Tema6_IntroInferencia-Estimación_EDB_2016-II

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1ESTADÍSTICA BÁSICA
2ESTADÍSTICA BÁSICA
6. Introducción a la Inferencia. Estimación
q
1̂q
2̂q
Tema 6: Introducción a la Inferencia. Estimación
1. La inferencia estadística. Población y muestra
2. Estimación y estimadores
3. Métodos de estimación. El método de los momentos
4. Evaluación de los estimadores.
5. La distribución de la media muestral
4ESTADÍSTICA BÁSICA
Objetivo de la estadística:
• Aprender de la observación
• Generalizar lo que aprendemos de una muestra de una variable 𝑋 a toda la población
1. la inferencia Estadística. Población y muestra
5ESTADÍSTICA BÁSICA
Objetivo de la estadística:
• Aprender de la observación
• Generalizar lo que aprendemos de una muestra de una variable X a toda la población
NO OBSERVAMOS 
LA POBLACIÓN
1. la inferencia Estadística. Población y muestra
6ESTADÍSTICA BÁSICA
Objetivo de la estadística:
• Aprender de la observación
• Generalizar lo que aprendemos de una muestra de una variable X a toda la población
NO OBSERVAMOS 
LA POBLACIÓN
sólo una muestra
1. la inferencia Estadística. Población y muestra
INFERENCIA
MUESTRA DE n
OBSERVACIONES
POBLACIÓN
𝑋1,𝑋2, … ,𝑋𝑛
Muestra aleatoria simple:
• Todas las 𝑋𝑖 tienen las mismas características que 𝑋
• Son independientes entre si
𝑋1, 𝑋2, … , 𝑋𝑛 Son una secuencia de variables aleatorias independientes e idénticas (iid)
X
8ESTADÍSTICA BÁSICA
Extraemos información de la muestra:
• Histograma
• Media muestral
• Varianza muestral...
9ESTADÍSTICA BÁSICA
Extraemos información de la muestra:
• Histograma
• Media muestral
• Varianza muestral...
¡¡PROBLEMA!!
La información 
depende de la 
muestra 
seleccionada
10ESTADÍSTICA BÁSICA
24.5X 25.8X 
¿Qué credibilidad le damos a la información 
de una sola muestra?
11ESTADÍSTICA BÁSICA
24.5X 25.8X 
¿Qué credibilidad le damos a la información 
de una sola muestra?
ESTADÍSTICO: operación matemática realizada con una 
muestra
Ejemplo: media muestral, varianza muestral,...
El valor de un ESTADÍSTICO varía con la muestra
12ESTADÍSTICA BÁSICA
Distribución muestral (o en el muestreo) de un estadístico
Estadístico: cualquier operación realizada con una muestra
Ejemplo: Media muestral
Los elementos de la muestra son 
variables aleatorias. Su valor 
cambia de unas muestras a otras
Un estadístico es siempre una variable aleatoria. 
Su valor cambia de unas muestras a otras
Depende de la operación que se 
realiza y de las propiedades de X
Su distribución: distribución en el 
muestreo o distribución muestral 
con una muestra tenemos sólo un valor concreto
1. la inferencia Estadística. Población y muestra
Tema 6: Introducción a la Inferencia. Estimación
1. La inferencia estadística. Población y muestra
2. Estimación y estimadores
3. Métodos de estimación. El método de los momentos
4. Evaluación de los estimadores.
5. La distribución de la media muestral
14ESTADÍSTICA BÁSICA
2. Estimación y estimadores 
Parámetros
valores numéricos sobre características de la población:
μ , σ² , λ , Cuartiles,... 
Si un parámetro es desconocido le asignamos un valor aproximado, a partir 
de una muestra de datos
estadístico que se emplea en la estimación de un parámetro
(como es un estadístico, será una variable aleatoria)
ESTIMADOR:
Ejemplo: la media muestral se puede user como estimador de la media poblacional
cálculo de un valor numérico a partir de una muestra, 
con el fin de asignar un valor a un parámetro desconocido 
que sea lo más preciso posible
ESTIMACIÓN:
