REPASO PARCIAL 2 - kevin Bellido

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GEOMETRÍA 
REPASO 
01 
B 
H 
7 
M 
A 
D 
C 
E 
1 
x 
θ 
θ 
7 1 
θ 
θ 
Se pide: CD = x 
 
⊿DCE: DN = NC = NE 
 
Se traza EM ⊥ AD 
 
Teorema de la bisectriz: AB=AM=7 
 
Teorema de los puntos medios: MH=HD = 1 
 
⊿ACD: (CD)2 =(AD)(HD) 
 (x)2 =(9)(1) 
 x = 3 u 
 
N 
En un cuadrilátero ABCD, mABD = mACD = 90, AC es bisectriz del ángulo BAD, CH ⊥ AD, AB = 7 
u y HD = 1 u. ¿Cuál es la longitud, en u, de CD? 
A) 2 B) 3 C) 2,5 D) 3.5 E) 1,5 
A 
B C 
D 
b 
a Q 
P 
Dato: AB = a y AQ = b 
Calcule: CP = x 
x 
Dato: APQD es un trapecio isósceles 
Luego: m∠APD = m∠AQD = 90 
AQ = PD = b 
b 
En ABCD: AB = DC = a y PD 
perpendicular a DC 
a 
x2 = a2 + b
2
 → x = a2 + b2 
En un paralelogramo ABCD, el punto P pertenece a AB , el punto Q pertenece a AC, DQ es 
perpendicular a AC y APQD es un trapecio isósceles de bases AD y PQ. Si AB = a y AQ = b, entonces 
la longitud de PC es 
A) a2 − b2 B) a2 + b2 C) 2a2 + b2 D) 2 a2 + b2 E) 3 a2 − b2 
En el PDC: Teorema de Pitágoras 
02 
P 4 
x 4 
5 
2 
1 
4 
En el trapecio, la diagonal de mayor longitud es 
BD: BD = x 
1 
A 
B C 
D 
Sea P pertenece a AD tal que BP es paralelo a CD 
 
PBCD es un paralelogramo: BP = 4 y PD = 1 
x2(4) + 22(1) = 42(5) + (4)(1)(5) 
 
4x2+ 4 = 80 + 20 
 
 ∴ x = 26 
En un trapecio ABCD, AD es paralelo a BC. Si BC = 1 u, AD = 5 u, AB = 2 u y CD = 4 u, entonces la 
longitud, en u, de la diagonal mayor es 
A) 2 6 B) 
7 2
2
 C) 
7 5
2
 D) 
7 7
2
 E) 
7 10
2
 
 ABD: Teorema de Stewart 
03 
A 
B C 
D 
P 
Q 
F 
O 
5 
Dato: BP = 5, PC = 2 
Calcule: (AQ)2 - (DF)2 = x2 - y2 
x 
H 
y 
2 
Se aplica el teorema de Pitágoras en: r 
r r 
∆AQO: (AO)2 = x2 + r2 … (1) 
 
∆DFO: (DO)2 = y2 + r2 … (2) 
5 2 
(AO)2 - (DO)2 = 52 - 22 = 21…(3) 
(1) y (2) en (3): 
 ∴ x2 - y2 = 21 
En un rectángulo ABCD, una circunferencia está en el interior y tangente a BC en el punto P, se 
trazan las tangentes AQ y DF, Q y F son puntos de tangencia. Si BP = 5 u y PC = 2 u, entonces 
(AQ)² - (DF)², en u2 es 
A) 19 B) 20 C)21 D) 22 E) 23 
 AOD: Teorema de proyección ortogonal 
04 
O D H 
B 
A 
𝛼 
𝛼 𝜃 
𝛼 + 𝜃 
C 
a b x x 
a + x 
Se sabe que a.b = 36 y HD = 2x 
Se traza BO entonces 
ABO: Isósceles 
Por teorema de la proyección 
del cateto: 
(a+x) 
2
 = a(a+2x+b) 
x2 = ab = 36 
x 6
CLAVE : C 
HD = 12 
𝜃 
En un triángulo rectángulo ABC, recto en B se traza la altura BH y la semicircunferencia inscrita en el 
triangulo BHC de diámetro HD (H – D – C), Si (AH)(DC) = 36 u2, entonces la longitud de HD (en u) es 
A) 4 B) 6 2 C) 6 D) 4 3 E) 6 3 
05 
𝛼 
𝛼 
𝛼 
O 
C 
B 
A 
d 
P 
r 
r 
Se pide: AP = d 
AO = OP = r 
OP // AB 
ΔAOP es isósceles 
AP es bisectriz del ∠BAC 
AP
2 = AB×AC - BP×PC 
⇒ 
Teorema de la bisectriz interior 
BP
PC
=
AB
AC 
 ⇒ 
BP
PC
=
5
13
 
