Tema_1_MultiObjetivo_2018-II (1)

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Tema 1 
Programación 
Multiobjetivo
Investigación de Operaciones - 2
2
Tema 1 
Programación 
Multiobjetivo
Investigación de Operaciones - 2
1. Introducción a la programación lineal
2. Resolución de un PPL por el método gráfico
3. Programación multiobjetivo
4. Programación de metas
5. Algunas alternativas en la programación de metas
6. Programación de metas con prioridades absolutas
Este tema está basado en parte en el libro
“Investigación de Operaciones” del Dr. César
Angulo, al que se le agradece su ayuda.
3Investigación de Operaciones 1
1. Introducción a la programación lineal
Programación Matemática
Conjunto de métodos matemáticos encaminados a encontrar el programa
óptimo para un conjunto de variables de interés. Por ejemplo, cuánto invertir en
cada proyecto de inversión.
Programa=valores que deben tomar las variables de interés (variables de
decisión).
Los valores óptimos serán aquellos que maximizan o minimizan cierta función
objetivo.
Programación matemática=Optimización de variables
Cuando todas las funciones que están implicadas en el problema de
programación son expresiones lineales se denomina programación lineal.
Programa=secuencia de instrucciones para realizar una tarea o cumplir un objetivo
4Investigación de Operaciones 1
Un problema de programación lineal (PPL) consta de:
- Una función objetivo (lineal).
- Un conjunto de restricciones (lineales).
Ejemplo:
Si buscamos los valores de 𝑥1 y 𝑥2, no negativas. que maximizan
Z = 3𝑥1 − 2𝑥2,
pero la suma de estas variables debe ser inferior o igual a 4, tenemos:
Función objetivo: 𝒁 = 𝟑𝒙𝟏 − 𝟐𝒙𝟐
Restricción (‘sujeto a’): 𝒙𝟏 + 𝒙𝟐 ≤ 𝟒; 𝒙𝟏 ≥ 𝟎; 𝒙𝟐 ≥ 𝟎
Y el problema se puede expresar como
Ambas son función de las 
variables de decisión
max Z = 3𝑥1 − 2𝑥2
s.a
𝑥1 + 𝑥2 ≤ 4
𝑥1, 𝑥2 ≥ 0
1. Introducción a la programación lineal
5Investigación de Operaciones 1
Programación No Lineal
Cualquier problema de programación matemática con al menos una
expresión no lineal, bien en la función objetivo, bien en las restricciones o
en ambos es un problema de programación no lineal.
(no lineal=todo lo que no sea una combinación lineal de las variables)
max 𝑥1
2 + 𝑥2/𝑥1
s.a:
1
𝑥1
+ 𝑥2𝑥1 ≤ 4
𝑥1
𝑥2
< 1
Ejemplo
max 5𝑥1𝑥2𝑥3 + 3𝑥2
s.a:.
𝑥1 + 𝑥2 ≤ 4 si 𝑥1 < 2
𝑥1 − 𝑥2 ≤ 4 si 𝑥1 ≥ 2
Ejemplo
Esta restricción es lineal
Son no lineales porque dependen de 𝑥1 de 
forma no lineal.
1. Introducción a la programación lineal
6Investigación de Operaciones 2
max 𝑍 = 𝑐1𝑥1 + 𝑐2𝑥2 +⋯+ 𝑐𝑛𝑥𝑛
𝑎11𝑥1 + 𝑎12𝑥2 +⋯+ 𝑎1𝑛𝑥𝑛 ≤ 𝑏1
𝑎21𝑥1 + 𝑎22𝑥2 +⋯+ 𝑎2𝑛𝑥𝑛 ≥ 𝑏2
⋮
𝑎𝑚1𝑥1 + 𝑎𝑚2𝑥2 +⋯+ 𝑎𝑚𝑛𝑥𝑛 = 𝑏𝑛
𝑥1, 𝑥2, … , 𝑥𝑛 ≥ 0,
s.a
asumiremos, por 
simplicidad, valores 
reales no negativos, 
pero no es 
imprescindible
puede ser max
o min. 
Resolver un PPL consiste en encontrar los valores de 𝑥1, 𝑥2, … , 𝑥𝑛 que verifiquen
• A cualquier conjunto de valores específicos de 𝑥1, 𝑥2, … , 𝑥𝑛 se le denomina SOLUCIÓN. 
• Si una solución satisface las restricciones: SOLUCIÓN FACTIBLE.
• Si una solución no satisface al menos una restricción: SOLUCIÓN NO FACTIBLE.
• REGIÓN FACTIBLE: conjunto de todas las soluciones factibles.
• SOLUCIÓN ÓPTIMA: la solución factible que optimiza la función objetivo.
1. Introducción a la programación lineal
7Investigación de Operaciones 2
Ejemplo 1: LunaTech
La empresa LunaTech produce cerramientos (puertas,
ventanas, claraboyas, terrazas, etc) para viviendas. En la
actualidad posee tres centros de producción. Los marcos y
perfiles de aluminio se hacen en la planta 1, los de madera
en la planta 2; y en la 3 produce el vidrio y ensambla los
productos.
Se va a iniciar la fabricación de dos productos nuevos cuyas
ventas potenciales son muy prometedoras:
Puerta 1: puerta de aluminio y vidrio templado
Puerta 2: puerta corredera de madera y vidrio
La puerta 1 requiere parte de la capacidad de producción en
las plantas 1 y 3 y nada en la planta 2. La puerta 2 sólo
necesita trabajo en las plantas 2 y 3.
