Tema7_InferenciaMuestrasGrandes_EDB_2016-II

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1ESTADÍSTICA BÁSICA
2ESTADÍSTICA BÁSICA
7. Inferencia con muestras grandes
3ESTADÍSTICA BÁSICA
Tema 7: Inferencia con muestras grandes
1. Intervalos de confianza para μ con muestras grandes
2. Determinación del tamaño muestral
3. Introducción al contraste de hipótesis
4. Contraste de hipótesis de la media μ con muestras grandes
5. Interpretación de un contraste usando el p-valor
6. Relación entre contrastes de hipótesis e intervalos de confianza
7. Inferencia sobre una proporción con muestras grandes
4ESTADÍSTICA BÁSICA
Sea X una v. aleatoria de interés con distribución cualquiera y con
En el tema anterior vimos que si n es grande (n>30)
1
0
Z
1. Intervalos de confianza para μ con muestras grandes
5ESTADÍSTICA BÁSICA
-4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4
0
1- a1- a
a /2 a /2
Z ~ N(0,1)
-za/2
za/2
6ESTADÍSTICA BÁSICA
-4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4
0
1- a1- a
a /2 a /2
Z ~ N(0,1)
-za/2
za/2
Si tomásemos infinitas muestras, y con cada una calculásemos 
el intervalo
/ 2x z
n
a
s
Entonces, el 100(1-a)% de esos intervalos tendría el valor de m
7ESTADÍSTICA BÁSICA
2. Intervalos de confianza para μ con muestras grandes
m
x
muestra 1
1x muestra 2
2x
muestra 3
3x
muestra 4
4x
muestra 5
5x
muestra 6
6x
muestra 7
7x muestra 8
8x
Si tomásemos infinitas muestras, y con cada una calculásemos el intervalo
/ 2x z
n
a
s
Entonces, el 100(1-a)% de esos intervalos tendría el valor de m
8ESTADÍSTICA BÁSICA
-4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4
0
1- a1- a
a /2 a /2
Z ~ N(0,1)
-za/2
za/2
En la práctica:
Sólo una muestra
Sólo un intervalo
El intervalo sí o no contendrá a m
A la incertidumbre de si lo contendrá le llamaremos confianza
9ESTADÍSTICA BÁSICA
intervalo de confianza de nivel de confianza 100 × (1 − 𝛼)% para μ
/ 2(1 ) :IC x z
n
a
s
a m
Margen de error 𝐋 = 𝐳𝜶/𝟐
𝝈
𝒏
Amplitud o ancho del intervalo: 𝟐 × 𝑳
Dado un nivel de confianza, a mayor margen de error (o amplitud del intervalo)
mayor es la incertidumbre que tenemos sobre el verdadero valor de la media.
Puesto que la desviación típica de la población no la podremos disminuir, lo
único que podremos hacer para reducir la incertidumbre sobre 𝜇 es aumentar
el tamaño muestral.
10ESTADÍSTICA BÁSICA
intervalo de confianza de nivel de confianza 100×(1-α)% para μ
Ejemplo Una muestra aleatoria extraída de una población con σ²=100 de n=144
observaciones tiene una media muestral =160. se pide:
(a) Calcular un intervalo de confianza del 95% para μ.
(b) Calcular un intervalo de confianza del 90% para μ.
(b)
(a)
Mayor confianza=más anchos
90%
95%
X
/ 2(1 ) :IC x z
n
a
s
a m
11ESTADÍSTICA BÁSICA
Cuestiones
¿Verdadero, falso o incierto?
• El intervalo de confianza nos dice entre qué valores variará μ de unas 
muestras a otras
• Es imposible que μ esté fuera del intervalo de confianza
• El intervalo de confianza que hemos visto sólo es válido si X es normal
• El intervalo de confianza que hemos visto sólo es válido si es normalX
• Lo mejor será construir intervalos de confianza del 100%, así no 
tendremos incertidumbre
• El intervalo de confianza me dice entre qué valores estará la media 
poblacional con una confianza determinada
• Si tengo pocos datos, el intervalo de confianza puede no ser válido
/ 2(1 ) :IC x z
n
a
s
a m
12ESTADÍSTICA BÁSICA
/ 2(1 ) :IC x z
n
a
s
a m
Es también un parámetro, y será 
desconocido
Lo sustituimos por un estimador
/ 2
ˆ
(1 ) :IC x z
n
a
s
a m
¿Qué estimador usamos para σ²?
