Desigualdades Cálculo Diferencial e Integral

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ESIME CULHUACAN 
Academia de Matemáticas 
 
RAMIREZ CASTELLANOS ERNESTINA 
RAMIREZ ORTIZ MARÍA VERÓNICA 
14 
 
Solución de inecuaciones de 1er 
grado en una variable 
Fecha: _______________ 
 
Solución de Inecuaciones de 1er grado en una variable 
 
1.- 𝑥 > 6 
 𝑥 > 6 → 𝑥 𝜖 (6, ∞) y la no solución es (−∞, 6] 
 
 
 
2.- 9𝑥 ≤ 5 
 9𝑥 ≤ 5 
( 
1
9
 9) 𝑥 ≤ 5 ( 
1
9
 ) 
 𝑥 ≤ 
5
9
 → 𝑥 𝜖 (−∞,
5
9
] y la no solución es ( 
5
9
, +∞) 
 
 
 
3.- −7𝑥 ≥ 0 
 −7𝑥 ≥ 0 
(−7) (
1
7
) 𝑥 ≥ 0 (
1
7
) → 
𝑥 ≤ 0 → 𝑥 𝜖 (−∞, 0] y la no solución es (0, +∞) 
 
 
 
 
 
6 0 −∞ 
5
9
 0 +∞ 
−∞ 
0 
+∞ −∞ 
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Solución de inecuaciones de 1er 
grado en una variable 
Fecha: _______________ 
 
 
4.- 
6𝑥
3
 < −3 
6𝑥
3
< − 3 
( 
1
3
) 6𝑥 < − 3 
(3
1
3
) 6𝑥 < − 3(3) 
6𝑥 < −9 
6 (
1
6
) 𝑥 < −9 (
1
6
) 
1𝑥 < −
9
6
 
𝑥 < −
3
2
 
 𝑥 𝜖 (−∞, − 
3
2
) y la no solución es [
3
2
, +∞) 
 
 
 
5.- −𝑥 ≥ 13 
(−1)𝑥 ≥ 13 
 
(−1) (
1
−1
) 𝑥 ≤ 13 (
1
−1
) 
 
1𝑥 ≤ −13 
 
𝑥 ≤ −13 
 
𝑥 𝜖 (−∞, −13] y la no solución es (−13, +∞) 
 
 
 
6.- − 
9
5
 𝑥 > 8 
 (− 
9
5
) 𝑥 > 8 
(− 
9
5
) (−
5
9
) 𝑥 < 8 (−
5
9
) 
1𝑥 < 
8(−5)
9
 → 𝑥 < − 
40
9
 
𝑥 𝜖 (−∞, − 
40
9
) y la no solución [− 
40
9
, +∞) 
 
 
 
 
 
0 
− 
3
2
 
−∞ ∞ 
0 − 13 
−∞ +∞ 
0 
− 
40
9
 
−∞ +∞ 
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Solución de inecuaciones de 1er 
grado en una variable 
Fecha: _______________ 
 
 
 
 
7.- 10 < − 
5
2
 𝑥 
10 < (− 
5
2
) 𝑥 
5(2) < ( 
1
2
) (−5) 𝑥 
5 (− 
1
5
) (2)2 > ( 
1
2
 2) (− 
1
5
(−5)) 𝑥 
−4 > 𝑥 
𝑥 < −4 → 𝑥 𝜖 (−∞, −4) y la no solución es [−4, +∞) 
 
 
 
 
8.- 
1
3
> − 
4
3
𝑥 
 
1
3
> −4 (
1
3
) 𝑥 
 
3
1
3
> − 
1
3
3(4𝑥) 
 
1 > − 4𝑥 
 
1 (− 
1
4
) < (− 4 (− 
1
4
)) 𝑥 
 
− 
1
4
< 𝑥 
 
𝑥 > − 
1
4
 
𝑥 ∈ (−
1
4
, ∞), y la no solución es (−∞, −
1
4
] 
 
 
 
 
 
 
0 − 4 −∞ +∞ 
−
1
4
 0 −∞ 
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Solución de inecuaciones de 1er 
grado en una variable 
Fecha: _______________ 
 
 
 
