DE_-_Diseño_2^K_factores_Puntos_centrales EDA

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Estadística Aplicada
2018-II
ING
Prof. Valeria Quevedo
ING
Se desea maximizar la resistencia del concreto. Se sabe 
que las tres variables que influyen en su resistencia son:
oA: factor asociado al agua
oB: asociado al material agregado.
oC: asociado con el cemento.
Los investigadores quieren comenzar con un diseño de 23.
ING
A B C Resisten
cia
- - - 58.27
+ - - 55.06
- + - 58.73
+ + - 52.55
- - + 54.88
+ - + 58.07
- + + 56.60
+ + + 59.57
1
-1
1
-1
1-1
C
B
A
59.57
58.0754.88
56.60
52.55
55.0658.27
58.73
Cube Plot (data means) for Resistencia
ING
Nosotros estimaríamos ese modelo:
�𝑦𝑦 = �𝜇𝜇 + �̂�𝛽1𝑥𝑥1 + �̂�𝛽2𝑥𝑥2 + �̂�𝛽3𝑥𝑥3 + �̂�𝛽12𝑥𝑥1𝑥𝑥2 + �̂�𝛽13𝑥𝑥1𝑥𝑥3 + �̂�𝛽23𝑥𝑥2𝑥𝑥3 + �̂�𝛽123𝑥𝑥1𝑥𝑥2𝑥𝑥3
Notar que es un modelo de primer orden.
Habrá situaciones en que una ecuación de primer orden no será 
adecuada y se tendrá que estimar una de segundo orden:
�𝑦𝑦
= �𝜇𝜇 + �̂�𝛽1𝑥𝑥1 + �̂�𝛽2𝑥𝑥2 + �̂�𝛽3𝑥𝑥3 + �̂�𝛽12𝑥𝑥1𝑥𝑥2 + �̂�𝛽13𝑥𝑥1𝑥𝑥3 + �̂�𝛽23𝑥𝑥2𝑥𝑥3 + �̂�𝛽11𝑥𝑥12 + �̂�𝛽22𝑥𝑥22
+ �̂�𝛽33𝑥𝑥32 + �̂�𝛽123𝑥𝑥1𝑥𝑥2𝑥𝑥3
ING
Existe un método para saber si el modelo cuadrático es más 
adecuado: agregar puntos centrales. 
La ventaja de agregar puntos centrales es que las 
estimaciones de los efectos principales y los de interacción 
no van a cambiar al agregar puntos centrales.
ING
A B C Resistenci
a
- - - 58.27
+ - - 55.06
- + - 58.73
+ + - 52.55
- - + 54.88
+ - + 58.07
- + + 56.60
+ + + 59.57
0 0 0 55.27
1
-1
1
-1
1-1
C
B
A
55.27
59.57
58.0754.88
56.60
52.55
55.0658.27
58.73
Centerpoint
Factorial Point
Cube Plot (data means) for Resistencia
ING
A B C Resistencia
- - - 58.27
+ - - 55.06
- + - 58.73
+ + - 52.55
- - + 54.88
+ - + 58.07
- + + 56.60
+ + + 59.57
0 0 0 55.27
0 0 0 56.09
0 0 0 58.42
0 0 0 57.48
1
-1
1
-1
1-1
C
B
A
56.815
59.570
58.07054.880
56.600
52.550
55.06058.270
58.730
Centerpoint
Factorial Point
Cube Plot (data means) for Resistencia
ING
A B C Resist
encia
- - - 58.27
+ - - 55.06
- + - 58.73
+ + - 52.55
- - + 54.88
+ - + 58.07
- + + 56.60
+ + + 59.57
0 0 0 55.27
0 0 0 56.09
0 0 0 58.42
0 0 0 57.48
A B C Resist
encia
- - - 58.27
+ - - 55.06
- + - 58.73
+ + - 52.55
- - + 54.88
+ - + 58.07
- + + 56.60
+ + + 59.57
0 0 0 56.815 1
-1
1
-1
1-1
C
B
A
56.815
59.570
58.07054.880
56.600
52.550
55.06058.270
58.730
Cente
Factor 
Cube Plot (data means) for Resistencia
ING
A B C Resi
sten
cia
- - - 58.27
+ - - 55.06
- + - 58.73
+ + - 52.55
- - + 54.88
+ - + 58.07
- + + 56.60
