Desigualdades 2 Cálculo Diferencial e Integral

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Inecuaciones de la forma 
 
𝑏
𝑎𝑥
≤
𝑐
𝑑𝑥
 
Fecha: _______________ 
 
Ejercicios del tipo 
𝒂
𝒄𝒙 
 ≤ 
𝒃
𝒅𝒙
 
 
2 +
5
−2𝑥
≤ 4 +
1
3𝑥
 
Solución 
2 +
5
−2𝑥
≤ 4 +
1
3𝑥
 
2 − 2 +
5
−2𝑥
≤ 4 − 2 +
1
3𝑥
 
0 +
5
−2𝑥
− 
1
3𝑥
≤ 2 +
1
3𝑥
− 
1
3𝑥
 
0 −
5
2𝑥
−
1
3𝑥
 ≤ 2 + 0 
5
2𝑥
−
1
3𝑥
 ≤ 2 
 
−
5
2𝑥
(1) −
1
3𝑥
 (1) ≤ 2 
 
−
5
2𝑥
(
3
3
) −
1
3𝑥
 (
2
2
) ≤ 2 
 
−
15
6𝑥
−
2
6𝑥
 ≤ 2 
 
−15 − 2
6𝑥
 ≤ 2 
 
−17
6𝑥
 ≤ 2 
 
(
−17
6
) (
1
𝑥
) ≤ 2 
(−
6
17
) (
−17
6
) (
1
𝑥
) ≥ 2 (−
6
17
) 
1 (
1
𝑥
) ≥ 2 (−
6
17
) 
1
𝑥
 ≥ −
12
17
 
 
El ejercicio a resolver es 
1
𝑥
 ≥ −
12
17
, ∃ 
1
𝑥
 si 𝑥 ≠ 0 ⇒ 𝑥 < 0 ó 𝑥 > 0 
 
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Inecuaciones de la forma 
 
𝑏
𝑎𝑥
≤
𝑐
𝑑𝑥
 
Fecha: _______________ 
 
 
Caso I 
 
𝑥 > 0 ý 1
𝑥
 ≥ −
12
17
 
 ý 
𝑥 (
1
𝑥
) ≥ (−
12
17
) 𝑥 
 ý 
1 ≥ −
12
17
𝑥 
 ý 
(−
17
12
) (1) ≤ (−
12
17
) (−
17
12
) 𝑥 
 ý 
(−
17
12
 ) (1) ≤ 1 𝑥 
 ý 
−
17
12
≤ 𝑥 
 ý 
𝑥 ≥ −
17
12
 
𝑥 ∈ (0, +∞) ý 
𝑥 ∈ [−
17
12
 , ∞) 
𝑥 ∈ ( 0 , ∞ ) ∩ 
𝑥 ∈ [−
17
12
 , ∞) 
 
 
 
 
 
Caso II 
𝑥 < 0 ý 1
𝑥
 ≥ −
12
17
 
 ý 
𝑥 (
1
𝑥
) ≤ (−
12
17
) 𝑥 
 ý 
1 ≤ −
12
17
𝑥 
 ý 
(−
17
12
) (1) ≥ (−
12
17
) (−
17
12
) 𝑥 
 ý 
(−
17
12
 ) (1) ≥ 1 𝑥 
 ý 
−
17
12
≥ 𝑥 
 ý 
𝑥 ≤ −
17
12
 
𝑥 ∈ (−∞, 0) ý 
𝑥 ∈ (− ∞, −
17
12
] 
𝑥 ∈ (− ∞, 0 ) ∩ 
𝑥 ∈ (− ∞, −
17
12
] 
 
0 −
17
12
 
𝑥 ∈ ( 0 , ∞ ) …. Solución Caso I 
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Inecuaciones de la forma 
 
𝑏
𝑎𝑥
≤
𝑐
𝑑𝑥
 
Fecha: _______________ 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Solución: Caso I ó Caso II, tenemos que 
 
 𝑥 ∈ (−∞ , −
17
12
 ] ó 𝑥 ∈ ( 0 , ∞ ) 
 𝑥 ∈ (−∞ , −
17
12
 ] ∪ ( 0 , ∞ ) 
 𝑥 ∈ 𝑹 − (−
17
12
 , 0] 
 