BP = 5k y PC = 13k 
BC = 18k = 12 ⇒ k = 2/3 
d
2 = 5×13 – 5k×13k 
d =
5 13
3
 u 
Longitud de la bisectriz interior 
Sea el triángulo ABC, AB = 5 u, BC = 12 u y AC = 13 u. Una circunferencia de centro O, A – O – C, 
contiene al punto A y es tangente a BC en el punto P. ¿Cuál es la longitud, en u, de AP ? 
A) 
5 13
3
 B) 
5 14
3
 C) 
3 13
5
 D) 
3 14
5
 E) 
4 13
3
 
06 
C1 
C2 
A 
O’ 
O 
B 
M 
Q 
a 
b 
r 
r r 
r 
x 
 Δ AQB: Teorema de Pitágoras 
k
2
 = a 2 + b 
2 
 Δ OQO’: Teorema de la mediana 
QO
2
+ QO’
2
 = 2x2 + 
(2r)
2
2
 
a 2 + r 2+ b 2+ r 2 = 2x2 + 2r2 
 2x2 = k2 x = 
k 2
2
 
Dos circunferencias congruentes C1 y C2 son tangentes exteriores en el punto M y desde un punto 
Q exterior, se trazan las rectas tangentes QA y QB a C1 y C2(A ∈ C1 y B ∈ C2) perpendiculares 
entre si. Si AB= k u, entonces la longitud ( en u) de QM es 
A) 
k 
2
 B) 
k 2
2
 C) 
k 3
3
 D) 
k 
3
 E) 2k 
Se pide: QM = x 
k 
07 
P es punto exterior a una circunferencia de centro O. Desde el punto P se trazan, el rayo tangente PQ, 
siendo Q el punto de tangencia y la recta secante PAB y el punto H es proyección de Q sobre PO. Si 
m∠AHB = 90, AH = a y HO = b, entonces la longitud de HB es 
A) 2a + b 2 B) 3a + b 2 C) 3a + 2b 2 D) a + 2b 2 E) a + b 2 
HB = x 
Teorema: OQ ꓕ PQ 
∆PQO: (PQ)2 = (PO)(PH)... (1) 
P 
Q 
A 
B 
H O 
a 
b 
x 
T. de la tangente: (PQ)2 = (PB)(PA)... (2) 
R 
R 
R 
Teorema de Ptolomeo: 
(x)(R) = (a)(R) + (b)(R 2) 
 
 x = a + b 2 
De (1) y (2): AHOB es inscriptible 
08 
P 
T C1 C2 
L 
C A B 
BC = x = ? 
a b x 
Teorema, en C2: 
a + b 
PT = PB = a + b 
Teorema de la tangente, en C1: 
(PT)
2
 = (PC)(PA) 
(a + b)
2
 = (a + b + x)(a) 
x = 
(a + b)b
a
 
C1 y C2 son circunferencias tangentes interiores en el punto T. La recta L es la recta tangente común. 
La cuerda CA de C1 es tangente a C2 en B y B – A – P; P ∈ L . Si PA = a y AB = b, entonces la 
longitud de BC es 
A) ab B) (a + b)b C) (a + b)a D) 
(a + b)b
a
 E) 
(a + b)a
b
 
09 
A 
B 
C 
Q 
M O 
2 
1 
b 
N P 
L 
a a 
S 
T 
Teorema de las cuerdas: 
Reemplazando 1, 2 en 3 : 
x 
x2 = 3b 
x 
a2 = 1(2+b) 
◺MNP Teorema de Pitágoras 
a2 +x2= 22 
……………………(2) 
……………………(1) 
……………………(3) 
1(2+b) +3b = 22 
b = 
1
2
 …………(4) 
x2 = 
3
2
 x = 
6
2
 