+ + + 59.57
SE
Term Effect Coef Coef T-Value P-Value VIF
Constant 56.72 * * *
A -0.8075 -0.4038 * * * 1.00
B 0.2925 0.1462 * * * 1.00
C 1.1275 0.5638 * * * 1.00
A*B -0.7975 -0.3987 * * * 1.00
A*C 3.887 1.944 * * * 1.00
B*C 1.3175 0.6588 * * * 1.00
A*B*C 0.6875 0.3438 * * * 1.00
43210-1-2-3
99
95
90
80
70
60
50
40
30
20
10
5
1
A A
B B
C C
Factor Name
Effect
Pe
rc
en
t
Not Significant
Significant
Effect Type
Normal Plot of the Effects
(response is Resistencia, α = 0.05)
Lenth’s PSE = 1.20375
ING
A B C Resist
encia
- - - 58.27
+ - - 55.06
- + - 58.73
+ + - 52.55
- - + 54.88
+ - + 58.07
- + + 56.60
+ + + 59.57
0 0 0 55.27
0 0 0 56.09
0 0 0 58.42
0 0 0 57.48
43210-1-2-3
99
95
90
80
70
60
50
40
30
20
10
5
1
A A
B B
C C
Factor Name
Standardized Effect
Pe
rc
en
t
Not Significant
Significant
Effect Type
AC
Normal Plot of the Standardized Effects
(response is Resistencia, α = 0.05)
Coded Coefficients
Term Effect Coef SE Coef T-Value P-Value VIF
Constant 56.716 0.497 114.09 0.000
A -0.808 -0.404 0.497 -0.81 0.476 1.00
B 0.292 0.146 0.497 0.29 0.788 1.00
C 1.128 0.564 0.497 1.13 0.339 1.00
A*B -0.797 -0.399 0.497 -0.80 0.481 1.00
A*C 3.887 1.944 0.497 3.91 0.030 1.00
B*C 1.318 0.659 0.497 1.33 0.277 1.00
A*B*C 0.688 0.344 0.497 0.69 0.539 1.00
Ct Pt 0.099 0.861 0.11 0.916 1.00
Hay más 
información que 
nos permitirá:
1) estimar el error 
(que antes no 
podíamos)
2) Testear la 
curvatura
ING
A B C Resist
encia
- - - 58.27
+ - - 55.06
- + - 58.73
+ + - 52.55
- - + 54.88
+ - + 58.07
- + + 56.60
+ + + 59.57
0 0 0 55.27
0 0 0 56.09
0 0 0 58.42
0 0 0 57.48
43210-1-2-3
99
95
90
80
70
60
50
40
30
20
10
5
1
A A
B B
C C
Factor Name
Standardized Effect
Pe
rc
en
t
Not Significant
Significant
Effect Type
AC
Normal Plot of the Standardized Effects
(response is Resistencia, α = 0.05)
Analysis of Variance
Source DF Adj SS Adj MS F-Value P-Value
Model 8 39.9580 4.9947 2.53 0.240
Linear 3 4.0177 1.3392 0.68 0.622
A 1 1.3041 1.3041 0.66 0.476
B 1 0.1711 0.1711 0.09 0.788
C 1 2.5425 2.5425 1.29 0.339
2-Way Interactions 3 34.9689 11.6563 5.90 0.090
A*B 1 1.2720 1.2720 0.64 0.481
A*C 1 30.2253 30.2253 15.29 0.030
B*C 1 3.4716 3.4716 1.76 0.277
3-Way Interactions 1 0.9453 0.9453 0.48 0.539
A*B*C 1 0.9453 0.9453 0.48 0.539
Curvature 1 0.0260 0.0260 0.01 0.916
Error 3 5.9309 1.9770
Total 11 45.8889
ING
H0: todas las 𝛽𝛽𝑖𝑖𝑖𝑖´𝑠𝑠 = 0 (ningún efecto cuadrático es importante)
H1: al menos una de las 𝛽𝛽𝑖𝑖𝑖𝑖´𝑠𝑠 ≠ 0
En donde 𝛽𝛽𝑖𝑖𝑖𝑖’s son los coeficientes de los efectos cuadráticos.