 
 
 
 
 
 
 
0 −
17
12
 
𝑥 ∈ ( −∞, 0 ) ∩ 𝑥 ∈ (− ∞, −
17
12
] 
𝑥 ∈ (∞, −
17
12
] …. Solución Caso II 
0 −
17
12
 
No solución 
Solución 
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Dobles inecuaciones 
Fecha: _______________ 
 
Dobles inecuaciones 
 
 1.- 5 ≤ 𝑥 < 7 𝑥 ∈ [ 5 , 7 ) 
 
 
 
 2.- −1 < 𝑥 + 3 < 2 
 −1 − 3 < 𝑥 + 3 − 3 < 2 − 3 
 −4 < 𝑥 < −1 
 𝑥 ∈ (−4 , −1 ) 
 
 
 3.- 4 ≥ 3𝑥 − 2 > −4 
 4 + 2 ≥ 3𝑥 − 2 + 2 > −4 + 2 
 6 ≥ 3𝑥 > −2 
 
6
3
≥ 𝑥 > −
2
3
 
 2 ≥ 𝑥 > −
2
3
 
 𝑥 ∈ ( −
2
3
 , 2 ] 
 
 
7 5 
−1 −4 
2 −
2
3
 
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Inecuaciones con valor absoluto 
Fecha: _______________ 
 
Inecuaciones con valor absoluto 
 
Definición explicita de valor absoluto: 
Por definición, |𝑥| = √𝑥2 , ∀ 𝑥 ∈ 𝑹 
Ejemplos 
 |7| = √72 ⇒ 7 > 0 
 |0| = √02 ⇒ 0 = 0 
 | − 1| = √−12 = 1 > 0 
 | − 4| = √−42 = 4 > 0 
 |4| = √42 = 4 > 0 
 
Definición implícita de valor absoluto 
Si 𝑥 ∈ 𝑹 , entonces: 
|𝑥| = {
𝑥 𝑠𝑖 𝑥 > 0
0 𝑠𝑖 𝑥 = 0
−𝑥 𝑠𝑖 𝑥 < 0
 
 Ejemplos. 
 |−3| = −(−3) = 3 > 0 |1.15| = 1.15 > 0 
|
1
2
| = 
1
2
> 0 
 |−3.8173| = −(−3.8173) = 3.8173 > 0 
 |0| = 0 
 
Interpretación geométrica del valor absoluto. 
 
|𝑥| = 𝑑 ( 0 , 𝑥 ) = 𝑑 ( 𝑥 , 0 ) 
|−1| = 𝑑 ( 0 , −1 ) = 𝑑 ( −1 , 0 ) = 1 > 0 
|1| = 𝑑 ( 0 , 1 ) = 𝑑 ( 1 , 0 ) = 1 > 0 
|0| = 0 = 0 = 𝑑 ( 0 , 0 ) 
 
 
|-4| = |4| 
|-1| = |1| 
 0 𝑥 
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Propiedades del valor absoluto 
Fecha: _______________ 
 
 
Propiedades del valor absoluto 
 
 1.- |𝑥| = |−𝑥| 
 
 Demostración | − 𝑥| = √(−𝑥)2 = √𝑥2 = |𝑥| 
 |𝑥| = √𝑥2 = 𝑥 
 𝑥 = 𝑥 |−𝑥| = |𝑥| 
 
2.- |
𝑥
𝑦
| = 
|𝑥|
|𝑦|
 
 
 Demostración 
|
𝑥
𝑦
| = √(
𝑥
𝑦
)
2
= √
𝑥2
𝑦2
 = 
√𝑥2
√𝑦2
 = 
|𝑥|
|𝑦|
 
 
 3.- |𝑥 𝑦| = |𝑥| |𝑦| 
 
 Demostración 
 |𝑥 𝑦| = √(𝑥 𝑦)2 = √ 𝑥2 𝑦2 = √𝑥2 √𝑦2 = |𝑥| |𝑦| q.e.d. 
 
