semana 5 - kevin Bellido

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GEOMETRÍA 
Segmentos proporcionales 
RAZÓN DE SEGMENTOS 
Definición.- Se denomina razón de dos 
segmentos, al cociente de las longitudes de 
los segmentos expresados en la misma 
unidad. 
 
A B 
4 u 
C D 
6 u 
La razón de 
AB y CD es 
2
3
 
 
AB
CD
 = 
4
6
 = 
2
3
 
SEGMENTOS PROPORCIONALES 
AB y CD son proporcionales a MN y PQ . 
Definición.- Dos segmentos son proporcio-
nales a otros dos, cuando sus respectivas 
longitudes tienen la misma razón. 
M N 
8 u 
 
P Q 
12 u 
C D 
6 u 
A B 
4 u 
 
AB
CD
 = 
4
6
 = 
2
3
 
 
MN
PQ
 = 
8
12
 = 
2
3
 
→ 
AB
CD
 = 
MN
PQ
 
RECTAS EQUIPARALELAS 
Las rectas paralelas L1, L2 
y L3 son equiparalelas, si 
intersecan a otra recta L 
en los puntos A, B y C 
respectivamente, tal que 
AB ≅ BC. 
L1 
L2 
L3 
A 
B 
C 
L 
a 
a 
TEOREMA DE THALES 
Tres o mas rectas o mas rectas paralelas 
determinan en dos rectas secantes 
cualesquiera, segmentos proporcionales 
L2 
L3 
L1 A 
C 
B 
F 
E 
D 
L2 
L3 
L1 
A 
C 
B 
E 
D 
L2 
L3 
L1 A 
C 
B 
E 
D 
AB
BC
=
DE
EF
 
AB
BC
=
AD
DE
 
AB
BC
=
DB
BE
 
Si L1 // L2 // L3 
entonces 
COROLARIOS 
Si L1 // L2 // L3 
entonces 
Si L1 // L2 // L3 
entonces 
En todo triángulo, una bisectriz interior 
determina en el lado al cual es relativo, 
segmentos proporcionales a los otros dos 
lados 
TEOREMA DE LA BISECTRIZ 
INTERIOR 
A C 
B 
F 
θ θ 
Si BF es bisectriz interior, 
entonces, 
AB
BC
=
AF
FC
 
 
En todo triángulo, una bisectriz exterior 
determina con el lado al cual es relativo, 
segmentos proporcionales a los otros dos 
lados 
TEOREMA DE LA BISECTRIZ 
EXTERIOR 
A C 
B 
F 
θ 
θ 
Si BF es bisectriz interior, 
entonces, 
AB
BC
=
AF
FC
 
 
El incentro de un triángulo, divide a una 
bisectriz interior en dos segmentos que son 
proporcionales a la suma de las longitudes de 
los lados adyacentes a la bisectriz y la longitud 
del lado al cual es relativo 
A C 
B 
F 
β 
I 
β 
TEOREMA DEL INCENTRO 
BI
IF
=
AB + BC
AC
 
Si I es incentro del ABC 
entonces 
El excentro de un triángulo, divide a una 
bisectriz de un ángulo interior en dos 
segmentos que son proporcionales a la suma 
de las longitudes de los lados adyacentes a la 
bisectriz y la longitud del lado al cual es 
relativo 
A C 
B 
F 
β 
E 
β 
TEOREMA DEL EXCENTRO 
BE
FE
=
AB + BC
AC
 
Si E es excentro del 
ABC 
entonces 
Si una recta L es secante a un triángulo ABC, 
de modo que interseca a los lados AB, BC y a 
la prolongación del lado AC en los puntos P, Q 
y R, entonces 
AP
PB
BQ
QC
CR
RA
= 1 
A C 
B 
R 
Q 
P 
L 
TEOREMA DE MENELAO 
También 
(AP)(BQ)(CR) = (PB)(QC)(AR)) 
TEOREMA DE CEVA 
Si en un triángulo ABC, se trazan las cevianas 
concurrentes AQ , BR y CP , entonces 
AP
PB
BQ
QC
CR
RA
= 1 
A C 
B 
R 
Q 
P 
F 
También 
(AP)(BQ)(CR) = (PB)(QC)(AR) 
CUATERNA ARMÓNICA 
Los puntos colineales y consecutivos A, B, C y 
D formarán una cuaterna armónica, si se 
cumple la proporción: 
AB
BC
 = 
AD
CD
 
