Formulario de proba y estadistica-parte2 - Jose Angel Reyes

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Creado por RGCG 
 
Medidas de tendencia central a partir de datos No agrupados 
Media Poblacional: 
𝜇 =
∑ 𝑥𝑖
𝑁
𝑖=1
𝑁
 
Dónde: 
• N: Es el número de 
individuos en la población. 
• X: Representa cualquier 
valor particular 
 
Media Muestral: 
�̅� =
∑ 𝑥𝑖
𝑛
𝑖=1
𝑛
 
Dónde: 
• �̅�: Representa la media 
muestral 
• 𝑛: Número de individuos en 
la muestra 
Posición de la mediana 
 
Mediana=
𝑛+1
2
 
 
Moda: 
 
Valor de las observaciones 
que aparece con más 
frecuencia 
Varianza poblacional y 
desviación estándar 
 
𝜎2 =
∑(𝑥 − 𝜇)2
𝑁
 
Dónde 
• 𝜎2: Es la varianza 
poblacional 
• 𝑥: Valor de una 
observación de la 
población 
• 𝜇: Media aritmética 
de la población 
• 𝑁: número de 
observaciones de la 
población 
 
Desviación Estándar 
𝜎 = √
∑(𝑥 − 𝜇)2
𝑁
 
 
Varianza Muestral 
𝑠2 =
∑(𝑥−�̅�)2
𝑛−1
 𝑠2 =
∑𝑥2−
(∑𝑥)2
𝑛
𝑛−1
 
 
Dónde 
• 𝑠2: Varianza muestral 
• 𝑥: Valor de cada una de las observaciones 
de la muestra 
• �̅�: Media muestral 
• 𝑛: Número de observaciones en la muestra 
 
𝑠 =
√∑𝑥
2 −
(∑𝑥)2
𝑛
𝑛 − 1
 
Dónde 
• s: Desviación estándar 
 
Medidas de tendencia central a partir de datos Agrupados 
Media 
�̅� =
∑𝑓𝑥
𝑛
 
Dónde: 
• �̅�: Es la media aritmética 
• 𝑥: Valor medio o punto 
medio de clase 
• 𝑓: Frecuencia de cada clase 
 
Mediana 
Mediana=𝐿 + (
𝑛
2
−𝑐𝑓
𝑓
)(𝑖) 
Dónde: 
• L: límite inferior de la clase 
que contiene a la mediana 
• n: Frecuencia de clase 
• cf: Número de frecuencia 
acumuladas en la clase que 
preceden a la clase que 
contiene la mediana 
• i: Amplitud de la clase 
donde está la mediana 
Moda: 
Moda=𝐿 + (
𝐷𝑎
𝐷𝑏+𝐷𝑎
)(𝑖) 
Dónde 
• L: límite inferior de la 
clase que contiene a 
la moda 
• Da: La diferencia 
entre la frecuencia de 
la clase modal y la 
clase que la antecede 
• Db: La diferencia 
entre la frecuencia de 
Varianza y Desviación Estándar 
 
𝑠 =
√∑𝑓𝑥
2 −
(∑𝑓𝑥)2
𝑛
𝑛 − 1
 
Dónde 
• s: Desviación estándar muestral 
• x: Punto medio de clase 
• f: Frecuencia de clase 
• n: Número de observaciones en la muestra 
 
 
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Creado por RGCG 
 
la clase modal y la 
clase que le sigue 
• I: Amplitud 
Técnicas de conteo 
Permutaciones 
 
𝑝𝑟 =
𝑛!
(𝑛 − 𝑟)!𝑛
 
 
Dónde 
• p: Permutación 
• n: Número de objetos 
• r: Número de objetos que se 
usaran a la vez 
 
 
Permutación en un arreglo circular 
(𝑛 − 1)! 
 
Permutación con elementos 
repetidos 
𝑛!
𝑛1! 𝑛2! … 𝑛𝑘!
 
