Copia de Semana 5b Semejanza y Puntos Notables Teoría Pre 2021-2 - BYRON DAVID CEVALLOS TRUJILLO

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SEMEJANZA DE 
TRIÁNGULOS
TEORÍA
5b
2021-2
TRIÁNGULOS SEMEJANTES
Definición.- Dos triángulos son semejantes, si tienen los
ángulos respectivamente congruentes y los lados
homólogos proporcionales.
Lados homólogos, son 
aquellos lados que se oponen 
a los ángulos congruentes.
A
B
C D
E
F
a q
b
a q
b
ABC ~ DEF ቐ
A  D
B  E
C  F
 
AB
DE
=
BC
EF
=
AC
DF
TEOREMAS DE SEMEJANZA DE TRIÁNGULOS
1. Si dos triángulos tienen dos ángulos respectivamente
congruentes, entonces son semejantes.
Si A  D y C  F, 
entonces
△ABC ~ △DEF
A
B
C D
E
F
a qa q
TEOREMA (SEMEJANZA AA)
DEMOSTRACIÓN
Si A  D y C  F, 
Entonces
△ABC ~ △DEF
Se deduce m∠B = m∠E = 𝛽
Sea AB > DE y P ∈ AB / PB = DE 
A
B
C
D
E
F
𝛼
𝛼
𝜃
𝜃
P Q
R
𝛽
𝛽
△PBQ ≅ △DEF, teorema (ALA)
BQ = EF, PQ = DF 
𝜃𝛼
△ABC, PQ // AC , teorema de Thales
AB
PB
= 
BC
BQ
⇒ 
AB
PB
= 
BC
EF
. . . (1)
△ABC, PR // BC / R ∈ AC, t. de Thales
PQ = RC ⇒ RC = DF
AB
PB
= 
AC
RC
⇒
AB
PB
= 
AC
DF
. . . (2) 
De (1) y (2): 
AB
DE
= 
BC
EF
=
AC
DF
Por definición △ABC ~ △DEF
Se traza PQ // AC, Q ∈ BC
2. Si dos triángulos tienen dos lados respectivamente
proporcionales y congruentes los ángulos determinados por
dichos lados, entonces son semejantes.
Si 
b
e =
c
f
y A  D, entonces
△ABC ~ △DEF
A
B
C D
E
F
aa
b
c
f
e
TEOREMA (SEMEJANZA LAL)
3. Si dos triángulos tienen sus tres lados respectivamente
proporcionales, entonces son semejantes.
△ABC ~ △DEF
Si 
a
d
=
b
e
=
c
f
, entonces
A
B
C D
E
Fb
c
f
e
a
d
TEOREMA (SEMEJANZA LLL)
Si dos triángulos son semejantes, entonces los elementos 
homólogos, son respectivamente proporcionales.
Si ABC ~ DEF, entonces
A
B
C D
E
F
a qa q
b
b
P Q
h1
h2
R1 R2ac df
b e
a
d
=
b
e
=
c
𝑓
=
h1
h2
=
R1
R2
= …= k
k > 0
TEOREMA
EJERCICIO 6
En un trapecio ABCD, BC es la base menor y la altura del trapecio
miden 6 u y 4 u. Si la distancia entre los puntos medios de las
diagonales es igual a 2 u, entonces la distancia (en u) del punto de
intersección de las prolongaciones de los lados no paralelos a la
base mayor AD es
A) 6 B) 8 C) 10
D) 12 E) 14 
RESOLUCIÓN 6
En un trapecio ABCD, BC es la base menor y la altura del trapecio
miden 6 u y 4 u. Si la distancia entre los puntos medios de las
diagonales es igual a 2 u, entonces la distancia (en u) del punto de
intersección de las prolongaciones de los lados no paralelos a la
base mayor AD es
Q
D
CB
A
4
6
10
4
x - 4
• Dato 
AD 6
2
2
−
=
→ AD = 10
• ∆AQD ~ ∆BQC (AA)
10 x
6 x 4
=
−
→ x = 10
x
Clave: C 
Calcule d(Q;AD) = x
Un segmento AB está dividido armónicamente por los puntos
P y Q (A-P-B, P-B-Q), demostrar AP
PB
=
AQ
BQ
• AQ > BQ → AP > PB
• AQ > AP → BQ > PB
A
BP Q
R
T
L1
L2
Por A y B se trazan L1 // L2
Sea R ∈ L1 y M ∈ L2 / R-P-M 
M
△APR ~ △BPM
AP
PB
= 
AR
MB
. . . (1)
Sea T ∈ L2 / MB = BT y R-T-Q 
△AQR ~ △BQT
AQ
BQ
= 
AR
BT
⇒ 
AQ
BQ
= 
AR
MB
, , , (2) 
De (1) y (2): 
AP
PB
= 
AQ
BQ
PROBLEMA
Demostración
PUNTOS NOTABLES 
TEORÌA
5b
2021-2
BARICENTRO
Definición.- Es el punto de intersección de las medianas de un 
triángulo.