NOTACIÓN: El símbolo para denotar a un estimador será el mismo que el del 
parámetro pero con acento circunflejo ^
Estimador de la media poblacional μ
Estimador de la varianza σ2
Estimador de un parámetro θ
Tema 6: Introducción a la Inferencia. Estimación
1. La inferencia estadística. Población y muestra
2. Estimación y estimadores
3. Métodos de estimación. El método de los momentos
4. Evaluación de los estimadores.
5. La distribución de la media muestral
16ESTADÍSTICA BÁSICA
3. Métodos de estimación. El método de los momentos
En estadística se denomina momento de una población de orden 𝑚 a
𝑀𝑚 = 𝐸[𝑋
𝑚]
mientras que momento muestral de orden 𝑚 es
𝑚𝑚 =
σ𝑖=1
𝑛 𝑋𝑖
𝑚
𝑛
Por tanto el primer momento poblacional es
𝑀1 = 𝐸 𝑋 ≡ 𝜇
y el primer momento muestral es la media muestral
𝑚1 =
σ𝑖=1
𝑛 𝑋𝑖
𝑛
= ത𝑋
Análogamente El segundo momento poblacional será
𝑀2 = 𝐸(𝑋²)
y el segundo momento muestral será
𝑚2 =
σ𝑖=1
𝑛 𝑋𝑖
2
𝑛
El método de los momentos
17ESTADÍSTICA BÁSICA
Asimismo, se denomina momento poblacional de orden m centrado (o
respecto a la media) a
𝑀𝑚
𝑐 = 𝐸 𝑋 − 𝜇 𝑚
y el momento muestral centrado de orden m (o respecto a la media) es
mm
c =
σ𝑖=1
𝑛 𝑋𝑖 − ത𝑋
𝑚
𝑛
La varianza poblacional σ² es el momento de segundo orden respecto a la
media, y la varianza muestral s² es el segundo momento muestral respecto a
la media.
El método de los momentos se basa en:
1. Cualquier parámetro de un modelo poblacional puede ponerse en
función de los momentos poblacionales (si no son ya ellos mismos).
2. Estimaremos los momentos poblacionales con los muestrales:
෡𝑀𝑚 = 𝑚𝑚; ෡𝑀𝑚
𝑐 = 𝑚𝑚
𝑐
3. Conseguimos así estimar un parámetro con una función de los
momentos muestrales
3. Métodos de estimación. El método de los momentos
18ESTADÍSTICA BÁSICA
Ejemplo: El número de clientes que llega a un puesto de servicio en una hora es una variable de 
Poisson. Durante 5 horas se anotan los clientes que llegan resultando las siguientes 
cantidades: 5, 0, 3, 3, 4. Estima su parámetro λ
Como E(X)=λ tenemos que
3. Métodos de estimación. El método de los momentos
Ejemplo: El tiempo que se tarda en ejecutar una tarea sigue una distribución exponencial. Se ha 
tomado una muestra de 7 tiempos de ejecución, resultando en los datos: 3,8,5,9,12,4, 
1 minutos, respectivamente. ¿Cuál es la probabilidad (estimada) de que la tarea se 
prolongue más de 10 minutos?
Queremos estimar la probabilidad 𝑃(𝑋 > 10), con 𝑋 ∼ 𝐸𝑥𝑝 𝜆 . Sabemos que 
𝐸 𝑋 =
1
𝜆
⇒ 𝜆 =
1
𝐸(𝑋)
⇒ መ𝜆 =
1
ത𝑋
=
1
6
𝑃 𝑋 > 10 = 𝑒−𝜆10 ⇒ ෠𝑃 𝑋 > 10 = 𝑒−
෡𝜆10 = 𝑒−
10
6 = 0.19
Tema 6: Introducción a la Inferencia. Estimación
1. La inferencia estadística. Población y muestra
2. Estimación y estimadores
3. Métodos de estimación. El método de los momentos
4. Evaluación de los estimadores.
5. La distribución de la media muestral
20ESTADÍSTICA BÁSICA
Se pueden proponer varios estimadores para un parámetro. Elegimos el “mejor”.
Para una muestra aleatoria simple de tamaño n=3 de una variable
aleatoria normal de media μ y varianza conocida σ²=1, se consideran los
siguientes estimadores de μ:
Ƹ𝜇1 =
1
3
𝑋1 +
1
3
𝑋2 +
1
3
𝑋3 ≡ ത𝑋
Ƹ𝜇2 =
1
4
𝑋1 +
1
2
𝑋2 +
1
4
𝑋3
Ƹ𝜇3 =
1
8
𝑋1 +
3
8
𝑋2 +
1
2
𝑋3
Ejemplo:
¿Cómo seleccionar el más adecuado?
4. Evaluación de los estimadores
21ESTADÍSTICA BÁSICA
¿Qué le vamos a pedir a un estimador de un parámetro θ ?
Que, aunque sea una variable aleatoria cuyo valor depende de la muestra 
empleada, dé un valor próximo al parámetro verdadero con mucha probabilidad
¿Cómo evaluarlo?
1 Que 𝐸 ෠𝜃 no se aleje mucho de 𝜃
MAL estimador del 
parámetro θ. Tendencia a 
sobreestimar el valor
q̂
q ˆ( )E q q
Varios criterios
Distribución de θ en el muestreo
BUEN estimador del 
parámetro θ
q̂
q
ˆ( )E q q
^
4. Evaluación de los estimadores
22ESTADÍSTICA BÁSICA
q̂
q̂
q
q
ˆ( )E q q
ˆ( )E q q
ˆ ˆ( ) ( )Sesgo Eq q q
El estimador será mejor, cuanto 
menor sea su sesgo
insesgado o centrado
Sesgado. Sesgo positivo
¿Qué le vamos a pedir a un estimador de un parámetro θ ?