.Reemplazando 4 en 1 : 
En una semicircunferencia de diámetro AB y centro O se traza el radio OC perpendicular a AB. Se 
traza el rectángulo OMNP, M ϵ OA, P ϵ OC y N en el arco AC, la prolongación de MP que interseca 
al arco BC en el punto Q. Si MP = 2 u y PQ = 1 u, entonces la longitud (en u) de MN es 
A) 
5
2 B) 
6
2 C) 
7
2 D) 
11
2 E) 
13
2 
10 
C Q 
P 
A B 
4 
9 
a 
y 
x 
 
𝛼 𝛼 
𝛼 𝜃 
𝜃 
Teorema de la tangente : 
Teorema : ∆QAP ~ ∆CPQ 
 2x 4 x 4a
a x
  
 2y 9a 
Dividiendo : 
 2
x 4
y 9
 
 
 
 
 x 2
 
y 3
 
x
Piden :
y
Desde un punto C exterior a una circunferencia se traza la tangente CQ (Q punto de tangencia) y la 
secante CBP, en el arco PQ que no contiene a B se ubica el punto A tal que m∠APQ = m∠QPC. Si 
AP = 4 u y BC = 9 u, entonces calcule 
PQ
QC
. 
A) 
 2 
3
 B) 
3
5
 C) 
2
3
 D) 
4
9
 E) 
2
5
 
11 
O 
A D R 
x 
R 
B 
C 
R=L6 
Piden mCD = x 
 
Como AD = 2AB 
→AB = R = L6 
 
Como BC es congruente con la 
sección aurea de AB 
→ BC = R
( 5−1)
2 
 = L10 
 
Luego 60 + 36 + x = 180 
 
→ x = 84 
 
L10 
60 
36 
En una semicircunferencia de diámetro AD, se ubica los puntos B y C, B ∈ AC
 
. Si AD = 2(AB) y BC 
es congruente con la sección áurea de AB, entonces medida del arco CD es 
A) 98 B) 84 C) 82 D) 96 E) 74 
12 
A 
B 
C 
E 
 En el polígono regular: 
PH = CH - CP 
D 
F 
G 
H I 
J 
P 
54 
54 
72 
2 
2 
2 
36 
36 
36 
36 
36 
36 
36 
R es longitud del circunradio 
R 
 CH = 2R 
... (1) 
Por teoría: AB = L10 = 
R
2
 ( 5−1) 
2 = 
R
2
 ( 5−1)  R = 5+1 
Reemplazando R en (1) PH =2 5 
En el decágono regular: 10 = 36 
Piden: PH 
En el decágono regular ABCDEFGHIJ, la diagonal BF interseca a la diagonal DJ en el punto P. Si 
AB = 2 cm, entonces la longitud (en cm) de PH es 
A) 2 2 B) 2 3 C) 2 6 D) 2 5 E) 2 7 
13 
l 
x 
Q 
E D 
C 
B 
A 
72 
72 
72 
l 
l 
l 
∆ CDQ : Isósceles 
Luego: x = l 5 
l 
  x 10 2 5
2
 → QC = CD = l 
En un pentágono regular ABCDE cuyo lado mide ℓ, las diagonales AC y BE se intersecan en el 
punto Q. Calcule la longitud de QD. 
A) 
ℓ
2
5 − 1 B) 
3
2
ℓ C) 
ℓ
2
6 D) 
ℓ
2
5 + 1 E) 
ℓ
2
10 − 2 5 
14 
Los rectángulos ABCD y A´B´C´D son simétricos respecto de una recta L trazada por D de modo que los triángulos 
ABC y A´B´C´ están contenidos en cada semiplano determinadopor L. Si AA´ + CC´ = a, entonces la longitud de 
BB´ es. 
A) a B) 2a C) 3a D) 3,5a E) 4a 
A 
B 
C 
D 
L 
A´ 
b 
n 
m 
B´ 
C´ 
Calcule BB´ 
Dato: AA´ + CC´ = a 
 
 → m + n = a ... (1) 
P 
Q 
b 
b 
b 
b 
b 
b 
b 
Trapecio ACC´A´, PQ es mediana 
 
 Teorema: PQ = 
m +n
2
 
m +n
2
 
∆BDB´: PQ es base media 
 
 Teorema: BB´ = 2(PQ) = 2(
m +n
2
) = m + n... (2) 
 