El departamento comercial asegura que se podrán vender
todas las unidades que puedan fabricarse. Sin embargo,
como ambos productos competirían por la misma capacidad
de producción en la planta 3, no está claro cuántas unidades
deba producirse de cada producto.
Puerta 1
Puerta 2
8Investigación de Operaciones 2
Como unidad de producción se utiliza el lote (25 unidades), pero pueden
fabricarse fracciones de lote. Asumiremos que el número de lotes es una
variable (aprox.) real no negativa.
Formule un PPL que resuelva la producción óptima de estos dos nuevos
productos.
Para fabricar un lote de la puerta 1 es necesario invertir 1 hora en la planta 1 y
3 horas en la planta 3. Para fabricar un lote de la puerta 2 es necesario invertir
2 horas en la planta 2 y 2 en la planta 3. En la planta 1 hay una disponibilidad
semanal de 4 horas, en la 2 de 12 horas, y en la 3 de 18 horas.
Un lote de la puerta 1 generará un beneficio de 3 mil dólares, mientras que un 
lote de la puerta 2 generará un beneficio de 5 mil dólares
Ejemplo 1: LunaTech
9Investigación de Operaciones 2
𝑥1: nº de lotes semanales de la puerta 1
𝑥2: nº de lotes semanales de la puerta 2
Variables de decisión
max 𝑍 = 3𝑥1 + 5𝑥2
Restricciones:
Disponibilidad horas planta 1: 𝑥1 ≤ 4
Disponibilidad horas planta 2: 2𝑥2≤ 12
Disponibilidad horas planta 3: 3𝑥1 + 2𝑥2 ≤ 18
No negatividad: 𝑥1, 𝑥2 ≥ 0
Función objetivo: ganancias 𝑍 = 3𝑥1 + 5𝑥2
Ejemplo 1: LunaTech
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Tema 1 
Programación 
Multiobjetivo
Investigación de Operaciones - 2
1. Introducción a la programación lineal
2. Resolución de un PPL por el método gráfico
3. Programación multiobjetivo
4. Programación de metas
5. Algunas alternativas en la programación de metas
6. Programación de metas con prioridades absolutas
11Investigación de Operaciones 2
En PPL de dos dimensiones (dos variables de decisión), es factible (y
pedagógico!!) resolver el problema de optimización de forma gráfica. La
resolución es sencilla. Veámoslo con el ejemplo de LunaTech. El PPL es:
𝑥1
𝑥2
(0,0)
𝑥1, 𝑥2 ≥ 0
Las restricciones delimitan el área donde pueden 
estar las soluciones factibles
2. Resolución de un PPL por el método gráfico
max 𝑍 = 3𝑥1 + 5𝑥2
s.a.
𝒙𝟏 ≤ 𝟒
𝟐𝒙𝟐 ≤ 𝟏𝟐
3𝑥1 + 2𝑥2 ≤ 18
𝑥1, 𝑥2 ≥ 0
12Investigación de Operaciones 2
𝑥1
𝑥2
(0,0)
𝑥1, 𝑥2 ≥ 0
𝒙𝟏 ≤ 𝟒
𝒙𝟐 ≤ 𝟔
(𝑥1≤ 4) ∧ (2𝑥2 ≤ 12) ∧ (𝑥1≥ 0) ∧ (𝑥2≥ 0)
A medida que vamos dibujando las 
restricciones, se va reduciendo la región de 
soluciones factibles
2. Resolución de un PPL por el método gráfico
max 𝑍 = 3𝑥1 + 5𝑥2
s.a.
𝒙𝟏 ≤ 𝟒
𝟐𝒙𝟐 ≤ 𝟏𝟐
3𝑥1 + 2𝑥2 ≤ 18
𝑥1, 𝑥2 ≥ 0
13Investigación de Operaciones 2
𝑥1
𝑥2
(0,0)
𝑥1, 𝑥2 ≥ 0
𝒙𝟏 ≤ 𝟒
𝒙𝟐 ≤ 𝟔
𝑥1 = 0 ⇒ 𝑥2 ≤ 9
𝑥2 = 0 ⇒ 𝑥1 ≤ 6
Con estos dos puntos 
ya es inmediato 
dibujar la restricción
3𝑥1 + 2𝑥2 ≤ 18
2. Resolución de un PPL por el método gráfico
max 𝑍 = 3𝑥1 + 5𝑥2
s.a.
𝒙𝟏 ≤ 𝟒
𝟐𝒙𝟐 ≤ 𝟏𝟐
3𝑥1 + 2𝑥2 ≤ 18
𝑥1, 𝑥2 ≥ 0
14Investigación de Operaciones 2
𝑥1
𝑥2
(0,0)
𝑥1, 𝑥2 ≥ 0
𝑥1 ≤ 4
𝒙𝟐 ≤ 𝟔
3𝑥1 + 2𝑥2 ≤ 18
R
e
g
ió
n
 f
a
c
ti
b
le
El conjunto solución de todas las restricciones se 
denomina región factible, o también recinto de 
posibles soluciones.
En un PPL, ese recinto es ‘convexo’
2. Resolución de un PPL por el método gráfico
max 𝑍 = 3𝑥1 + 5𝑥2
s.a.
