distribucion de probabilidades

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DISTRIBUCIONES DE PROBABILIDADES
Introducción a la distribución de probabilidades
Es el listado de todos los resultados de un experimento y la probabilidad asociada con cada resultado.
Una distribución de probabilidad proporciona toda la gama de valores que se pueden presentar en un experimento. Es similar a una distribución de frecuencias relativas; sin embargo, en lugar de describir el pasado, describe la probabilidad de que un evento se presente en el futuro. Por ejemplo, si un fabricante de medicamentos afirma que cierto tratamiento permitirá que 80% de la población baje de peso, la agencia de protección al consumidor quizá someta a prueba el tratamiento con una muestra de seis personas. Si la afirmación del fabricante es cierta, es casi imposible tener un resultado en el que nadie en la muestra pierda peso y es muy probable que 5 de cada 6 pierdan peso. 
Características de una distribución de probabilidad
1. La probabilidad de un resultado en particular se encuentra entre 0 y 1, inclusive.
2. Los resultados son eventos mutuamente excluyentes.
3. La lista es exhaustiva. Así, la suma de las probabilidades de los diversos eventos es igual a 1.
Ejercicio:
Suponga que le interesa el número de caras que aparecen en tres lanzamientos de una moneda. Tal es el experimento. Los posibles resultados son: cero caras, una cara, dos caras y tres caras. ¿Cuál es la distribución de probabilidad del número de caras? Hay ocho posibles resultados. En el primer lanzamiento puede aparecer una cara, una cruz en el segundo lanzamiento y otra cruz en el tercer lanzamiento de la moneda. O puede obtener cruz, cruz y cara, en ese orden. Para obtener los resultados del conteo (5.8), aplique la fórmula de la multiplicación: (2)(2)(2), es decir, 8 posibles resultados. Estos resultados se listan enseguida.
Observe que el resultado cero caras ocurre sólo una vez; una cara ocurre tres veces; dos caras, tres veces, y el resultado tres caras ocurre una sola vez. Es decir, cero caras se presentó una de ocho veces. Por consiguiente, la probabilidad de cero caras es de un octavo; la probabilidad de una cara es de tres octavos, etc. La distribución de probabilidad se muestra en la tabla 6.1. Como uno de estos resultados debe suceder, el total de probabilidades de todos los eventos posibles es 1.000. Esto siempre se cumple. La gráfica 6.1 contiene la misma información.
Distribución de probabilidad de los eventos relativos a cero, una, dos y tres caras en tres lanzamientos de una moneda.
Variables aleatorias
Es la cantidad que resulta de un experimento que, por azar, puede adoptar diferentes valores.
En cualquier experimento aleatorio, los resultados se presentan al azar; así, a éste se le denomina variable aleatoria. Por ejemplo, lanzar un dado constituye un experimento: puede ocurrir cualquiera de los seis posibles resultados. Algunos experimentos dan origen a resultados de índole cuantitativa (como dólares, peso o número de niños); otros dan origen a resultados de naturaleza cualitativa (como el color o la afiliación religiosa). Cada valor de la variable aleatoria se relaciona con una probabilidad que indica la posibilidad de un resultado determinado.
Los términos experimento, resultado, evento y variable aleatoria. Primero, en el caso del experimento en el que se lanza una moneda tres veces, hay ocho posibles resultados. En este experimento, interesa el evento de que se presenta una cara en tres lanzamientos. La variable aleatoria es el número de caras. En términos de probabilidad, desea saber la probabilidad del evento que tiene una variable aleatoria igual a 1. El resultado es P(1 cara en 3 lanzamientos) = 0.375.
Variable aleatoria discreta
Es una variable aleatoria que adopta sólo valores claramente separados.
Una variable aleatoria discreta adopta sólo cierto número de valores separados. Si hay 100 empleados, el recuento de la cantidad de ausentes el lunes sólo puede ser 0, 1, 2, 3, …, 100. Una variable discreta suele ser resultado de contar algo.