 Se reemplaza (1) en (2): BB´ = a 
15 
B 
2 
C 
a 
8 
B´ 
x/2 A 
2 
6 < 2a <10 
x = 6 2 
A´ 
x/2 
a 
ΔBB´A´: Desigualdad triangular 
ΔABA´: Teorema de la Mediana 
(2)² + (8)² = 2a² + 
(x)² 
2
 
a = 4 
En un triángulo ABC, se traza el simétrico A´B´C. Si AB = 2 u, A´B = 8 u y BC es entero, entonces la 
longitud (en u) de A´A es 
A) 6 B) 2 6 C) 6 2 D) 2 3 E) 4 
16 
Por lo tanto: 
A B 
C D 
8 
T 
M 
ATB es equilátero 
 mABT = 60 
BAD: mABD = 45 
mMBT = 15 
La longitud del arco MT es 
L 
8 
8 
8 
L = 
15
360
2(8) 
L = 
2
3 
En un cuadrado ABCD, con centros en A y B se trazan los arcos BD y AC respectivamente, BD  AC = 
T y BD  AC = M. Si AB = 8 u, entonces la longitud aproximada (en u) del arco MT es 
A) 
3
4
 B) 
4
5
 C) 
5
6
 D) 
2
3
 E) 
3
5
 
17 
En un triángulo equilátero ABC, en AC se ubica el punto P, BP = 7 u y PC = 5 u. D es el punto 
simétrico de B con respecto al punto P y E es el punto simétrico del punto D con respecto al punto A. 
Calcule la longitud (en u) del EB. 
A) 4 B) 8 C) 5 D) 5,5 E) 6 
A 
B 
C 
P 
D 
E 
7 
7 
5 
x 
a 
a 
60 
m 
EB = x = ? 
 D y B son simétricos con respecto a P. 
→ B - P - D y BP = PD 
D y E son simétricos con respecto a A. 
→ D - A - E y DA = AE 
7
2
 = 5
2
+m2 −2(m)5cos60 
Δ BCP: Teorema de cosenos 
→ m = 8 
3 
ΔEDB: AP es base media 
EB = x = 2(3) 
x = 6 
18 
. OM = ap8 = 
R
2
2+ √2 
G 
A 
B 
C 
D 
E 
F 
G 
H 
O 
M 
R 
2
8l
 . BM = 
𝑙
8
2
 = 
R
2
2− √2 
 . ΔCBG: T.P.M BG = 2ap8 
 (MG)
2
= (R 2 + √2)2 + (
R
2
2 − √2)2 
 (MG)
2
= (2ap8)
2 + (BM)2 
MG =
R 10 + 3√2
2
 
2
8l
ap8 
2ap8 
R 
En un octágono regular ABCDEFGH, el circunradio mide R. Si M es punto medio de BC, entonces la 
longitud de GM es 
A) 
R 10 + 3√5
2
 B) 
R 10 + 3√2
2
 C) 
R 10 + 2√2
3
 D)
R 5+ 3√2
2
 E) 
R 10 +2√5
2
 
 . ΔMBG: Teorema de Pitágoras 
19 
A 
…………(3) 
. BD = d=2ap5 = 𝑙
5 +1
2
 
. mB’A’B = 90 
B 
C 
D E 
E´ 
A´ 
B´ 
𝑙 
C´ 
…..……..(1) 
. BB´=2d= 𝑙( 5 + 1) 
. Se trazan BD y DB’ 
x 
𝑙 
𝑙 
𝑙 
𝑙 
Los pentágonos regulares ABCDE, A´B´C´DE´ son simétricos y AB = 𝑙. Calcule la longitud de BA´. 
A) 
𝑙( 5 + 1)
4
 B) 𝑙 5 + 2 5 C) 
𝑙(1 + 2 5)
2
 D) 
𝑙( 5 − 1)
2
 E) 
𝑙(1− 2 5)
4
 