𝒙𝟏 ≤ 𝟒
𝟐𝒙𝟐 ≤ 𝟏𝟐
3𝑥1 + 2𝑥2 ≤ 18
𝑥1, 𝑥2 ≥ 0
15Investigación de Operaciones 2
Regiones cóncavas
Regiones convexas
Región Convexa: Región en la que dos puntos cualesquiera de la misma pueden ser unidos por un
segmento de recta, de tal manera que todos los puntos del segmento al interior de la región
16Investigación de Operaciones 2
max 𝑍 = 3𝑥1 + 5𝑥2
s.a.
𝑥1 ≤ 4
2𝑥2 ≤ 12
3𝑥1 + 2𝑥2 ≤ 18
𝑥1, 𝑥2 ≥ 0
𝑥1
𝑥2
(0,0)
𝑥1, 𝑥2 ≥ 0
𝑥1 ≤ 4
𝒙𝟐 ≤ 𝟔
3𝑥1 + 2𝑥2 ≤ 18
R
e
g
ió
n
 f
a
c
ti
b
le
El conjunto solución de todas las restricciones se 
denominaregión factible, o también recinto de 
posibles soluciones.
2. Resolución de un PPL por el método gráfico
17Investigación de Operaciones 2
Ahora localizamos la función objetivo
𝑥1
𝑥2
R
e
g
ió
n
 f
a
c
ti
b
le
max 𝑍 = 3𝑥1 + 5𝑥2
La expresión 𝑍 = 3𝑥1 + 5𝑥2 puede
interpretarse como un conjunto de
rectas paralelas. La que buscamos es
la que, estando dentro de la región
factible, alcance un mayor valor de 𝑍
Una forma de localizar el óptimo es
dibujar dos de estas rectas, de forma
que podemos ver cómo llegar al
óptimo.
𝑍 = 15 ⇒ 3𝑥1 + 5𝑥2 = 15
⇒ ቊ
𝑥1 = 0 ⇒ 𝑥2 = 3
𝑥2 = 0 ⇒ 𝑥1 = 5
𝑍 = 20 ⇒ 3𝑥1 + 5𝑥2 = 20
⇒ ቊ
𝑥1 = 0 ⇒ 𝑥2 = 4
𝑥2 = 0 ⇒ 𝑥1 = 6.67
𝑍 = 20
𝑍 = 15
Dirección de 
aumento de 𝑍
Estas dos rectas nos muestran que el 
óptimo es el punto (2,6)
(2,6)
Una idea sencilla es representar la recta con 𝑍 = 𝑐1 × 𝑐2
18Investigación de Operaciones 2
𝑥1
𝑥2
R
e
g
ió
n
 f
a
c
ti
b
le
max 𝑍 = 3𝑥1 + 5𝑥2
Sabemos así la dirección en la que
aumenta Z, y podemos localizar el
óptimo.
max𝑍 = 3 2 + 5 6 = 36
Dirección de 
aumento de 𝑍
(2,6)
Otra forma encilla de localizar el
óptimo es dibujar una recta
cualquiera de la función objetivo
(por ejemplo para 𝑍 = 𝑐1𝑐2).
A continuación identificamos
hacia dónde hay que desplazar la
recta en función de los signos de
𝑐1 y 𝑐2.
En este caso, 𝑐1 y 𝑐2 son positivos, 
por lo que cuando aumenten tanto 𝑥1
como 𝑥2 (yendo en el plano hacia el 
noreste -N.E.-) aumentará Z.
19Investigación de Operaciones 2
Vamos a analizar ahora cómo cambiaría la solución con otras 
funciones objetivo 
𝑥1
𝑥2
R
e
g
ió
n
 f
a
c
ti
b
le
Dirección de 
aumento de 𝑍
(0,0)
Si en lugar de max 𝑍 = 3𝑥1 + 5𝑥2 fuese…
m𝑖𝑛 𝑍 = 3𝑥1 + 5𝑥2
Dirección de 
disminución de 𝑍
Es fácil ver que en este
caso el óptimo se
encuentra en el punto (0,0).
Nótese que tanto el 
óptimo anterior (2,6) 
como éste son vértices 
de la región factible.
20Investigación de Operaciones 2
𝑥1
𝑥2
R
e
g
ió
n
 f
a
c
ti
b
le
Dirección de 
aumento de 𝑍
Si en lugar de max 𝑍 = 3𝑥1 + 5𝑥2 fuese…
m𝑎𝑥 𝑍 = 5𝑥1 + 2𝑥2
Dibujamos la recta para 𝑍 = 10
𝑍 = 10 ⇒ 5𝑥1 + 2𝑥2 = 10
⇒ ቊ
𝑥1 = 0 ⇒ 𝑥2 = 5
𝑥2 = 0 ⇒ 𝑥1 = 2
(4,3)
En este caso, la solución óptima es el vértice (4,3) (de nuevo un vértice)
Al ser ambos coeficientes de la FO 
positivos, cuando desplazamos la 
recta hacia el N.E. aumenta Z.