13ESTADÍSTICA BÁSICA
¿Qué estimador usamos para σ² ?
Método de los momentos: varianza muestral
Se puede demostrar que 
es SESGADO
subestima la 
verdadera varianza
14ESTADÍSTICA BÁSICA
¿Qué estimador usamos para σ² ?
es SESGADO
Corregimos el sesgo
Nuestro estimador ‘oficial’ será el estimador insesgado
• Cuasivarianza
• Pseudo varianza
• Varianza corregida
• Varianza corregida por grados de libertad
15ESTADÍSTICA BÁSICA
intervalo de confianza de nivel de confianza 100×(1-α)% para μ
Ejemplo Se mide la duración de 200 componentes electrónicos hasta su avería. De esos 
200 datos se tiene que la media muestral es 1300 horas y la cuasivarianza es 
10.000 (horas al cuadrado). Calcula un intervalo de confianza de μ de nivel de 
confianza 95%
2
0.025
1300
ˆ 10.000
200
0.05
1.96
X
S
n
z
a
10000
1300 1.96
200
m [1286;1314]m
/ 2
ˆ
(1 ) :
s
IC x z
n
aa m
Más intervalos de confianza: ver apuntes!!
16ESTADÍSTICA BÁSICA
Tema 7: Inferencia con muestras grandes
1. Intervalos de confianza para μ con muestras grandes
2. Determinación del tamaño muestral
3. Introducción al contraste de hipótesis
4. Contraste de hipótesis de la media μ con muestras grandes
5. Interpretación de un contraste usando el p-valor
6. Relación entre contrastes de hipótesis e intervalos de confianza
7. Inferencia sobre una proporción con muestras grandes
17ESTADÍSTICA BÁSICA
2. Determinación del tamaño muestral
intervalo de confianza de nivel de confianza 100×(1-α)% para μ
Acabamos de ver que...
¿Cuál debe ser n para conseguir un margen de error L determinado?
Lo estimo con alguna 
muestra piloto
/ 2(1 ) :IC x z
n
a
s
a m
x Lm 𝐿=Margen de error
2 × 𝐿=amplitud o ancho del intervalo
18ESTADÍSTICA BÁSICA
Ejemplo Sea X el contenido de impurezas en un material obtenido en cierto proceso 
productivo (miligramos de impureza por kilogramo de producto obtenido). Se 
toma una muestra aleatoria de 200 observaciones obteniéndose una media 
muestral del consumo de 120 mg/Kg y una desviación típica muestral 20 mg/Kg.
0
120
ˆ 20
200
X
S
n
Estimar mediante un intervalo de un 95% de confianza el contenido medio de impurezas.
¿Qué tamaño muestral sería necesario tomar para que el margen de error sea L=1 mg
con un 95% de confianza?
19ESTADÍSTICA BÁSICA
Tema 7: Inferencia con muestras grandes
1. Intervalos de confianza para μ con muestras grandes
2. Determinación del tamaño muestral
3. Introducción al contraste de hipótesis
4. Contraste de hipótesis de la media μ con muestras grandes
5. Interpretación de un contraste usando el p-valor
6. Relación entre contrastes de hipótesis e intervalos de confianza
7. Inferencia sobre una proporción con muestras grandes
20ESTADÍSTICA BÁSICA
3. Introducción al contraste de hipótesis
Veamos la idea de contraste de hipótesis con un ejemplo
Ejemplo Un fabricante de transistores del tipo BC547B sabe que cuando su 
producción se mantiene en los niveles de calidad deseables, el valor de la 
llamada ganancia en corriente de los transistores (conocida por β, 
adimensional) sigue una distribución normal de media 290 y varianza 760.
Son en realidad estimaciones con muchísimos 
datos históricos. A efectos prácticos, los 
consideramos como si fuesen los poblacionales
β
2
290
760
m
s
290m
760s
¿Cómo puedo saber si se mantiene el proceso en 
los mismos parámetros?
¿Se mantiene la media? ¿Ha aumentado la variabilidad?
