Tema8_InferenciaNormal_EDB_2016-II

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1ESTADÍSTICA BÁSICA
2ESTADÍSTICA BÁSICA
8. Inferencia en poblaciones normales
3ESTADÍSTICA BÁSICA
Tema 8: Inferencia en poblaciones normales
4ESTADÍSTICA BÁSICA
1. Inferencia en muestras pequeñas
En el tema anterior usamos que si X es una v. aleatoria de interés con 
distribución cualquiera y con
si n es grande (n>30)
Construimos métodos estadísticos basados 
en la aproximación a esa normal
¿Y si n no es grande?
5ESTADÍSTICA BÁSICA
¿Y si n no es grande?
Las propiedades estadísticas de
/
X
n



ˆ /
X
S n

cambian!! Dependen de la distribución de X
Los intervalos y los contrastes del tema 
anterior no serían correctos
En el caso de X normal, se tiene que independientemente del tamaño de n
Distribución
t de Student
1. Inferencia en muestras pequeñas
ത𝑋 − 𝜇
Τ𝜎 𝑛
∼ 𝑁(0,1)
ത𝑋 − 𝜇
Τመ𝑆 𝑛
∼
6ESTADÍSTICA BÁSICA
Tema 8: Inferencia en poblaciones normales
7ESTADÍSTICA BÁSICA
2. Inferencia con la distribución t de Student• La distribución t de Student es una variable aleatoria continua, simétrica, de 
media cero, y de perfil muy parecido a la normal estándar.
• Aunque tienen un aspecto similar, se diferencian en la zona de las colas, que 
es precisamente la zona donde vamos a necesitar tomar valores para la 
realización de intervalos y contrastes.
• Depende de un parámetro g que se denomina grados de libertad. Su notación 
habitual es 𝑡𝑔 . A mayor g, más se acerca a la N(0,1).
Se diferencian en la 
zona de las colas, 
que es justo donde 
necesitamos tomar 
valores para hacer 
inferencia
8ESTADÍSTICA BÁSICA
2. Inferencia con la distribución t de Student
Puede demostrarse que si 𝑋 ∼ 𝑁(𝜇, 𝜎²),
La distribución 
cambia con n
ത𝑋 − 𝜇
Τመ𝑆 𝑛
∼ 𝑡𝑛−1
ത𝑋 − 𝜇
Τመ𝑆 𝑛
∼ 𝑡𝑛−1
𝑛→∞
𝑁(0,1)
A medida que n crece, la distribución 𝑡𝑛−1 se va pareciendo cada vez
más a la normal N(0,1).
Por tanto, no hay contradicción con lo que se ha visto en el tema
anterior para muestras grandes. No obstante, si sabemos que la
población es normal, es preferible usar siempre la 𝑡𝑛−1
9ESTADÍSTICA BÁSICA
Tema 8: Inferencia en poblaciones normales
10ESTADÍSTICA BÁSICA
Intervalos de confianza para m
  
  
   
  
1; /2
ˆ
(1 ) : n
S
IC X t
n
en lugar de  /2z
11ESTADÍSTICA BÁSICA
En una explotación minera las rocas excavadas se someten a un análisis 
químico para determinar su contenido de Cadmio. Después de 
analizar 25 rocas se obtiene que
Ejemplo
 9.77x
Suponiendo que el contenido de Cadmio sigue una distribución 
normal. Se quiere construir un intervalo de confianza al 95% para el 
contenido medio de Cadmio en las rocas de la mina.
ˆ 3.164s
  
  
   
  
1; /2
ˆ
(1 ) : n
S
IC X t
n
12ESTADÍSTICA BÁSICA
En una explotación minera las rocas excavadas se someten a un análisis 
químico para determinar su contenido de Cadmio. Después de 
analizar 25 rocas se obtiene que
Ejemplo
 9.77x
Suponiendo que el contenido de Cadmio sigue una distribución 
normal. Se quiere construir un intervalo de confianza al 95% para el 
contenido medio de Cadmio en las rocas de la mina.
ˆ 3.164s
Para n=25
y a=0.05
a/2=0.025
24;0.025 2.06t

 
   