AB > BC y CD > BC 
A C B D 
OBSERVACIÓN 
A C 
B 
Q 
θ 
θ 
α 
P 
α → 
AP
PC
=
AQ
CQ
 
También: (AB)(CD) = (AD)(BC) 
TEOREMA 
Si en un triángulo ABC, se trazan las cevianas 
AM , BP y CN concurrentes en O, las 
prolongaciones de NM y AC se intersecan en 
Q, entonces 
AP
PC
 = 
AQ
CQ
. 
A 
B 
N 
M 
Q C P 
O 
→ 
AP
PC
=
AQ
CQ
 
BMON: cuadrilátero 
completo 
BP y BQ son 
bisectrices 
AM , BP y CN son 
cevianas concurrentes 
GEOMETRÍA 
Semejanza de triángulos 
TRIÁNGULOS SEMEJANTES 
Definición.- Dos triángulos son semejantes, si 
tienen los ángulos respectivamente congruentes 
y los lados homólogos proporcionales. 
Lados homólogos, son aquellos lados que se 
oponen a los ángulos congruentes. 
A 
B 
C D 
E 
F 
a q 
b 
a q 
b 
ABC ~ DEF 
A  D
B  E
C  F
   
AB
DE
=
BC
EF
=
AC
DF
 
TEOREMAS DE SEMEJANZA DE 
TRIÁNGULOS 
Si dos triángulos tienen dos ángulos 
respectivamente congruentes, entonces 
son semejantes. 
Si A  D y C  F, 
entonces 
ABC ~ DEF 
TEOREMA ÁNGULO-ÁNGULO (AA) 
A 
B 
C 
D 
E 
F 
a q 
a q 
a 
b 
c 
ak 
bk 
ck 
Si dos triángulos tienen dos lados respectivam-
ente proporcionales y congruentes los ángulos 
determinados por dichos lados, entonces son 
semejantes. 
Si 
AB
DE
=
AC
DF
 y A  D, entonces 
TEOREMA LADO-ÁNGULO-LADO 
(LAL) 
Si 
AB
DE
=
BC
EF
=
AC
DF
, entonces 
TEOREMA LADO-LADO-LADO (LLL) 
Si dos triángulos tienen sus tres lados 
respectivamente proporcionales, entonces son 
semejantes. 
 
 
ABC ~ DEF 
ABC ~ DEF 
A 
B 
C D 
E 
F 
a a 
A 
B 
C D 
E 
F 
b 
c 
bk 
ck 
a 
b 
c 
ak 
bk 
ck 
Si dos triángulos son semejantes, entonces los elementos homólogos, son respectivamente 
proporcionales. 
Si ABC ~ DEF, entonces 
A 
B 
C D 
E 
F 
a q a q 
b 
b 
P Q 
h1 
h2 
R1 R2 
a c d f 
b e 
a
d
=
b
e
=
c
𝑓
 =
h1
h2
 =
R1
R2
 = …= k k > 0 
TEOREMA 
GEOMETRÍA 
Puntos notables 
BARICENTRO 
Definición.- Se denomina baricentro de un 
triángulo al punto de intersección de las 
medianas en el triángulo. 
 
En la figura: 
AM, BN y CL son medianas, entonces, 
G es el baricentro del ABC 
A C N 
L M 
B 
G 
b 
a 
b 
a c 
c 
TEOREMA 
En todo triángulo el baricentro determina en 
cada mediana segmentos cuya razón es dos. 
 