21Investigación de Operaciones 2
𝑥1
𝑥2
R
e
g
ió
n
 f
a
c
ti
b
le
Dirección de 
aumento de 𝑍
Si en lugar de max 𝑍 = 3𝑥1 + 5𝑥2 fuese…
m𝑎𝑥 𝑍 = −5𝑥1 + 2𝑥2
Dibujamos la recta para 𝑍 = 10
𝑍 = 10 ⇒ −5𝑥1 + 2𝑥2 = 10
⇒ ቊ
𝑥1 = 0 ⇒ 𝑥2 = 5
𝑥2 = 0 ⇒ 𝑥1 = −2
En este caso, la solución óptima es el vértice (0,6)
… y es fácil comprobar también que el óptimo de m𝑖𝑛 𝑍 = −5𝑥1 + 2𝑥2 es el 
vértice (4,0)
Según los signos de los coeficientes de la FO, si 
nos movemos en el plano en la dirección N.O., 
aumentará Z
(0,6)
22Investigación de Operaciones 2
De este ejercicio se extrae una conclusión importante que es 
aplicables a cualquier PPL de más dimensiones.
La solución óptima de un PPL se
encuentra siempre en un vértice de la
región factible.
2. Resolución de un PPL por el método gráfico
23Investigación de Operaciones 2
Veamos otro ejemplo:
Resuelve el siguiente PPL:
max𝑍 = 2𝑥1 + 𝑥2
sujeta a
𝑥2 ≤ 10
2𝑥1 + 5𝑥2 ≤ 60
𝑥1 + 𝑥2 ≤ 18
3𝑥1 + 𝑥2 ≤ 44
𝑥1, 𝑥2 ≥ 0
1
2
3
4
1
2
3
4
Resolviendo gráficamente
como en el ejemplo
anterior, el óptimo es el
punto K:(13,6)
2. Resolución de un PPL por el método gráfico
24Investigación de Operaciones 2
max 𝑍 = 3𝑥1 + 5𝑥2
s.a:
𝑥1 ≤ 4
2𝑥2≤ 12
3𝑥1 + 2𝑥2 ≤ 18
𝑥1, 𝑥2 ≥ 0
PPL de LunaTeh: 
7. Formulación y solución con hoja de cálculoLo resolvemos ahora con la aplicación on-line phpsimplex
www.phpsimplex.com
25Investigación de Operaciones 2
óptimo
26
Tema 1 
Programación 
Multiobjetivo
Investigación de Operaciones - 2
1. Introducción a la programación lineal
2. Resolución de un PPL por el método gráfico
3. Programación multiobjetivo
4. Programación de metas
5. Algunas alternativas en la programación de metas
6. Programación de metas con prioridades absolutas
27Investigación de Operaciones 2
3. Programación multiobjetivo
En algunos problemas se quiere optimizar más de un objetivo
max 𝑍1 = 𝑐11𝑥1 + 𝑐12𝑥2 +⋯+ 𝑐1𝑛𝑥𝑛
𝑎11𝑥1 + 𝑎12𝑥2 +⋯+ 𝑎1𝑛𝑥𝑛 ≤ 𝑏1
𝑎21𝑥1 + 𝑎22𝑥2 +⋯+ 𝑎2𝑛𝑥𝑛 ≥ 𝑏2
⋮
𝑎𝑚1𝑥1 + 𝑎𝑚2𝑥2 +⋯+ 𝑎𝑚𝑛𝑥𝑛 = 𝑏𝑛
𝑥1, 𝑥2, … , 𝑥𝑛 ≥ 0,
s.a
max 𝑍2 = 𝑐21𝑥1 + 𝑐22𝑥2 +⋯+ 𝑐2𝑛𝑥𝑛
max 𝑍𝐾 = 𝑐𝐾1𝑥1 + 𝑐𝐾2𝑥2 +⋯+ 𝑐𝐾𝑛𝑥𝑛
Objetivo 1
Objetivo 2
Objetivo K
Restricciones
⋮
En general, será IMPOSIBLE satisfacer todos los objetivos simultáneamente.
28Investigación de Operaciones 2
▪ Ejemplos de objetivos (pueden ser incompatibles):
- Maximizar las utilidades.
- Maximizar la cuota de mercado en el mercado al final del año.
- Maximizar el capital contable al final del año.
- Limitar las operaciones en tiempo extra del mes, a X horas.
3. Programación multiobjetivo
• Los problemas de optimización sólo pueden tener una función objetivo
• Hay diferentes métodos para resolver problemas multiobjetivo, y aportan
soluciones diferentes. El analista ha de decidir el método.
• Uno de esos métodos es la programación por metas
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Tema 1 
Programación 
Multiobjetivo
Investigación de Operaciones - 2
1. Introducción a la programación lineal
2. Resolución de un PPL por el método gráfico
3. Programación multiobjetivo
4. Programación de metas
5. Algunas alternativas en la programación de metas
6. Programación de metas con prioridades absolutas
30Investigación de Operaciones 2
METAS= funciones objetivo que toman un valor específico 
Objetivo: maximizar beneficios
Meta: Beneficio superior al 10 millones
Objetivo: minimizar emisiones contaminantes
Meta: Emisión de contaminante inferior a P unidades
Para transformar un objetivo en una meta hay diferentes métodos. Aquí, por simplicidad, 
asumiremos que vienen ya definidos al formular el problema.