A veces, una variable aleatoria discreta asume valores fraccionarios o decimales.
Estos valores deben estar separados: debe haber cierta distancia entre ellos. Por ejemplo, las calificaciones de los jueces por destreza técnica y formas artísticas en una competencia de patinaje artístico son valores decimales, como 7.2, 8.9 y 9.7. Dichos valores son discretos, pues hay una distancia entre calificaciones de 8.3 y 8.4. Una calificación no puede tener un valor de 8.34 o de 8.347.
La Variable aleatoria que adopta sólo valores claramente separados.
Distribuciones discretas de probabilidad 185
• La temperatura ambiente en el momento en que lee este libro.
• La suma de dinero que gana cada uno de los 750 jugadores actuales en la lista de
los equipos de la Liga Mayor de Béisbol.
Variable aleatoria continua
Si la variable aleatoria es continua, es una distribución de probabilidad continua. Si mide algo, como la anchura de una recámara, la estatura de una persona o la presión de la llanta de un automóvil, se trata de una variable aleatoria continua. Se puede suponer una infinidad de valores, con ciertas limitaciones. Por ejemplo:
• Los tiempos de los vuelos comerciales entre Atlanta y Los Ángeles son de 4.67
horas, 5.13 horas, etc. La variable aleatoria es la cantidad de horas.
• La presión, medida en libras por pulgada cuadrada (psi), en un nuevo neumático
Chevy Trail-blazer puede ser de 32.78 psi, 31.62 psi, 33.07 psi, etc. En otras palabras, es razonable que se presente cualquier valor entre 28 y 35. La variable aleatoria es la presión de la llanta. Por lógica, si organiza un conjunto de posibles valores de una variable aleatoria en una distribución de probabilidad, el resultado es una distribución de probabilidad. Así, ¿cuál es la diferencia entre una distribución de probabilidad y una variable aleatoria?
Una variable aleatoria representa el resultado particular de un experimento. Una distribución de probabilidad representa todos los posibles resultados, así como la correspondiente probabilidad.
Las herramientas que se utilizan, así como las interpretaciones probabilísticas, son diferentes en el caso de distribuciones de probabilidades discretas y continuas
Por lo general, una distribución discreta es el resultado de contar algo, como:
• El número de caras que se presentan en tres lanzamientos de una moneda.
• El número de estudiantes que obtienen A en clase.
• El número de empleados de producción que se ausentaron hoy en el segundo turno.
• El número de comerciales de 30 segundos que pasan en la NBC de las 8 a las 11 de la noche.
Las distribuciones continuas son el resultado de algún tipo de medición, como:
• La duración de cada canción en el último álbum de Tim McGraw.
• El peso de cada estudiante de esta clase.
Media, varianza y desviación estándar de una distribución de probabilidad
Las medidas de ubicación y variación de una distribución de frecuencias. La media indica la localización central de los datos, y la varianza describe la dispersión de los datos. De forma similar, una distribución de probabilidad queda resumida por su media y su varianza. La media de una distribución de frecuencias se identifica mediante la letra minúscula griega mu (μ), y la desviación estándar, con sigma (σ).
Media 
La media constituye un valor típico para representar la localización central de una distribución de probabilidad. También es el valor promedio de larga duración de la variable aleatoria. La media de una distribución de probabilidad también recibe el nombre de valor esperado. Se trata de un promedio ponderado en el que los posibles valores de una variable aleatoria se ponderan con sus correspondientes probabilidades de ocurrir. La media de una distribución de probabilidad discreta se calcula con la fórmula: μ = Σ[xP(x)]
Aquí P(x) es la probabilidad de un valor particular x. En otras palabras, se multiplica cada valor x por la probabilidad de que ocurra y enseguida se suman los productos.