 4.- |𝑥 + 𝑦| ≤ |𝑥| + |𝑦| 
 
 
 
 
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Desigualdades con valor absoluto 
Fecha: _______________ 
 
 
 Desigualdades con valor absoluto. 
En la siguiente serie de ejercicios se emplearán los dos teoremas siguientes: 
Teorema 1 
 
|𝑥| < 𝑎 𝑠𝑖 𝑦 𝑠ó𝑙𝑜 𝑠𝑖 − 𝑎 < 𝑥 < 𝑎, 𝑑𝑜𝑛𝑑𝑒 𝑎 > 0 
 
Teorema 2 
 
|𝑥| > 𝑎 𝑠𝑖 𝑦 𝑠ó𝑙𝑜 𝑠𝑖 𝑥 < −𝑎, 𝑜 𝑏𝑖𝑒𝑛 𝑥 > 𝑎, 𝑑𝑜𝑛𝑑𝑒 𝑎 > 0 
Corolario 1 
 
|𝑥| ≤ 𝑎 𝑠𝑖 𝑦 𝑠ó𝑙𝑜 𝑠𝑖 − 𝑎 ≤ 𝑥 ≤ 𝑎, 𝑑𝑜𝑛𝑑𝑒 𝑎 > 0 
 
Corolario 2 
 
|𝑥| ≥ 𝑎 𝑠𝑖 𝑦 𝑠ó𝑙𝑜 𝑠𝑖 𝑥 ≤ −𝑎, 𝑜 𝑏𝑖𝑒𝑛 𝑥 ≥ 𝑎, 𝑑𝑜𝑛𝑑𝑒 𝑎 > 0 
 
Ejercicio 1. |8𝑥 − 3| < 6 
 Solución. 
 |8𝑥 − 3| < 6 ↔ −6 < 8𝑥 − 3 < 6 
 ↔ −6 + 3 < 8𝑥 < 6 + 3 
 ↔ −3 < 8𝑥 < 9 
 ↔ −3 (
1
8
) < 8𝑥 (
1
8
) < 9 (
1
8
) 
 ↔ −
1
8
< 𝑥 <
9
8
 
 𝑥 ∈ (− 
3
8
 ,
9
 8
 ) 
Ejercicio 2. |5 − 𝑥| ≤ 1 
 Solución. 
 |5 − 𝑥| ≤ 1 ↔ −1 ≤ 5 − 𝑥 ≤ 1 
 ↔ −1 − 5 ≤ −𝑥 ≤ 1 − 5 
 ↔ −6 ≤ −𝑥 ≤ −4 
 ↔ −6(−1) ≥ −𝑥(−1) ≥ −4(−1) 
 ↔ 6 ≥ 𝑥 ≥ 4 
 ↔ 4 ≤ 𝑥 ≤ 6 
 𝑥 ∈ [ 4 , 6 ] 
R
 
 
ℝ 
R
 
 
ℝ 
Teorema 1 
 
Corolario 1 
 
9
8
 −
3
8
 
6 4 
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Desigualdades con valor absoluto 
Fecha: _______________ 
 
 
 Ejercicio3. |10 − 4𝑥| > 2 
 Solución. 
 |10 − 4𝑥| > 2 ↔ 10 − 4𝑥 < −2 ó 10 − 4𝑥 > 2 
 ↔ −4𝑥 < −2 − 10 ó − 4𝑥 > 2 − 10 
 ↔ −4𝑥 < −12 ó − 4𝑥 > −8 
 ↔ −4 (−
1
4
) 𝑥 > −12 (−
1
4
) ó − 4 (−
1
4
) 𝑥 < −8 (−
1
4
) 
 ↔ 𝑥 > 3 ó 𝑥 < 2 
 ↔ 𝑥 ∈ (3, ∞ ) ó 𝑥 ∈ (−∞, 2 ) 
 ↔ 𝑥 ∈ (3, ∞ ) ∪ 𝑥 ∈ (−∞, 2 ) 
 − [ 2 , 3 ] Solución General ↔ 𝑥 ∈
Observación: [ 2 , 3 ] es la no solución 
 