9.- −
6
7
≤ − 
9
4
 𝑥 
 
− 
6
7
 ≤ − 
9
4
𝑥 
− 
6
7
(− 
4
9
) ≥ − 
9
4
𝑥(− 
4
9
) 
(− 
2
7
) ((3) ( 
1
3
)) (− 
4
3
) ≥ 𝑥 (− 
9
4
) (− 
4
9
) 
8
21
≥ 𝑥 
𝑥 ≤
8
21
 → 
𝑥 ∈ (−∞,
8
21
] y la no solución es (
8
21
, +∞) 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
0 8
21
 
−∞ +∞ 
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Tarea 3 
Fecha: _______________ 
 
Tarea 3 
 
 
 1.-Hallar el conjunto solución de las siguientes desigualdades, exprese la solución en términos de intervalos, y dar la 
representación geométrica de dicha solución, utilizar colores. Indicar todas las operaciones. 
 
a. 3𝑥 < 9 
 
b. 4𝑥 + 1 > 10 
 
c. 4𝑥 ≥ 5𝑥 − 7 
 
d. −2𝑥 > 8 
 
e. −0.5𝑥 + 6 ≤ 0 
 
f. 𝑥 + 12 ≤ 5𝑥 
 
g. 6𝑥 − 2 < 21𝑥 − 7 
 
h. 13𝑥 − 12 ≤ 5𝑥 
 
i. −2𝑥 + 3 > −11 
 
j. −27𝑥 + 16 > 8 
 
 
 
 
 
 
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Inecuaciones de la forma 
𝑎𝑥 + 𝑏 ≤ 𝑐 
Fecha: _______________ 
 
 
Ejercicios de la forma 𝒂𝒙 + 𝒃 ≤ 𝒄 
 
10- 3𝑥 + 1 < 2 
3𝑥 + 1 < 2 
3𝑥 + 1 − 1 < 2 − 1 
3𝑥 + 0 < 1 
3𝑥 < 1 
3 (
1
3
) 𝑥 < 1 (
1
3
) 
1𝑥 < 1 (
1
3
) 
𝑥 <
1
3
 
 
𝑥 ∈ (−∞,
1
3
 ) y la no solución [
1
3
, ∞) 
 
 
 
 
 
11.- −5𝑥 − 3 ≥ 0 
 
−5𝑥 − 3 ≥ 0 
 
−5𝑥 − 3 + 3 ≥ 0 + 3 
−5𝑥 + 0 ≥ 0 + 3 
−5𝑥 ≥ 3 
(−5) (−
1
5
) 𝑥 ≤ 3 (−
1
5
) 
1 𝑥 ≤ − 
3
5
 
 𝑥 ≤ − 
3
5
 
𝑥 𝜖 (−∞, − 
3
5
] y la no solución es (− 
3
5
, ∞) 
 
 
 
 
 
 
0 1
3
 
−∞ +∞ 
0 
−
3
5
 
−∞ +∞ 
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Inecuaciones de la forma 
𝑎𝑥 + 𝑏 ≤ 𝑐 
Fecha: _______________ 
 
 
12.- − 
3
8
𝑥 + 
5
2
≤ − 
4
9
 
 
− 
3
8
𝑥 + 
5
2
− 
5
2
≤ − 
4
9
− 
5
2
 𝑥 𝜖 [
212
27
, +∞), y la no solución es (− ∞,
212
27
 ) 
− 
3
8
𝑥 ≤ − (
4
9
) (
2
2
) − (
5
2
) (
9
9
) 
− 
3
8
𝑥 ≤ − (
8
18
) − (
45
18
) 
 
− 
3
8
𝑥 ≤ 
−8 − 45
18
 
− 
3
8
𝑥 ≤ 
−53
18
 
𝑥 ≥ 
−53
18
(− 
8
3
) 
𝑥 ≥ 
(53)(4)(2)
(9)(2)(3)
 
𝑥 ≥ 
212
27
 
 
 
212
27
 0 −∞ +∞ 
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Inecuaciones de la forma 
𝑎𝑥 + 𝑏 ≤ 𝑐𝑥 + 𝑑 
Fecha: _______________ 
 
 
Ejercicios de la forma 𝒂𝒙 + 𝒃 ≤ 𝒄𝒙 + 𝒅 
 
 
1.- −2𝑥 − 3 ≤ 5𝑥 − 13 
−2𝑥 − 3 ≤ 5𝑥 − 13 𝑥 𝜖 [
10
7
, +∞) y la no solución es (−∞,
10
7
) 
−3 + 13 ≤ 5𝑥 + 2𝑥 
10 ≤ 7𝑥 
7𝑥 ≥ 10 
𝑥 ≥ 
10
7
 