Varianza y desviación estándar
Como se observó, la media constituye un valor típico para resumir unadistribución de
probabilidad discreta. Sin embargo, ésta no describe el grado de dispersión (variación)
en una distribución. La varianza sí lo hace. La fórmula para la varianza de una distribución
de probabilidad es: σ2 = Σ[(x – μ)2P(x)]
Los pasos para el cálculo son los siguientes:
1. La media se resta de cada valor y la diferencia se eleva al cuadrado.
2. Cada diferencia al cuadrado se multiplica por su probabilidad.
3. Se suman los productos que resultan para obtener la varianza.
La desviación estándar, σ, se determina al extraer la raíz cuadrada positiva de σ2; es decir, σ = √ _σ
Ejercicio:
John Ragsdale vende automóviles nuevos en Pelican Ford. Por lo general, John vende la mayor cantidad de automóviles el sábado. Ideó la siguiente distribución de probabilidades de la cantidad de automóviles que espera vender un sábado determinado.
1. ¿De qué tipo de distribución se trata?
2. ¿Cuántos automóviles espera vender John un sábado normal?
3. ¿Cuál es la varianza de la distribución?
1. Se trata de una distribución de probabilidad discreta para la variable aleatoria denominada número de automóviles vendidos. Observe que John sólo espera vender cierto margen de automóviles; no espera vender 5 automóviles ni 50. Además, no puede vender medio automóvil. Sólo puede vender 0, 1, 2, 3 o 4 automóviles. Asimismo, los resultados son mutuamente excluyentes: no puede vender un total de 3 y 4 automóviles el mismo sábado. 
2. La media de la cantidad de automóviles vendidos se calcula al multiplicar el número de automóviles vendidos por la probabilidad de vender dicho número, y sumar los productos.
Estos cálculos se resumen en la siguiente tabla.
¿Cómo interpretar una media de 2.1? Este valor indica que, a lo largo de una gran cantidad de sábados, John Ragsdale espera vender un promedio de 2.1 automóviles por día. Por supuesto, no es posible vender exactamente 2.1 automóviles un sábado en particular. Sin embargo, el valor esperado se utiliza para predecir la media aritmética de la cantidad de automóviles vendidos a la larga.
Por ejemplo, si John trabaja 50 sábados en un año, puede esperar vender (50)(2.1) o 105 automóviles sólo los sábados. Por consiguiente, a veces la media recibe el nombre de valor esperado.
3. De nuevo, una tabla resulta útil para sistematizar los cálculos de la varianza, que es de 1.290.
Recuerde que la desviación estándar, σ, es la raíz cuadrada positiva de la varianza. En este ejemplo es = 1.290 = 1.136 automóviles. ¿Cómo interpretar una desviación estándar de 1.136 automóviles? Si la vendedora Rita Kirsch también vendió un promedio de 2.1 automóviles los sábados y la desviación estándar en sus ventas fue de 1.91 automóviles, concluiría que hay más variabilidad en las ventas sabatinas de Kirsch que en las de Ragsdale (pues 1.91 > 1.136).
Distribución de probabilidad binomial
La distribución de probabilidad binomial es una distribución de probabilidad discreta que se presenta con mucha frecuencia. Una característica de una distribución binomial consiste en que sólo hay dos posibles resultados en determinado intento de un experimento. Por ejemplo, el enunciado en una pregunta de cierto o falso es o cierto o falso. Los resultados son mutuamente excluyentes, lo cual significa que la respuesta a una pregunta de cierto o falso no puede ser al mismo tiempo cierta o falsa. En otro ejemplo, un producto se clasifica como aceptable o inaceptable por el departamento de control de calidad; un trabajador se clasifica como empleado o desempleado, y una llamada da como resultado que el cliente compre el producto o no lo compre. Con frecuencia, se clasifican los dos posibles resultados como éxito y fracaso. Sin embargo, esta clasificación no implica que un resultado sea bueno y el otro malo.