Ejercicio 4. |5𝑥 + 3| ≥ 10 
 Solución. 
 |5𝑥 + 3| ≥ 10 ↔ 5𝑥 + 3 ≤ −10 ó 5𝑥 + 3 ≥ 10 
 ↔ 5𝑥 ≤ −10 − 3 ó 5𝑥 ≥ 10 − 3 
 ↔ 5𝑥 ≤ −13 ó 5𝑥 ≥ 7 
 ↔ 5 (
1
5
) 𝑥 ≤ −13 (
1
5
) ó 5 (
1
5
) 𝑥 ≥ 7 (
1
5
) 
 ↔ 𝑥 ≤ −
13
5
 ó 𝑥 ≥
7
5
 
 ↔ 𝑥 ∈ (−∞, −
13
5
 ) ó 𝑥 ∈ [
7
5
 , ∞) 
 ↔ 𝑥 ∈ (−∞, −
13
5
 ) ∪ 𝑥 ∈ [ 
7
5
 , ∞) 
 ↔ 𝑥 ∈ 𝑹 − [−
13
5
,
7
5
) Solución General 
La no solución es: [−
13
5
,
7
5
) 
Teorema 2 
 
ℝ
 
 
ℝ 
Corolario 2 
 
3 2 
7
5
 −
13
5
 
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Inecuación cuadrática 
Fecha: _______________ 
 
Inecuación Cuadrática 
 
Ejercicio 1. 𝑥2 − 25 ≤ 0 
 Solución. 
 Análisis 
 Tenemos 𝑥2 − 25 ≤ 0…… (1) 
 Sabemos que 𝑥2 − 25 = (𝑥 + 5)(𝑥 − 5) …… (2) 
 Sustituyendo (2) en (1), tenemos que 𝑥2 − 25 ≤ 0 ⇒ {
𝑥 + 5 ≥ 0 ý 𝑥 − 5 ≤ 0
𝑥 + 5 ≤ 0 ý 𝑥 − 5 ≥ 0
 
 De aquí se desprenden dos casos para analizar. 
Caso I 
𝑥 + 5 ≥ 0 ý 𝑥 − 5 ≤ 0 
 
Caso II 
𝑥 + 5 ≤ 0 ý 𝑥 − 5 ≥ 0 
 
 
𝑥 + 5 ≥ 0 ý 𝑥 − 5 ≤ 0 
 
𝑥 + 5 − 5 ≥ 0 − 5 ý 𝑥 − 5 + 5 ≤ 0 + 5 
 
𝑥 ≥ −5 ý 𝑥 ≤ 5 
 
𝑥 ∈ [−5, ∞) ý 𝑥 ∈ (−∞, 5] 
 
𝑥 ∈ [−5, ∞) ∩ 𝑥 ∈ (−∞, 5] 
 
 
𝑥 ∈ [−5,5] 𝑠𝑜𝑙𝑢𝑐𝑖ó𝑛 𝑐𝑎𝑠𝑜 𝐼 
 
Geométricamente 
 
 
 
 
 
 
𝑥 + 5 ≤ 0 ý 𝑥 − 5 ≥ 0 
 
𝑥 + 5 − 5 ≤ 0 − 5 ý 𝑥 − 5 + 5 ≥ 0 + 5 
 
𝑥 ≤ −5 ý 𝑥 ≥ 5 
 
𝑥 ∈ (−∞, −5] ý 𝑥 ∈ [5, ∞) 
 
𝑥 ∈ (−∞, −5] ∩ 𝑥 ∈ [5, ∞) 
 
 
𝑥 ∈ { } 𝑠𝑜𝑙𝑢𝑐𝑖ó𝑛 𝑐𝑎𝑠𝑜 𝐼𝐼 
 
Geométricamente 
 
 
Solución general 
Como se cumple el Caso I ó Caso II, entonces 
𝑥 ∈ [−5,5] ó 𝑥 ∈ { } 
𝑥 ∈ [−5,5] ∪ 𝑥 ∈ { } 
𝑥 ∈ [−5,5] Es la Solución General 
5 −5 
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Inecuación cuadrática 
Fecha: _______________ 
 