 
3.164
(0.95) : 9.77 2.06 (8.47,11.07)
25
IC
13ESTADÍSTICA BÁSICA
Para n=25
y a=0.05
a/2=0.025
24;0.025 2.06t
Usando la aproximación N(0,1) como si fuese para muestras grandes...
a/2=0.025
0.025 1.96z
14ESTADÍSTICA BÁSICA

 
   
 
3.164
(0.95) : 9.77 2.06 (8.47,11.07)
25
IC
Usando la t de Student: intervalo exacto

 
   
 
3.164
9.77 1.96 (8.53,11)
25
Usando la aproximación a N(0,1) para muestras grandes
Si no usamos la t de Student, daremos un 
intervalo más estrecho del que tiene realmente 
un confianza del 95%. Este intervalo tiene una 
confianza menor de la que pensamos
Para poblaciones normales usaremos siempre la t de Student
15ESTADÍSTICA BÁSICA
3. Inferencia sobre μ
Contraste de hipótesis
(a) H0:μ=μ0; frente a H1:μ≠μ0,
(b) H0:μ≤μ0; frente a H1:μ>μ0,
(c) H0:μ≥μ0; frente a H1:μ<μ0.
Se hacen igual, con el mismo estadístico de contraste, que ahora tiene otra 
distribución de referencia:
𝑇0 =
ത𝑋 − 𝜇
Τመ𝑆 𝑛
∼ 𝑡𝑛−1Z0 =
ത𝑋 − 𝜇
Τ𝜎 𝑛
∼ 𝑁(0,1)
16ESTADÍSTICA BÁSICA
0 0 1 0: ; :H H    
0 0 1 0: ; :H H    
0 0 1 0: ; :H H    
PASO 1: PASO 2:
PASO 3:
(a)
Rechazo H0 Rechazo H0
Acepto H0
(a)
(b)
Rechazo H0
Acepto H0
(b)
(c)
Rechazo H0 Acepto H0
(c)
PASO 4:
La región de rechazo está 
donde señala H1
 /2z /2z
1; /2nt 1; /2nt
z
1;nt
z
 1;nt
𝑍0 ∼ 𝑁 0,1
𝑇0 ∼ 𝑡𝑛−1
17ESTADÍSTICA BÁSICA
Ejemplo Se quiere saber si la media de la ganancia β de los transistores 
BC547B se mantiene el valor nominal μ=290
H0 : μ=290 H1: μ≠290
Con 100 datos:
p-valor del test de la chi-cuadrado para el ajuste de una normal:
p-value=0.43
Podemos asumir normalidad en X
18ESTADÍSTICA BÁSICA
Ejemplo Se quiere saber si la media de la ganancia β de los transistores 
BC547B se mantiene el valor nominal μ=290
𝐻0 ∶ 𝜇 = 290 𝐻1: 𝜇 ≠ 290
Con 100 datos:
Rechazo H0 Rechazo H0
Acepto H0
(a)
99;0.025t
 99;0.025t
a=0.05
1.98-1.98
0.025( 1.96)z
Con un nivel de significación 
del 5%, rechazamos H0
La diferencia entre los datos y 
290 es significativa
El tamaño muestral es grande, 
y por eso el valor crítico es 
muy similar al de N(0,1)
19ESTADÍSTICA BÁSICA
Tema 8: Inferencia en poblaciones normales
20ESTADÍSTICA BÁSICA
4. Inferencia sobre σ²
Estimadores de s2
 