Otra característica de la distribución binomial es el hecho de que la variable aleatoria es el resultado de conteos. Es decir, se cuenta el número de éxitos en el número total de pruebas. Lance una moneda equilibrada cinco veces y cuente el número de veces que aparece una cara; seleccione 10 trabajadores y liste cuántos tienen más de 50 años, o seleccione 20 cajas de Raisin Bran de Kellog y cuente el número de cajas que pesan más de lo que indica el paquete. Una tercera característica de una distribución binomial consiste en que la probabilidad de éxito es la misma de una prueba a otra.
Para construir una probabilidad binomial en particular se necesita: 1) el número de pruebas;
La probabilidad de éxito de cada prueba.
Una probabilidad binomial se calcula mediante la fórmula: P(x) = nCx πx(1 – π)n-x
C representa una combinación.
n es el número de pruebas.
x es la variable aleatoria definida como el número de éxitos.
π es la probabilidad de un éxito en cada prueba.
Empleamos la letra griega π (pi) para representar un parámetro de población binomial.
No se confunda con la constante matemática 3.1416.
Ejercicio:
US Airways tiene cinco vuelos diarios de Pittsburgh al Aeropuerto Regional de Bradford, Pennsylvania. Suponga que la probabilidad de que cualquier vuelo llegue tarde sea de 0.20. ¿Cuál es la probabilidad de que ninguno de los vuelos llegue tarde hoy? ¿Cuál es la probabilidad de que exactamente uno de los vuelos llegue tarde hoy? Aplique la fórmula (6.3). La probabilidad de que un vuelo llegue tarde es de 0.20, así, π = 0.20. Hay cinco vuelos, así, n = 5, y x, la variable aleatoria, se refiere al número de éxitos. En este caso un éxito consiste en que un avión llegue tarde. Como no hay demoras en las llegadas, x = 0.
La probabilidad de que exactamente uno de los cinco vuelos llegue tarde hoy es de 0.4096, que se calcula de la siguiente manera:
La distribución de probabilidad binomial completa con π = 0.20 y n = 5 aparece a la izquierda de la siguiente hoja de cálculo de Excel. También se muestra un diagrama de barras de la distribución de probabilidad. Observe que la probabilidad de que exactamente 3 vuelos lleguen tarde es de 0.0512, y, del diagrama de barras, que la distribución del número de llegadas demoradas tiene un sesgo positivo.
Uso de las tablas de probabilidad
Con la fórmula (6.3) se construye una distribución de probabilidad binomial para cualesquiera valores de n y π. Sin embargo, si n es grande, los cálculos consumen más tiempo. Por conveniencia, las tablas del apéndice B.9 muestran el resultado de la aplicación de la fórmula en el caso de varios valores de n y π. La tabla 6.2 muestra parte del apéndice B.9 para n = 6 y diversos valores de π.
Probabilidades binomiales para n = 6 y valores selectos de π
Probabilidad de 0, 1, 2, … éxitos para valores de π de 0.05, 0.10, 0.20, 0.50 y0.70 y una n de 10
Presentan un sesgo positivo. Conforme π se aproxima a 0.50, la distribución se torna más simétrica. Conforme π supere el 0.50 y se aproxime a 0.95, la distribución de probabilidad adquiere un sesgo negativo.
Ejercicio:
Cinco por ciento de los engranajes de tornillo producidos en una fresadora automática de alta velocidad Carter-Bell se encuentra defectuoso. ¿Cuál es la probabilidad de que, en seis engranajes seleccionados, ninguno se encuentre defectuoso? ¿Exactamente uno? ¿Exactamente dos? ¿Exactamente tres? ¿Exactamente cuatro? ¿Exactamente cinco? ¿Exactamente seis de seis? Las condiciones binomiales se cumplen: a) hay sólo dos posibles resultados (un engranaje determinado está defectuoso o es aceptable); b) existe una cantidad fija de pruebas (6); c) hay una probabilidad constante de éxito (0.05); d) las pruebas son independientes.
