Operaciones de Funciones Cálculo Diferencial e Integral

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Operaciones con funciones. (+, -, x, ÷) 
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Operaciones con funciones. 
 
Conocimientos previos fundamentales para la comprensión del tema. 
 Dejar bien definida una función es determinar dominio, contradominio y regla de 
correspondencia. 
 Encontrar el dominio de una función es encontrar el conjunto donde la 𝑣𝑖 toma valores 
reales de tal manera que exista la imagen 𝑦 sea real. 
 Saber resolver inecuaciones. 
 Conocer los intervalos. 
 Un cociente 
𝑎
𝑏
 existe (o bien está definido) si el denominador 𝑏 ≠ 0. 
 √𝑎 tiene solución en los reales, en símbolos: √𝑎 𝜖 𝑅, si 𝑎 ≥ 0. 
 (𝑎2 − 𝑏2) = (𝑎 − 𝑏)(𝑎 + 𝑏) 
 
 
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Operaciones con Funciones 
Las operaciones con funciones reales de variable real son 
1. Adición 
2. Sustracción 
3. Multiplicación 
4. División 
Las cuatro operaciones se definen como sigue; considerando que se tienen dos funciones tales como: 
 
𝑓: 𝐴 → 𝑹, 𝐴 ⊆ 𝑹 
𝑓(𝑥) = 𝑦 
 
 
𝑔: 𝐵 → 𝑹, 𝐵 ⊆ 𝑹 
𝑔(𝑥) = 𝑤 
 
 
Suponiendo que 𝐴 ∩ 𝐵 ≠ ∅,es decir, 𝐷𝑓 ∩ 𝐷𝑔 ≠ ∅ 
Se definen: 
1.-Adición de función: (𝑓 + 𝑔): (𝐴 ∩ 𝐵) → 𝑅, con regla de correspondencia: 
(𝑓 + 𝑔)(𝑥) = 𝑓(𝑥) + 𝑔(𝑥) = 𝑦 + 𝑤. 
Recuerde que: 𝐷𝑓+𝑔 = 𝐷𝑓 ∩ 𝐷𝑔 = 𝐴 ∩ 𝐵 ≠ ∅ 
 
2-.Sustracion de funciones (𝑓 − 𝑔): (𝐴 ∩ 𝐵) → 𝑅, con regla de correspondencia: 
(𝑓 − 𝑔)(𝑥) = 𝑓(𝑥) − 𝑔(𝑥) = 𝑦 − 𝑤. 
Recuerde que: 𝐷𝑓−𝑔 = 𝐷𝑓 ∩ 𝐷𝑔 = 𝐴 ∩ 𝐵 ≠ ∅ 
 
3-. Multiplicación de 
funciones: 
(𝑓𝑔): (𝐴 ∩ 𝐵) → 𝑅, con regla de correspondencia: 
(𝑓𝑔)(𝑥) = 𝑓(𝑥)𝑔(𝑥) = 𝑦𝑤. 
Recuerde que: 𝐷𝑓𝑔 = 𝐷𝑓 ∩ 𝐷𝑔 = 𝐴 ∩ 𝐵 ≠ ∅ 
 
4-. División de funciones: (
𝑓
𝑔
) : (𝐴 ∩ 𝐵) → 𝑅, con regla de correspondencia: 
𝑓
𝑔
(𝑥) =
𝑓(𝑥)
𝑔(𝑥)
, 𝑐𝑜𝑛 𝑔(𝑥) ≠ 0 
 
Recuerde que: 𝐷𝑓
𝑔⁄
= 𝐷𝑓 ∩ 𝐷𝑔 = 𝐴 ∩ 𝐵 ≠ ∅ , ý 
𝐷𝑓 – significa dominio de 𝑓, ý 𝐷𝑔 – significa dominio de 𝑔 
 
 
 
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Ejemplos que ilustran como aplicar dichas definiciones. 
Ejemplo 1. Sean 𝑓(𝑥) = 𝑥 + 1 y 𝑔(𝑥) =
4
𝑥2−1
 
a) Dejar bien definidas las operaciones: 𝑓 + 𝑔, 𝑔 − 𝑓, 𝑓𝑔, 𝑓/𝑔, 𝑔/𝑓. 
b) Evaluar cada una de esas funciones en dos puntos de su dominio. 
SOLUCION 
¿Qué conocemos?-Conocemos la regla de correspondencia de 𝑓 y 𝑔. Es decir, conocemos 𝑓(𝑥) = 𝑥 + 1, y 𝑔(𝑥) =
4
𝑥2−1
 
