Semana 3_ Derivadas - Tifany Bérez

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Regla de la cadena, recta tangente y normal, derivada de funciones trigonométricas inversas, formas indeterminadas, la regla de L’Hospital y Derivadas implícitas
Módulo 2
Cálculo 1
2023-1
Videoconferencia 03
Temario
Recta tangente y normal
Regla de la cadena
Derivada de función inversa
Regla de L’Hôspital
Derivadas implícitas
Motivación
Costo de producción
En una empresa de metal mecánica identificó que el costo de producir unidades de cierto producto es dólares y el nivel de producción durante horas en una línea de producción particular es unidades. ¿A qué razón está cambiando el costo con respecto al tiempo después de cuatro horas?
Fuente: https://upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/2/22/Factory_Automation_Robotics_Palettizing_Bread.jpg/1920px-Factory_Automation_Robotics_Palettizing_Bread.jpg
Saberes previos
PREGUNTA 01: Calcula el siguiente límite:
a) ¾ 		b) 4/3 		c) 5/4
PREGUNTA 02: Calcula la derivada de la siguiente función: 
a) b) 
c) 
Funciones compuestas
Límites
Continuidad
Derivación
Reglas de derivación
Logro de aprendizaje
Al finalizar la sesión de aprendizaje, el estudiante resuelve ejercicios en los que calcula la derivada de funciones compuestas; la recta tangente y normal a una curva, regla de L’Hôspital y derivada implícita, además resuelve e interpreta problemas aplicados al estudio de fenómenos naturales, económicos y tecnológicos, haciendo uso del cálculo de derivadas de las funciones, de la derivada de funciones implícitas y la regla de L’Hôspital.
Fuente: Freepik
Regla de la cadena
Si es una función derivable de y es una función derivable de .
Entonces:
 es una función derivable de y 
o su equivalente:
Regla de la cadena
Ejemplo 1: 
Calcule la derivada de la función 
Solución:
Sean la funciones simples:
Luego:
Regla general de la derivada de una potencia
Dada la función donde es una función derivable de y es un número racional, entonces:
Ejemplo 2: Calcule la derivada de la función 
Solución:
Aplicando la fórmula.
 
 
Regla de la cadena para radicales
Sea una función diferenciable en :
Ejemplo 3: Calcule la derivada de la función 
Solución:
Aplicando la fórmula.
Regla de la cadena para la función exponencial y logarítmica
Sea una función diferenciable en :
Ejemplo 4: Calcule la derivada de la función 
Solución:
Aplicando la fórmula.
 
 
Regla de la cadena para la función exponencial y logarítmica
Ejemplo 5: Encontrar la derivada de la función 
Solución:
Aplicando la fórmula.
Regla de la cadena para Funciones Trigonométricas
	
	
	
	
	
	
Sea una función diferenciable en entonces:
Regla de la cadena para Funciones Trigonométricas
Ejemplo 6: Encontrar la derivada de 
Solución:
Aplicando la fórmula.
Derivada de las funciones trigonométricas inversas
	
	
	
	
	
	
Regla de la cadena para Funciones Trigonométricas inversas
Sea una función diferenciable en :
Regla de la cadena para Funciones Trigonométricas inversas
Ejemplo 7: Derivar la función inversa 
Solución:
Empleando la derivada de la función inversa:
Al hacer , entonces 
Reemplazando se obtiene
Recta Tangente y Normal
Sea una función derivable en , considerando la interpretación geométrica de se dan las siguientes definiciones:
Ecuación de la Recta Tangente
Ecuación de la Recta Normal
 
 
 