Consulte la tabla 6.2 y localice la probabilidad de que exactamente cero engranajes se encuentren defectuosos. Descienda por el margen izquierdo hasta llegar al valor 0 de x. Ahora siga por la horizontal hasta la columna con un encabezado π de 0.05 para determinar la probabilidad. Ésta es de 0.735. La probabilidad de que haya exactamente un engranaje defectuoso en una muestra de seis engranajes de tornillo es de 0.232. La distribución de probabilidad completa de n = 6 y π = 0.05 es la siguiente:
Por supuesto, existe una ligera posibilidad de que salgan cinco engranajesdefectuosos de seis selecciones aleatorias. Ésta es de 0.00000178, que se determina al sustituir los valores adecuados en la fórmula binomial: 
 P(5)= 6C5(.05)5 (.95)1 = (6)(.05)5(.95) = .00000178
En el caso de seis de seis, la probabilidad exacta es de 0.000000016. Por consiguiente, la probabilidad de seleccionar cinco o seis engranajes defectuosos de una muestra de seis es muy pequeña. Es posible calcular la media o valor esperado de la distribución del número de engranajes defectuosos: 
 μ = nπ = (6)(.05) = 0.30
σ2 = nπ(1 – π) = 6(.05)(.95) = 0.285
Distribución de Piosson
La distribución de probabilidad de Poisson describe el número de veces que se presenta un evento durante un intervalo específico. El intervalo puede ser de tiempo, distancia, área o volumen. La distribución se basa en dos supuestos. El primero consiste en que la probabilidad es proporcional a la longitud del intervalo. El segundo supuesto consiste en que los intervalos son independientes. En otras palabras, cuanto más grande sea el intervalo, mayor será la probabilidad, y el número de veces que se presenta un evento en un intervalo no influye en los demás intervalos. La distribución también constituye una forma restrictiva de la distribución binomial cuando la probabilidad de un éxito es muy pequeña y n es grande. A ésta se le conoce por lo general con el nombre de ley de eventos improbables, lo cual significa que la probabilidad, π, de que ocurra un evento en particular es muy pequeña. La distribución de Poisson es una distribución de probabilidad discreta porque se genera contando.
En resumen, una distribución de probabilidad de Poisson posee tres características:
1. La variable aleatoria es el número de veces que ocurre un evento durante un intervalo definido.
2. La probabilidad de que ocurra el evento es proporcional al tamaño del intervalo.
3. Los intervalos no se superponen y son independientes.
La distribución posee diversas aplicaciones. Se le utiliza como modelo para describir la distribución de errores en una entrada de datos, el número de rayones y otras imperfecciones en las cabinas de automóviles recién pintados, el número de partes defectuosas en envíos, el número de clientes que esperan mesa en un restaurante o que esperan entrar en una de las atracciones de Disney World y el número de accidentes en la carretera federal 75 en un periodo de tres meses. La distribución de Poisson se describe matemáticamente por medio de la siguiente fórmula: 
donde:
μ (mu) es la media de la cantidad de veces (éxitos) que se presenta un evento en un intervalo particular.
e es la constante 2.71828 (base del sistema de logaritmos naperianos).
x es el número de veces que se presenta un evento.
P(x) es la probabilidad para un valor específico de x.
La media de número de éxitos, μ, puede determinarse con nπ; en este caso, n es el número total de pruebas, y π, la probabilidad de éxito.