 
Combinaciones 
 
𝐶𝑘 =
𝑛!
(𝑛 − 𝑘)! 𝑘!𝑛
 
 
Coeficiente de Sesgo: 𝑆𝑘 =
3(𝜇−𝑀𝑒𝑑𝑖𝑎𝑛𝑎)
𝜎 
 𝑆𝑘 =
�̅�−𝑀𝑜𝑑𝑎
𝑆
 
Distribuciones de Probabilidad de Variables Aleatorias Discretas 
Probabilidad total: 
𝑝(𝐴) = ∑ 𝑝(𝐴|𝐵𝑖)𝑝(𝐵𝑖)
𝑛
𝑖=1
 
 
Teorema de Bayes: 
 
𝑝(𝐵𝑗|𝐴) =
𝑝(𝐴|𝐵𝑗)𝑝(𝐵𝑗)
∑ 𝑝(𝐴|𝐵𝑖)𝑝(𝐵𝑖)
𝑛
𝑖=1
 
 
Valor esperado de v.a.d: 
𝜇 = 𝐸(𝑥) = ∑ 𝑥𝑓(𝑥)
𝑥
 
Varianza de v.a.d: 
𝜎2 = 𝑉(𝑥) = 𝐸[(𝑥 − 𝜇)2 = ∑(𝑥 − 𝜇)2𝑓(𝑥)
𝑥
 
𝜎2 = 𝑉(𝑥) = 𝐸[(𝑥 − 𝜇)2 = 𝐸(𝑥2) − 𝜇2 
 
Momentos alrededor del origen 
𝜇𝑟
′ = 𝐸(𝑥𝑟) = ∑ 𝑥𝑟𝑓(𝑥)
𝑥
 
Momentos alrededor de la media 
𝜇𝑟 = 𝐸[(𝑥 − 𝜇)
𝑟] = ∑(𝑥 − 𝜇)𝑟𝑓(𝑥)
𝑥
 
 
 
Función generadora de momentos 
𝑚(𝑡) = 𝐸(𝑒𝑡𝑥) = ∑ 𝑒𝑡𝑥𝑓(𝑥)
𝑥
 
Obtención de momentos alrededor del origen 
𝑚𝑟
′ =
𝑑𝑟
𝑑𝑡𝑟
𝜇(𝑡)|𝑡=0 
 
Coeficientes 
Distribución Discreta Uniforme 
 
𝑓(𝑥) = {
1
𝑛
 𝑥 = 𝑥1, 𝑥2, . . . , 𝑥𝑛
0 𝑒𝑛 𝑜𝑡𝑟𝑜 𝑥
 
 
Media: 𝜇 = 𝐸(𝑥) =
1
𝑛
∑ 𝑥𝑖
𝑛
𝑖=1 
 
Varianza 𝜎2 =
1
𝑛
∑ (𝑥𝑖 − 𝜇)
2𝑛
𝑖=1 
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Variación: 
𝜎
𝜇
 Asimetría: 
𝜇3
(𝜇2)
3
2
 
 Curtosis: 
𝜇4
(𝜇2)2
 
 
 
 
Equivalencia entre momentos 
𝜇2 = 𝐸[(𝑥 − 𝜇)
2] = 𝐸(𝑥2) − 𝜇2 = 𝜇2
′ − 𝜇2 
𝜇3 = 𝐸[(𝑥 − 𝜇)
3] = 𝜇3
′ − 3𝜇𝜇2
′ + 2𝜇3 
𝜇4 = 𝐸[(𝑥 − 𝜇)
4] = 𝜇4
′ − 4𝜇𝜇3
′ + 6𝜇2𝜇2
′ − 3𝜇4 
Distribución de Poisson 
 
𝑓(𝑥) =
𝑒−𝜆𝜆𝑥
𝑥!
 
Media 𝐸(𝑥) = 𝜆 
Varianza 𝑣(𝑥) = 𝜆 
f.g.m 𝑚(𝑡) = 𝑒−𝜆𝑒𝑒
𝑡𝜆 
coeficientes: 
Variación: 𝜆−
1
2 Asimetría: 3 + 𝜆−1 
 
Distribución de Bernoulli 
 
𝑓(𝑥) = {𝑝
𝑥(1 − 𝑝)1−𝑥 𝑠𝑖 𝑥 = 0,1
0 𝑒𝑛 𝑜𝑡𝑟𝑜 𝑐𝑎𝑠𝑜
 
 
Media 𝐸(𝑥) = 𝑝 
Varianza 𝑉(𝑥) = 𝑝(1 − 𝑝) 
f.g.m 𝑚(𝑡) = 𝐸(𝑒𝑡𝑥) = 1 − 𝑝 + 𝑝𝑒𝑡 
 
 
 