¿Qué queremos?- Dejar bien definida 𝑓 + 𝑔, 𝑔 − 𝑓, 𝑓𝑔, 𝑓/𝑔, 𝑔/𝑓 ý evaluar cada función en dos puntos de su dominio. 
Paso 1.- Dejar bien definida 𝑓 y 𝑔. 
Es decir determinar dominio, contra dominio y regla de correspondencia de 𝑓 y 𝑔. 
Definir 𝑓(𝑥) = 𝑥 + 1, (regla de correspondencia de 𝑓) 
Sea 𝑦 = 𝑓(𝑥) = 𝑥 + 1……………………… 𝑣𝑑 = 𝑦, 𝑣𝑖 = 𝑥 
De la ecuación 𝑦 = 𝑥 + 1, la 𝑣𝑖 = 𝑥 puede tomar cualquier valor real, y su imagen 𝑦 = 𝑥 + 1, existe y es real, de donde 
𝐷𝑓 = 𝑅; ý el 𝐶𝑓 = 𝑅 
Por tanto, 𝑓: 𝑅 → 𝑅 
 𝑓(𝑥) = 𝑦 = 𝑥 + 1 
 
 
Ilustración 1. Imagen realizada en Geogebra f(x)= x+1 
 
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Definir 𝑔(𝑥) = 
4
(𝑥²−1)
 (regla de correspondencia de g) 
Sea: 𝑔(𝑥) = 𝑤 = 
4
(𝑥²−1)
 …………… 𝑣𝑑 = 𝑤, 𝑣𝑖 = 𝑥. 
 
Encontrar el 𝐷𝑔 es encontrar el conjunto donde la 𝑣𝑖 = 𝑥, toma valores reales, de tal manera que: 
Ǝ 𝑤 =
4
𝑥2−1
 y 𝑤 =
4
𝑥2−1
 ∈ 𝑅 
 
𝑥2 − 1 ≠ 0 ⇒ 𝑥2 − 1 = 0 ⇒ (𝑥 − 1)(𝑥 + 1) = 0 ⇒ {
𝑥 − 1 = 0
𝑥 + 1 = 0
 ⇒ {
𝑥 = 1
𝑥 = −1
 o bien 
 𝑥2 ≠ 1 ⇒ 𝑥 ≠ ±√1 ⇒ 𝑥 ∈ 𝑅 − {−1,1} 
de donde 𝐷𝑔 = 𝑅 − { −1,1} 
Por otro lado, 𝐶𝑔 = 𝑅 
Por lo tanto, 
 𝑔: 𝑅 − { −1, 1} → 𝑅 
𝑔(𝑥) =
4
𝑥2 − 1
 
 
 
Ilustración 2.Grafica realizada en Geogebra f(x)=4/(x^2-1) 
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Recuerde que: El cociente 
𝑎
𝑏
 existe (o bien, está definido) si el denominador = 𝑏 ≠ 0, es por qué : 
el cociente 
4
𝑥2−1
 , existe ( o bien está definida) si el denominador = 𝑥² − 1 ≠ 0. 
 
 
Graficas de 𝑓(𝑥), 𝑔(𝑥) 
 
 
Ilustración 3. Grafica elaborada en Geogebra de f(x) y g(x) 
 
PASO 2. Encontrar 𝐷𝑓 ∩ 𝐷𝑔 
Sabemos que 𝐷𝑓 = 𝑅 y 𝐷𝑔 = 𝑅 − {−1,1}, geométricamente: 
 
 
 
 
 
𝐷𝑓 ∩ 𝐷𝑔 = 𝑅 ∩ (𝑅 − {−1,1}) = 𝑅 − {−1,1} ≠ ∅ 
 
1 −1 0 
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 Paso 3. Dejar bien definida 𝑓 + 𝑔, 𝑔 − 𝑓, 𝑓 ∗ 𝑔, 𝑓/𝑔 𝑔/𝑓 y evaluar en dos puntos de su dominio. 
 Definición de 𝑓 + 𝑔 
Definición de 
𝑓 + 𝑔 
(𝑓 + 𝑔): 𝑅 − {−1,1}  𝑅 
(𝑓 + 𝑔)(𝑥) = 𝑥 + 1 +
4
𝑥2 − 1
 