 
 
 
2.- − 
3
2
𝑥 ≤ 4𝑥 + 1 
 − 
3
2
 𝑥 ≤ 4𝑥 + 1 𝑥 𝜖 [− 
2
11
, +∞) y la no solución es (−∞, −
2
11
) 
−1 ≤ 4𝑥 + 
3
2
𝑥 
−1 ≤ (
8
2
 + 
3
2
)𝑥 
−1 ≤ 
11
2
 𝑥 
− 
2
11
 ≤ 𝑥 o 𝑥 ≥ −
2
11
 
 
 
3.- 𝑥 − 6 > −9𝑥 + 3 
𝑥 − 6 > −9𝑥 + 3 𝑥 ∈ (
9
10
, + ∞) y la no solución es (−∞,
9
10
] 
 
𝑥 + 9𝑥 > 3 + 6 
 
 
10𝑥 > 9 
 
𝑥 > 
9
10
 
 
 
 
 
10
7
 0 −∞ +∞ 
−
2
11
 0 −∞ 
+∞ 
9
10
 0 −∞ +∞ 
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Inecuaciones de la forma 
𝑎
𝑥
≤ 𝑏 
Fecha: _______________ 
 
 
Ejercicios es de la forma 
𝒂
𝒙
 ≤ 𝒃 
 
 1.- − 3
𝑥
 ≤ 6; ∃ − 
3
𝑥
 si 𝑥 ≠ 0 
 − 
3
𝑥
 ≤ 6, 𝑥 ∈ 𝑹 → 𝑥 > 0 ó 𝑥 < 0 ó 𝑥 = 0 
Caso I 
𝑥 > 0 ý 
− 
3
𝑥
 ≤ 6 
 
 ý 
−3 ( 
1
𝑥
) ≤ 6 
 ý 
−3 ( 
1
𝑥
) 𝑥 ≤ 6𝑥 
 ý −3(1) ≤ 6𝑥 
 ý −3 ≤ 6𝑥 
 
 ý 
−3 (
1
6
) ≤ 6 (
1
6
) 𝑥 
 ý 
− 
3
6
 ≤ 𝑥 
 ý 
− 
1
2
 ≤ 𝑥 
𝑥 > 0 ý 
𝑥 ≥ − 
1
2
 
𝑥 ∈ (0, +∞) ý 
𝑥 ∈ [− 
1
2
, ∞) 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
𝑥𝜖 (0, ∞) ∩ [−1/2, ∞) 
𝑥𝜖 (0, ∞) solución del caso I 
0 −
1
2
 
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Inecuaciones de la forma 
𝑎
𝑥
≤ 𝑏 
Fecha: _______________ 
 
 Caso II 
𝑥 < 0 ý 
−3 (
1
𝑥
 ) ≤ 6 
−3 (
1
𝑥
 ) 𝑥 ≥ 6𝑥 
−3 (1) ≥ 6𝑥 
 ý −3 ≥ 6𝑥 
−3 (
1
6
) ≥ (
1
6
) 6𝑥 
 ý 
− 
3
6
 ≥ (1) 𝑥 
 ý 
− 
1
2
 ≥ 𝑥 
𝑥 ∈ (−∞, 0) ý 
𝑥 ≤ − 
1
2
 
𝑥 ∈ (−∞, 0) ý 
𝑥 ∈ (−∞, − 
1
2
] 
 
 
 
 
 
Como es Caso I ó Caso II, se tiene que 
 𝑥𝜖 (0, ∞) ó 𝑥 ∈ (−∞, − 
1
2
) 
𝑥𝜖 (0, ∞) ∪ 𝑥 ∈ (−∞, − 
1
2
) 
 𝑥 ∈ 𝑹 − [− 
1
2
, 0] Solución 
 
 
 
 
 
 
 
𝑥𝜖 (−∞, 0) ∩ (−∞, − 
1
2
) 
𝑥𝜖 (−∞, − 
1
2
] solución del caso II 
−
1
2
 0 
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Inecuaciones de la forma 
𝑎
𝑥
≤ 𝑏 
Fecha: _______________ 
 
 
 