ING
A B C Resist
encia
- - - 58.27
+ - - 55.06
- + - 58.73
+ + - 52.55
- - + 54.88
+ - + 58.07
- + + 56.60
+ + + 59.57
0 0 0 55.27
0 0 0 56.09
0 0 0 58.42
0 0 0 57.48
43210-1-2-3
99
95
90
80
70
60
50
40
30
20
10
5
1
A A
B B
C C
Factor Name
Standardized Effect
Pe
rc
en
t
Not Significant
Significant
Effect Type
AC
Normal Plot of the Standardized Effects
(response is Resistencia, α = 0.05)
Analysis of Variance
Source DF Adj SS Adj MS F-Value P-Value
Model 8 39.9580 4.9947 2.53 0.240
Linear 3 4.0177 1.3392 0.68 0.622
A 1 1.3041 1.3041 0.66 0.476
B 1 0.1711 0.1711 0.09 0.788
C 1 2.5425 2.5425 1.29 0.339
2-Way Interactions 3 34.9689 11.6563 5.90 0.090
A*B 1 1.2720 1.2720 0.64 0.481
A*C 1 30.2253 30.2253 15.29 0.030
B*C 1 3.4716 3.4716 1.76 0.277
3-Way Interactions 1 0.9453 0.9453 0.48 0.539
A*B*C 1 0.9453 0.9453 0.48 0.539
Curvature 1 0.0260 0.0260 0.01 0.916
Error 3 5.9309 1.9770
Total 11 45.8889
ING
Los puntos centrales nos permitirán tener mayor 
información sobre el tipo de modelo que podemos estimar. 
En este ejemplo, concluimos que un modelo cuadrático no 
hace falta.
Si la conclusión hubiera sido que sí hace falta, entonces se 
debería el siguiente paso sería agregar puntos axiales para 
poder crear un diseño CCD (central composite design) el 
que nos permitirá crear modelos cuadráticos. Esto ya 
escapa al alcance del curso.
ING
A B C
-1.00000 -1.00000 -1.00000
1.00000 -1.00000 -1.00000
-1.00000 1.00000 -1.00000
1.00000 1.00000 -1.00000
-1.00000 -1.00000 1.00000
1.00000 -1.00000 1.00000
-1.00000 1.00000 1.00000
1.00000 1.00000 1.00000
-1.68179 0.00000 0.00000
1.68179 0.00000 0.00000
0.00000 -1.68179 0.00000
0.00000 1.68179 0.00000
0.000000.00000 -1.68179
0.00000 0.00000 1.68179
0.00000 0.00000 0.00000
0.00000 0.00000 0.00000
0.00000 0.00000 0.00000
0.00000 0.00000 0.00000
0.00000 0.00000 0.00000
0.00000 0.00000 0.00000
	Diseños factoriales 2k�Puntos centrales 
	Ejemplo Resistencia del concreto 
	Diseño factorial 2k con dos niveles
	modelo para un diseño factorial de dos niveles
	modelo para un diseño factorial de dos niveles
	Agregamos un punto central
	Agregamos puntos centrales
	Agregamos puntos centrales
	Análisis sin los puntos centrales
	Análisis CON los puntos centrales
	Análisis CON los puntos centrales
	Prueba de hipótesis de la curvatura 
	Análisis CON los puntos centrales
	Resumen
	Central composite design