21ESTADÍSTICA BÁSICA
Ejemplo
β
2
290
760
m
s
290m
760s
¿Cómo puedo saber si se mantiene el 
proceso en los mismos parámetros?
¿Se mantiene la 
media?
¿Ha aumentado la 
variabilidad?
Son hipótesis que quiero comprobar
¿Cómo lo puedo hacer?
• Tomo una muestra de observaciones
• A la vista de los datos decido si mantengo o no la hipótesis (el objetivo no es estimar sino validar)
Si 290x parece muy probable que la media SI haya cambiado
Si 290x parece muy probable que la media NO haya cambiado
A la vista de los datos, tomo la decisión que sea más plausible 
(nunca estaré seguro al 100%)
¿Cómo me puede ayudar la estadística?
22ESTADÍSTICA BÁSICA
Ejemplo
β 2
290
760
m
s
290m
760s
X3 ... XnX1 X2
2ˆ,X S
Objetivo: Validar una hipótesis con los datos
Contraste de hipótesis
Las hipótesis serán restricciones sobre los parámetros
¿Se mantiene la 
media?
290m ó 290m
¿Ha aumentado 
la variabilidad?
2 760s 2 760só
Hipótesis nula
H0
Hipótesis alternativa
H1
• Entre H0 y H1 está todo el rango de valores posibles
• H0 debe tener siempre el signo =
• Se aceptaráH0 salvo que haya mucha evidencia en contra
alternativa bilateral
alternativa unilateral
Veamos el método estadístico:
23ESTADÍSTICA BÁSICA
Ejemplo
β 2
290
760
m
s
290m
760s
X3 ... XnX1 X2 2ˆ,X S
290m 290m
2 760s 2 760s
H0 H1
Rechazamos H0 sólo si hay mucha 
evidencia en contra. Es decir, si los 
datos hacen lo que dice H1 de forma 
muy evidente
Resultado del contraste:
Acepto o rechazo H0
24ESTADÍSTICA BÁSICA
Ejemplo
β 2
290
760
m
s
290m
760s
X3 ... XnX1 X2 2ˆ,X S
290m 290m
2 760s 2 760s
H0 H1
El resultado del contraste se suele resumir en un número llamado p-valor
(luego veremos cómo se calcula a partir de los datos)
El p-valor es un número entre 0 y 1 
de manera que cuanto mayor sea, más evidencia hay a favor de H₀
Como vamos a aceptar H₀ salvo que los datos muestren mucha 
evidencia en contra, aceptaremos H₀ salvo que el p-valor sea muy 
pequeño. 
Generalmente se rechaza H₀ sólo si p-valor<0.05
25ESTADÍSTICA BÁSICA
Ejemplo
β 2
290
760
m
s
290m
760s
X3 ... XnX1 X2 2ˆ,X S
290m 290m
2 760s 2 760s
H0 H1
Con 100 datos (Statgraphics):
El p-valor es muy pequeño.
Por tanto, la media muestral está 
demasiado alejada de 290. La distancia no 
se puede explicar por el azar del muestreo.
“Rechazamos Ho con p-valor=0.006”
Los datos “apuestan” por H1
26ESTADÍSTICA BÁSICA
Tema 7: Inferencia con muestras grandes
1. Intervalos de confianza para μ con muestras grandes
2. Determinación del tamaño muestral
3. Introducción al contraste de hipótesis
4. Contraste de hipótesis de la media μ con muestras grandes
5. Interpretación de un contraste usando el p-valor
6. Relación entre contrastes de hipótesis e intervalos de confianza
7. Inferencia sobre una proporción con muestras grandes
27ESTADÍSTICA BÁSICA
4. Contraste de hipótesis de la media μ
Para contrastar una hipótesis sobre la media μ seguimos los siguientes pasos:
Especificamos la hipótesis nula y la alternativa. Queremos contrastar 
alguna de estas hipótesis, donde μ0 es un valor concreto
0 0
1 0
:
:
H
H
m m
m m
0 0
1 0
:
:
H
H
m m
m m
0 0
1 0
:
:
H
H
m m
m m
PASO 1:
En el ejemplo de los transistores. Se desea saber si la población de 
transistores del proceso productivo mantiene la media en μ0 =290
290m 290m
H0 H1
Ejemplo
28ESTADÍSTICA BÁSICA
PASO 2: Hallamos una medida de la discrepancia entre los datos y H0
Si la discrepancia es grande: se rechaza H0
Esa medida se denomina estadístico de contraste
Sabemos que, para muestras grandes
Estadístico de contraste
¿Cómo se busca el estadístico 
de contraste, que resuma la 
información relevante para un 
contraste?