2.- 4 >
1
𝑥+2
 ; ∃ 
1
𝑥+2
 si 𝑥 + 2 ≠ 0 
Vemos que 𝑥 + 2 ∈ 𝑹, por tricotomía se tiene que 𝑥 + 2 < 0 ó 𝑥 + 2 = 0 ó 𝑥 + 2 > 0; 𝑥 + 2 = 0 no sucede ya que 
 𝑥 + 2 divide a 1. 
 Caso I 
𝑥 + 2 > 0 
 
 ý 
4 > 
1
𝑥 + 2
 
 𝑥 + 2 − 2 > 0 − 2 ý 
4(𝑥 + 2) > (
1
𝑥 + 2
) (𝑥 + 2) 
 
𝑥 + 0 > 0 − 2 ý 4(𝑥 + 2) > 1 
𝑥 > −2 ý 4𝑥 + 8 > 1 
 ý 4𝑥 + 8 − 8 > 1 − 8 
 ý 4𝑥 + 0 > −7 
4𝑥 > −7 
4 (
1
4
) 𝑥 > −7 (
1
4
) 
𝑥 ∈ (−2, ∞) ý 
𝑥 > − 
7
4
 
𝑥 ∈ (−2, +∞) ý 
𝑥 ∈ (− 
7
4
, ∞) 
 𝑥 ∈ (−2, +∞) ∩ (− 
7
4
, ∞) 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
𝑥𝜖 (−2, ∞) ∩ (−
7
4
 , ∞) 
𝑥𝜖 (− 
7
4
, ∞) Solución del caso I 
−2 
−
7
4
 
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Inecuaciones de la forma 
𝑎
𝑥
≤ 𝑏 
Fecha: _______________ 
 
 
Caso II 
 
 
 
 
 
 
 
Como es Caso I ó Caso II, se tiene que 
 𝑥𝜖 (−∞, − 
7
4
) ó 𝑥 ∈ (− ∞, −2) 
𝑥𝜖 (−∞, − 
7
4
) ∪ ∈ (− ∞, −2) 
 𝑥 ∈ 𝑹 − [− 
1
2
, 0] Solución 
 
 
 
𝑥 + 2 < 0 ý 
4 > 
1
𝑥 + 2
 
𝑥 + 2 − 2 < 0 − 2 
4(𝑥 + 2) > (
1
𝑥 + 2
) (𝑥 + 2) 
𝑥 + 0 < 0 − 2 ý 4(𝑥 + 2) < 1 
𝑥 < −2 ý 4𝑥 + 8 < 1 
 4𝑥 + 8 − 8 < 1 − 8 
 ý 4𝑥 + 0 < −7 
 4𝑥 < −7 
 
4 (
1
4
) 𝑥 < −7 (
1
4
) 
 ý 
𝑥 (1) < − 
7
4
 
 
𝑥 < − 
7
4
 
𝑥 ∈ (−∞, −2) ý 
𝑥 ∈ (−∞, − 
7
4
) 
𝑥 ∈ (−∞, −2) ∩ 
𝑥 ∈ (−∞, − 
7
4
) 
−2 
−
7
4
 
𝑥𝜖 (−∞, 2) ∩ (−∞, − 
7
4
) 
𝑥𝜖 (− ∞, −2) Solución del caso II 
−2 
−
7
4
 
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Inecuaciones de la forma 
𝑎
𝑥
≤ 𝑏 
Fecha: _______________ 
 
 
3.- 
5−𝑥
𝑥+2
 < −4, ∃ 
5−𝑥
𝑥+2
 si 𝑥 + 2 ≠ 0 
 
Vemos que 𝑥 + 2 𝜖 𝑹, por la propiedad de tricotomía, se tiene que 𝑥 + 2 > 0 ó 𝑥 + 2 < 0 ó 𝑥 + 2 = 0 
Caso I 
 
𝑥 + 2 > 0 ý 
(5 − 𝑥) (
1
𝑥 + 2
) < −4 
𝑥 + 2 − 2 > 0 − 2 ý 
(5 − 𝑥)(𝑥 + 2) (
1
𝑥 + 2
) < −4(𝑥 + 2) 
𝑥 + 0 > 0 − 2 ý (5 − 𝑥)1 < −4(𝑥 + 2) 
𝑥 > −2 ý 5 − 𝑥 < −4(𝑥 + 2) 
 5 − 𝑥 < −4𝑥 − 8 
 ý 5 + 8 − 𝑥 + 𝑥 < −4𝑥 + 𝑥 − 8 + 8 
 ý 5 + 8 + 0 < −4𝑥 + 𝑥 + 0 
 ý 13 < −3𝑥 
 ý 
13 (−
1
3
) > −3𝑥 (−
1
3
) 
 ý 
− 
13
3
> 1𝑥 
 ý 
− 
13
3
> 𝑥 
𝑥 ∈ (−2, ∞) ý 
𝑥 < − 
13
3
 