Recta tangente
Recta normal
Recta Tangente y Normal
Ejemplo 8: Dada la función , halla la ecuación de la recta tangente y normal a la gráfica de en el punto .
Solución:
La pendiente de la recta tangente:
Ecuación de la Recta Tangente
Ecuación de la Recta Normal
Solución a la motivación
Costo de producción
En una empresa de metal mecánica identificó que el costo de producir unidades de cierto producto es dólares y el nivel de producción durante horas en una línea de producción particular es unidades. ¿A qué razón está cambiando el costo con respecto al tiempo después de cuatro horas?
Fuente: https://upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/2/22/Factory_Automation_Robotics_Palettizing_Bread.jpg/1920px-Factory_Automation_Robotics_Palettizing_Bread.jpg
Solución a la motivación
Tenemos:
 dólares y 
 unidades
¿A qué razón está cambiando el costo con respecto al tiempo después de cuatro horas?
Para ello debemos determinar: 
Nos solicitan: 
Rpta. Después de 4 horas el costo está cambiando a 106,99 dólares por cada hora transcurrida.
Formas indeterminadas
En el cálculo de límites de la forma decimos que tenemos una forma indeterminada en ( un número real o )
1. y (Forma )
2. y (Forma )
como en los siguientes ejercicios
Regla de L’Hôpital
Sean y dos funciones derivables en un intervalo abierto excepto posiblemente en de y que para toda en se tiene que . Si el límite es una forma indeterminada y o es la misma forma indeterminada entonces 
El número puede ser reemplazado por .
Regla de L’Hôpital
Ejemplo 9: Mediante la regla de L’Hôspital determinar el valor del siguiente límite
Solución:
Aplicamos la regla de L’Hopital
Aplicamos nuevamente la regla de L’Hopital
Regla de L’Hôpital
Ejemplo 10: Mediante la regla de L’Hôspital determinar el valor del siguiente límite
Solución:
Aplicamos la regla de L’Hopital
Aplicamos nuevamente la regla de L’Hopital
Otras formas indeterminadas
Se conocen cinco formas indeterminadas diferentes a las expuestas anteriormente, las cuales son:
Mediante manipulaciones algebraicas o uso de logaritmos, es posible transformar estas formas en las formas indeterminadas básicas. 
Fuente: https://1.bp.blogspot.com/-MbcJAKcT45c/XYNAnArbi7I/AAAAAAAAD1M/ZyUt4DiqN_E5ApvjGLifaRi8oUevaQhPgCLcBGAsYHQ/s1600/llamar%2Batencion.jpg
Derivación implícita
Procedimiento para diferenciación implícita
Identifique la variable dependiente y la variable independiente de la ecuación a derivar, en este caso, denotaremos por la variable dependiente y por la variable independiente.
Al diferenciar con respecto a a ambos miembros de la ecuación use las reglas de derivación o la regla de la cadena. 
Agrupe los términos donde aparece en un miembro de la ecuación y en el otro los términos restantes.
Factorice y despeje a 
Derivación implícita
Ejemplo 11: Dada la función ; calcula 
Solución:
Derivar a ambos lados de la ecuación: 
Agrupar los temimos con 
Factorice en la parte izquierda: 
Despeje 
Regla de la derivación implícita
Una ecuación de dos variables e puede ser denotada por la relación
En este caso, la derivada puede ser obtenida mediante la fórmula
Donde:
 es la derivada de respecto a , considerando a constante.
 es la derivada de respecto a , considerando a constante.
Derivación implícita
Ejemplo 12: Dada la función ; calcula 
Solución:
Expresar la función implícita en la forma: 
 
 
Calcular y :
Reemplazando en la fórmula:
Aplicación de cierre
La ecuación de Van der Waals para cierto gas es:
Tratando el volumen como función de la presión P, usar la derivación implícita para calcular el ritmo de cambio del volumen respecto a la presión en el punto (5,1). 
-2.5
-3.23
-4.6
-2.5
-3.23
-4.6
Fuente: https://upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/7/7c/Johannes_Diderik_van_der_Waals.jpg/800px-Johannes_Diderik_van_der_Waals.jpg
Conclusiones
Fuente: https://respuestas.tips/wp-content/uploads/2018/12/5-7.jpg
La regla de L’Hôpital permite calcular limites de cocientes de funciones siempre y cuando se tenga una forma indeterminada.
Se han presentado dos metodologías para calcular la derivada implícita de una ecuación, cada una tiene sus ventajas y desventajas.
Al finalizar la sesión el estudiante ya está en capacidad de resolver ejercicios en los que calcula la derivada de funciones compuestas; la recta tangente y normal a una curva, regla de L’Hôspital y derivada implícita, además ya resuelve e interpreta problemas aplicados al estudio de fenómenos naturales, económicos y tecnológicos, empleando elcálculo de derivadas de las funciones, de la derivada de funciones implícitas y la regla de L’Hôspital.
Referencias bibliográficas
Stewart, J. (2012). Cálculo de una variable: Trascendentes tempranas. CENGAGE Learning. 
Larson, R., Edwards, B. (2011). Cálculo I de una variable. McGRAW-HILL.
Purcell, E., Varberg D. & Rigdon, S. (2007) Cálculo Diferencial e Integral. México: Pearson Educación. 
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