Que, aunque sea una variable aleatoria cuyo valor depende de la muestra 
empleada, dé un valor próximo al parámetro verdadero con mucha probabilidad
¿Cómo evaluarlo?
1
Varios criterios
Distribución de θ en el muestreo
4. Evaluación de los estimadores
Que 𝐸 መ𝜃 no se aleje mucho de 𝜃
23ESTADÍSTICA BÁSICA
Para una muestra aleatoria simple detamaño n=3 de una variable 
aleatoria normal de media μ y varianza conocida σ²=1, se consideran los 
siguientes estimadores de μ:
Ejemplo:
Veamos su sesgo:
Los tres son insesgados
Ƹ𝜇1 =
1
3
𝑋1 +
1
3
𝑋2 +
1
3
𝑋3
Ƹ𝜇2 =
1
4
𝑋1 +
1
2
𝑋2 +
1
4
𝑋3
Ƹ𝜇3 =
1
8
𝑋1 +
3
8
𝑋2 +
1
2
𝑋3
4. Evaluación de los estimadores
24ESTADÍSTICA BÁSICA
1
q
2 Que θ tenga poca varianza 
^
1̂q
2̂q
Aunque ambos son insesgados, el estimador θ2 es peor que el θ1,
pues tiene mayor varianza. Es menos preciso. Es más probable que
una muestra proporcione una estimación muy alejada del verdadero
valor.
^ ^
4. Evaluación de los estimadores
Que 𝐸 መ𝜃 no se aleje mucho de 𝜃
25ESTADÍSTICA BÁSICA
Veamos su varianza:
El primer estimador tiene menor varianza
Para una muestra aleatoria simple de tamaño n=3 de una variable 
aleatoria normal de media μ y varianza conocida σ²=1, se consideran los 
siguientes estimadores de μ:
Ejemplo:
4. Evaluación de los estimadores
Ƹ𝜇1 =
1
3
𝑋1 +
1
3
𝑋2 +
1
3
𝑋3
Ƹ𝜇2 =
1
4
𝑋1 +
1
2
𝑋2 +
1
4
𝑋3
Ƹ𝜇3 =
1
8
𝑋1 +
3
8
𝑋2 +
1
2
𝑋3
26ESTADÍSTICA BÁSICA
1 Que 𝐸( ෠𝜃 ) no se aleje mucho de 𝜃
2 Que መ𝜃 tenga poca varianza 
3
Si hay varios estimadores, con distinto sesgo y varianza. Es mejor el que tenga 
menor ERROR CUADRATICO MEDIO (ECM)
2 2
ˆ ˆ ˆ ˆ( ) ( ) ( )ECM E Sesgo Varq q q q q
q
1̂q
2̂q
Es insesgado pero de 
mayor varianza
Es sesgado, pero de 
menor varianza
Calculamos el ECM de 
cada uno y elegimos el 
que tenga ECM menor
ESTIMADOR EFICIENTE
Es más probable que en una muestra dé un valor próximo 
al valor poblacional
4. Evaluación de los estimadores
Tema 6: Introducción a la Inferencia. Estimación
1. La inferencia estadística. Población y muestra
2. Estimación y estimadores
3. Métodos de estimación. El método de los momentos
4. Evaluación de los estimadores.
5. La distribución de la media muestral
28ESTADÍSTICA BÁSICA
5. La distribución de la media muestral
Estadístico: Media muestral
X3 ... XnX1 X2
con una muestra tenemos sólo un valor concreto
?
• ¿Qué forma tiene la distribución de la media muestral? (la que se obtiene si 
cambiamos los elementos de la muestra)
• ¿Es la media muestral una buena aproximación a la media poblacional μ? 
X
Distribución de X
‘generador de datos’
29ESTADÍSTICA BÁSICA
La media poblacional está en el centro de las diferentes medias 
muestrales que podríamos haber obtenido con diferentes muestras 
diferentes
5. La distribución de la media muestral
30ESTADÍSTICA BÁSICA
independientes
• Si n es suficientemente grande, la media muestral cambiaría poco de unas 
muestras a otras
• Es muy poco probable que la media muestral dé un valor muy alejado de μ
Disminuye con n
5. La distribución de la media muestral
31ESTADÍSTICA BÁSICA
• Simétrica 
• Concentrada en μ
• Con n alto, es muy probable que cualquier muestra 
dé un valor próximo a μ
Estamos sumando variables aleatorias. 
Por el Teorema Central del Límite, si n es grande (n>30)
NORMAL
Independientemente 
de cómo sea X!!!!!!
5. La distribución de la media muestral