 
 
 
Ilustración 4. Grafica elaborada en Geogebra de 
f(x)+g(x) 
 
Regla de 
correspondencia 
(𝑓 + 𝑔)(𝑥) = 𝑓(𝑥) + 𝑔(𝑥) = 𝑥 + 1 +
4
𝑥2 − 1
 
 
Evaluar a la 
función 
(𝑓 + 𝑔)(0) = 0 + 1 +
4
02 − 1
= 1 +
4
−1
 
 = 1 − 4 = −3 
 
 
(𝑓 + 𝑔)(2) = 2 + 1 +
4
22 − 1
= 3 +
4
4 − 1
 
 = 3 +
4
3
=
9+4
3
=
13
3
 
 
 
 
 Definición de 𝑔 − 𝑓; 
Definición de 
𝑔 − 𝑓 
(𝑔 − 𝑓): 𝑅 − {−1,1}  𝑅 
(𝑔 − 𝑓)(𝑥) =
4
𝑥2 − 1
− (𝑥 + 1) 
 
 
 
 
Ilustración 5. Grafica elaborada en Geogebra g(x)-f(x) 
 
Regla de 
correspondencia 
(𝑔 − 𝑓)(𝑥) = 𝑔(𝑥) − 𝑓(𝑥) 
 =
4
𝑥2−1
− (𝑥 + 1) 
 
Evaluar a la 
función 
(𝑔 − 𝑓)(0) = 
4
0 − 1
− (0 + 1) =
4
−1
− (1)
= −4 − 1 = −5 
 
 
(𝑔 − 𝑓)(3) = 
4
32 − 1
 – (3 + 1) 
= 
4
9 − 1
 – 4 = 
4
8
 – 4 = 
1
2
 – 
8
2
= − 
7
2
 
 
 
 
 
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 Definición de 𝑓𝑔 
Definición de 
𝑓 𝑔 
(𝑓𝑔): 𝑅 − {−1,1}  𝑅 
(𝑓𝑔)(𝑥) =
4
𝑥 − 1
, 𝑥 ≠ −1 
 
 
Regla de 
correspondencia 
(𝑓𝑔)(𝑥) = 𝑓(𝑥)𝑔(𝑥) = (𝑥 + 1) [
4
𝑥2 − 1
] 
(𝑓𝑔)(𝑥) =
4
𝑥 − 1
, 𝑥 ≠ −1 
 
 
Ilustración 6. Grafica elaborada en Geogebra g(x)f(x) 
 
Evaluar a la 
función 
(𝑓𝑔)(0) =
4
0 − 1
= −4 
 
 
(𝑓𝑔)(−2) =
4
−2 − 1
=
4
−3
= −
4
3
 
 
 
 
 Definición de 
𝑓
𝑔⁄ 
 
Definición de 
𝑓 
𝑔⁄ 
(
𝑓
𝑔⁄ ): 𝑅 − {−1,1}  𝑅 
(
𝑓
𝑔⁄ ) (𝑥) =
1
4
(𝑥2 − 1)(𝑥 + 1) 
 
 
Regla de 
correspondencia 
(
𝑓
𝑔⁄ ) (𝑥) =
𝑓(𝑥)
𝑔(𝑥)⁄ = (
𝑥 + 1
1
) ÷ [
4
𝑥2 − 1
] 
=
(𝑥2 − 1)(𝑥 + 1)
4
 =
1
4
(𝑥2 − 1)(𝑥 + 1) 
 
 
 
Ilustración 7. Grafica elaborada en Geogebra 
f(x)/g(x) 
Evaluar a la 
función (𝑓/𝑔)(0) =
(02 − 1)(0 + 1)
4
 = 
1
4
 
 
 
(
𝑓
𝑔) (−4) =
(−4 − 1)((−4)2 − 1)
4
 =
(−5)(15)
4
= −
75
4
 
 
 
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 Definición de 
𝑔
𝑓⁄ 
 
Definición de 
𝑔 
𝑓⁄ 
(
𝑔
𝑓⁄ ): 𝑅 − {−1,1}  𝑅 
(
𝑔
𝑓⁄ ) (𝑥) =
4
(𝑥2 − 1)(𝑥 + 1)
 