Ejemplos:
max 𝑍1 = 𝑐11𝑥1 + 𝑐12𝑥2 +⋯+ 𝑐1𝑛𝑥𝑛 𝑐11𝑥1 + 𝑐12𝑥2 +⋯+ 𝑐1𝑛𝑥𝑛 ≥ 𝑏
Función objetivo Meta
o Es una extensión de la programación lineal.
o Se tratan las metas (objetivos) como restricciones.
o Se establecen prioridades para poder tener una sola función objetivo.
4. Programación de metas
31Investigación de Operaciones 2
▪ Se desea resolver problemas de optimización con objetivos
múltiples.
▪ En programación de metas, cada objetivo debe tener forma de
meta.
▪ El logro de cada meta se mide usando el concepto de
desviación=distancia a la meta.
▪ Si no se consigue alcanzar la meta: desviación>0
▪ Si se consigue alcanzar la meta: desviación=0
▪ La función objetivo consiste en minimizar las desviaciones de
las metas establecidas.
▪ Si una meta es imposible de alcanzar, se debe tratar de
satisfacerla lo más que se pueda. Es decir, minimizar la
desviación.
Programación de metas
32Investigación de Operaciones 2
Una empresa manufacturera elabora dos productos: P1 y P2.
Sean:
𝑥1: unidades de P1 que conviene producir.
𝑥2: unidades de P2 que conviene producir.
Se plantea el siguiente PL:
Opt. Z = c1x1 + c2x2
s.a: 3x1 + 2x2 ≤ 12
5x1 ≤ 10
x1, x2 ≥ 0
x
1
x
2
2 4 6 8
2
4
6
8
5𝑥1 10
Recinto de 
soluciones factibles
Ejemplo
33Investigación de Operaciones 2
Producir al menos 8 unidades de
ambos productos:
Las metas pueden incumplirse. En ese caso; debemos acercarnos lo más posible.
𝑥1 + 𝑥2 ≥ 8
Se tiene, además, dos objetivos múltiples en forma de metas.
Meta 1
Meta=restricción ‘light’
x1
x2
2 4 6 8
2
4
6
8
La figura muestra que esta meta no puede
cumplirse, pues ningún punto de la región
factible cae en ella. El punto más cercano es el
(0,6) que será, por tanto, la solución óptima si
sólo tuviésemos como objetivo esta meta.
R
e
g
ió
n
 f
a
c
ti
b
le
34Investigación de Operaciones 2
x1
x2
2 4 6 8
2
4
6
8
La roducción de P2 debeexceder a la
de P1 en al menos 4 unidades:
𝑥2 ≥ 𝑥1 + 4 ⇒ −𝑥1 + 𝑥2 ≥ 4
Meta 2
En este caso, esta meta sí se cumple. 
Toda la región marcada como sería la 
solución óptima si esta meta fuese 
nuestro único objetivo.
35Investigación de Operaciones 2
x1
x2
2 4 6 8
2
4
6
8
Si nos interesan ambas metas:
Producir al menos 8 unidades de
ambos productos:
La producción de P2 debe exceder a la
de P1 en al menos 4 unidades:
𝑥2 ≥ 𝑥1 + 4 ⇒ −𝑥1 + 𝑥2 ≥ 4
𝑥1 + 𝑥2 ≥ 8
Meta 1
Meta 2
En este caso, la solución es sólo el punto (0,6), pues satisface la Meta 2 y 
es el más próximo a la Meta 1
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Tema 1 
Programación 
multiobjetivo
Investigación de Operaciones - 2
1. Introducción a la programación lineal
2. Resolución de un PPL por el método gráfico
3. Programación multiobjetivo
4. Programación de metas
5. Algunas alternativas en la programación de metas
6. Programación de metas con prioridades absolutas
37Investigación de Operaciones 2
Algunas alternativas en la programación de metas
Cuando se tienen varias metas, se pueden contemplar varias alternativas
1- Elegir una meta como función objetivo, y las otras como restricciones
En este caso, a las metas que aparecen como restricciones se les 
estaría dando más importancia, pues una restricción ha de cumplirse 
forzosamente
2- Todas las metas se usan en la función objetivo. Para ello, se pueden 
utilizar dos enfoques principales:
a. Construir una F.O. que sea una combinación de todas las metas
b. Establecer prioridades
38Investigación de Operaciones 2
▪ Una empresa minera tiene recursos limitados y quiere maximizar sus beneficios.
▪ También está interesada en reducir la contaminación que provocan sus procesos.
¡Estos dos objetivos son opuestos!
▪ Se dispone de 300 TM. de mineral.
▪ Cuenta con dos procesos de reducción de mineral:
- Proceso 1: reducción al 97% de metal puro.
- Proceso 2: reducción al 98% de metal puro.
▪ Los beneficios son:
- $3000 / TM. de metal al 97% (proceso 1).
- $3750 / TM. de metal al 98% (proceso 2).
▪ La contaminación es:
- 6 u.c. por TM de metal al 97% (proceso 1).
- 7 u.c. por TM de metal al 98% (proceso 2).
▪ Hay que decidir qué cantidad de mineral destinar a cada uno de estos dos procesos. La 
solución dependerá del objetivo que se propongan.
Ejemplo
Vamos a ver con un ejemplo, diferente alternativas para modelizar varios objetivos
39Investigación de Operaciones 2
Objetivo: minimizar la contaminación.