Ejercicio 2. 𝑥2 + 6𝑥 − 5 > 0 
 Solución. 
 Análisis, tenemos 𝑥2 + 6𝑥 − 5 > 0…… (1) 
 Sabemos que −𝑥2 + 6𝑥 − 5 > 0 ↔ (−1)(−𝑥2 + 6𝑥 − 5) < (−1) 0 
 ↔ 𝑥2 − 6𝑥 + 5 < 0 
↔ (𝑥 − 5)(𝑥 − 1) < 0 
⇔ {
𝑥 − 1 > 0 ý 𝑥 − 5 < 0
𝑜 𝑏𝑖𝑒𝑛
𝑥 − 1 < 0 ý 𝑥 − 5 > 0
 
De aquí se desprenden dos casos para analizar. 
Caso I 
𝑥 − 1 > 0 ý 𝑥 − 5 < 0 
Caso II 
𝑥 − 1 < 0 ý 𝑥 − 5 > 0 
 
 
𝑥 − 1 > 0 ý 𝑥 − 5 < 0 
 
𝑥 − 1 + 1 > 0 + 1 ý 𝑥 − 5 + 5 < 0 + 5 
 
 𝑥 > 1 ý 𝑥 < 5 
 
𝑥 ∈ (1, ∞) ý 𝑥 ∈ (−∞, 5) 
 
𝑥 ∈ (1, ∞) ∩ 𝑥 ∈ (−∞, 5) 
 
 
𝑥 ∈ (1,5) 𝑠𝑜𝑙𝑢𝑐𝑖ó𝑛 𝑐𝑎𝑠𝑜 𝐼 
 
Geométricamente 
 
 
 
 
 
𝑥 − 1 < 0 ý 𝑥 − 5 > 0 
 
𝑥 − 1 + 1 < 0 + 1 ý 𝑥 − 5 + 5 > 0 + 5 
 
 𝑥 < 1 ý 𝑥 > 5 
 
𝑥 ∈ (−∞, 1) ý 𝑥 ∈ (5, ∞) 
 
𝑥 ∈ (−∞, 1) ∩ 𝑥 ∈ (5, ∞) 
 
 
𝑥 ∈ { } 𝑠𝑜𝑙𝑢𝑐𝑖ó𝑛 𝑐𝑎𝑠𝑜 𝐼𝐼 
 
Geométricamente 
 
 
Solución general 
Como se cumple el Caso I ó Caso II, entonces 
𝑥 ∈ (1,5) ó 𝑥 ∈ { } Es decir 
 𝑥 ∈ (1,5) ∪ { } 
 𝑥 ∈ (1,5) Es la Solución General 
5 1 
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Tarea 5 
Fecha: _______________ 
 
Tarea 5 
 
 
1.-En los siguientes ejercicios hallar el conjunto solución de la doble inecuación y dar la representación geométrica de dicha 
solución, utilizar colores. No omitir operaciones. 
 Nota: se trabaja simultáneamente las dos inecuaciones. 
 a) −1 ≤ 5 − 6𝑥 ≤ 4 c) 0 ≤ −6𝑥 − 3 < 5 
 b) 1 > −2 − 4𝑥 ≥ −4 d) −1 > 2𝑥 + 1 ≥ −4 
 
2.-En los siguientes ejercicios, hallar el conjunto solución de la inecuación indicada, y dar la representación geométrica de 
dicha solución. 
 
 
 
 
 
 
3.-En los siguientes ejercicios, hallar el conjunto solución de la inecuación cuadrática indicada, y dar la representación 
geométrica de dicha solución. 
𝑥2 + 2𝑥 − 8 > 0 
𝑥2 + 2𝑥 − 3 > 0 
𝑥2 + 2𝑥 − 8 ≤ 0 
𝑥2 + 2𝑥 − 3 ≤ 0 
 
 
|2𝑥 + 1| < 6 
|5 − 3𝑥| ≤ 4 
|−5𝑥 + 1| ≥ −9 
|4𝑥 − 1| > 3