2
2 1
n
i
i
X X
S
n



  
2
2 1ˆ
1
n
i
i
X X
S
n





sesgado (cuasivarianza)
insesgado
En poblaciones normales, la distribución muestral de estos 
estimadores está relacionada con la distribución chi-cuadrado
21ESTADÍSTICA BÁSICA
La distribución c2
• La c2 es una variable aleatoria no negativa. Es asimétrica positiva
• Depende de un parámetro g que se llama grados de libertad
• Su notación es
2
g Si X es normal
4. Inferencia sobre σ²
𝑛 − 1 መ𝑆
𝜎2
∼ 𝜒𝑛−1
2
𝑛𝑆2
𝜎2
∼ 𝜒𝑛−1
2
σ𝑖=1
𝑛 𝑋𝑖 − ത𝑋
2
𝜎2
∼ 𝜒𝑛−1
2
22ESTADÍSTICA BÁSICA
4. Inferencia sobre σ²
Intervalos de confianza para σ²
Operando igual que en el caso de la media...
No son simétricos 
alrededor de la 
estimación
2 2
2
2 2
1; / 2 1;1 / 2
ˆ ˆ( 1) ( 1)
(1 ) : ;
n n
n s n s
IC
a a
a s
c c
2 2
2
2 2
1; / 2 1;1 / 2
(1 ) : ;
n n
ns ns
IC
a a
a s
c c
23ESTADÍSTICA BÁSICA
En una explotación minera las rocas excavadas se someten a un análisis 
químico para determinar su contenido de Cadmio. Después de 
analizar 25 rocas se obtiene que
Ejemplo
 9.77x
Suponiendo que el contenido de Cadmio sigue una distribución 
normal. Se quiere construir un intervalo de confianza al 99% para la 
varianza poblacional s2
ˆ 3.164s 2ˆ 10.01s
2 2
2
2 2
1; / 2 1;1 / 2
ˆ ˆ( 1) ( 1)
(1 ) : ;
n n
n s n s
IC
a a
a s
c c
24ESTADÍSTICA BÁSICA
En una explotación minera las rocas excavadas se someten a un análisis 
químico para determinar su contenido de Cadmio. Después de 
analizar 25 rocas se obtiene que
Ejemplo
 9.77x
Suponiendo que el contenido de Cadmio sigue una distribución 
normal. Se quiere construir un intervalo de confianza al 99% para la 
varianza poblacional s2
ˆ 3.164s
a/2=0.005 a/2=0.005
2
24;0.995 9.89 
2
24;0.005 45.6 
Para una confianza del 99% 
tenemos a/2=0.005
2 2
2 24 3.165 24 3.165(0.99) : ,
45.6 9.89
IC 
  
 
 
 2(0.99) : 5.27,24.29IC  
2ˆ 10.01s
¿Podría ser 2=25?
25ESTADÍSTICA BÁSICA
4. Inferencia sobre σ²
Contraste de hipótesis para σ²
(a): H0 : σ²=σ0²; H1: σ²≠σ0²
(b): H0 : σ²≤σ0²; H1: σ²>σ0²
(c): H0 : σ²≥σ0²; H1: σ²<σ0²
Estadístico de contraste
2
2
0 2
0
ˆ( 1)n S
X



2
2
0 2
0
nS
X


Sigue la misma metodología que 
para otros parámetros
Distribución de referencia
𝑋0
2 ∼ 𝜒𝑛−1
2
26ESTADÍSTICA BÁSICA
PASO 1: PASO 2:
PASO 3:
(a)
Rechazo H0 Rechazo H0
Acepto H0
(a)
(b)
(c)
PASO 4:
La región de rechazo está 
donde señala H1H0 : σ²=σ0²; H1: σ²≠σ0²
H0 : σ²≥σ0²; H1: σ²<σ0²
H0 : σ²≤σ0²; H1: σ²>σ0²
2
2
0 2
0
ˆ( 1)n S
X



2
2
0 2
0
nS
X


2
1; / 2n  
2
1;1 / 2n   
Rechazo H0Acepto H0
2
1;n  
(b)
Rechazo H0
Acepto H0
2
1;1n   
(c)
𝑋0
2 ∼ 𝜒𝑛−1
2
27ESTADÍSTICA BÁSICA
Ejemplo Sobre los transistores BC547B mencionados anteriormente, teníamos el 
objetivo de comprobar si la media no había cambiado, así como 
comprobar si la varianza no había aumentado. Podemos ahora contrastar 
este segundo punto. Los datos históricos decían que 𝜎0² = 760. Por tanto 
el contraste es
𝐻0: 𝜎
2 ≤ 760 𝐻₁: 𝜎² > 760.
Rechazo H0
Acepto H0
2
99;0.05 123.2 
Con 100 datos
2ˆ 766.85s 
2
2
0 2
0
ˆ( 1) 99 766.85
99.89
760
n s
x

 
  
No rechazamos H0
La diferencia entre los datos y 
la hipótesis no es significativa
(con nivel 5%) y puede deberse 
al azar de la muestra