Conceptos de Lógica y Reglas de Inferencia

Vista previa del material en texto

Nombre del alumno: Antony Arturo García Pérez
Carrera: Licenciatura en Ciencia de Datos
I. Definiciones y conceptos
a) Explica el concepto de proposición y también algunas de sus clases
R: Proposición: el término proposición se usa para referirse a:​Las entidades portadoras de los valores de verdad.​Los objetos de las creencias y de otras actitudes proposicionales.​
Las proposiciones se clasifican en dos tipos: Simples y Compuestas, dependiendo de cómo están conformadas.
Las simples. Son aquellas que no tienen oraciones componentes afectadas por negaciones ("no") o términos de enlace como conjunciones ("y"), disyunciones ("o") o implicaciones ("si. . . entonces").
Las compuestas. Una proposición será compuesta si no es simple. Es decir, si está afectada por negaciones o términos de enlace entre oraciones componentes.
b) Explica que es tautología, contingencia y contradicción
R: una tautología es una fórmula bien formada que resulta verdadera para cualquier interpretación
La contingencia es el modo de ser o característica de algo en cuanto a que puede ser o no ser, dependiendo del caso.​
Una contradicción es una incompatibilidad entre dos o más proposiciones.
II. Equivalencia lógica y álgebra de proposiciones
a) Sean P, q y r sean proposiciones primitivas. Escribe la recíproca, la inversa y la contrapositiva de cada una de las siguientes implicaciones:
1. P → (q ˄ r)
	Recíproca
	(q ˄ r) → P
	Inversa
	⌐P → ⌐(q ˄ r)
	Contrapositiva
	⌐(q ˄ r) → ⌐P
2. (p ˅ q) → r
	Recíproca
	R → (p ˅ q)
	Inversa
	⌐(p ˅ q) → ⌐r
	Contrapositiva
	⌐R → ⌐(p ˅ q)
b) Escribe la siguiente proposición como implicación, de dos maneras, cada 8na de la forma Si – Entonces
Catalina deberá practicar sus lecciones de piano o no irá al cine.
1. Si Catalina no practica sus lecciones de piano, entonces no irá al cine.
2. Si Catalina practica sus lecciones de piano, entonces irá al cine.
c) Escribe la recíproca, la inversa y la contrapositiva de la implicación:
Si -1 < 3 y 3 + 7 = 10 entonces sen (2/3π) = -1
	Recíproca
	Si sen(2/3π) = -1, entonces -1 < 3 y 3 + 7 = 10
	Inversa
	Si no -1 < 3 y 3 + 7 = 10, entonces no sen(2/3π) = -1
	Contrapositiva
	Si no sen(2/3π) = -1, entonces no -1 < 3 y 3 + 7 = 10
d) Escribir los pasos y las razones para establecer las siguientes equivalencias lógicas:
P ˄ {[ ⌐q → (r ˄ r)] ˅ ⌐[ q ˅ [( r ˄ s ) ˅ ( r ˄ ⌐s )]]} ↔ P
p Λ [(¬q → (r Λ r)) v ¬[q v ((r Λ s) v (r Λ ¬s))]]
p Λ [(¬q → r) v ¬[q v ((r Λ (s v ¬s))]] ≡ Ley de Indepotencia, Denominador común
p Λ [(¬q → r) v ¬[q v ((r Λ V)]] ≡ Ley Medio Exclusivo
p Λ [(¬q → r) v ¬[q v r] ≡ Ley de Identidad
p Λ [(¬¬q v r) v ¬[q v r] ≡ Ley de Eliminación
p Λ [(q v r) v ¬[q v r] ≡ Ley de Doble negación
p Λ V ≡ Ley Medio Exclusivo
p ≡ Ley de Identidad
P ↔ P
III. Reglas de inferencia y demostraciones
Demostrar la validez del siguiente argumento: Si la banda no pudiera tocar rock o las bebidas no llegasen a tiempo, entonces la fiesta del año nuevo tendría que cancelarse y Alicia se enojaría. Si la fiesta se cancelara, habría que devolver el dinero. No se devolvió el dinero. Por lo tanto, la banda pudo tocar rock.
P: La banda toca rock
Q: Bebidas llegan a tiempo
R: La fiesta de año nuevo se cancela
S: Alicia se enoja
T: Se devuelve el dinero
Premisa
1. (¬P ˅ ¬q) → (r ˄ s)
2. R → t
3. ¬t → p
Pasos
1. R → t
2. ¬t
3. ¬r
4. (¬P ˅ ¬q) → (r ˄ s)
5. ¬r ˅ ¬s		Ley de Adición
6. ¬(¬p ˄ ¬q)	Ley de Morgan
7. ¬(¬p ˅ ¬q)	Ley Modus Tollens
8. P ˄ q		Ley de Morgan y Doble negación
9. P		Simplificación
IV. Cuantificaciones y proposiciones abiertas
Sea la proposición abierta p(x) : x2 = 2x , xεZ (el Universo son los números enteros). Determinar el valor de verdad de cada una de las siguientes proposiciones:
a) P(0)	Verdadera
b) P(1)	Falsa
c) P(3)	Falsa
d) P(-2)	Verdadera
e) Ǝx p(x)	Verdadera
f) ɏx p(x)	Falsa
V. Equivalencias y cuantificadores
Para el Universo de todos los cuadriláteros del plano, sean s(x) y e(x) las proposiciones abiertas s(x) : x es un cuadrado ; e(x) : es equilátero. Obtener el valor de verdad de la proposición ɏx[s(x) → e(x)] y también obtener su proposición equivalente 
La proposición: ɏX [s(x) → e(x)] 
Es verdadera y es lógicamente equivalente a su contrapositiva: 
ɏX [¬e(x) → ¬s(x)] 
Ya que [s(a) → e(a)] ↔ [¬e(a) → ¬c(a)] para cada cuadrilátero específico a. 
La proposición y su contrapositiva son lógicamente equivalentes: 
ɏX [s(x) → e(x)] ↔ ɏX [¬e(x) → ¬s(x)]