Usando las propiedades de los 
estimadores, e introduciendo la 
información de H0
29ESTADÍSTICA BÁSICA
Para valorar el estadístico de contraste, buscamos una distribución de 
referencia que nos diga si es un valor grande o pequeño
PASO 3:
La distribución de referencia es la del 
estadístico de contraste cuando μ=μ0
N(0,1)
En el ejemplo de los transistores. Se desea saber si la población de 
transistores del proceso productivo mantiene la media en μ0 =290
290m 290m
H0 H1
Con 100 observaciones:
Resume en un número la información 
para decidir entre H0 y H1
Ejemplo
30ESTADÍSTICA BÁSICA
0
Rechazamos H0 si los datos hacen lo que dice H1 de forma muy evidente. 
PASO 4: Localizamos en qué zonas de la distribución de referencia rechazaremos H0.
Caso (a)
0 1: 290; : 290H Hm m 
PASO 1:
0
290
ˆ /
X
T
S n
PASO 2:
T0~N(0,1)
PASO 3:
Rechazamos H0 si
N(0,1)
0
290
0
ˆ /
x
t
s n 0
290
0
ˆ /
x
t
s n
Si H0 es falsa 
tenderemos a estar 
por esta zona
Si H0 es falsa 
tenderemos a estar 
por esta zona
290x 290x
31ESTADÍSTICA BÁSICA
T0~N(0,1)
0
0 1: 290; : 290H Hm m  0
290
ˆ /
X
T
S n
Rechazamos H0 si los datos hacen lo que dice H1 de forma muy evidente. 
PASO 4: Localizamos en qué zonas de la distribución de referencia rechazaremos H0
Caso (b)
PASO 1: PASO 2: PASO 3:
Rechazamos H0 si
N(0,1) Si H0 es falsa 
tenderemos a estar 
por esta zona
0
290
0
ˆ /
x
t
s n
290x
32ESTADÍSTICA BÁSICA
0
Rechazamos H0 si los datos hacen lo que dice H1 de forma muy evidente. 
PASO 4: Localizamos en qué zonas de la distribución de referencia rechazaremos H0
T0~N(0,1)0 1: 290; : 290H Hm m  0
290
ˆ /
X
T
S n
Caso (c)
PASO 1: PASO 2: PASO 3:
Rechazamos H0 si
N(0,1)Si H0 es falsa 
tenderemos a estar 
por esta zona
290x
0
290
0
ˆ /
x
t
s n
33ESTADÍSTICA BÁSICA
0 0 1 0: ; :H Hm m m m 
0 0 1 0: ; :H Hm m m m 
0 0 1 0: ; :H Hm m m m 
PASO 1: PASO 2:
PASO 3:
N(0,1)
(a)
Rechazo H0 Rechazo H0
Acepto H0
(a)
(b)
Rechazo H0
Acepto H0
(b)
(c)
Rechazo H0
Acepto H0
(c)
PASO 4:
La región de rechazo está 
donde señala H1
34ESTADÍSTICA BÁSICA
Metodología general para hacer un 
contraste de hipótesis
Especificamos la hipótesis nula y la alternativa. PASO 1:
Estadístico de contrastePASO 2:
PASO 3: Distribución de referencia
PASO 4: Localizamos las zonas donde estará la región de rechazo
Rechazo H0 Acepto H0
¿Qué área ocupa la región de rechazo?
?