𝑀𝑖𝑛 𝑍 = 6𝑥1 + 7𝑥2
Restricciones: 
𝑥1 + 𝑥2 ≤ 300
𝑥1 , 𝑥2 ≥ 0
6𝑥1 + 7𝑥2 = 𝐾
Sólo nos preocupa la contaminación (ignoramos el beneficio)Modelo 1
¿Y si decidiesen tener al menos un beneficio de $1 000 000?
Solución óptima: 𝑥1 = 0 ; 𝑥2 = 0.
No contaminarán nada; pero tampoco 
ganarán nada.
40Investigación de Operaciones 2
Min Z = 6x1 + 7x2
x1 + x2 ≤ 300
3000x1 + 3750x2 ≥ 1.000.000
x1 , x2 ≥ 0
6𝑥1 + 7𝑥2 = 𝐾
Nos preocupa la contaminación (FO) y el beneficio (restricción): 
queremos al menos un beneficio de $1.000.000
Modelo 2
Solución óptima: x1 = 0 ; x2 = 
266,67 TM.
Contaminación: 1866,67 u.c.
Beneficio: $ 1.000.000
En ese caso, la restricción del beneficio es una restricción normal: obligatoria.
Región
factible
La FO busca minimizar la 
contaminación 
41Investigación de Operaciones 2
- Objetivo: maximizar el beneficio.
Max Z = 3000x1 + 3750x2
- Restricciones:
x1 + x2 ≤ 300
x1 , x2 ≥ 0
- Solución óptima: x1 = 0 ; x2 = 300 TM.
Contaminación: 2100 u.c.
Beneficio: $ 1125000 𝑍 = 3000𝑥1 + 3750𝑥2
Sólo nos preocupa el beneficio (ignoramos la contaminación)Modelo 3
¿Y si decidiesen limitar la contaminación a un máximo de 1500?
42Investigación de Operaciones 2
El P.L. sería:
Max Z = 3000x1 + 3750x2
x1 + x2 ≤ 300
6x1 + 7x2 ≤ 1500
x1 , x2 ≥ 0
- Solución óptima: x1 = 0 ; x2 = 214,29 TM.
Contaminación: 1500 u.c.
Beneficio: $ 803571,42.
Nos interesa el beneficio (FO) y limitar la contaminación (restricción): 
Se decide limitar la contaminación a un máximo de 1500
Modelo 4
maximizamos el beneficio
43Investigación de Operaciones 2
▪ En estos modelos propuestos sólo se ha usado una de
los metas como FO. No son realmente propuestas
‘multiobjetivo’
▪ En estos modelos la solución óptima depende más de
las restricciones (pues se deben cumplir
obligatoriamente) que de la FO.
▪ ¿Cómo habría que resolver el problema si a ambos
objetivos (contaminación y utilidad) se les quisiera dar la
misma prioridad?
Las siguientes opciones que se van a presentar sí son ‘multiobjetivo’
44Investigación de Operaciones 2
Modelo Multiobjetivo: programación de metas (simultáneas)
- La F.O. se establece en función de las desviaciones de TODAS 
las metas.
- Se consideran las siguientes metas:
- Meta 1: que el beneficio sea lo más cercano a $ 1 000 000.
- Meta 2: que la contaminación sea lo más cercana a 1500 u.c.
Se podría plantear el siguiente problema:
Min Z = │3000x1 + 3750x2 – 1000000│+ │6x1 + 7x2 – 1500│
s.a: x1 + x2 ≤ 300
x1, x2 ≥ 0
Pero un P.L. no admite la función valor absoluto.
Este modelo es no lineal 
Nos interesa el beneficio (FO) y limitar la contaminación (FO) metasModelo 5
45Investigación de Operaciones 2
▪ Para introducir ambos objetivos en la FO de forma lineal, se 
utilizan variables de desviación de la meta. 
- 𝑒𝑖: cantidad que excede la meta i. (Exceso)
- 𝑑𝑖: cantidad que falta para conseguir la meta i. (Defecto).
▪ 𝑒𝑖 , 𝑑𝑖 ≥ 0
▪ Lógicamente, se debe cumplir que:
- Si 𝑒𝑖 > 0 ⇒ 𝑑𝑖 = 0, y viceversa. O bien 𝑒𝑖 × 𝑑𝑖 = 0
▪ Afortunadamente el método simplex garantiza que se cumpla 
esta condición.
Nos interesa el beneficio (FO) y limitar la contaminación (FO) metasModelo 5
46Investigación de Operaciones 2
Es necesario definir las variables de desviación para las dos metas.
▪ META 1: que el beneficio sea al menos $1.000.000.
- Es decir: 3000𝑥1 + 3750𝑥2 ≥ 1.000.000.
- Si no se consiguiera esta meta, se tendría un defecto.
- 3000𝑥1 + 3750𝑥2 + 𝑑1 ≥ 1.000.000
- La variable de desviación para la primera meta sería entonces: 𝑑1
- Se tratará de minimizar este defecto.
- Si sólo se tuviese esta meta:
𝑀𝑖𝑛 𝑑1
𝑠. 𝑎
3000𝑥1 + 3750𝑥2 + 𝑑1 ≥ 1.000.000
𝑥1 + 𝑥2 ≤ 300
𝑥1, 𝑥2, 𝑑1 ≥ 0
Tiene 3 variables (no podemos resolverlo gráficamente, pero sí con el símplex)
Nos interesa el beneficio (FO) y limitar la contaminación (FO) metasModelo 5
47Investigación de Operaciones 2
▪ META 2: que la contaminación no supere 1500 u.c.
