Practica4_EDB_2017_I_solucion

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ESTADÍSTICA BÁSICA 
SEMESTRE 2017-I 
PRÁCTICA 4 
VIERNES, 9 DE JUNIO DE 2017 
Nombre:___________________________________________________________________________ 
Sección:___________________ 
Sólo puede consultarse el formulario y las tablas que se adjuntan. La notación de la normal es 𝑵(𝝁; 𝝈𝟐). Utiliza 𝜶 = 𝟎. 𝟎𝟓 
salvo que se indique lo contrario 
 
1. Sea 𝑋 una variable aleatoria de función de densidad 
𝑓(𝑥) = 𝛽𝑥𝛽−1 ,0 ≤ 𝑥 ≤ 1. 
Esta distribución depende del parámetro 𝛽. Se pide, justificando la 
respuesta: 
a) Encuentra, aplicando el método de los momentos, un 
estimador del parámetro 𝛽 a partir de una muestra 
aleatoria simple 𝑥1 ,𝑥2 ,… , 𝑥𝑛. (3p) 
 
b) Un analista recoge diez datos de esta distribución y 
obtiene que 
𝑚2 =
∑ 𝑥𝑖
210
1
10
= 0.1 
Utilizando el método de los momentos, encuentra un estimador de 𝛽 que pueda utilizar esta 
información y obtén la estimación que corresponde. (3p) 
 
 
SOLUCIÓN 
a) La opción más sencilla para aplicar el método de los momentos es utilizando el momento de primer orden. 
Calculamos así el primer momento y vemos su relación con el parámetro 𝛽. 
𝐸(𝑋) = ∫ 𝑥𝑓(𝑥)𝑑𝑥
1
0
= ∫ 𝛽𝑥𝛽 𝑑𝑥
1
0
= 𝛽 [
𝑥𝛽+1
𝛽 + 1 
]
0
1
=
𝛽
𝛽 + 1 
= 𝜇 (1𝑝) 
Por tanto, podemos relacionar 𝜇 con 𝛽. Operando: 
𝜇(𝛽 + 1) = 𝛽 ⇒ 𝜇 = 𝛽(1 − 𝜇) 
⇒ 𝛽 =
𝜇
1 − 𝜇
 (1𝑝) 
El estimador por el método de los momentos se consigue reemplazando en esta expresión los parámetros (𝛽 y 
𝜇) por sus estimadores. 
�̂� =
�̅�
1 − 𝑥̅
. (1𝑝) 
 
b) Si tenemos el segundo momento muestral, necesitaremos un estimador de 𝛽 basado en este segundo 
momento. El segundo momento poblacional de 𝑋 es 
𝐸(𝑋2) = ∫ 𝑥2𝑓(𝑥)𝑑𝑥
1
0
= ∫ 𝛽𝑥𝛽+1 𝑑𝑥
1
0
= 𝛽 [
𝑥𝛽+2
𝛽 + 2 
]
0
1
=
𝛽
𝛽 + 2 
≡ 𝑀2 (1𝑝) 
Por tanto, podemos relacionar 𝑀2 con 𝛽. Operando: 
𝑀2(𝛽 + 2) = 𝛽 ⇒ 2𝑀2 = 𝛽(1 − 𝑀2) 
⇒ 𝛽 =
2𝑀2
1 − 𝑀2
 (0.5𝑝) 
El estimador por el método de los momentos se consigue reemplazando en esta expresión los parámetros (𝛽 y 
𝑀2) por sus estimadores. 
�̂� =
2𝑚2
1 − 𝑚2
, (1𝑝) 
y para los datos que se tienen resulta la siguiente estimación: 
�̂� =
2×0.1
1 − 0.1
= 0.222. (0.5𝑝) 
 
2. Responde de forma breve, pero razonada, a las siguientes cuestiones: 
a) ¿Qué es preferible, un estimador insesgado u otro con poca varianza? (2p) 
b) Realizamos el contraste de hipótesis con hipótesis alternativa 𝐻1:𝜇 < 100 y a partir de unos datos 
concluimos que, con 𝛼 = 0.05, rechazamos 𝐻0. ¿Podríamos aceptar 𝐻1 si usamos 𝛼 = 0.01? (2p) 
c) Si quiero contrastar si la población de cierta variable tiene una media negativa he de realizar el 
contraste 𝐻0: 𝜇 ≤ 0 frente a 𝐻1: 𝜇 > 0. ¿Verdadero o falso? Justifica.(2p) 
d) Deseo estimar 𝜇 mediante un intervalo de confianza. Si tomo el doble de datos, reduciré mi margen 
de error a la mitad, para un mismo nivel de confianza. ¿Verdadero o falso? Justifica. (2p) 
 
 
 