• La región de rechazo ocupa un área pequeña
• Ese área se llama α=nivel de significación 
• Su valor lo decide el analista
• Suele ser α=0.05, 0.10, 0.01
Valor crítico
35ESTADÍSTICA BÁSICA
Rechazo H0 Rechazo H0
Acepto H0
0
1
1 2 3-1-2-3
Nivel de significación, α=0.05
α/2=0.025 α/2=0.025
-2.78Rechazamos H0
1.96-1.96
Valores críticos
En el ejemplo de los transistores. Se desea saber si la población de 
transistores del proceso productivo mantiene la media en μ0 =290
290m 290m
H0 H1
Con 100 observaciones:
T0~N(0,1)
Ejemplo
36ESTADÍSTICA BÁSICA
En el ejemplo de los transistores. Se desea saber si la población de 
transistores del proceso productivo mantiene la media en μ0 =290
290m 290m
H0 H1
Con 100 observaciones:
T0~N(0,1)
Nivel de significación, α=0.05
La diferencia entre la media de la 
muestra (282.3) y la de la hipótesis 
(290) es significativa (al 5%)
Concluimos, con un nivel de 
significación del 5%, que la media 
poblacional ha cambiado
Ejemplo
37ESTADÍSTICA BÁSICA
Cuestiones
¿Verdadero, falso o incierto?
• Mediante un contraste de hipótesis buscamos el respaldo de los datos a 
alguna suposición sobre la población
• Si rechazo la hipótesis de que μ=100 con a=0.05, la conclusión es que 
es imposible que μ=100 
• Quiero contrastar la hipótesis de que μ=100 con a=0.05. Con unos datos 
obtengo y el contraste me lleva a Aceptar H0. Entonces quiere 
decir que con un nivel de significación de 0.05 μ=104.3
104.3x
• Quiero contrastar la hipótesis de que μ=100 con a=0.05. Con unos datos 
obtengo y el contraste me lleva a Aceptar H0. Entonces quiere 
decir que con un nivel de significación de 0.05
104.3x
100x
• Si tomamos pocos datos, el contraste puede ser erróneo
• Un analista puede aceptar una hipótesis nula con a=0.05, pero 
rechazarla con a=0.01
38ESTADÍSTICA BÁSICA
Dos opciones
Estatura media inferior
Estatura media no inferior
177m 
177m 
Especificamos la hipótesis nula y la alternativa. PASO 1:
0
1
: 177
: 177
H
H
m
m


Según los estudios antropométricos, los jóvenes españoles entre 18 y 25 años 
tienen una estatura media de μ0 =177 cm.
Se toman las alturas de 50 jóvenes madrileños en ese rango de edad y resulta
175.9x cm ˆ 5.93s cm
¿Hay evidencia suficiente para decir que los jóvenes madrileños 
tiene una estatura media inferior a la nacional?
Ejemplo
39ESTADÍSTICA BÁSICA
Estadístico de contrastePASO 2:
PASO 3: Distribución de referencia N(0,1)
La diferencia entre la media 
muestral (175.9) y la hipótesis nula 
no es significativa (al 5%)
La diferencia observada se atribuye, con un 
nivel de significatividad del 5%, a la 
variabilidad de la muestra y no a diferencias 
reales
Según los estudios antropométricos, los jóvenes españoles entre 18 y 25 años 
tienen una estatura media de μ0 =177 cm.
Se toman las alturas de 50 jóvenes madrileños en ese rango de edad y resulta¿Hay evidencia suficiente para decir que los jóvenes madrileños 
tiene una estatura media inferior a la nacional?
0
1
: 177
: 177
H
H
m
m


Ejemplo
PASO 4: Localizamos las zonas donde estará la región de rechazo
Rechazo H0
Acepto H0
α=0.05
0 1 2 3-1-2-3
Valor crítico=-1.65
-1.31
175.9x cm ˆ 5.93s cm
40ESTADÍSTICA BÁSICA
Acepto H0
Rechazo H0
(Rechazo H1)
(Acepto H1)
(H1 cierta)
H0 cierta H0 falsa
(H1 falsa)
La verdad
(que nunca sabré con sólo n datos)El resultado del 
contraste
(sólo n datos)
ACIERTO!!
ACIERTO!!
