOS
Para , forma -lineal 
Por simplicidad se tendrá cuando se consideren 
Ahora nuestro mayor interés en 2-diferencial , que llamaremos la forma hessiana de la función en el punto . Ella es una forma cuadrática, según la siguiente definición.
Definición 1
Una forma cuadrática es una función cuyo valor en el vector esta dado por , donde es una matriz simétrica .
Tendremos la siguiente notación
.
Definición 1
Si entonces 
La forma hessiana de una función dos veces diferenciable en el punto será indicado por o . Sabemos que , por tanto
Definición 1
El teorema de Schwarz garantiza que la matriz , llamada matriz Hessiana de en , es simétrica.
Utilizaremos la fórmula de Taylor infinitesimal:
para estudiar los puntos críticos de una función de clase .
Definición 2
Dada una función diferenciable , un punto es llamado punto crítico de (0 punto singular) cuando , es decir cuando .
Definición 3
Una función abierto, tiene un máximo (mínimo) local en el punto cuando existe tal que (respectivamente ). 
Ejemplo
La función tiene un máximo local en el punto , el máximo. 
Y tiene un mínimo local en el punto (0,0), y ese valor mínimo es .
Si tiene derivadas parciales en el punto y en se da un máximo (mínimo) local entonces es un punto crítico.
En efecto; sean las funciones por calculo en se tiene , para . Por lo tanto es un punto critico de .
Punto critico
Un punto crítico se dice no degenerado cuando la matriz Hessiana en ese punto es invertible, es decir
Daremos algunas propiedades referidas a los puntos críticos en funciones diferenciables.
Primero una propiedad del Algebra Lineal.
Lema
Sea una transformación lineal invertible. Existe una constante tal que para todo .
Demostración
Sea . Para cualquier , tenemos , entonces .
Teorema 
Sea y diferenciable en el punto . Si la matriz , tiene determinante no nulo entonces existe tal que . Es decir si entonces . 
Demostración 
La definición de diferenciabilidad nos da para cada 
 si , tenemos tomando (el lema). Existe tal que entonces y por lo tanto tenemos . Por lo tanto si .
Corolario 1
Sea dos veces diferenciable. Todo punto critico no-degenerado es un punto critico aislado.
Demostración 
Consideramos un punto critico no-degenerado y en entonces tenemos la Hessiana de en y siendo punto critico no-degenerado cumple por el teorema es aislado.
Corolario 2
El conjunto de los puntos críticos no-degenerados de una función dos veces diferenciable es numerable.
Demostración
Sabemos que un conjunto de puntos aislados es numerable.
Corolario 3
Si todos los puntos críticos de una función dos veces diferenciables, son no-degenerados entonces en cada compacto existe un numero finito de ellos.
-Demostración 
De la hipótesis y las derivadas parciales son continuas en . Si es el limite de una sucesión de puntos críticos de entonces, es punto critico de . Luego el conjunto de los puntos críticos de contenido en es cerrado, , por lo tanto es compacto.