 
 
 
Regla de 
correspondencia 
(
𝑔
𝑓⁄ ) (𝑥) =
𝑔(𝑥)
𝑓(𝑥)⁄ = [
4
𝑥2 − 1
] ÷ (
𝑥 + 1
1
) 
(
𝑔
𝑓⁄ ) (𝑥) =
4
((𝑥2 − 1)(𝑥 + 1))
 
 
 
 
Ilustración 8. Grafica elaborada en Geogebra 
g(x)/f(x) 
 
Evaluar a la 
función 
(
𝑔
𝑓
) (0) =
4
(02 − 1)(0 + 1)
=
4
(−1)(1)
= −4 
 
 
(
𝑔
𝑓
) (−4) =
4
((4)2 − 1)(−4 + 1)
= 
=
4
(16 − 1)(−4 + 1)
=
4
(15)(−3)
= −
4
45
 
 
 
 
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Ejemplo 2. Sean 𝑓(𝑥) = 4 + √2 − 𝑥 ý 𝑔 (𝑥) = 
1
𝑥−3
 
a) Dejar bien definidas las operaciones: 
𝑔 + 𝑓, 𝑓 − 𝑔, 𝑔𝑓, 𝑓/𝑔, 𝑔/𝑓. 
 
b) Evaluar cada una de esas funciones en dos puntos de su dominio 
 
SOLUCION 
¿Qué conocemos? – conocemos la regla de correspondencia de 𝑓 y 𝑔. 
 es decir, conocemos 𝑓(𝑥) = 4 + √2 − 𝑥 y 𝑔(𝑥) = 
1
𝑥−3
 
 
¿Qué queremos? – dejar bien definidas 𝑔 + 𝑓, 𝑓 − 𝑔, 𝑔𝑓, 𝑓/𝑔 𝑦 𝑔/𝑓; y evaluar cada función en dos puntos de su 
dominio. 
 
Paso 1. Dejar bien definido 𝑓 y 𝑔 
 Es decir, determinar dominio, contra dominio y regla de correspondencia de 𝑓 y 𝑔. 
 Definir 𝑓(𝑥) = 4 + √2 − 𝑥, (regla de correspondencia de 𝑓) 
Sea 
𝑦 = 𝑓(𝑥) = 4 + √2 − 𝑥, _ _ _ _ _ _ _ _ 𝑣𝑑 = 𝑦, 𝑣𝑖 = 𝑥. 
Encontrar el 𝐷𝑓 es encontrar el conjunto donde la 𝑣𝑖 = 𝑥 toma valores reales de tal manera que: 
 ∃𝑦 = 4 + √2 − 𝑥 y 𝑦 = 4 + √2 − 𝑥 ∈ 𝑅 ⇔ √2 − 𝑥 ∈ 𝑅 
√2 − 𝑥 ∈ 𝑅 ⇒ 2 − 𝑥 ≥ 0 ⇒ 2 ≥ 𝑥 ⇒ 𝑥 ∈ (−∞, 2] 
de donde, 𝐷𝑓 = (−∞, 2] 
Por otro lado, 𝐶𝑓 = 𝑅 
 
 
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Por tanto, 
𝑓: (−∞, 2] → 𝑅 
𝑓(𝑥) = 𝑦 = 4 + √2 − 𝑥 
 
Definir 𝑔(𝑥) = 
1
𝑥−3
 , (regla de correspondencia de 𝑔) 
 
Sea 𝑤 = 𝑔(𝑥) = 
1
𝑥−3
 . . . . 𝑣𝑑 = 𝑤, 𝑣𝑖 = 𝑥 
 
Encontrar 𝐷𝑔 es encontrar el conjunto donde la 𝑣𝑖 = 𝑥 toma valores reales de tal manera que 
 
 ∃ 𝑤 = 
1
𝑥−3
 y 𝑤 = 
1
𝑥−3
 ∈ 𝑅 
 
 
𝑥 − 3 ≠ 0 ⇒ 𝑥 ≠ 3 ⇒ 𝑥 ∈ 𝑅 − {3}, de donde 𝐷𝑔 = 𝑅 − {3} 
 
Por el otro lado, 𝐶𝑔 = 𝑅 
Por tanto, 
 𝑔: 𝑅 − {3} → 𝑅 
 𝑔(𝑥) = 
1
𝑥−3
 
 
Gráficas de las funciones 𝑓(𝑥), 𝑔(𝑥) 
 