Media de una distribución de poisson: μ = nπ
La varianza de Poisson también es igual a su media. Si, por ejemplo, la probabilidad de que un cheque cobrado en un banco rebote es de 0.0003 y se cobran 10 000 cheques, la media y la varianza del número de cheques rebotados es de 3.0, que se determina mediante la operación μ = nπ = 10 000(.0003) = 3.0. Recuerde que, en el caso de una distribución binomial, existe una cantidad fija de pruebas. Por ejemplo, en una prueba de selección múltiple de cuatro preguntas, sólo puede haber cero, uno, dos, tres o cuatro éxitos (respuestas correctas). Sin embargo, la variable aleatoria, x, para una distribución de Poisson puede adoptar una infinidad de valores; es decir, 0, 1, 2, 3, 4, 5, …. Sin embargo, las probabilidades se tornan muy bajas después de las primeras veces que se presenta un evento (éxitos). Para ejemplificar el cálculo de la distribución de Poisson, suponga que pocas veces se pierde equipaje en Northwest Airlines. En la mayoría de los vuelos no se pierden maletas; en algunos se pierde una; en unos cuantos se pierden dos; pocas veces se pierden tres, etc. Suponga que una muestra aleatoria de 1 000 vuelos arroja un total de 300 maletas perdidas. De esta manera, la media aritmética del número de maletas perdidas por vuelo es de 0.3, que se calcula al dividir 300/1 000. Si el número de maletas perdidas por vuelo se rige por una distribución de Poisson con μ = 0.3, las diversas probabilidades se calculan con la fórmula: 
Ejercicio:
De acuerdo con el ejemplo anterior, el número de maletas se rige por una distribución de Poisson con una media de 0.3. Consulte el apéndice B.5 para determinar la probabilidad de que ninguna maleta se pierda en un vuelo. ¿Cuál es la probabilidad de que se pierda exactamente una maleta en un vuelo? ¿En qué momento debe sospechar el supervisor de que en un vuelo se están perdiendo demasiadas maletas?
Parte del apéndice B.5 se reproduce en la tabla 6.6. Para determinar la probabilidad de que ninguna maleta se pierda, se localiza la columna con el encabezado “0.3” y se desciende por dicha columna hasta el renglón señalado con “0”. La probabilidad es de 0.7408. Ésta es la probabilidad de que no haya maletas perdidas. La probabilidad de que se pierda una maleta es 0.2222, y está en el siguiente renglón de la tabla, en la misma columna. La probabilidad de que se pierdan dos maletas es de 0.0333, renglón inferior; en el caso de tres maletas perdidas, la probabilidad es de 0.0033; y para cuatro maletas perdidas es de 0.0003. Por consiguiente, un supervisor no debería sorprenderse de que se pierda una maleta, pero debería esperar ver con menos frecuencia más de una maleta perdida.
Uso de las tablas de Piosson
Para determinar la probabilidad de que ninguna maleta se pierda, se localiza la columna con el encabezado “0.3” y se desciende por dicha columna hasta el renglón señalado con “0”. La probabilidad es de 0.7408. Ésta es la probabilidad de que no haya maletas perdidas. La probabilidad de que se pierda una maleta es 0.2222, y está en el siguiente renglón de la tabla, en la misma columna. La probabilidad de que se pierdan dos maletas es de 0.0333, renglón inferior; en el caso de tres maletas perdidas, la probabilidad es de 0.0033; y para cuatro maletas perdidas es de 0.0003. Por consiguiente, un supervisor no debería sorprenderse de que se pierda una maleta, pero debería esperar ver con menos frecuencia más de una maleta perdida.
Tabla de Poisson para diversos valores de μ
Ya se mencionó que la distribución de probabilidad de Poisson constituye una forma restrictiva de la distribución binomial. Es decir, se puede calcular una probabilidad binomial con la de Poisson. La distribución de probabilidad de Poisson se caracteriza por el número de veces que se presenta un evento durante un intervalo o continuo. Algunos ejemplos son:
• El número de palabras mal escritas por página en un periódico.
• El número de llamadas por hora que recibe Dyson Vacuum Cleaner Company.
• El número de vehículos vendidos por día en Hyatt Buick GMC, en Durham, Carolina del Norte.
• El número de anotaciones en un encuentro de fútbol colegial.
Glosario 
Resumen de fórmulas de calculo