Si G es baricentro de ABC, entonces 
A C N 
L M 
B 
G 
b 
a 
b 
a c 
c 
AG = 2(GM) 
BG = 2(GN) 
CG = 2(GL) 
m 
2m 
b 
2b 
c 
2c 
INCENTRO 
Definición.- Se denomina incentro de 
un triángulo al punto de intersección de 
las bisectrices interiores en el triángulo. 
AD, BE y CF son bisectrices interiores, 
I es el incentro del ABC 
C : Circunferencia inscrita 
 r: Longitud del inradio 
A 
B 
r 
C 
I 
a q 
b 
q a 
b 
D 
E 
F 
C 
EXCENTRO 
Definición.- Se denomina excentro de un triángulo al 
punto de intersección de las bisectrices de dos 
ángulos exteriores y un ángulo interior en el triángulo. 
A C 
B 
a 
b 
q 
q a 
b 
C 
ra 
Ea 
T 
P 
Q 
AP, BQ y CT son bisectrices 
Ea es el excentro del ABC 
C : Circunferencia exinscrita 
ra: Longitud del exradio 
r 
r 
r ra 
ra 
ra 
ORTOCENTRO 
Definición.- El ortocentro de un triángulo es 
el punto de intersección de las alturas del 
triángulo o de sus prolongaciones. 
AP, BQ y CT son alturas, entonces 
H es el ortocentro del ABC 
A C 
B 
P 
T 
Q 
H 
Si el triángulo es acutángulo el ortocentro 
pertenece a su interior. 
H es el ortocentro 
del ABC 
B es el ortocentro 
del ABC 
 
A C Q 
H 
P 
T 
B 
A C 
B 
P 
CIRCUNCENTRO 
Definición.- El circuncentro de un triángulo es el punto de intersección de las mediatrices del 
triángulo. 
 
Si el triángulo es acutángulo el circuncentro 
pertenece a su interior. A C 
B 
O 
R 
 
Lc 
Lb 
La 
C 
a 
a 
b b 
c 
c 
La, Lb y Lc son mediatrices de ABC, 
entonces: 
O es el circuncentro del ABC 
C: Circunferencia circunscrita al ABC 
R: Longitud del circunradio 
R R 
R 
CIRCUNCENTRO 
Si el triángulo es obtusángulo el circuncentro 
pertenece al exterior y relativo al mayor lado. 
Si es un triángulo rectángulo el circuncentro es 
el punto medio de la hipotenusa. 
A 
B 
C 
Lc 
b L 
a L 
 O R 
C 
La, Lb y Lc son mediatrices de ABC, 
O es el circuncentro del ABC 
C: Circunferencia circunscrita al ABC 
R: Longitud del circunradio 
 
 
a 
a 
b b 
c 
c 
A 
B 
C 
 
R 
C 
La 
a 
a 
Lc 
c 
c 
Lb 
b b O 
La, Lb y Lc son mediatrices de ABC, 
O es el circuncentro del ABC 
C: Circunferencia circunscrita al ABC 
R: Longitud del circunradio 
 
 
RECTA DE EULER 
Definición.- Se denomina recta de Euler de un triángulo no equilátero, a la recta que 
contiene el ortocentro, baricentro y circuncentro del triángulo. 
 
 
 
En la figura: 
Si H es ortocentro, 
G es baricentro y 
O es circuncentrodel ABC no equilátero, 
entonces 
 
L: Recta de Euler 
A 
G 
C 
H 
O 
B 
L 
TEOREMA 
En todo triángulo la distancia de un vértice al ortocentro es igual a dos veces la distancia del 
circuncentro al lado opuesto a dicho vértice. 
 
En la figura: 
Si H es ortocentro y 
O es circuncentro del ABC, 
Entonces 
BH = 2(OM) 
HG = 2(GO) 
A M C 
H 
O 
B 
d 
2d 
b 
2b G 
CIRCUNFERENCIA DE EULER 
Definición.- Se denomina circunferencia 
de Euler de un triángulo a la 
circunferencia que contiene a los pies de 
las alturas, los puntos medios de los 
lados y los segmentos cuyos extremos 
son el ortocentro y cada vértice del 
triángulo. 
 
 
Q 
 
S 
F 
E 
M N 
R 
R’ 
C 
D 
L 
P 
A 
H 
O 
O’ 
B 
C 
Teoremas 
D, E y F son los pies de las alturas 
M, N y L son puntos medios de AB, BC y AC 
P, Q y S son puntos medios de AH, BH y CH 
entonces, 
C : Circunferencia de Euler 
R’: longitud del radio de la circunferencia de Euler 
R’ = 
R
2
 
HO’ = O’O