 Ilustración 9. Grafica elaborada en Geogebra f(x) y g(x) 
 
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Paso 2. Encontrar 𝐷𝑓 ∩ 𝐷𝑔 
Sabemos que𝐷𝑓 = (−∞, 2] y 𝐷𝑔 = 𝑅 − {3}, geométricamente: 
 
 
 
 
 
 
 
 Paso 3 Dejar bien definidas 𝑔 + 𝑓, 𝑓 − 𝑔, 𝑔𝑓, 𝑓/𝑔, 𝑔/𝑓; y evaluarlos en dos puntos de su dominio. 
 
Definición de 
𝑔 + 𝑓 
(𝑔 + 𝑓): (−∞, 2]  𝑅 
𝑔 + 𝑓)(𝑥) = 
1
𝑥 − 3
 + 4 + √2 − 𝑥 
 
 
Regla de 
correspondencia 
(𝑔 + 𝑓)(𝑥) = 𝑔(𝑥) + 𝑓(𝑥) 
(𝑔 + 𝑓)(𝑥) = 
1
𝑥−3
 + 4 + √2 − 𝑥 
 
 
Ilustración 10. Grafica elaborada en Geogebra f(x) + 
g(x) 
 
Evaluar a la 
función 
(𝑔 + 𝑓)(0) = 
1
0 − 3
+ 4 + √2 − 0 
 =
1
−3
+ 4 + √2 = −
1
3
+
12
3
+ √2 
 =
11
3
+ √2 
 
 
(𝑔 + 𝑓)(−1) =
1
−1 − 3
+ 4 + √2 − (−1)
=
1
−4
+ 4 + √2 + 1
= −
1
4
+
16
4
+ √3
=
15
4
+ √3 
 
 
 
 
0 2 3 
𝐷𝑔 = 𝑅 − {3} 
𝐷𝑓 = (−∞, 2] 
𝐷𝑓 ∩ 𝐷𝑔 = (−∞, 2] ∩ 𝑅 – {3} 
= (−∞, 2] 
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Definición de 
𝑓 − 𝑔 
(𝑓 − 𝑔): (−∞, 2]  𝑅 
(𝑓 − 𝑔)(𝑥) = 4 + √2 − 𝑥 − 
1
𝑥 − 3
 
 
 
Regla de 
correspondencia 
(𝑓 − 𝑔)(𝑥) = 𝑓(𝑥) − 𝑔(𝑥) = 4 + √2 − 𝑥 − 
1
𝑥 − 3
 
 
 
Evaluar a la 
función 
(𝑓 − 𝑔)(−2) = 4 + √2 − (−2) − 
1
−2 − 3
= 4 + √2 + 2 − 
1
−5
= 4 + √4 + 
1
5
= 4 + 2 +
1
5
= 6 +
1
5
=
30
5
+
1
5
= 
31
5
 
 
(𝑓 − 𝑔)(−1) = 4 + √2 − (−1) −
1
−1 − 3
= 4 + √2 + 1 −
1
−4
= 4 + √3 +
1
4
=
16
4
+
1
4
+ √3 =
17
4
+ √3 
 
 
 
Ilustración 11. Grafica elaborada en Geogebra f(x) - g(x) 
 
 
 
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Definición de 
𝑔𝑓 
(𝑔𝑓): (−∞, 2]  𝑅 
(𝑔𝑓)(𝑥) =
4 + √2 − 𝑥
𝑥 − 3
 
 
 
Regla de 
correspondencia 
(𝑔𝑓)(𝑥) = 𝑔(𝑥)𝑓(𝑥) = (
1
𝑥 − 3
) (4 + √2 − 𝑥) 
(𝑔𝑓)(𝑥) =
4 + √2 − 𝑥
𝑥 − 3
 
 
 
Evaluar a la 
función (𝑔𝑓)(0) =
4 + √2 − 0
0 − 3
=
4 + √2
−3
 
 
 
(𝑔𝑓)(−4) =
4 + √2 − (−4)
−4 − 3
=
4 + √2 + 4)
−7
=
4 + √6
−7
 
 
 