Distribución Binomial 
 
𝑓(𝑥) = (
𝑛
𝑥
) 𝑝𝑥(1 − 𝑝)𝑛−𝑥, 𝑥 = 0,1,2, … , 𝑛 
Media 𝐸(𝑥) = 𝑛𝑝 
Varianza 𝑉(𝑥) = 𝑛𝑝(1 − 𝑝) 
f.g.m 𝑚(𝑡) = (𝑞 + 𝑒𝑡𝑝)𝑛 
coeficientes: 
Asimetría: 
𝑞−𝑝
√𝑛𝑝𝑞
 Curtosis: 
1−6𝑝𝑞
𝑛𝑝𝑞
 
Distribución Geométrica 
 
𝑓(𝑥) = 𝑝(1 − 𝑝)𝑥−1, 𝑥 = 1,2,3, … 
 
Media 𝐸(𝑥) =
1
𝑝
 
Varianza 𝑣(𝑥) =
1
𝑝
(
1
𝑝
− 1) 
 
𝑚(𝑡) =
𝑝
1−(1−𝑝)𝑒𝑡
 para |t|<-ln(1-p) 
 
Coeficientes: 
Asimetría: 
1+𝑞
√𝑞
 Curtosis: 
𝑝2+6𝑞
𝑞
 
Distribución Binomial Negativa 
 
𝑓(𝑥) = (
𝑥 − 1
𝑘 − 1
) 𝑝𝑘(1 − 𝑝)𝑥−𝑘 ,
𝑥 = 𝑘, 𝑘 + 1, 𝑘 + 2, … 
 
Media 𝐸(𝑥) =
𝑘
𝑝
 
Varianza 𝑣(𝑥) =
𝑘
𝑝
(
1
𝑝
− 1) 
 
f.g.m: 𝑚(𝑡) = (
𝑝
1−(1−𝑝)𝑒𝑡
)
𝑘
 para |t|<-ln(1-p) 
 
Coeficientes: 
Distribución Hipergeométrica 
 
𝑓(𝑥) =
(𝑘
𝑥
)(𝑁−𝑘
𝑛−𝑥
)
(𝑁
𝑛
)
, 𝑥 = 0,1,2, … , 𝑛 
N: Cantidad de elementos del conjunto del que se toma la 
muestra. 
k: Cantidad de elementos existentes que se consideran “Éxitos”. 
n: Tamaño de la muestra. 
X: v.a.d (Cantidad de resultados considerados “éxitos” de la 
muestra. 
x= 0,1,2,…,n 
 
Media 𝐸(𝑥) = 𝑛
𝑘
𝑁
 
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Creado por RGCG 
 
Asimetría: 
2−𝑝
√𝑘(1−𝑝)
 curtosis: 
6
𝑘
+
𝑝2
𝑘(1−𝑝)
 
 
Varianza 𝑣(𝑥) =
𝑛𝑘
𝑁
(1 −
𝑘
𝑁
)(
𝑁−𝑛
𝑁−1
) 
 
Coeficientes: 
 
Asimetría: 
(𝑁−2𝑘)(𝑁−1)1/2 (𝑁−2𝑛)
[𝑛𝑘(𝑁−𝑘)(𝑁−𝑛)]
1
2(𝑁−2)
 
 
 
 
Curtosis: 
 
 [
𝑁2(𝑁−1)
𝑛(𝑁−2)(𝑁−3)(𝑁−𝑛)
] [
𝑁(𝑁+1)−6𝑁(𝑁−𝑛)
𝑘(𝑁−𝑘)
+
3𝑛(𝑁−𝑛)(𝑁+6)
𝑁2
− 6] 
 
 
 
 
Propiedades de probabilidad 
• 𝑃(∅) = 0 
• 𝑃(𝐴𝑐) = 1 − 𝑃(𝐴) 
• 𝑠𝑖 𝐴 ⊂ 𝐵 ⟹ 𝑃(𝐴) ≤ 𝑃(𝐵) 
• ∅ ≤ 𝑃(𝐴) ≤ 1 
• 𝑃(𝐴 − 𝐵) = 𝑃(𝐴) − 𝑃(𝐴 ∩ 𝐵) 
Regla aditiva de la probabilidad para dos eventos 
• 𝑃(𝐴 ∪ 𝐵) = 𝑃(𝐴) + 𝑃(𝐵) − 𝑃(𝐴 ∩ 𝐵) 
Leyes de D’morgan 
• (𝐴 ∩ 𝐵)𝑐 = 𝐴𝑐 ∪ 𝐵𝑐 
• (𝐴 ∪ 𝐵)𝑐 = 𝐴𝑐 ∩ 𝐵𝑐 
 
 
 
 
 
 
 
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