- Es decir: 6𝑥1 + 7𝑥2 ≤ 1500.
- Si no se consiguiera esta meta, se tendría un exceso.
- 6𝑥1 + 7𝑥2 − 𝑒2 ≤ 1500
- La variable de desviación para la segunda meta sería entonces: 𝑒2 ≥ 0
- Si sólo se tuviese esta meta, se tratará de minimizar este exceso.
Min 𝑒2
s.a.
6𝑥1 + 7𝑥2 − 𝑒2 ≤ 1500
𝑥1 + 𝑥2 ≤ 300
Nos interesa el beneficio (FO) y limitar la contaminación (FO) metasModelo 5
48Investigación de Operaciones 2
Min 𝒁 = 𝒅𝟏 + 𝒆𝟐
𝒔. 𝒂:
𝒙𝟏 + 𝒙𝟐 ≤ 𝟑𝟎𝟎
𝟑𝟎𝟎𝟎𝒙𝟏 + 𝟑𝟕𝟓𝟎𝒙𝟐 + 𝒅𝟏 ≥ 𝟏 𝟎𝟎𝟎 𝟎𝟎𝟎
𝟔𝒙𝟏 + 𝟕𝒙𝟐 – 𝒆𝟐 ≤ 𝟏𝟓𝟎𝟎
𝒙𝟏, 𝒙𝟐, 𝒅𝟏, 𝒆𝟐 ≥ 𝟎
Restricciones del sistema
(fuertes)
Restricciones 
meta
(flexibles)
Si nos interesasen ambas metas por igual, el P.L. sería entonces…
Nos interesa el beneficio (FO) y limitar la contaminación (FO) metasModelo 5
49Investigación de Operaciones 2
¿Cómo se plantearía la meta 2 si se quisiera que la contaminación 
ambiental sea exactamente 1500 u.c?
¡La desviación podría ser por defecto o por exceso!
En el P.L. habría que considerar ambas desviaciones:
Min 𝑍 = 𝑑1 + 𝑑2 + 𝑒2
𝑥1 + 𝑥2 ≤ 300
3000𝑥1 + 3750𝑥2 + 𝑑1 ≥ 1,000,000
6𝑥1 + 7𝑥2 + 𝑑2 – 𝑒2 = 1500
Se resuelve con el método símplex (O1)
Nos interesa el beneficio (FO) y limitar la contaminación (FO) metasModelo 5
50Investigación de Operaciones 2
Ponderación de las metas
▪Para representar las preferencias entre las metas
establecidas, se pueden asignar coeficientes a las
variables de desviación en la F.O.
▪Por ejemplo: 𝑀𝑖𝑛 𝑍 = 5 𝑑1 + 𝑒2
▪Esta FO expresaque es preferible que el exceso en
unidades de contaminación sea hasta de 5 unidades,
antes que falte $1 para alcanzar el objetivo económico.
▪Como se ve, la ponderación es bastante subjetiva.
Nos interesa el beneficio (FO) y limitar la contaminación (FO) metasModelo 5
51
Tema 1 
Programación 
multiobjetivo
Investigación de Operaciones - 2
1. Introducción a la programación lineal
2. Resolución de un PPL por el método gráfico
3. Programación multiobjetivo
4. Programación de metas
5. Algunas alternativas en la programación de metas
6. Programación de metas con prioridades absolutas
52Investigación de Operaciones 2
Prioridades absolutas
▪Con este método, se establecen unas prioridades
absolutas (preferencias) entre las metas.
▪Por ejemplo, si se le quisiera dar prioridad absoluta a la
meta 2, se plantearía la siguiente F.O:
𝑀𝑖𝑛 𝑍 = 𝑃1𝑒2 + 𝑃2𝑑1
▪Esto indica que primero se debe minimizar e2, y
luego, una vez establecido el mínimo valor de éste,
se debe encontrar el mínimo valor posible de d1.
▪El problema se resuelve entonces en 2 etapas.
6. Programación de metas con prioridades absolutas
53Investigación de Operaciones 2
Ejemplo
𝑀𝑖𝑛 𝑍 = 𝑒2
𝑥1 + 𝑥2 ≤ 300
6𝑥1 + 7𝑥2 – 𝑒2 ≤ 1500 (¿ 𝑦 𝑐𝑜𝑛 2000, 2200? )
𝑥1 , 𝑥2 , 𝑒2 ≥ 0
Tiene tres dimensiones: 𝑥1, 𝑥2, 𝑒2 pero lo podemos resolver gráficamente.
