Calculo diferencial Universidad-76

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CálCulo DiferenCial Con geoMetría analítiCa para ingeniería autoMotriz
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Ejemplo 1: Determinar lím
𝑥𝑥→1
𝑥𝑥2 − 𝑥𝑥
𝑥𝑥2 − 1
 
solución
Si reemplazamos el valor al que tiende x nos da como resultado 
12−1
12−1
= 1−1
1−1
= 0
0
 que es una indeterminación.
lím
𝑥𝑥→1
𝑥𝑥2 − 𝑥𝑥
𝑥𝑥2 − 1
=
𝑥𝑥(𝑥𝑥 − 1)
(𝑥𝑥 + 1)(𝑥𝑥 − 1)
=
𝑥𝑥
(𝑥𝑥 + 1)
=
1
1 + 1
=
1
2
 
Indeterminación 
∞
∞
 
Cuando al reemplazar directamente el límite en la función nos da 
un valor de este tipo, se tiene que dividir el numerador y el denomina-
dor para la mayor potencia de la variable en el denominador.
Ejemplo 2: Determinar lím
𝑥𝑥→∞
𝑥𝑥2 + 𝑥𝑥
3 − 𝑥𝑥
 
solución
Si reemplazamos el valor al que tiene x nos queda 
∞+∞
3−∞
= ∞
∞
 lo cual 
es una indeterminación ya que no se puede dividir un valor infinito 
para otro infinito ya que no son valores determinados.
lím
𝑥𝑥→∞
𝑥𝑥2 + 𝑥𝑥
3 − 𝑥𝑥
= lím
𝑥𝑥→∞
𝑥𝑥2 + 𝑥𝑥
𝑥𝑥
3 − 𝑥𝑥
𝑥𝑥
=
𝑥𝑥 + 1
3
𝑥𝑥 − 1
=
∞ + 1
3
∞− 1
=
∞
0 − 1
= −∞ 
En la siguiente gráfica podemos observar que cuando x toma va-
lores cada vez más altos, es decir tiende al infinito, los valores de y to-
man valores negativos tendiendo al menos infinito como se pudo ver en 
el ejemplo.
Margarita Martínez bustaMante / robinson portilla flores
226
Figura 123
2.6.3 Formas de levantar las indeterminaciones
Entre algunas formas de levantar las indeterminaciones tene-
mos la factorización, racionalización, simplificación o una mezcla de 
las anteriores:
Ejemplo1: 
lím
𝑥𝑥→−5
25 − 𝑥𝑥2
5𝑥𝑥 + 𝑥𝑥2
 
solución
Reemplazando tenemos:
lím
𝑥𝑥→−5
25 − 𝑥𝑥2
5𝑥𝑥 + 𝑥𝑥2
=
25 − (−5)2
5(−5) + (−5)2
=
25 − 25
−25 + 25
=
0
0
 
CálCulo DiferenCial Con geoMetría analítiCa para ingeniería autoMotriz
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Factorizando tenemos:
lím
𝑥𝑥→−5
25 − 𝑥𝑥2
5𝑥𝑥 + 𝑥𝑥2
= lím
𝑥𝑥→−5
(5 + 𝑥𝑥)(5− 𝑥𝑥)
𝑥𝑥(5 + 𝑥𝑥)
= lím
𝑥𝑥→−5
(5 − 𝑥𝑥)
𝑥𝑥
=
10
−5
= −2 
Ejemplo 2
lím
𝑥𝑥→5
𝑥𝑥 − 5
1 − √𝑥𝑥 − 4
 
solución
Reemplazando tenemos:
lím
𝑥𝑥→5
𝑥𝑥 − 5
1 − √𝑥𝑥 − 4
=
0
0
 
Racionalizando y realizando las operaciones:
lím
𝑥𝑥→5
𝑥𝑥 − 5
1 − √𝑥𝑥 − 4
∙
1 + √𝑥𝑥 − 4
1 + √𝑥𝑥 − 4
= lím
𝑥𝑥→5
(𝑥𝑥 − 5)�1 + √𝑥𝑥 − 4�
�1 − √𝑥𝑥 − 4��1 + √𝑥𝑥 − 4�
 
= lím
𝑥𝑥→5
(𝑥𝑥 − 5)�1 + √𝑥𝑥 − 4�
[1 − (𝑥𝑥 − 4)]
= lím
𝑥𝑥→5
(𝑥𝑥 − 5)�1 + √𝑥𝑥 − 4�
[1 − 𝑥𝑥 + 4]
 
= lím
𝑥𝑥→5
(𝑥𝑥 − 5)�1 + √𝑥𝑥 − 4�
(5 − 𝑥𝑥)
= lím
𝑥𝑥→5
(𝑥𝑥 − 5)�1 + √𝑥𝑥 − 4�
−(𝑥𝑥 − 5)
 
lím
𝑥𝑥→5
− �1 + √𝑥𝑥 − 4� = − 2 
Límites al infinito con funciones racionales
Caso 1: El grado del numerador es mayor que el del denominador