𝑥 ∈ (−2, +∞) ý 
𝑥 ∈ (− ∞, − 
13
3
) 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
→ 𝑥𝜖 (−2, ∞) ∩ (−∞, − 
13
3
) 
→ 𝑥𝜖 ∅ solución de Caso I 
−2 −
13
3
 
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27 
 
Inecuaciones de la forma 
𝑎
𝑥
≤ 𝑏 
Fecha: _______________ 
 
 
Caso II 
𝑥 + 2 < 0 ý 
(5 − 𝑥) (
1
𝑥 + 2
) < −4 
𝑥 + 2 − 2 < 0 − 2 ý 
(5 − 𝑥)(𝑥 + 2) (
1
𝑥 + 2
) > −4(𝑥 + 2) 
𝑥 + 0 < 0 − 2 ý (5 − 𝑥)1 > −4(𝑥 + 2) 
𝑥 < −2 ý 5 − 𝑥 > −4(𝑥 + 2) 
 ý 5 − 𝑥 > −4𝑥 − 8 
 ý 5 + 8 − 𝑥 > −4𝑥 − 8 + 8 
 ý 13 − 𝑥 + 𝑥 > −4𝑥 + 𝑥 + 0 
 ý 13 + 0 > −3𝑥 + 0 
 ý 13 > −3𝑥 
 ý 
13 (−
1
3
) < −3 (−
1
3
) 𝑥 
 ý 
− 
13
3
< 1𝑥 
 ý 
− 
13
3
< 𝑥 
𝑥 ∈ (−∞, −2) ý 
𝑥 > − 
13
3
 
𝑥 ∈ (−∞, −2) ý 
𝑥 ∈ (− 
13
3
, ∞) 
 
 
 
 
 
Nota: El caso III, 𝑥 + 2 = 0 no se da, porque 𝑥 + 2 divide a 5 − 𝑥 
 
Como es el caso I ó bien el caso II, se tiene que 
𝑥𝜖 ∅ ó 𝑥𝜖 (− 
13
3
, −2) 
→ 𝑥 ∈ ∅ ∪ (− 
13
3
, −2) →𝑥 ∈ (− 
13
3
, −2) es la solución 
 
→ 𝑥𝜖 (−∞, −2) ∩ (− 
13
3
, ∞) 
→ 𝑥𝜖 (− 
13
 3
, −2) solución del caso II 
−2 −
13
3
 
−2 
−
13
3
 0 
0 
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Tarea 4 
Fecha: _______________ 
 
 
 
Tarea 4 
 
 
1.-En los siguientes ejercicios hallar el conjunto solución de la inecuación y dar la representación geométrica de dicha 
solución, utilizar colores. No omitir operaciones. 
 
 a) 5 − 3𝑥 ≤ 4 c) 0 ≤ 𝑥 − 3 
 b) −2 − 𝑥 ≥ −4 d) −1 > −3𝑥 + 1 
3.-En los siguientes ejercicios hallar el conjunto solución de la inecuación indicada, y dar la representación geométrica 
de dicha solución. 
Nota: 
 Escribir el planteamiento (2 desigualdades) para cada 
caso. 
 Escribir cada pasó del razonamiento en una línea 
 Dar la solución de cada caso utilizando diferentes 
colores en la representación geométrica. 
  Resolver con lápiz de manera limpia, 
ordenada y completa. 
 Representar geométricamente la solución 
general de la inecuación, utilizando colores. 
 Trazar letras y números legibles 
 
a) 
 
7
 4
≤
1
𝑥
 
 e) 3𝑥
𝑥 + 2
< −
1
2
 
 
b) 6
4𝑥 − 1
≤
5
4
 
 f) 3𝑥
𝑥 + 1
< −
4
5
 
 
c) 3𝑥 − 1 ≤ 𝑥 + 4 g) 3
1 − 2𝑥
≥
1
3
 
 
d) 
10 >
3
2𝑥
 
 h) −4
5𝑥 − 3
≤ −
1
2