Para ello, lo resolvemos asumiendo 𝑒2 = 0 (caso más favorable) y luego
buscamos gráficamente el valor de 𝑒2 óptimo
6. Programación de metas con prioridades absolutas
𝑀𝑖𝑛 𝑍 = 𝑃1𝑒2 + 𝑃2𝑑1
𝑥1 + 𝑥2 ≤ 300
3000𝑥1 + 3750𝑥2 + 𝑑1 ≥ 1000000 (M1)
6𝑥1 + 7𝑥2 − 𝑒2 ≤ 1500 (M2)
𝑥1 , 𝑥2 , 𝑑1 , 𝑒2 ≥ 0
Primera etapa: Sólo existe M2
54Investigación de Operaciones 2
Solución
óptima de
la primera etapa
214,29
250 300
300
e
2
= 0
x
1
x
2
Consideramos inicialmente que 𝑒2 = 0 (que se
cumple la meta) y vemos cuánto hay que añadir
para caer en la región factible
Estos valores de 𝑥1 y 𝑥2 junto con 𝑒2 = 0
es la solución de esta etapa
Ejemplo
Nótese que, en cierto sentido, aplicamos el método gráfico ‘al revés’ de como se aplica en
PL. En un problema normal de PL comenzamos localizando la región factible y luego
buscamos la optimalidad. Aquí, comenzamos imponiendo la mejor solución óptima
(desviación nula), y después comprobamos su factibilidad.
55Investigación de Operaciones 2
𝑀𝑖𝑛 𝑍 = 𝑑1
𝑥1 + 𝑥2 ≤ 300
6𝑥1 + 7𝑥2 ≤ 1500
3000𝑥1 + 3750𝑥2 + 𝑑1 ≥ 1000000
𝑥1 , 𝑥2 , 𝑑1 ≥ 0
Tiene tres dimensiones: 𝑥1, 𝑥2, 𝑑1 pero lo podemos resolver gráficamente. Para 
ello, lo resolvemos asumiendo 𝑑1 = 0 (caso más favorable) y luego buscamos 
gráficamente el valor de 𝑑1 óptimo. 
Ejemplo
6. Programación de metas con prioridades absolutas
Segunda etapa: M2 pasa a restricción con su valor óptimo, e 
incorporamos M1 como restricción
56Investigación de Operaciones 2
214,29
250 300
300
x
1
x
2
Región de puntos que cumplen 
con la meta 1 sin tener en 
cuenta la meta 2.
La solución es el
punto que cumple con
la meta 2 (que es
prioritaria) que esté
más próximo a la
meta 1
Este 
punto es 
el óptimo
Ejemplo
6. Programación de metas con prioridades absolutas
266.7
333.3
57Investigación de Operaciones 2
214,29
250 300
300
x
1
x
2
Solución óptima:
x
1
= 0 , x
2
= 214,29 , d
1
= 196428,57
De las soluciones posibles, es la 
que más se acerca a la meta 1.
Calculamos 𝑑1 sustituyendo en ese punto
3000 × 0 + 3750 × 214.29 + 𝑑1 = 1000000
⇒ 𝑑1 = 196428.57
Ejemplo
6. Programación de metas con prioridades absolutas
266.7
58Investigación de Operaciones 2
214,29
250 300
300
x
1
x
2
Solución óptima:
x
1
= 0 , x
2
= 214,29 , d
1
= 196428,57
Hay que producir 214.29 TM con el proceso 2,
lo que lleva a una emisión de contaminación
de 1500 u.c. y un beneficio de $ 830571. No
se utilizará, por tanto, el proceso 1.
Ejemplo
6. Programación de metas con prioridades absolutas
¿Cómo sería la solución si
damos prioridad a la Meta 1?
59Investigación de Operaciones 2
Ejemplo
6. Programación de metas con prioridades absolutas
𝑀𝑖𝑛 𝑍 = 𝑃1𝑑1 + 𝑃2𝑒2
𝑥1 + 𝑥2 ≤ 300
3000𝑥1 + 3750𝑥2 + 𝑑1 ≥ 1000000 (M1)
6𝑥1 + 7𝑥2 − 𝑒2 ≤ 1500 (M2)
𝑥1 , 𝑥2 , 𝑑1 , 𝑒2 ≥ 0
Primera etapa: Sólo existe M1
Damos ahora prioridad a la meta 1
𝑀𝑖𝑛 𝑍 = 𝑑1
𝑥1 + 𝑥2 ≤ 300
3000𝑥1 + 3750𝑥2 + 𝑑1 ≥ 1000000
𝑥1 , 𝑥2 , 𝑑1 ≥ 0
60Investigación de Operaciones 2
300
300
x
1
x
2
Región de puntos factibles que 
cumplen con la meta 1
Ejemplo
6. Programación de metas con prioridades absolutas
266.7
333.3
Con 𝑑1 = 0 , que es el mínimo posible,
encontramos que hay soluciones factibles. Por
tanto, el resultado de esta etapa es 𝑑1 = 0
61Investigación de Operaciones 2
𝑀𝑖𝑛 𝑍 = 𝑒2
𝑥1 + 𝑥2 ≤ 300
3000𝑥1 + 3750𝑥2 ≥ 1000000
6𝑥1 + 7𝑥2 – 𝑒2 ≤ 1500
𝑥1 , 𝑥2 , 𝑒2 ≥ 0
Ejemplo
6. Programación de metas con prioridades absolutas
Segunda etapa: M1 pasa a restricción con su valor óptimo, e 
incorporamos M2 como restricción
62Investigación de Operaciones 2
214,29
250 300
300
x
1
x
2
Solución óptima:
x
1
= 0 , x
2
= 266.7 , e
2
= 367
De las soluciones factibles, es la 
que más se acerca a la meta 2.
Calculamos 𝑒2 sustituyendo en ese punto
6 × 0 + 7 × 266.7 − 𝑒2 = 1500
⇒ 𝑒2 = 367
Ejemplo
6. Programación de metas con prioridades absolutas
266.7