. x = ? 
x= 2d 2− 𝑙2 
…………(2) 
x = 𝑙 (5+2 5) 
. Reemplazando (1) y (2) en (3) se tiene: 
 . ∆ BB’A’ ∶ t. Pitágoras 
d 
d 
20 
En un triángulo ABC recto en B, de incentro I, las áreas de las regiones triangulares AIB y BIC son S1 y 
S2. Calcule el área de la región triangular AIC. 
A) S1 + S2 B) 
S1 + S2
3
 C) S1S2 D) S1² + S2² E) ( S1 + S2 )² 
S2 
S1 
SX 
S1 = 
(AB)r
2
 ... (2) 
SX = S1 
2+ S2 
2 
r 
SX = ? 
B 
A C 
I 
r 
r 
S2 = 
(BC)r
2
 ... (3) 
SX = 
(AC)r
2
 ... (1) 
(2)2 + (3)2: 
(S1)
2 + (S2)
2 = (AB2 + BC2)(
r
2
)2 
(S1)
2 + (S2)
2 = (AC2)(
r
2
)2 
(S1)
2 + (S2)
2 = (SX)
2  
21 
B 
A 
C 
M 
N 
3 
3 12 
12 
8 
θ 
3 
r 
 AMCN = ? 
15 
17 
Se deduce que el ΔABC es rectángulo 
Teorema de Poncelet 
 8 + 15 = 17 + 2r → r = 3 
 Entonces BM = 3 y MC = 12 
AMCN = 
(12)(12)
2 
senθ 
AMCN = 
(12)(12)
2 
(
8
17
) = 
576
17
 
En un triángulo ABC, la circunferencia inscrita es tangente a BC y AC en M y N respectivamente. Si 
AB = 8 u, BC = 15 u y AC = 17 u, entonces el área (en u²) de la región triangular MCN es 
A) 
571
17
 B) 
575
17
 C) 
576
17
 D) 
591
17
 E) 
599
17
 
22 
A 
B 
D 
C 
6 
5 
2 
3 
3 
2 
α 
180-α 
S 
S 
4S 
M 
AABMD = ? 
BCDM : paralelogramo 
En el cuadrilátero ABCD inscrito: 
 m∠A + m∠C = 180 
→ 
 ABAD
 ABCD
=
(6)(5)
2 3
 = 
5S
1S
 
→ ABMD = ABCD = S 
AABCD = (8− 6)(8− 5)(8− 2)(8− 3) 
AABMD = 4S = 4 5 
6S = 6 5 → S= 5 
En el interior de un cuadrilátero ABCD inscrito en una circunferencia, se ubica el punto M, tal que 
MBCD es un paralelogramo. Si AB = 6 u, AD = 5 u, BC = 2 u y CD = 3 u, entonces el área (en u²) 
de la región no convexa ABMD es 
A) 5 B) 2 5 C) 3 5 D) 4 5 E) 5 5 
23 
A D 
B C 
P 
Q E 
S 
6 
6 
a 
a 
3 
3 6 
45 
45 
45 
60 
H 
A = ? 
A 
Se deduce que: PA = AQ 
Además PH = HQ = 3 
Δ SHQ : notable de 30 y 60 
→ m∠PQS = 60 
A = (π62)(
60
360
) − 
62
4
3 
A = 6π− 9 3 
A = 3(2π− 3 3) 
En un cuadrado ABCD, E es un punto de la prolongación de DA; la semicircunferencia de diámetro ED 
y centro Q, A – Q – D, interseca a AB y AC en los puntos P y S respectivamente. Si BP = QD = 6 u, 
entonces el área (en u²) del segmento circular correspondiente a la cuerda PS es 
A) 
9
2
(π − 2) B) 3(2π− 3 3) C) 3(π− 2) D) 6(2π− 3) E) 4(3π− 2 3) 
24 
B 
A 
D 
C 
E 
G 
H 
F 
O R 
a 
a 
a 
R 
R 
R 
. área(ABC) = ? 
pero sabemos por dato: (BG)(BH) = 48 
. ΔBOG ~ ΔBHD 
. área(ABC) = 
(AC)(BO)
2
 
área(ABC) = 
(2a)(a)
2
 área(ABC) = a2 ⟹ 
BG
2a
 = 
a
BH
 
⟹ 
(BG)(BH) = 2a2 
 a2 = 24 
. área(ABC) = 24 
θ 
θ 
Se tienen un cuadrado ABCD y una circunferencia de centro D y radio DA. Se trazan el diámetro 
EF y BH perpendicular a EF (H ∈ ED). Si AC ∩ BH = G y (BH)(BG) = 48 u², entonces el área (en 
u²) de la región triangular ABC es 
A) 16 B) 18 C) 24 D) 20 E) 28 
25 
B A 
D 
R 
Q P 
O 
R 
S2 
4 
2 2 
53 
53 
2
 