ERROR TIPO I
ERROR TIPO II
Lo cometo con 
probabilidad
a
Lo cometo con 
probabilidad que 
depende de cada 
caso
Cuando demos la conclusión de un contraste 
debemos dar siempre el nivel de significación, 
para dar una medida de su precisión
41ESTADÍSTICA BÁSICA
Tema 7: Inferencia con muestras grandes
1. Intervalos de confianza para μ con muestras grandes
2. Determinación del tamaño muestral
3. Introducción al contraste de hipótesis
4. Contraste de hipótesis de la media μ con muestras grandes
5. Interpretación de un contraste usando el p-valor
6. Relación entre contrastes de hipótesis e intervalos de confianza
7. Inferencia sobre una proporción con muestras grandes
42ESTADÍSTICA BÁSICA
5. Interpretación de un contraste usando el p-valor
El resultado de un contraste tiene dos elementos:
1. Aceptamos o rechazamos H0
2. El nivel de significación
Conclusión del contraste
Medida de su incertidumbrea
El nivel de significación es una medida de incertidumbre poco precisa
Ejemplo
0 0 1 0: ; :H Hm m m m  0.05aHacemos el contraste con
En ambos casos la conclusión sería la misma: Rechazamos con a=0.05
Sin embargo en el caso 2 estamos más seguros ¿Cómo expresarlo?
Caso 1
Rechazo H0 Acepto H0
0.05a
-1.65
t0=-1.7
Rechazamos H0
Rechazo H0 Acepto H0
0.05a
-1.65
t0=-3
Rechazamos H0
Caso 2
43ESTADÍSTICA BÁSICA
p-valor= 
0.045
Vamos a ver otra forma mejor de medir la incertidumbre del resultado del contraste
Caso 1
0.05a
Rechazo H0
Acepto H0
t0=-1.7
Rechazamos H0
El p-valor es el nivel de significación que deberíamos usar para dejar al valor 
del estadístico de contraste justo en la frontera de la región de rechazo
Rechazamos H0Como p-valor<a
El p-valor es más informativo que el 
nivel de significación
44ESTADÍSTICA BÁSICA
Caso 2
Rechazo H0
Acepto H0
0.05a
El p-valor es el nivel de significación que deberíamos usar para dejar al valor 
del estadístico de contraste justo en la frontera de la región de rechazo
p-valor= 
0.0013
En este Caso 2 el p-valor es realmente 
pequeño. Estamos mucho más 
seguros de nuestra conclusión
Rechazamos H0Como p-valor<<a
t0=-3
Rechazamos H0
45ESTADÍSTICA BÁSICA
0 0 1 0: ; :H H    
t0
ap-valor>a
Aceptamos H0
Rechazamos H0
p-valor<a
t0
46ESTADÍSTICA BÁSICA
0 0 1 0: ; :H H    
p-valor>a
t0
Aceptamos H0
Rechazamos H0
a
p-valor<a
t0
47ESTADÍSTICA BÁSICA
0 0 1 0: ; :H H    
/ 2a
p-valor>a
/ 2a
-|t0| |t0|
p-valor: es la suma de las dos áreas
p-valor>a
-|t0| |t0|
48ESTADÍSTICA BÁSICA
Tema 7: Inferencia con muestras grandes
1. Intervalos de confianza para μ con muestras grandes
2. Determinación del tamaño muestral
3. Introducción al contraste de hipótesis
4. Contraste de hipótesis de la media μ con muestras grandes
5. Interpretación de un contraste usando el p-valor
6. Relación entre contrastes de hipótesis e intervalos de confianza
7. Inferencia sobre una proporción con muestras grandes
49ESTADÍSTICA BÁSICA
6. Relación entre contrastes de hipótesis e intervalos de confianza
Intervalos de confianza para la media y contrastes usan la misma información
ˆ /
X
T
S n
m

Rechazo H0
0
0 ~ (0,1)ˆ /
X
T N
S n
m

Rechazo H0
Acepto H0
t0
0 0 1 0: ; :H Hm m m m 
/ 2a / 2a
N(0,1)
Se puede demostrar que la realización de un 
contraste de hipótesis bilateral
con nivel de significación a es equivalente a 
realizar un intervalo de confianza de nivel 
(1-a) y comprobar si μ0 está dentro o fuera 
de dicho intervalo. 