En el triángulo ABC:
AM, BN y CL son medianas,
A CN
L M
B
G
b
a
b
ac
c
G es baricentro del ABC
INCENTRO
Definición.- Es el punto de intersección de las bisectrices
interiores de un triángulo.
En el triángulo ABC:
AD , BE y CF son bisectrices
interiores:
- I es incentro
- C es la circunferencia inscrita
- r es longitud del inradio
A
B
r
C
I
a q
b
qa
b
D
E
F
C
EXCENTRO
Definición.- Es el punto de intersección de las bisectrices de
dos ángulos exteriores y un ángulo interior de un triángulo.
En el triángulo ABC:
AP, BQ y CT son bisectrices
A C
B
a
b
q
qa
b
C
ra
M
N
aE
T
P
Q
- Ea es el excentro
- C circunferencia exinscrita
- ra es longitud del exradio
ORTOCENTRO
Definición.- Es el punto de intersección de las alturas de un 
triángulo o de sus respectivas prolongaciones. 
En el triángulo ABC:
AP, BQ y CT son alturas
H es ortocentro
A C
B
P
T
Q
H
Si el triángulo es acutángulo,
entonces el ortocentro pertenece
al interior.
ORTOCENTRO
Si el triángulo es obtusángulo,
entonces el ortocentro
pertenece al exterior.
En un triángulo rectángulo, el
ortocentro es el vértice del
ángulo recto.
En el triángulo ABC:
H es ortocentro
En el triángulo ABC, recto en B:
B es ortocentro del ABC
A CQ
H
P
T
B
A C
B
P
CIRCUNCENTRO
Definición.- Es el punto de intersección de las mediatrices de 
los lados de un triángulo. 
Si el triángulo es acutángulo, entonces el
circuncentro pertenece al interior.
A C
B
O
R
cL
bL
aL
C
a
a
b b
c
c
En el triángulo ABC:
La, Lb y Lc son mediatrices de los lados
O es circuncentro
C es la circunferencia circunscrita al ABC
R es la longitud del circunradio
CIRCUNCENTRO
Si el triángulo es obtusángulo,
el circuncentro pertenece al
exterior.
Si es un triángulo rectángulo, el
circuncentro es el punto medio
de la hipotenusa.
A
B
C
cL
bL
aL
O
R
C
La, Lb y Lc son mediatrices,
O es circuncentro del ABC
a
a
b b
c
c
A
B
C
R
C
aL
a
a
cL
c
c
bL
b bO
La, Lb y Lc son mediatrices,
O es circuncentro del ABC
EJERCICIO 7
Indique el valor de verdad de cada proposición
I. En un triángulo, el baricentro es el punto de intersección 
de las alturas.
II. En un triángulo, el incentro es el punto de intersección 
de las mediatrices de los lados.
III. En un triángulo, el ortocentro es el punto de intersección 
de las alturas o de sus prolongaciones.
A) VVV B) VFV C) FFV
D) FVF E) FFF
RESOLUCIÓN 7
Indique el valor de verdad de cada proposición
I. En un triángulo, el baricentro es el punto de 
intersección de las alturas.
II. En un triángulo, el incentro es el punto de intersección 
de las mediatrices de los lados.
III. En un triángulo, el ortocentro es el punto de 
intersección de las alturas o de sus prolongaciones.
El baricentro es el punto de 
intersección de las medianas.
I. FALSO
II.
El incentro es el punto de 
intersección de las bisectrices 
interiores
FALSO
III. VERDADERO
Clave: C
TEOREMA
En un triángulo, el baricentro determina en cada mediana 
segmentos cuya razón es dos.
Si G es baricentro del ABC,
entonces
A CN
L M
B
G
b
a
b
ac
c
AG = 2(GM)
BG = 2(GN)
CG = 2(GL)
x
2x
y
2y
z
2z
TEOREMA
En un triángulo, la distancia de un vértice al ortocentro es
el doble de la distancia del circuncentro al lado opuesto
a dicho vértice.
En el triángulo ABC, si
H es ortocentro y
O es circuncentro,
entonces
BH = 2(OM)
A
M
C
H
O
B
d
2d