SOLUCIÓN 
 
a) No está claro, pues el estimador insesgado puede tener mucha varianza, lo que es malo, y el de poca 
varianza podría ser muy sesgado, lo que tampoco es deseable. Elegiremos el que tenga menos error 
cuadrático medio (ECM) que se basa tanto en el sesgo como en la varianza. 
𝐸𝐶𝑀(𝜃) = 𝑠𝑒𝑠𝑔𝑜(𝜃)
2
+ 𝑣𝑎𝑟(𝜃) 
 
b) Sí se podría, dependiendo del pvalor. Si el pvalor 
está en el intervalo 0.01 < 𝑝𝑣𝑎𝑙𝑜𝑟 < 0.05 (zona A 
de la figura) la decisión cambiaría, pues pasaríamos 
de estar en la región de rechazo de 𝐻0 (aceptación 
de 𝐻1) a la región de aceptación de 𝐻0. Pero si el 
pvalor es 𝑝𝑣𝑎𝑙𝑜𝑟 < 0.01 (zona B de la figura) 
seguiríamos manteniendo la misma decisión 
(rechazar 𝐻0). 
 
c) Falso. Si quiero saber si 𝜇 < 0, esa restricción ha de estar en una de las hipótesis, y, por tanto, la otra 
hipótesis sería 𝜇 ≥ 0. Como la hipótesis nula ha de tener el signo = se tiene que el contraste es 
𝐻0:𝜇 ≥ 0, 𝐻1:𝜇 < 0 
 
d) Falso. Si con 𝑛 datos tengo el siguiente margen de error: 
𝐿1 =
𝑧𝛼 2⁄ 𝜎
√𝑛
 
cuando tenga 2𝑛 datos tendré 
𝐿2 =
𝑧𝛼 2⁄ 𝜎
√2𝑛
=
1
√2
𝐿1 ≠
𝐿1
2
 
 
 
 
 
3. En cierto país, se sabe que, históricamente, el número de hijos por familia tiene un valor medio de 3 y una 
varianza de 1.96. 
a) Un analista realiza un estudio, tomando una muestra de 100 familias y obteniendo que el número medio 
de hijos en dicha muestra es 2.7. ¿Puede este analista afirmar que el número medio de hijos por familia 
en dicho país es ahora menor que 3? Utilice el p-valor. (2 p) 
b) Otro analista toma una nueva muestra de 35 familias y obtiene que el número medio de hijos de dicho 
grupo es 3.2. Calcule el intervalo de confianza para el número medio de hijos por familia que se obtiene 
con esta muestra. (1.5 p) 
c) Calcule el tamaño muestral necesario para que el margen de error del intervalo de confianza del 
apartado b) sea 0.1. (1.5 p) 
d) Con base en el intervalo hallado en el apartado b), ¿puede afirmarse que el número medio de hijos por 
familia en dicho país es ahora distinto de 3? (1 p) 
 
SOLUCIÓN: 
 
a) Se pide realizar un contraste de hipótesis para comprobar si 𝜇 < 3. 
1° Se definen las hipótesis (0.5 p): 
𝐻0: 𝜇 ≥ 3; 𝐻!: 𝜇 < 3 
2° Se define el estadístico de contraste (0.25 p): 
Como se usa el valor de 𝜎  𝑧0 =
2.7−3
1.4
√100
= −2.14 
3° La distribución de Z0 es (0.25 p): 𝑍0~𝑁(0,1) 
 
4° Se realiza el contraste utilizando el p-valor 
𝛼 = 0.05 
𝑝 − 𝑣𝑎𝑙𝑜𝑟 = 𝑃(𝑍 < −2.14) = 0.0162 (0.5 p) 
𝑝 − 𝑣𝑎𝑙𝑜𝑟 < 𝛼 → 𝑆𝑒 𝑟𝑒𝑐ℎ𝑎𝑧𝑎 𝐻0 
Respuesta: Hay suficiente evidencia para afirmar que el número medio de hijos en dicho país ha 
disminuido (es ahora menor que 3) (0.5 p). 
b) El valor del margen de error es: 
𝐿 = 1.96
1.4
√35
= 0.4638 
 
𝐼. 𝐶(0.95): 𝜇 ∈ {3.2 ± 0.4638} (1 p) 
𝜇 ∈ [2.7362; 3.6638] (0.5 p) 
 
c) Para obtener 𝐿 = 0.1, se debe tener una muestra de tamaño (1.5 p): 
𝑛 = (
1.96×1.4
0.1
)
2
= 752.95 ≈ 753 
d) Se quiere comprobar si 𝜇 ≠ 3, por lo que se debe realizar un contraste de hipótesis bilateral. Esto equivale 
a comprobar si el valor 3 se encuentra en el intervalo de confianza del 95%: 
 
Se tiene el intervalo de confianza del apartado anterior: 
 
𝐼. 𝐶(0.95): 𝜇 ∈ [2.7362; 3.6638] 
 
- Se comprueba si 3 pertenece al intervalo (0.5 p). 
- Como sí pertenece, se puede aceptar la hipótesis nula de dicho contraste: no hay suficiente evidencia 
para afirmar que la media sea distinta de 3 (0.5 p).