0 0 1 0: ; :H Hm m m m 
50ESTADÍSTICA BÁSICA
Rechazo H0
Rechazo H0
Acepto H0
0 1 2 3-1-2-3
α/2=0.025
1.96-1.96-2.78
Contraste de hipótesis
Rechazamos 
H0:μ=290
α/2=0.025
Intervalo de confianza de nivel (1-a)
No contiene al 290
En el ejemplo de los transistores. Se desea saber si la población de transistores 
del proceso productivo mantiene la media en μ0 =290
290m
290m
H0
H1
Con 100 observaciones:
Ejemplo
51ESTADÍSTICA BÁSICA
Tema 7: Inferencia con muestras grandes
1. Intervalos de confianza para μ con muestras grandes
2. Determinación del tamaño muestral
3. Introducción al contraste de hipótesis
4. Contraste de hipótesis de la media μ con muestras grandes
5. Interpretación de un contraste usando el p-valor
6. Relación entre contrastes de hipótesis e intervalos de confianza
7. Inferencia sobre una proporción con muestras grandes
52ESTADÍSTICA BÁSICA
7. Inferencia sobre una proporción
Estimación
Queremos estimar la proporción de individuos p en una población que tendrá cierto atributo
En una muestra de n individuos: el estimador es la proporción muestral
Sea Xi una variable de Bernoulli para el 
elemento i-ésimo de la muestra
Xi =1 si el elemento sí tiene el atributo
Xi =0 si el elemento no tiene el atributo
( )
( ) (1 )
i
i
E X p
Var X p p

 
Por el Teorema Central del Límite, si n es grande
53ESTADÍSTICA BÁSICA
Intervalo de confianza
Al ser una media muestral 
asintóticamente normal, se pueden 
usar los mismos resultados ya vistos 
para la media muestral
( )E X m
2( ) /Var X n
( )
(0,1)
( )
X E X
N
Var X

 / 2 ( )X z Var Xam 
54ESTADÍSTICA BÁSICA
Intervalo de confianza
Al ser una media muestral 
asintóticamente normal, se pueden 
usar los mismos resultados ya vistos 
para la media muestral
Ejemplo Con el objeto de determinar la proporción de personas que poseen coche 
en una provincia determinada se realizó un muestreo aleatorio simple, de 
tal forma que de los 100 encuestados, 30 de ellos tienen coche.
Calcula un intervalo de confianza del 95% para la proporción de personas 
con coche en la provincia
55ESTADÍSTICA BÁSICA
Tamaño muestral
¿Cuanto debe vale n para tener 
un L determinado?
Estimación 
previa con 
una muestra 
piloto
Ejemplo Con el objeto de determinar la proporción de personas que poseen coche 
en una provincia determinada se realizó un muestreo aleatorio simple, de 
tal forma que de los 100 encuestados, 30 de ellos tienen coche.
Calcula n para que en un intervalo del 95%, se tenga L=0.02
56ESTADÍSTICA BÁSICA
Tamaño muestral
Otra opción para calcular n es usar el valor 
de p(1-p) más desfavorable. Tendremos un 
valor de n sobredimensionado, pero que 
garantiza un intervalo de (1-a)
p
p(1-p)
0.5
0.25
En el ejemplo anterior con L=0.02
57ESTADÍSTICA BÁSICA
Contraste de hipótesis
0 0 1 0: ; :H p p H p p 
0 0 1 0: ; :H p p H p p 
0 0 1 0: ; :H p p H p p 
PASO 1: PASO 2:
PASO 3:
N(0,1)
(a)
Rechazo H0 Rechazo H0
Acepto H0
(a)
(b)
Rechazo H0
Acepto H0
(b)
(c)
Rechazo H0 Acepto H0
(c)
PASO 4:
La región de rechazo está 
donde señala H1
0
0
0 0
ˆ
/
p p
Z
p q n


58ESTADÍSTICA BÁSICA
Ejemplo Un proceso productivo que fabrica semiconductores produce un 2% de 
artículos defectuosos cuando funciona adecuadamente. Se adquiere una 
nueva máquina basada en una tecnología más avanzada. Después de producir 
200 artículos se encuentra que 2 son defectuosos. ¿Se puede afirmar que la 
nueva máquina ha mejorado la calidad de la producción?
Dos opciones
La nueva máquina SI mejora el proceso
La nueva máquina NO mejora el proceso
p<0.02
p≥0.02
Rechazo H0 Acepto H0
-1.65
-1.01
No podemos rechazar, con un nivel de significación 
del 5%, que el proceso siga igual.
La diferencia observada no es significativa.