 
 
Ilustración 12. Grafica elaborada en Geogebra g(x)f(x) 
 
 
 
 
 
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Definición de 
𝑔/𝑓 
(𝑔/𝑓): (−∞, 2]  𝑅 
(
𝑔
𝑓
) (𝑥) =
1
(𝑥 − 3)(4 + √2 − 𝑥)
 
 
 
Regla de 
correspondencia 
(
𝑔
𝑓
) (𝑥) =
𝑔(𝑥)
𝑓(𝑥)
=
1
𝑥 − 3
÷ (4 + √2 − 𝑥) 
(
𝑔
𝑓
) (𝑥) =
1
((𝑥 − 3)(4 + √2 − 𝑥))
 
 
 
 
 
 
 
 
Definición de 
𝑓/𝑔 
(𝑓/𝑔): (−∞, 2]  𝑅 
(
𝑓
𝑔
) (𝑥) = (𝑥 − 3)(4 + √2 − 𝑥) 
 
 
 
Ilustración 13. Grafica elaborada en Geogebra 
f(x)/g(x) 
 
Regla de 
correspondencia 
(
𝑓
𝑔
) (𝑥) =
𝑓(𝑥)
𝑔(𝑥)
= (4 + √2 − 𝑥) ÷
1
𝑥 − 3
 
(
𝑓
𝑔
) (𝑥) = (𝑥 − 3)(4 + √2 − 𝑥) 
 
Evaluar a la 
función 
(
𝑓
𝑔
) (0) = (0 − 3)(4 + √2 − 0 )
= (−3)(4 + √2 )
= −12 − 3√2 
 
(
𝑓
𝑔
) (−5) = (−5 − 3) (4 + √2 − (−5) )
= (−8)(4 + √2 + 5 ) =
= (−8)(4 + √7 ) = −32 − 8√7 
 
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Operaciones con funciones. (+, -, x, ÷) 
Fecha: _______________ 
 
 
 
Evaluar a la 
función 
(
𝑔
𝑓
) (0) =
1
(0 − 3)(4 + √2 − 0)
 
 =
1
(−3)(4+√2)
=
1
(−3)(4+√2)
 
 
 
(
𝑔
𝑓
) (−1) =
1
(−1 − 3)(4 + √2 + 1)
=
1
(−4)(4 + √3)
 
 
 
 
Ilustración 14. Grafica elaborada en Geogebra g(x)/f(x) 
 
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Tarea 6 
Fecha: _______________ 
 
 
 
Tarea 6 
 
En los ejercicios 1-5, dada 𝑓(𝑥) y 𝑔(𝑥). 
a. Dejar bien definidas a 𝑓(𝑥) y 𝑔(𝑥), así como a las operaciones 𝑓 + 𝑔, 𝑔 − 𝑓, 𝑓𝑔, 𝑓/𝑔, 𝑔/𝑓; 
b. Evaluar cada una de dichas funciones en cinco puntos de su dominio 
c. Realizar las gráficas en Geogebra de 𝑓, 𝑔, 𝑓 + 𝑔, 𝑔 − 𝑓, 𝑓𝑔,𝑓/𝑔, 𝑔/𝑓; e incluirlas en la tarea. 
 
1. 𝑓(𝑥) = 5, 𝑔(𝑥) = 𝑥 
 
 
2. 𝑓(𝑥) = 𝑥2 + 3, 𝑔(𝑥) = 𝑥 − 1 
 
 
3. 𝑓(𝑥) = −5√𝑥 + 6, 𝑔(𝑥) = 2 − 𝑥 
 
4. 𝑓(𝑥) =
1
𝑥−4
, 𝑔(𝑥) = 𝑥 + 3 
 
 
5. 𝑓(𝑥) =
1
√𝑥
, 𝑔(𝑥) = 𝑥 + 5 
 
 
6. 𝑓(𝑥) = 𝑥 + 4, 𝑔(𝑥) = √7 − 𝑥 
 
 
7. 𝑓(𝑥) = 𝑥 − 4, 𝑔(𝑥) =
𝑥
𝑥2−16
 
 
 
8. 𝑓(𝑥) = 𝑥 + 2, 𝑔(𝑥) = 𝑥 − 3