53 
2
 
. S1: área del segmento circular AMB 
. S1 + S2 = ? 
. Área del sector circular AOB = S1 + S2 
. Área(ΔPAB) = área(ΔAOB) = S2 
⟹ 
. ΔBCO ≅ ΔADO (ALA) 
DO = CO = 2 
S1 
S2: área(ΔPAB) 
C 
R = 2 5 
. S1 + S2 = 
53
360
𝜋 2 5
2
 
S1 + S2 = 
53𝜋
18
 
M 
Se tienen una circunferencia de diámetro PQ y un cuadrado ABCD tal que AB es una cuerda y PQ 
contiene a CD. Si BC = 4 u, entonces el área de la región limitada por PA, PB y el arco menor AB es 
A) 
37𝜋
18
 B) 
53𝜋
18
 C) 
49𝜋
18
 D) 
43𝜋
18
 E) 
13𝜋
6
 
26 
A 
B 
D 
C 
T 
a 
b 
área(ABCD) = ? a 
b 
b-a 
2 ab 
Teorema de Pitágoras: 
E 
área(ABCD) = 
BC + AD
2
(CE) 
área(ABCD) = (a+ b) ab 
 ΔCDE: CE = 2 ab 
área(ABCD) = 
a + b
2
(2 ab ) 
Se tienen un trapecio rectángulo ABCD (recto en A y B) y una semicircunferencia de diámetro AB que 
es tangente a CD en el punto T. Si CT = a y TD = b, entonces el área (en u²) de la región trapecial 
ABCD es 
A) ab B) b ab C) ab D) (b + a) ab E) (b + a) 
27 
40 
En la circunferencia de centro O y diámetro AB se ubican los puntos P y Q (P en el arco AQ), luego se 
traza PH perpendicular al diámetro tal que A – H – O. Si QB = 2PH, PQ = 6 m y m∠AOP = 40, 
entonces el área (en m²) del sector circular POQ es 
A) 2π B) 4π C) 5π D) 6π E) 8π 
A B  
O 
P  
 
Q 
H 
40 
a 
2a 
6 
 Se traza OM ⊥ QB 
r 
  QM = MB = a 
a 
a 
  PHO ≅ QMO  m∠POH = m∠QOM = 40 
 luego m∠QOM = m∠MOB = 40 
40 En O: 40 + m∠POQ + 80 = 180  m∠POQ = 60 
60 
  POQ equilátero : OP = PQ = r = 6 
 APOQ = π6
2
(
60
360
) 
r 
= 6 
M 
r 
 APOQ = 6π 
 APOQ = ? 
28 
Se tiene un rectángulo ABCD de centro O, se ubica un punto P exterior respecto a BC. Si AO = OP, 
AO ⊥ OP y AD = 8 u, entonces el área (en u²) de la región cuadrangular APDO es 
A) 24 B) 32 C) 48 D) 16 E) 64 
D 
C 
A 
P 
O 
8 
a 
a 
a 
E 
𝜃 
𝜃 
SX 
 Calcular SX 
Sx =
(a)(8)Sen(𝜃) 
2
 
◺ ACD: Sen(𝜃) = 
8
2a 
 
B 
Sx =
(a)(8)( 8
2a 
) 
2
 
 ∴ SX = 16 
29 
 
 
 
 
 
 
 
 
En un triángulo ABC, recto en B,se traza la altura BH. Si BC = 4 u, entonces el área (en u²) de la 
corona circular determinada por las circunferencias concéntricas, una con diámetro AH y otra que 
contiene a C es 
A) 12π B) 16π C) 8π D) 
16
3
π E) 4π 
C A 
B 
H 
r 
r 
R 
R 
r R-r 
 S : Área de la corona circular 
 
 S = π(R
2
 - r
2
) = ? 
 
∆ABC: Relaciones Métricas 
 
4
2
 = (R+r)(R-r) 
 
R
2
− r
2
 = 16 
 
→ S = π(16) 
 
S = 16π 
4 
S 
30